I. Giới Thiệu Về Định Lý Pythagore

1. Pythagore là ai?

Pythagore (Py-ta-go) (khoảng 570-495 TCN) là một nhà toán học và triết học vĩ đại của Hy Lạp cổ đại, người đã để lại dấu ấn sâu đậm trong lịch sử toán học thế giới.

Những đóng góp quan trọng:

• Phát hiện và chứng minh định lý nổi tiếng về tam giác vuông mang tên ông
• Sáng lập trường phái Pythagore – một cộng đồng nghiên cứu toán học và triết học
• Tiên phong nghiên cứu về số học, hình học và mối liên hệ giữa toán học với âm nhạc

2. Định lý Pythagore là gì?

Định lý Pythagore là một trong những định lý quan trọng và nổi tiếng nhất trong toán học, mô tả mối quan hệ đặc biệt giữa ba cạnh của tam giác vuông.

Các tên gọi:

• Định lý Py-ta-go (phiên âm tiếng Việt chuẩn)
• Định lý Pitago (cách viết đơn giản hóa, phổ biến)
• Pythagorean theorem (tiếng Anh)
• Công thức Pythagore (khi nhấn mạnh vào công thức toán học)

PHẦN I: ĐỊNH LÝ PYTHAGORE THUẬN

II. Định Lý Pythagore (Thuận)

1. Phát biểu định lý

Định lý Pythagore: Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

Công thức:

$$c^2 = a^2 + b^2$$

Hoặc viết theo tên đỉnh:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2$$

Trong đó:

• $c$ (hoặc BC): Cạnh huyền – cạnh dài nhất, đối diện với góc vuông
• $a, b$ (hoặc AB, AC): Hai cạnh góc vuông – hai cạnh tạo thành góc 90°

Hình minh họa:

        C
        |\\
      b |  \\ c (cạnh huyền)
        |    \\
        |_____\\
        A   a   B

Tam giác ABC vuông tại A → $BC^2 = AB^2 + AC^2$

2. Các hệ quả từ định lý

Từ công thức cơ bản $c^2 = a^2 + b^2$, ta có các công thức dẫn xuất:

a) Công thức tính cạnh huyền:

$$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$

b) Công thức tính cạnh góc vuông:

$$a = \sqrt{c^2 – b^2}$$

$$b = \sqrt{c^2 – a^2}$$

c) Điều kiện áp dụng:

• Các cạnh phải dương: $a, b, c > 0$
• Cạnh huyền lớn nhất: $c > a$ và $c > b$
• Thỏa mãn bất đẳng thức tam giác: $a + b > c$

3. Chứng minh trực quan

Chứng minh bằng hình vuông:

Phương pháp chứng minh này dựa trên việc so sánh diện tích các hình.

Vẽ một hình vuông lớn có cạnh $(a+b)$ chứa 4 tam giác vuông giống nhau và 1 hình vuông nhỏ có cạnh $c$ ở giữa.

Tính diện tích:

• Diện tích hình vuông lớn: $(a+b)^2$
• Diện tích 4 tam giác vuông: $4 \times \frac{1}{2}ab = 2ab$
• Diện tích hình vuông nhỏ (cạnh $c$): $c^2$

Thiết lập phương trình:

$$(a+b)^2 = 4 \times \frac{1}{2}ab + c^2$$

$$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$$

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Vậy định lý được chứng minh! ✓

4. Ví dụ áp dụng định lý Pythagore

Ví dụ 1: Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 3cm và 4cm. Tính cạnh huyền.

Lời giải:

Áp dụng định lý Pythagore:

$$c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}$$

Đáp án: 5cm

Ví dụ 2: Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 5m và 12m. Tính cạnh huyền.

Lời giải:

$$c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ m}$$

Đáp án: 13m

Ví dụ 3: Tam giác vuông có cạnh huyền 10cm, một cạnh góc vuông 6cm. Tính cạnh góc vuông còn lại.

Lời giải:

$$b = \sqrt{c^2 – a^2} = \sqrt{10^2 – 6^2} = \sqrt{100 – 36} = \sqrt{64} = 8 \text{ cm}$$

Đáp án: 8cm

Ví dụ 4: Tam giác vuông có cạnh huyền 13cm, một cạnh góc vuông 5cm. Tính cạnh còn lại.

Lời giải:

$$b = \sqrt{13^2 – 5^2} = \sqrt{169 – 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}$$

Đáp án: 12cm

Ví dụ 5: Tam giác vuông cân có cạnh góc vuông 7cm. Tính cạnh huyền.

Lời giải:

Tam giác vuông cân có hai cạnh góc vuông bằng nhau: $a = b = 7$ cm

$$c = \sqrt{7^2 + 7^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} = 7\sqrt{2} \approx 9.9 \text{ cm}$$

Đáp án: $7\sqrt{2}$ cm (≈ 9.9cm)

5. Bộ ba Pythagore (Bộ ba số nguyên)

Bộ ba Pythagore là ba số nguyên dương $(a, b, c)$ thỏa mãn điều kiện $a^2 + b^2 = c^2$

Các bộ ba thường gặp cần nhớ:

Quy luật quan trọng:

Nếu $(a, b, c)$ là bộ ba Pythagore thì $(ka, kb, kc)$ với $k$ là số nguyên dương cũng là bộ ba Pythagore.

Ví dụ:

• Từ (3, 4, 5) → (6, 8, 10), (9, 12, 15), (12, 16, 20),…
• Từ (5, 12, 13) → (10, 24, 26), (15, 36, 39),…

PHẦN II: ĐỊNH LÝ PYTHAGORE ĐẢO

III. Định Lý Pythagore Đảo

1. Phát biểu định lý đảo

Định lý Pythagore đảo: Nếu một tam giác có bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh kia, thì tam giác đó là tam giác vuông.

Công thức:

$$\text{Nếu } c^2 = a^2 + b^2 \text{ thì tam giác vuông tại đỉnh đối diện cạnh } c$$

Ý nghĩa quan trọng:

Định lý đảo được dùng để kiểm tra xem một tam giác có phải là tam giác vuông hay không khi biết độ dài cả 3 cạnh.

2. Các trường hợp khi biết 3 cạnh

Cho tam giác có ba cạnh $a, b, c$ với $c$ là cạnh lớn nhất.

Lưu ý quan trọng:

• Phải so sánh với cạnh lớn nhất (cạnh $c$)
• Kiểm tra điều kiện tồn tại tam giác trước: $a + b > c$, $b + c > a$, $a + c > b$

3. Ví dụ áp dụng định lý đảo

Ví dụ 6: Tam giác có ba cạnh 6cm, 8cm, 10cm. Đây có phải tam giác vuông không?

Lời giải:

• Xác định cạnh lớn nhất: $c = 10$ cm
• Tính $c^2$: $10^2 = 100$
• Tính $a^2 + b^2$: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$
• So sánh: $c^2 = a^2 + b^2$ (100 = 100) ✓

Kết luận: Đây là tam giác vuông, vuông tại đỉnh đối diện cạnh 10cm.

Ví dụ 7: Tam giác có ba cạnh 5cm, 7cm, 9cm. Đây có phải tam giác vuông không?

Lời giải:

• Cạnh lớn nhất: $c = 9$ cm
• $c^2 = 9^2 = 81$
• $a^2 + b^2 = 5^2 + 7^2 = 25 + 49 = 74$
• So sánh: $81 > 74$ → $c^2 > a^2 + b^2$

Kết luận: Đây không phải tam giác vuông, đây là tam giác tù.

Ví dụ 8: Tam giác có ba cạnh 7cm, 24cm, 25cm. Tam giác này thuộc loại nào?

Lời giải:

• Cạnh lớn nhất: $c = 25$ cm
• $c^2 = 25^2 = 625$
• $a^2 + b^2 = 7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$
• So sánh: $c^2 = a^2 + b^2$ (625 = 625) ✓

Kết luận: Tam giác vuông tại đỉnh đối diện cạnh 25cm.

Ví dụ 9: Tam giác có ba cạnh 4cm, 5cm, 6cm. Phân loại tam giác.

Lời giải:

• Cạnh lớn nhất: $c = 6$ cm
• $c^2 = 6^2 = 36$
• $a^2 + b^2 = 4^2 + 5^2 = 16 + 25 = 41$
• So sánh: $36 < 41$ → $c^2 < a^2 + b^2$

Kết luận: Tam giác nhọn (cả 3 góc đều nhỏ hơn 90°).

Ví dụ 10: Ba điểm A, B, C có AB = 9cm, BC = 12cm, AC = 15cm. Chứng minh tam giác ABC vuông.

Lời giải:

• Cạnh lớn nhất: AC = 15cm
• Tính: $AB^2 + BC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$
• Tính: $AC^2 = 15^2 = 225$
• So sánh: $AB^2 + BC^2 = AC^2$ (225 = 225) ✓

Kết luận: Tam giác ABC vuông tại B (đỉnh đối diện cạnh AC).

4. Bảng tổng hợp định lý thuận và đảo

IV. Ứng Dụng Thực Tế Của Định Lý Pythagore

1. Xây dựng và kiến trúc

Ví dụ 11: Thợ xây cần dựng một bức tường thẳng góc với nền nhà. Họ đo 3m theo chiều ngang, 4m theo chiều dọc. Khoảng cách đường chéo phải là bao nhiêu để đảm bảo góc vuông?

Lời giải:

Để đảm bảo góc vuông, khoảng cách đường chéo phải thỏa mãn định lý Pythagore:

$$c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ m}$$

Đáp án: 5m

Ứng dụng: Nếu đo được đường chéo = 5m → Góc vuông chính xác ✓

2. Tính khoảng cách

Ví dụ 12: Một cái thang dài 5m dựa vào tường, chân thang cách tường 3m. Hỏi đầu thang cao bao nhiêu so với mặt đất?

Lời giải:

Gọi $h$ là chiều cao đầu thang so với mặt đất. Ta có tam giác vuông:

$$h = \sqrt{5^2 – 3^2} = \sqrt{25 – 9} = \sqrt{16} = 4 \text{ m}$$

Đáp án: 4m

3. Đo đạc đất đai

Ví dụ 13: Mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 60m, chiều rộng 80m. Tính độ dài đường chéo.

Lời giải:

Đường chéo hình chữ nhật là cạnh huyền của tam giác vuông:

$$d = \sqrt{60^2 + 80^2} = \sqrt{3600 + 6400} = \sqrt{10000} = 100 \text{ m}$$

Đáp án: 100m

4. Hàng hải và hàng không

Ví dụ 14: Máy bay bay thẳng 300km về hướng Đông, sau đó 400km về hướng Bắc. Tính khoảng cách đường chim bay từ điểm xuất phát đến điểm đến.

Lời giải:

Vì hai hướng Đông và Bắc vuông góc nhau, ta áp dụng định lý Pythagore:

$$d = \sqrt{300^2 + 400^2} = \sqrt{90000 + 160000} = \sqrt{250000} = 500 \text{ km}$$

Đáp án: 500km

V. Bài Tập Tổng Hợp

Dạng 1: Tính cạnh tam giác vuông

Bài 1: Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 8cm và 15cm. Tính cạnh huyền.

Lời giải:

$$c = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17 \text{ cm}$$

Đáp án: 17cm

Bài 2: Tam giác vuông có cạnh huyền 20cm, một cạnh góc vuông 12cm. Tính cạnh còn lại.

Lời giải:

$$b = \sqrt{20^2 – 12^2} = \sqrt{400 – 144} = \sqrt{256} = 16 \text{ cm}$$

Đáp án: 16cm

Dạng 2: Kiểm tra tam giác vuông

Bài 3: Kiểm tra xem các bộ ba sau có phải là tam giác vuông không?

a) (9, 12, 15)
b) (10, 11, 12)
c) (20, 21, 29)

Lời giải:

a) Bộ ba (9, 12, 15):

• Cạnh lớn nhất: $c = 15$
• $15^2 = 225$
• $9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225$
• $15^2 = 9^2 + 12^2$ ✓
• Kết luận: Tam giác vuông ✓

b) Bộ ba (10, 11, 12):

• Cạnh lớn nhất: $c = 12$
• $12^2 = 144$
• $10^2 + 11^2 = 100 + 121 = 221$
• $144 \neq 221$
• Kết luận: Không phải tam giác vuông ✗

c) Bộ ba (20, 21, 29):

• Cạnh lớn nhất: $c = 29$
• $29^2 = 841$
• $20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$
• $29^2 = 20^2 + 21^2$ ✓
• Kết luận: Tam giác vuông ✓

Bài 4: Tam giác ABC có AB = 11cm, BC = 60cm, AC = 61cm. Tam giác này vuông tại đâu?

Lời giải:

• Cạnh lớn nhất: AC = 61cm
• Tính: $AC^2 = 61^2 = 3721$
• Tính: $AB^2 + BC^2 = 11^2 + 60^2 = 121 + 3600 = 3721$
• So sánh: $AC^2 = AB^2 + BC^2$ ✓

Kết luận: Tam giác ABC vuông tại B (đỉnh đối diện cạnh AC).

Dạng 3: Bài toán thực tế

Bài 5: Một cột điện cao 12m có dây căng từ đỉnh cột xuống mặt đất, cách chân cột 5m. Tính chiều dài dây căng.

Lời giải:

Dây căng tạo thành cạnh huyền của tam giác vuông:

$$L = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13 \text{ m}$$

Đáp án: 13m

Bài 6: Hình chữ nhật có chiều dài 24cm, đường chéo 30cm. Tính chiều rộng.

Lời giải:

Chiều rộng là cạnh góc vuông của tam giác vuông:

$$b = \sqrt{30^2 – 24^2} = \sqrt{900 – 576} = \sqrt{324} = 18 \text{ cm}$$

Đáp án: 18cm

VI. Mẹo Và Lưu Ý

1. Cách nhận biết nhanh

Ghi nhớ các bộ ba Pythagore phổ biến:

• 3-4-5 và các bội: 6-8-10, 9-12-15, 12-16-20,…
• 5-12-13 và các bội: 10-24-26, 15-36-39,…
• 8-15-17
• 7-24-25
• 9-40-41

Khi gặp các số này trong đề bài, bạn có thể nhận biết ngay đây là tam giác vuông!

2. Sai lầm thường gặp

❌ Lỗi 1: Nhầm cạnh huyền với cạnh góc vuông

• Nhớ: Cạnh huyền luôn là cạnh dài nhất và đối diện góc vuông

❌ Lỗi 2: Quên lấy căn bậc hai khi tính cạnh

• SAI: $c = 3^2 + 4^2 = 25$
• ĐÚNG: $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

❌ Lỗi 3: Dùng định lý Pythagore cho tam giác không vuông

• Chỉ áp dụng khi tam giác có góc vuông

❌ Lỗi 4: Quên xác định cạnh lớn nhất khi dùng định lý đảo

• Phải so sánh với cạnh lớn nhất để kết luận chính xác

VII. Kết Luận

Tổng kết

Bài viết đã trình bày đầy đủ và ngắn gọn về định lý Pythagore:

Định lý Pythagore thuận: $c^2 = a^2 + b^2$ – Tính cạnh tam giác vuông

Định lý Pythagore đảo: Kiểm tra tam giác vuông khi biết 3 cạnh

Bộ ba Pythagore: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, 9-40-41

14 ví dụ minh họa từ cơ bản đến ứng dụng thực tế

6 bài tập đa dạng có lời giải chi tiết

Phụ Lục: Bảng Công Thức Nhanh

Các bộ ba Pythagore cần nhớ

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa