I. GIỚI THIỆU VỀ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. Hàm số lượng giác là gì?

Định nghĩa:

Hàm số lượng giác là các hàm số có dạng $y = \sin x$, $y = \cos x$, $y = \tan x$, $y = \cot x$, trong đó biến số x thường biểu diễn góc (đo bằng độ hoặc radian).

Bốn hàm số lượng giác cơ bản:

1. Hàm sin: $y = \sin x$
2. Hàm cos: $y = \cos x$
3. Hàm tan (tang): $y = \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$
4. Hàm cot (cotang): $y = \cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$

Đặc điểm nổi bật:

• Tính tuần hoàn: Các giá trị của hàm lặp lại theo một chu kỳ nhất định. Đây là tính chất quan trọng nhất của hàm số lượng giác.
• Mô tả dao động và sóng: Hàm số lượng giác được sử dụng rộng rãi để mô tả các hiện tượng dao động điều hòa, sóng cơ học, sóng âm, sóng điện từ trong tự nhiên.
• Ứng dụng đa dạng: Xuất hiện trong vật lý, kỹ thuật điện, âm nhạc, xử lý tín hiệu, đồ họa máy tính, thiên văn học.

2. Tại sao phải học hàm số lượng giác?

Trong chương trình học:

• Nền tảng cho kiến thức nâng cao: Hàm số lượng giác là cơ sở để học phương trình lượng giác (lớp 11), bất phương trình lượng giác, đạo hàm hàm lượng giác và tích phân hàm lượng giác (lớp 12).
• Phát triển tư duy toán học: Giúp học sinh hiểu về tính tuần hoàn, tính đối xứng, và cách phân tích các hiện tượng có chu kỳ.
• Tầm quan trọng trong thi cử: Chiếm khoảng 10-15% câu hỏi trong kỳ thi THPT Quốc gia, xuất hiện trong cả phần trắc nghiệm và tự luận.

Trong thực tế:

• Vật lý: Mô tả dao động điều hòa (con lắc lò xo, con lắc đơn), sóng cơ học, sóng âm, sóng điện từ, chuyển động tròn đều.
• Âm nhạc: Phân tích và tổng hợp âm thanh. Mỗi nét nhạc có thể được biểu diễn bằng tổng các hàm sin với tần số khác nhau (chuỗi Fourier).
• Điện xoay chiều: Dòng điện và điện áp xoay chiều có dạng $i = I_0\sin(\omega t + \varphi)$.
• Khoa học máy tính: Xử lý tín hiệu số, nén dữ liệu âm thanh và hình ảnh (MP3, JPEG), đồ họa 3D, lập trình game.
• Kiến trúc và xây dựng: Tính toán độ bền kết cấu, thiết kế mái vòm, cầu treo.

3. Cấu trúc bài viết

Bài viết này tập trung vào ba nội dung cốt lõi:

Phần II – Tính chất hàm số lượng giác: Tập xác định, tập giá trị, tính chẵn/lẻ, tính tuần hoàn, tính đơn điệu của 4 hàm số cơ bản.

Phần III – Đồ thị hàm số lượng giác: Đặc điểm đồ thị, cách vẽ, nhận dạng từng hàm.

Phần IV – Biến đổi đồ thị: Hiểu rõ ảnh hưởng của các hệ số trong $y = A\sin(Bx + C) + D$.

Phần V – Ứng dụng: Giải phương trình bằng đồ thị, bài toán thực tế về dao động, nhiệt độ, điện xoay chiều.

II. TÍNH CHẤT CỦA 4 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

A. HÀM SỐ y = sin x

1. Tập xác định và tập giá trị

Tập xác định: $$D = \mathbb{R}$$

Giải thích: Hàm sin xác định với mọi giá trị thực của x. Trên đường tròn lượng giác, với mọi góc x, ta luôn xác định được tung độ của điểm tương ứng.

Tập giá trị: $$T = [-1, 1]$$

Giải thích: Giá trị của $\sin x$ luôn nằm trong khoảng từ -1 đến 1. Trên đường tròn lượng giác, tung độ của mọi điểm nằm trong đoạn [-1, 1].

Lưu ý:

• Giá trị lớn nhất: $\max(\sin x) = 1$ (đạt được khi $x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi$)
• Giá trị nhỏ nhất: $\min(\sin x) = -1$ (đạt được khi $x = -\dfrac{\pi}{2} + k2\pi$)

2. Tính chẵn lẻ

Công thức: $$\sin(-x) = -\sin x, \quad \forall x \in \mathbb{R}$$

Kết luận: Hàm số $y = \sin x$ là hàm lẻ.

Ý nghĩa hình học: Đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ O. Nếu điểm $(x, y)$ thuộc đồ thị thì điểm $(-x, -y)$ cũng thuộc đồ thị.

Ví dụ minh họa:

• $\sin 30° = \dfrac{1}{2}$, suy ra $\sin(-30°) = -\dfrac{1}{2}$
• $\sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$, suy ra $\sin\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{1}{2}$

3. Tính tuần hoàn

Công thức: $$\sin(x + 2\pi) = \sin x, \quad \forall x \in \mathbb{R}$$

Kết luận: Hàm số $y = \sin x$ là hàm tuần hoàn với chu kỳ cơ bản $T = 2\pi$.

Giải thích: Sau mỗi $2\pi$ radian (tương đương 360°), giá trị của hàm sin lặp lại. Trên đường tròn lượng giác, sau khi quay một vòng tròn đầy đủ ($2\pi$), ta trở về điểm xuất phát.

Hệ quả: Với mọi số nguyên $k$: $$\sin(x + k \cdot 2\pi) = \sin x$$

Ý nghĩa: Để nghiên cứu hàm sin trên toàn bộ $\mathbb{R}$, ta chỉ cần xét trên một chu kỳ $[0, 2\pi]$ hoặc $[-\pi, \pi]$.

4. Tính đơn điệu

Hàm số $y = \sin x$:

Đồng biến (tăng) trên các khoảng: $$\left[-\dfrac{\pi}{2} + k2\pi; \dfrac{\pi}{2} + k2\pi\right], \quad k \in \mathbb{Z}$$

Nghịch biến (giảm) trên các khoảng: $$\left[\dfrac{\pi}{2} + k2\pi; \dfrac{3\pi}{2} + k2\pi\right], \quad k \in \mathbb{Z}$$

Bảng biến thiên trong một chu kỳ [0, 2π]:

Giải thích:

• Từ $x = 0$ đến $x = \dfrac{\pi}{2}$: hàm tăng từ 0 lên 1
• Từ $x = \dfrac{\pi}{2}$ đến $x = \dfrac{3\pi}{2}$: hàm giảm từ 1 xuống -1
• Từ $x = \dfrac{3\pi}{2}$ đến $x = 2\pi$: hàm tăng từ -1 lên 0

5. Giá trị đặc biệt

Các giá trị quan trọng cần nhớ:

Giá trị cực trị:

• $\sin x = 1$ khi $x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi$ (giá trị lớn nhất)
• $\sin x = -1$ khi $x = -\dfrac{\pi}{2} + k2\pi$ hoặc $x = \dfrac{3\pi}{2} + k2\pi$ (giá trị nhỏ nhất)
• $\sin x = 0$ khi $x = k\pi$ (giao điểm với trục hoành)

B. HÀM SỐ y = cos x

1. Tập xác định và tập giá trị

Tập xác định: $$D = \mathbb{R}$$

Tập giá trị: $$T = [-1, 1]$$

Giải thích: Tương tự hàm sin, hàm cos cũng xác định với mọi x và nhận giá trị trong đoạn [-1, 1].

Lưu ý:

• Giá trị lớn nhất: $\max(\cos x) = 1$ (đạt được khi $x = k2\pi$)
• Giá trị nhỏ nhất: $\min(\cos x) = -1$ (đạt được khi $x = \pi + k2\pi$)

2. Tính chẵn lẻ

Công thức: $$\cos(-x) = \cos x, \quad \forall x \in \mathbb{R}$$

Kết luận: Hàm số $y = \cos x$ là hàm chẵn.

Ý nghĩa hình học: Đồ thị hàm số đối xứng qua trục Oy. Nếu điểm $(x, y)$ thuộc đồ thị thì điểm $(-x, y)$ cũng thuộc đồ thị.

Ví dụ:

• $\cos 60° = \dfrac{1}{2}$, suy ra $\cos(-60°) = \dfrac{1}{2}$
• $\cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$, suy ra $\cos\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}$

Liên hệ với sin: $$\cos x = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)$$

Điều này có nghĩa là đồ thị cos là đồ thị sin dịch trái $\dfrac{\pi}{2}$ đơn vị.

3. Tính tuần hoàn

Công thức: $$\cos(x + 2\pi) = \cos x, \quad \forall x \in \mathbb{R}$$

Chu kỳ: $T = 2\pi$ (giống hàm sin)

Hệ quả: $$\cos(x + k \cdot 2\pi) = \cos x, \quad k \in \mathbb{Z}$$

4. Tính đơn điệu

Hàm số $y = \cos x$:

Nghịch biến (giảm) trên các khoảng: $$[k2\pi; \pi + k2\pi], \quad k \in \mathbb{Z}$$

Đồng biến (tăng) trên các khoảng: $$[\pi + k2\pi; 2\pi + k2\pi], \quad k \in \mathbb{Z}$$

Bảng biến thiên trong một chu kỳ [0, 2π]:

Giải thích:

• Từ $x = 0$ đến $x = \pi$: hàm giảm từ 1 xuống -1
• Từ $x = \pi$ đến $x = 2\pi$: hàm tăng từ -1 lên 1

So sánh với sin:

• Hàm sin đồng biến ở góc phần tư I và nghịch biến ở góc phần tư II
• Hàm cos nghịch biến ở góc phần tư I và II

5. Giá trị đặc biệt

Giá trị cực trị:

• $\cos x = 1$ khi $x = k2\pi$ (giá trị lớn nhất)
• $\cos x = -1$ khi $x = \pi + k2\pi$ (giá trị nhỏ nhất)
• $\cos x = 0$ khi $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ (giao điểm với trục hoành)

C. HÀM SỐ y = tan x

1. Tập xác định và tập giá trị

Tập xác định: $$D = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi, \, k \in \mathbb{Z}\right\}$$

Giải thích: Hàm tan không xác định tại các điểm mà $\cos x = 0$, tức là tại $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ với $k \in \mathbb{Z}$.

Các điểm này tương ứng với:

• $x = \pm\dfrac{\pi}{2}, \pm\dfrac{3\pi}{2}, \pm\dfrac{5\pi}{2}, …$

Tập giá trị: $$T = (-\infty, +\infty) = \mathbb{R}$$

Giải thích: Hàm tan có thể nhận mọi giá trị thực. Không có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất.

2. Tính chẵn lẻ

Công thức: $$\tan(-x) = -\tan x, \quad \forall x \in D$$

Kết luận: Hàm số $y = \tan x$ là hàm lẻ.

Ý nghĩa: Đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O.

Chứng minh: $$\tan(-x) = \dfrac{\sin(-x)}{\cos(-x)} = \dfrac{-\sin x}{\cos x} = -\tan x$$

3. Tính tuần hoàn

Công thức: $$\tan(x + \pi) = \tan x, \quad \forall x \in D$$

Chu kỳ: $T = \pi$ (ngắn hơn sin và cos)

Giải thích: Đồ thị hàm tan lặp lại sau mỗi $\pi$ radian (180°), không phải $2\pi$.

Chứng minh: $$\tan(x + \pi) = \dfrac{\sin(x + \pi)}{\cos(x + \pi)} = \dfrac{-\sin x}{-\cos x} = \dfrac{\sin x}{\cos x} = \tan x$$

Lưu ý quan trọng: Chu kỳ của tan và cot là $\pi$, không phải $2\pi$ như sin và cos.

4. Tính đơn điệu

Hàm số $y = \tan x$ đồng biến (luôn tăng) trên mỗi khoảng: $$\left(-\dfrac{\pi}{2} + k\pi; \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right), \quad k \in \mathbb{Z}$$

Lưu ý:

• Hàm tan không bao giờ nghịch biến trên bất kỳ khoảng nào
• Hàm tan đồng biến trên từng khoảng xác định, nhưng không đồng biến trên toàn bộ tập xác định (do có các điểm gián đoạn)

Giải thích: Trên mỗi nhánh của đồ thị (giữa hai tiệm cận đứng liên tiếp), hàm tan luôn tăng từ $-\infty$ đến $+\infty$.

5. Giá trị đặc biệt

Các giá trị đặc biệt:

• $\tan 0 = 0$
• $\tan \dfrac{\pi}{4} = 1$
• $\tan \dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}$
• $\tan \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

Tiệm cận đứng: Đồ thị có tiệm cận đứng tại $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$.

D. HÀM SỐ y = cot x

1. Tập xác định và tập giá trị

Tập xác định: $$D = \mathbb{R} \setminus {k\pi, , k \in \mathbb{Z}}$$

Giải thích: Hàm cot không xác định tại các điểm mà $\sin x = 0$, tức là tại $x = k\pi$ với $k \in \mathbb{Z}$.

Các điểm này tương ứng với:

• $x = 0, \pm\pi, \pm2\pi, \pm3\pi, …$

Tập giá trị: $$T = (-\infty, +\infty) = \mathbb{R}$$

Giải thích: Giống hàm tan, hàm cot có thể nhận mọi giá trị thực.

2. Tính chẵn lẻ

Công thức: $$\cot(-x) = -\cot x, \quad \forall x \in D$$

Kết luận: Hàm số $y = \cot x$ là hàm lẻ.

Chứng minh: $$\cot(-x) = \dfrac{\cos(-x)}{\sin(-x)} = \dfrac{\cos x}{-\sin x} = -\cot x$$

3. Tính tuần hoàn

Công thức: $$\cot(x + \pi) = \cot x, \quad \forall x \in D$$

Chu kỳ: $T = \pi$ (giống tan)

4. Tính đơn điệu

Hàm số $y = \cot x$ nghịch biến (luôn giảm) trên mỗi khoảng: $$(k\pi; \pi + k\pi), \quad k \in \mathbb{Z}$$

Lưu ý:

• Hàm cot không bao giờ đồng biến trên bất kỳ khoảng nào
• Trên mỗi nhánh, hàm cot giảm từ $+\infty$ xuống $-\infty$

So sánh với tan: Hàm tan luôn đồng biến, hàm cot luôn nghịch biến trên các khoảng xác định tương ứng.

5. Giá trị đặc biệt

Các giá trị đặc biệt:

• $\cot \dfrac{\pi}{4} = 1$
• $\cot \dfrac{\pi}{6} = \sqrt{3}$
• $\cot \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$
• $\cot \dfrac{\pi}{2} = 0$

Tiệm cận đứng: Đồ thị có tiệm cận đứng tại $x = k\pi$.

E. Bảng tổng hợp tính chất

Ghi chú:

• $k \in \mathbb{Z}$ (k là số nguyên bất kỳ)
• Tan luôn đồng biến, cot luôn nghịch biến trên các khoảng xác định

III. ĐỒ THỊ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A. ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = sin x

1. Đặc điểm đồ thị

Dạng đồ thị: Đường cong hình sóng (sine wave), mượt mà và liên tục.

Các điểm đặc biệt trong một chu kỳ [0, 2π]:

Tọa độ các điểm:

• $(0, 0)$ – xuất phát từ gốc
• $\left(\dfrac{\pi}{2}, 1\right)$ – đỉnh cao nhất
• $(\pi, 0)$ – giao điểm thứ hai với trục Ox
• $\left(\dfrac{3\pi}{2}, -1\right)$ – đáy thấp nhất
• $(2\pi, 0)$ – kết thúc chu kỳ

Tính chất hình học của đồ thị:

1. Đi qua gốc tọa độ: Điểm $O(0, 0)$ thuộc đồ thị
2. Dao động quanh trục Ox: Đồ thị nằm hoàn toàn trong dải ngang $-1 \leq y \leq 1$
3. Điểm cực trị:
   • Cực đại: $y = 1$ tại $x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi$
   • Cực tiểu: $y = -1$ tại $x = -\dfrac{\pi}{2} + k2\pi$ (hoặc $\dfrac{3\pi}{2} + k2\pi$)
4. Giao điểm với trục Ox: $x = k\pi$ (với $k \in \mathbb{Z}$)
5. Đối xứng qua gốc O: Do hàm sin là hàm lẻ, đồ thị đối xứng qua điểm O
6. Tính liên tục: Đồ thị liên tục trên toàn bộ $\mathbb{R}$, không có điểm gián đoạn

Biên độ: $A = 1$ (khoảng cách từ đỉnh sóng đến trục Ox)

Chu kỳ: $T = 2\pi$ (khoảng cách giữa hai đỉnh liên tiếp)

2. Cách vẽ đồ thị y = sin x

Bước 1: Chuẩn bị hệ trục

Vẽ hệ trục tọa độ Oxy. Chia trục Ox theo các giá trị: $$0, , \dfrac{\pi}{2}, , \pi, , \dfrac{3\pi}{2}, , 2\pi$$

Có thể chia thêm các giá trị $\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{4}, \dfrac{5\pi}{4}, \dfrac{7\pi}{4}$ để vẽ chính xác hơn.

Bước 2: Đánh dấu các điểm chính

Đánh dấu các điểm đặc biệt trong một chu kỳ $[0, 2\pi]$:

• $(0, 0)$
• $\left(\dfrac{\pi}{2}, 1\right)$
• $(\pi, 0)$
• $\left(\dfrac{3\pi}{2}, -1\right)$
• $(2\pi, 0)$

Bước 3: Nối các điểm

Nối các điểm bằng đường cong mượt mà, tạo hình dạng sóng sin.

Lưu ý:

• Đường cong phải mượt, không được gãy khúc
• Đồ thị đi qua điểm rồi uốn cong, không được có góc nhọn

Bước 4: Mở rộng đồ thị

Do tính tuần hoàn, lặp lại hình dạng này sang bên trái (x < 0) và bên phải (x > 2π).

Bước 5: Kiểm tra tính đối xứng

Kiểm tra đồ thị có đối xứng qua gốc O không (do hàm sin là hàm lẻ).

B. ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = cos x

1. Đặc điểm đồ thị

Dạng đồ thị: Đường cong hình sóng, tương tự sin nhưng lệch pha $\dfrac{\pi}{2}$.

Các điểm đặc biệt trong một chu kỳ [0, 2π]:

Tọa độ các điểm:

• $(0, 1)$ – bắt đầu từ giá trị cực đại
• $\left(\dfrac{\pi}{2}, 0\right)$ – giao điểm với trục Ox
• $(\pi, -1)$ – đạt giá trị nhỏ nhất
• $\left(\dfrac{3\pi}{2}, 0\right)$ – giao điểm thứ hai với trục Ox
• $(2\pi, 1)$ – trở về giá trị ban đầu

Tính chất hình học của đồ thị:

1. Cắt trục Oy tại điểm (0, 1): Khác với sin (cắt tại gốc O)
2. Dao động quanh trục Ox: Giống sin, đồ thị nằm trong dải $-1 \leq y \leq 1$
3. Điểm cực trị:
   • Cực đại: $y = 1$ tại $x = k2\pi$
   • Cực tiểu: $y = -1$ tại $x = \pi + k2\pi$
4. Giao điểm với trục Ox: $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$
5. Đối xứng qua trục Oy: Do hàm cos là hàm chẵn, đồ thị đối xứng qua trục Oy
6. Tính liên tục: Đồ thị liên tục trên toàn bộ $\mathbb{R}$

Liên hệ với đồ thị sin:

Đồ thị $y = \cos x$ là đồ thị $y = \sin x$ tịnh tiến sang trái $\dfrac{\pi}{2}$ đơn vị.

Công thức: $\cos x = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)$

Cách nhận biết:

• Đồ thị cos bắt đầu từ đỉnh (y = 1 khi x = 0)
• Đồ thị sin bắt đầu từ gốc (y = 0 khi x = 0)

2. Cách vẽ đồ thị y = cos x

Phương pháp 1: Vẽ trực tiếp

• Đánh dấu các điểm đặc biệt như đã nêu ở trên
• Nối các điểm bằng đường cong mượt

Phương pháp 2: Từ đồ thị sin

• Vẽ đồ thị $y = \sin x$
• Tịnh tiến sang trái $\dfrac{\pi}{2}$ đơn vị để được $y = \cos x$

Phương pháp 3: Đối xứng

• Vẽ nửa đồ thị cho $x \geq 0$
• Lấy đối xứng qua trục Oy để có phần $x < 0$ (do tính chẵn)

C. ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = tan x

1. Đặc điểm đồ thị

Dạng đồ thị: Gồm nhiều nhánh riêng biệt, mỗi nhánh có dạng chữ S, được ngăn cách bởi các đường tiệm cận đứng.

Các điểm đặc biệt trong một chu kỳ $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$:

Tính chất hình học của đồ thị:

1. Đi qua gốc tọa độ O(0, 0)
2. Tiệm cận đứng: Đồ thị có các đường tiệm cận đứng tại: $$x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$Tức là tại: $x = \pm\dfrac{\pi}{2}, \pm\dfrac{3\pi}{2}, \pm\dfrac{5\pi}{2}, …$
3. Tính đồng biến: Trên mỗi khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2} + k\pi; \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right)$, hàm luôn đồng biến (đi từ dưới lên)
4. Không có giá trị cực trị: Hàm tan không có giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất
5. Đối xứng qua gốc O: Do là hàm lẻ
6. Giao điểm với trục Ox: $x = k\pi$ (với $k \in \mathbb{Z}$)

Đặc điểm từng nhánh:

• Mỗi nhánh có độ dài $\pi$ (chu kỳ)
• Đi từ $-\infty$ (gần tiệm cận trái) đến $+\infty$ (gần tiệm cận phải)
• Đi qua điểm giữa nhánh với $y = 0$

Cách nhận biết: Đồ thị luôn đi từ dưới lên, không bao giờ đi xuống trong một nhánh.

2. Cách vẽ đồ thị y = tan x

Bước 1: Vẽ các đường tiệm cận đứng

Vẽ các đường thẳng đứng (nét đứt) tại: $$x = -\dfrac{3\pi}{2}, , -\dfrac{\pi}{2}, , \dfrac{\pi}{2}, , \dfrac{3\pi}{2}$$

Bước 2: Vẽ một nhánh chính trong $\left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right)$

Đánh dấu các điểm:

• $(0, 0)$ – điểm giữa
• $\left(\dfrac{\pi}{4}, 1\right)$ – điểm trên
• $\left(-\dfrac{\pi}{4}, -1\right)$ – điểm dưới

Vẽ đường cong đi qua các điểm này, tiến tới $+\infty$ khi $x \to \dfrac{\pi}{2}^-$ và tiến tới $-\infty$ khi $x \to -\dfrac{\pi}{2}^+$.

Bước 3: Lặp lại các nhánh

Do tính tuần hoàn với chu kỳ $\pi$, lặp lại hình dạng nhánh này sang trái và phải, mỗi lần dịch $\pi$ đơn vị.

D. ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = cot x

1. Đặc điểm đồ thị

Dạng đồ thị: Gồm nhiều nhánh, mỗi nhánh có dạng chữ S ngược (ngược với tan).

Các điểm đặc biệt trong một chu kỳ (0, π):

Tính chất hình học của đồ thị:

1. Đi qua điểm $\left(\dfrac{\pi}{2}, 0\right)$: Điểm giữa của mỗi nhánh
2. Tiệm cận đứng: Đồ thị có các đường tiệm cận đứng tại: $$x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$Tức là tại: $x = 0, \pm\pi, \pm2\pi, \pm3\pi, …$
3. Tính nghịch biến: Trên mỗi khoảng $(k\pi; \pi + k\pi)$, hàm luôn nghịch biến (đi từ trên xuống)
4. Không có giá trị cực trị
5. Đối xứng qua gốc O: Do là hàm lẻ

Đặc điểm từng nhánh:

• Mỗi nhánh có độ dài $\pi$
• Đi từ $+\infty$ (gần tiệm cận trái) xuống $-\infty$ (gần tiệm cận phải)

Cách nhận biết: Đồ thị luôn đi từ trên xuống, không bao giờ đi lên trong một nhánh (ngược hẳn với tan).

So sánh với tan:

• Tan: đi lên (đồng biến)
• Cot: đi xuống (nghịch biến)
• Vị trí tiệm cận khác nhau

IV. BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Dạng tổng quát: y = A·sin(Bx + C) + D

Đây là dạng tổng quát của hàm số lượng giác với các phép biến đổi. Tương tự, ta có $y = A\cos(Bx + C) + D$, $y = A\tan(Bx + C) + D$.

1. Ý nghĩa các hệ số

Hệ số A (Biên độ – Amplitude):

• Ý nghĩa: Độ “cao” của sóng, khoảng cách từ đỉnh (hoặc đáy) đến trục cân bằng
• Ảnh hưởng: Thay đổi khoảng dao động của hàm số
• Giá trị:
  • $|A| > 1$: Kéo dãn theo phương Oy (sóng cao hơn)
  • $0 < |A| < 1$: Nén theo phương Oy (sóng thấp hơn)
  • $A < 0$: Đối xứng qua trục Ox (lật ngược đồ thị)

Ví dụ:

• $y = 2\sin x$: Dao động từ -2 đến 2 (biên độ 2)
• $y = 0.5\sin x$: Dao động từ -0.5 đến 0.5 (biên độ 0.5)
• $y = -\sin x$: Đồ thị sin lật ngược

Hệ số B (Tần số góc):

• Ý nghĩa: Ảnh hưởng đến chu kỳ (tốc độ lặp lại) của hàm số
• Chu kỳ mới: $T = \dfrac{2\pi}{|B|}$ (cho sin, cos) hoặc $T = \dfrac{\pi}{|B|}$ (cho tan, cot)
• Tần số: $f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{|B|}{2\pi}$ (cho sin, cos)
• Ảnh hưởng:
  • $|B| > 1$: Nén theo phương Ox (chu kỳ giảm, sóng dày hơn)
  • $0 < |B| < 1$: Kéo dãn theo phương Ox (chu kỳ tăng, sóng thưa hơn)

Ví dụ:

• $y = \sin 2x$: Chu kỳ $T = \dfrac{2\pi}{2} = \pi$ (nhanh gấp 2 lần)
• $y = \sin \dfrac{x}{2}$: Chu kỳ $T = \dfrac{2\pi}{1/2} = 4\pi$ (chậm đi 2 lần)
• $y = \sin 3x$: Chu kỳ $T = \dfrac{2\pi}{3}$ (nhanh gấp 3 lần)

Hệ số C (Pha ban đầu – Phase Shift):

• Ý nghĩa: Dịch chuyển đồ thị theo phương ngang (trái/phải)
• Độ dịch chuyển: $\Delta x = -\dfrac{C}{B}$
• Quy tắc:
  • $C > 0$: Dịch sang trái $\dfrac{C}{B}$ đơn vị
  • $C < 0$: Dịch sang phải $\dfrac{|C|}{B}$ đơn vị

Cách nhớ: Đặt $Bx + C = 0$ để tìm vị trí mới của điểm xuất phát.

Ví dụ:

• $y = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)$: Dịch trái $\dfrac{\pi}{2}$ → Được $y = \cos x$
• $y = \sin\left(x – \dfrac{\pi}{4}\right)$: Dịch phải $\dfrac{\pi}{4}$
• $y = \sin\left(2x + \pi\right) = \sin\left[2\left(x + \dfrac{\pi}{2}\right)\right]$: Dịch trái $\dfrac{\pi}{2}$

Hệ số D (Dịch chuyển đứng):

• Ý nghĩa: Dịch chuyển đồ thị theo phương thẳng đứng (lên/xuống)
• Ảnh hưởng:
  • $D > 0$: Dịch lên trên D đơn vị
  • $D < 0$: Dịch xuống dưới |D| đơn vị
• Trục cân bằng mới: $y = D$

Ví dụ:

• $y = \sin x + 1$: Dao động từ 0 đến 2 (dịch lên 1 đơn vị)
• $y = \sin x – 2$: Dao động từ -3 đến -1 (dịch xuống 2 đơn vị)
• $y = 2\sin x + 3$: Dao động từ 1 đến 5 (biên độ 2, dịch lên 3)

2. Các phép biến đổi cơ bản

a) Biến đổi y = A·sin x (A > 0)

Trường hợp A > 1:

• Biến đổi: Kéo dãn theo phương Oy
• Biên độ tăng: Giá trị max = A, min = -A
• Ví dụ: $y = 3\sin x$ dao động từ -3 đến 3

Trường hợp 0 < A < 1:

• Biến đổi: Nén theo phương Oy
• Biên độ giảm: Giá trị max = A, min = -A
• Ví dụ: $y = 0.5\sin x$ dao động từ -0.5 đến 0.5

Cách vẽ:

1. Vẽ đồ thị $y = \sin x$
2. Nhân tung độ mỗi điểm với A
3. Các giao điểm với Ox không đổi

b) Biến đổi y = sin(Bx) (B > 0)

Trường hợp B > 1:

• Biến đổi: Nén theo phương Ox
• Chu kỳ giảm: $T = \dfrac{2\pi}{B} < 2\pi$
• Ví dụ: $y = \sin 2x$ có chu kỳ $\pi$

Trường hợp 0 < B < 1:

• Biến đổi: Kéo dãn theo phương Ox
• Chu kỳ tăng: $T = \dfrac{2\pi}{B} > 2\pi$
• Ví dụ: $y = \sin \dfrac{x}{3}$ có chu kỳ $6\pi$

Cách vẽ:

1. Xác định chu kỳ mới: $T = \dfrac{2\pi}{B}$
2. Chia chu kỳ thành 4 phần bằng nhau
3. Đánh dấu các điểm đặc biệt và vẽ

c) Biến đổi y = sin(x + C)

Trường hợp C > 0:

• Biến đổi: Tịnh tiến sang trái C đơn vị
• Ví dụ: $y = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right)$ dịch trái $\dfrac{\pi}{3}$

Trường hợp C < 0:

• Biến đổi: Tịnh tiến sang phải |C| đơn vị
• Ví dụ: $y = \sin\left(x – \dfrac{\pi}{6}\right)$ dịch phải $\dfrac{\pi}{6}$

Lưu ý quan trọng:

• Dấu + trong $(x + C)$ nghĩa là dịch TRÁI (ngược với trực giác)
• Dấu – trong $(x – C)$ nghĩa là dịch PHẢI

Cách nhớ: Tìm nghiệm của $x + C = 0$ để biết vị trí mới của gốc.

d) Biến đổi y = sin x + D

Trường hợp D > 0:

• Biến đổi: Tịnh tiến lên trên D đơn vị
• Giá trị mới: max = 1 + D, min = -1 + D
• Ví dụ: $y = \sin x + 2$ dao động từ 1 đến 3

Trường hợp D < 0:

• Biến đổi: Tịnh tiến xuống dưới |D| đơn vị
• Giá trị mới: max = 1 + D, min = -1 + D
• Ví dụ: $y = \sin x – 1$ dao động từ -2 đến 0

Cách vẽ:

• Dịch toàn bộ đồ thị lên/xuống D đơn vị
• Trục cân bằng mới là đường $y = D$

3. Tổng hợp tất cả biến đổi

Ví dụ tổng hợp: Vẽ đồ thị hàm số $y = 3\sin\left(2x – \dfrac{\pi}{3}\right) + 1$

Bước 1: Phân tích các hệ số

So sánh với dạng $y = A\sin(Bx + C) + D$:

• $A = 3$ → Biên độ 3
• $B = 2$ → Chu kỳ $T = \dfrac{2\pi}{2} = \pi$
• $C = -\dfrac{\pi}{3}$ → Pha ban đầu
• $D = 1$ → Dịch đứng

Bước 2: Tính độ dịch chuyển ngang

$$\Delta x = -\dfrac{C}{B} = -\dfrac{-\pi/3}{2} = \dfrac{\pi}{6}$$

Vậy đồ thị dịch sang phải $\dfrac{\pi}{6}$ đơn vị.

Bước 3: Xác định giá trị max, min

• Giá trị lớn nhất: $y_{max} = A + D = 3 + 1 = 4$
• Giá trị nhỏ nhất: $y_{min} = -A + D = -3 + 1 = -2$
• Dao động quanh trục $y = 1$

Bước 4: Xác định chu kỳ

$$T = \dfrac{2\pi}{|B|} = \dfrac{2\pi}{2} = \pi$$

Bước 5: Tìm các điểm đặc biệt

Điểm xuất phát (tương ứng $\sin = 0$): $$2x – \dfrac{\pi}{3} = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{6}$$

Điểm cực đại đầu tiên (tương ứng $\sin = 1$): $$2x – \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2} \Rightarrow x = \dfrac{5\pi}{12}$$

Điểm giữa chu kỳ (tương ứng $\sin = 0$): $$2x – \dfrac{\pi}{3} = \pi \Rightarrow x = \dfrac{2\pi}{3}$$

Bước 6: Vẽ đồ thị

1. Vẽ trục cân bằng $y = 1$
2. Đánh dấu các điểm:
   • $\left(\dfrac{\pi}{6}, 1\right)$ – điểm xuất phát
   • $\left(\dfrac{5\pi}{12}, 4\right)$ – đỉnh
   • $\left(\dfrac{2\pi}{3}, 1\right)$ – giữa chu kỳ
3. Vẽ đường cong qua các điểm
4. Lặp lại chu kỳ $\pi$

Kết quả:

• Dao động từ -2 đến 4
• Chu kỳ: $\pi$
• Bắt đầu từ $x = \dfrac{\pi}{6}$
• Trục cân bằng: $y = 1$

V. ỨNG DỤNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A. Giải phương trình bằng đồ thị

Bài toán 1: Tìm số nghiệm của phương trình

Đề bài: Tìm số nghiệm của phương trình $\sin x = \dfrac{1}{2}$ trên đoạn $[0, 2\pi]$.

Phương pháp:

• Vẽ đồ thị hàm số $y = \sin x$ trên $[0, 2\pi]$
• Vẽ đường thẳng $y = \dfrac{1}{2}$
• Đếm số giao điểm

Lời giải:

Bước 1: Vẽ đồ thị $y = \sin x$ trên $[0, 2\pi]$

Đồ thị là đường cong hình sóng, dao động từ -1 đến 1.

Bước 2: Vẽ đường thẳng $y = \dfrac{1}{2}$

Đây là đường thẳng song song với trục Ox, nằm ở độ cao $y = \dfrac{1}{2}$.

Bước 3: Xác định giao điểm

Đường thẳng $y = \dfrac{1}{2}$ cắt đồ thị $y = \sin x$ tại 2 điểm trong khoảng $[0, 2\pi]$:

• Điểm thứ nhất: $x_1 = \dfrac{\pi}{6}$ (ở nhánh tăng)
• Điểm thứ hai: $x_2 = \dfrac{5\pi}{6}$ (ở nhánh giảm)

Đáp số: Phương trình có 2 nghiệm trên $[0, 2\pi]$.

Tổng quát: Phương trình $\sin x = m$ với $-1 < m < 1$ có đúng 2 nghiệm trên một chu kỳ $[0, 2\pi]$.

Bài toán 2: Phương trình phức tạp hơn

Đề bài: Tìm số nghiệm của phương trình $\sin x = x$ trên $\mathbb{R}$.

Phương pháp:

• Vẽ đồ thị $y = \sin x$ và $y = x$
• Tìm số giao điểm

Lời giải:

Bước 1: Phân tích

• Đồ thị $y = \sin x$ dao động trong đoạn $[-1, 1]$ với chu kỳ $2\pi$
• Đồ thị $y = x$ là đường thẳng đi qua gốc O, có hệ số góc 1

Bước 2: Xét các khoảng

Với $x > 1$:

• $\sin x \in [-1, 1]$ nhưng $x > 1$
• Do đó $\sin x < x$, không có giao điểm

Với $x < -1$:

• $\sin x \in [-1, 1]$ nhưng $x < -1$
• Do đó $\sin x > x$, không có giao điểm

Với $-1 \leq x \leq 1$:

• Cả hai đồ thị đều đi qua gốc O(0, 0)
• Tại $x = 0$: $\sin 0 = 0 = 0$ ✓

Bước 3: Kiểm tra tính duy nhất

• Tại $x = 0$: $\dfrac{d}{dx}(\sin x)|_{x=0} = \cos 0 = 1 = \dfrac{d}{dx}(x)$
• Hai đường cong tiếp xúc tại O
• Với $x \neq 0$ và $|x|$ nhỏ, ta có $|\sin x| < |x|$ (do $\sin x \approx x – \dfrac{x^3}{6}$ khi x nhỏ)

Đáp số: Phương trình có 1 nghiệm duy nhất là $x = 0$.

Bài toán 3: Số nghiệm theo tham số

Đề bài: Tìm số nghiệm của phương trình $\cos x = m$ trên $[0, 2\pi]$ theo tham số m.

Lời giải:

• Nếu $|m| > 1$: Vô nghiệm (đường thẳng $y = m$ không cắt đồ thị)
• Nếu $m = 1$: Có 1 nghiệm $x = 0$ (hoặc $x = 2\pi$)
• Nếu $m = -1$: Có 1 nghiệm $x = \pi$
• Nếu $-1 < m < 1$: Có 2 nghiệm phân biệt

Đáp số:

• $|m| > 1$: 0 nghiệm
• $m = \pm 1$: 1 nghiệm
• $-1 < m < 1$: 2 nghiệm

B. Bài toán thực tế

Bài toán 1: Dao động điều hòa

Đề bài: Một con lắc lò xo dao động theo phương trình: $x(t) = 5\sin\left(2\pi t + \dfrac{\pi}{3}\right) , \text{(cm)}$ trong đó t tính bằng giây.

a) Tìm biên độ dao động
b) Tìm chu kỳ dao động
c) Tìm vị trí ban đầu (tại t = 0)
d) Tìm vận tốc cực đại

Lời giải:

a) Biên độ dao động:

So sánh với dạng $x(t) = A\sin(\omega t + \varphi)$:

• $A = 5$ cm

Đáp số: Biên độ dao động là 5 cm.

b) Chu kỳ dao động:

Tần số góc: $\omega = 2\pi$ rad/s

Chu kỳ: $T = \dfrac{2\pi}{\omega} = \dfrac{2\pi}{2\pi} = 1 \text{ giây}$

Đáp số: Chu kỳ dao động là 1 giây.

c) Vị trí ban đầu:

Tại $t = 0$: $x(0) = 5\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = 5 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{5\sqrt{3}}{2} \approx 4.33 \text{ cm}$

Đáp số: Vị trí ban đầu là $\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$ cm ≈ 4.33 cm.

d) Vận tốc cực đại:

Vận tốc là đạo hàm của li độ: $v(t) = x'(t) = 5 \times 2\pi \times \cos\left(2\pi t + \dfrac{\pi}{3}\right)$ $v(t) = 10\pi\cos\left(2\pi t + \dfrac{\pi}{3}\right) \text{ cm/s}$

Vận tốc cực đại khi $|\cos| = 1$: $v_{max} = 10\pi \approx 31.4 \text{ cm/s}$

Đáp số: Vận tốc cực đại là $10\pi$ cm/s ≈ 31.4 cm/s.

Bài toán 2: Nhiệt độ trong ngày

Đề bài: Nhiệt độ trong ngày tại một thành phố được mô hình hóa bởi hàm: $T(t) = 25 + 8\cos\left(\dfrac{\pi t}{12} – \dfrac{2\pi}{3}\right)$ với T tính bằng °C, t là giờ trong ngày (0 ≤ t ≤ 24).

a) Tìm nhiệt độ cao nhất và thấp nhất trong ngày
b) Tìm thời điểm nhiệt độ cao nhất
c) Tìm thời điểm nhiệt độ bằng 25°C

Lời giải:

a) Nhiệt độ cao nhất và thấp nhất:

So sánh với dạng $T(t) = D + A\cos(\omega t + \varphi)$:

• Nhiệt độ trung bình: $D = 25°C$
• Biên độ: $A = 8°C$

Nhiệt độ cực trị:

• Cao nhất: $T_{max} = D + A = 25 + 8 = 33°C$
• Thấp nhất: $T_{min} = D – A = 25 – 8 = 17°C$

Đáp số: Nhiệt độ cao nhất 33°C, thấp nhất 17°C.

b) Thời điểm nhiệt độ cao nhất:

Nhiệt độ cao nhất khi $\cos\left(\dfrac{\pi t}{12} – \dfrac{2\pi}{3}\right) = 1$

$\dfrac{\pi t}{12} – \dfrac{2\pi}{3} = 0$ $\dfrac{\pi t}{12} = \dfrac{2\pi}{3}$ $t = \dfrac{2\pi}{3} \times \dfrac{12}{\pi} = 8$

Đáp số: Nhiệt độ cao nhất vào lúc 8 giờ sáng.

c) Thời điểm nhiệt độ bằng 25°C:

$T(t) = 25$ $25 + 8\cos\left(\dfrac{\pi t}{12} – \dfrac{2\pi}{3}\right) = 25$ $\cos\left(\dfrac{\pi t}{12} – \dfrac{2\pi}{3}\right) = 0$

Giải phương trình: $\dfrac{\pi t}{12} – \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$

Với k = 0: $\dfrac{\pi t}{12} = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{7\pi}{6}$ $t = 14 \text{ giờ}$

Với k = -1: $\dfrac{\pi t}{12} = \dfrac{\pi}{2} + \dfrac{2\pi}{3} – \pi = \dfrac{\pi}{6}$ $t = 2 \text{ giờ}$

Đáp số: Nhiệt độ bằng 25°C vào lúc 2 giờ sáng và 14 giờ chiều (2 giờ và 14 giờ).

Bài toán 3: Điện xoay chiều

Đề bài: Điện áp xoay chiều có dạng: $u(t) = 220\sqrt{2}\sin(100\pi t) \text{ (V)}$ với t tính bằng giây.

a) Tìm điện áp cực đại
b) Tìm tần số dòng điện
c) Tìm chu kỳ
d) Tìm điện áp hiệu dụng

Lời giải:

a) Điện áp cực đại:

So sánh với $u(t) = U_0\sin(\omega t)$: $U_0 = 220\sqrt{2} \approx 311.13 \text{ V}$

Đáp số: Điện áp cực đại là $220\sqrt{2}$ V ≈ 311 V.

b) Tần số dòng điện:

Tần số góc: $\omega = 100\pi$ rad/s

Tần số: $f = \dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{100\pi}{2\pi} = 50 \text{ Hz}$

Đáp số: Tần số dòng điện là 50 Hz.

c) Chu kỳ:

$T = \dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{50} = 0.02 \text{ giây} = 20 \text{ ms}$

Đáp số: Chu kỳ là 0.02 giây (20 mili giây).

d) Điện áp hiệu dụng:

Điện áp hiệu dụng: $U = \dfrac{U_0}{\sqrt{2}} = \dfrac{220\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 220 \text{ V}$

Đáp số: Điện áp hiệu dụng là 220 V (đây là điện áp sinh hoạt tiêu chuẩn).

Bài toán 4: Thủy triều

Đề bài: Độ sâu của nước tại một bến cảng được mô hình hóa bởi: $h(t) = 12 + 4\sin\left(\dfrac{\pi t}{6}\right) \text{ (m)}$ với t là thời gian tính bằng giờ kể từ 0 giờ.

a) Tìm độ sâu lớn nhất và nhỏ nhất
b) Tìm thời điểm nước lên cao nhất trong 24 giờ đầu
c) Một con tàu cần độ sâu tối thiểu 10m để vào bến. Tìm khoảng thời gian con tàu có thể vào bến an toàn trong 24 giờ đầu.

Lời giải:

a) Độ sâu lớn nhất và nhỏ nhất:

• Độ sâu trung bình: 12m
• Biên độ dao động: 4m

$h_{max} = 12 + 4 = 16 \text{ m}$ $h_{min} = 12 – 4 = 8 \text{ m}$

Đáp số: Độ sâu lớn nhất 16m, nhỏ nhất 8m.

b) Thời điểm nước cao nhất:

Nước cao nhất khi $\sin\left(\dfrac{\pi t}{6}\right) = 1$:

$\dfrac{\pi t}{6} = \dfrac{\pi}{2}$ $t = 3 \text{ giờ}$

Chu kỳ của thủy triều: $T = \dfrac{2\pi}{\pi/6} = 12$ giờ

Vậy nước cao nhất tại: $t = 3$ giờ và $t = 3 + 12 = 15$ giờ

Đáp số: Nước cao nhất vào lúc 3 giờ sáng và 15 giờ chiều (3 giờ và 15 giờ).

c) Khoảng thời gian tàu có thể vào bến:

Điều kiện: $h(t) \geq 10$

$12 + 4\sin\left(\dfrac{\pi t}{6}\right) \geq 10$ $4\sin\left(\dfrac{\pi t}{6}\right) \geq -2$ $\sin\left(\dfrac{\pi t}{6}\right) \geq -\dfrac{1}{2}$

Giải: $\dfrac{\pi t}{6} \in \left[-\dfrac{\pi}{6} + k2\pi; \dfrac{7\pi}{6} + k2\pi\right]$

Trong chu kỳ đầu [0, 12]:

• $\sin\left(\dfrac{\pi t}{6}\right) = -\dfrac{1}{2}$ tại $t = 7$ và $t = 11$

Khoảng thời gian an toàn trong 24 giờ:

• Từ 0 giờ đến 7 giờ (7 giờ)
• Từ 11 giờ đến 19 giờ (8 giờ)
• Từ 23 giờ đến 24 giờ (1 giờ)

Đáp số: Tổng cộng 16 giờ an toàn trong ngày (từ 0-7h, 11-19h, và 23-24h).

VI. MẸO VÀ LƯU Ý QUAN TRỌNG

1. Mẹo nhớ tính chất

Khẩu quyết nhớ hàm chẵn/lẻ:

“Sin-Tan-Cot đều Lẻ, chỉ Cos là Chẵn”

Giải thích:

• Sin, tan, cot: hàm lẻ → $f(-x) = -f(x)$ → Đồ thị đối xứng qua gốc O
• Cos: hàm chẵn → $f(-x) = f(x)$ → Đồ thị đối xứng qua trục Oy

Nhớ chu kỳ:

“Sin-Cos chu kỳ 2π (một vòng tròn đầy đủ)
Tan-Cot chu kỳ π (nửa vòng tròn)”

Bảng chu kỳ:

Nhớ tập xác định:

“Sin, Cos: Không cấm gì (TXĐ = ℝ)
Tan: Cấm $\dfrac{\pi}{2} + k\pi$ (nơi cos = 0)
Cot: Cấm $k\pi$ (nơi sin = 0)”

Cách nhớ:

• Tan = sin/cos → Cấm điểm cos = 0
• Cot = cos/sin → Cấm điểm sin = 0

Nhớ giá trị đặc biệt:

Bảng giá trị cần thuộc:

Mẹo nhớ sin và cos:

• Sin tăng: 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1
• Cos giảm: 1, √3/2, √2/2, 1/2, 0
• Nhớ: $\sin 30° = \cos 60° = \dfrac{1}{2}$

2. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Nhầm lẫn công thức

Sai:

• $\sin(2x) = 2\sin x$
• $\cos(2x) = 2\cos x$

Đúng:

• $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$ (công thức nhân đôi)
• $\cos(2x) = \cos^2 x – \sin^2 x = 2\cos^2 x – 1 = 1 – 2\sin^2 x$

❌ SAI LẦM 2: Nhầm chu kỳ

Sai:

• Chu kỳ của $\sin 2x$ là $2\pi$
• Chu kỳ của $\tan x$ là $2\pi$

Đúng:

• Chu kỳ của $\sin(Bx)$ là $\dfrac{2\pi}{|B|}$ → Chu kỳ của $\sin 2x$ là $\pi$
• Chu kỳ của $\tan x$ là $\pi$ (không phải $2\pi$)

❌ SAI LẦM 3: Nhầm phép dịch chuyển

Sai:

• $y = \sin(x + \dfrac{\pi}{4})$ dịch phải $\dfrac{\pi}{4}$

Đúng:

• $y = \sin(x + \dfrac{\pi}{4})$ dịch TRÁI $\dfrac{\pi}{4}$ (dấu + thì dịch trái)

Cách nhớ: Giải $x + C = 0$ để tìm vị trí mới của điểm xuất phát.

❌ SAI LẦM 4: Nhầm tính chẵn lẻ

Sai:

• $\sin(-x) = \sin x$
• $\cos(-x) = -\cos x$

Đúng:

• $\sin(-x) = -\sin x$ (hàm lẻ)
• $\cos(-x) = \cos x$ (hàm chẵn)

❌ SAI LẦM 5: Quên điều kiện xác định

Sai:

• $y = \tan x$ xác định với mọi x

Đúng:

• $y = \tan x$ không xác định tại $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$
• $y = \cot x$ không xác định tại $x = k\pi$

3. Công thức quan trọng cần nhớ

Định nghĩa: $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}, \quad \cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$

Công thức cơ bản: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ $1 + \tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}$ $1 + \cot^2 x = \dfrac{1}{\sin^2 x}$

Công thức nhân đôi: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$ $\cos 2x = \cos^2 x – \sin^2 x$

Công thức hạ bậc: $\sin^2 x = \dfrac{1 – \cos 2x}{2}$ $\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}$

VII. KẾT LUẬN

Tổng kết nội dung

Bài viết đã trình bày đầy đủ và chi tiết về hàm số lượng giác, bao gồm:

✅ Tính chất của 4 hàm số cơ bản:

• Tập xác định, tập giá trị
• Tính chẵn/lẻ, tính tuần hoàn
• Tính đơn điệu, giá trị đặc biệt

✅ Đồ thị hàm số lượng giác:

• Đặc điểm và cách vẽ từng đồ thị
• Nhận dạng và phân biệt các đồ thị
• Các điểm đặc biệt, tiệm cận

✅ Biến đổi đồ thị:

• Ý nghĩa các hệ số A, B, C, D
• Các phép biến đổi cơ bản
• Cách vẽ đồ thị sau biến đổi

✅ Ứng dụng thực tế:

• Giải phương trình bằng đồ thị
• Bài toán dao động điều hòa
• Bài toán nhiệt độ, điện xoay chiều, thủy triều

Hàm số lượng giác là một trong những chủ đề đẹp và quan trọng nhất của toán học. Với tính tuần hoàn đặc trưng, các hàm số này không chỉ là công cụ toán học mà còn là ngôn ngữ để mô tả các hiện tượng tự nhiên.

Hy vọng bài viết này đã giúp bạn:

• Hiểu rõ bản chất của 4 hàm số lượng giác cơ bản
• Nắm vững kỹ năng vẽ và phân tích đồ thị
• Thấy được ứng dụng thực tế của hàm số lượng giác
• Tự tin hơn trong việc học và làm bài tập

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa