I. GIỚI THIỆU VỀ SỐ PHỨC

1. Số phức là gì?

Nguồn gốc của số phức:

Số phức ra đời từ nhu cầu giải phương trình đại số đơn giản nhưng không có nghiệm thực:

$$x^2 + 1 = 0$$

Phương trình này không có nghiệm trong tập số thực $\mathbb{R}$ vì không có số thực nào bình phương ra $-1$.

Đơn vị ảo $i$:

Để giải quyết vấn đề này, các nhà toán học đã định nghĩa đơn vị ảo $i$ với tính chất:

$$\boxed{i = \sqrt{-1} \quad \text{với} \quad i^2 = -1}$$

Đây là nền tảng của toàn bộ hệ thống số phức.

Định nghĩa số phức:

Một số phức $z$ có dạng:

$$\boxed{z = a + bi}$$

trong đó:

• $a, b \in \mathbb{R}$ (là các số thực)
• $a = \text{Re}(z)$: Phần thực (Real part)
• $b = \text{Im}(z)$: Phần ảo (Imaginary part)
• $i$: Đơn vị ảo

Ví dụ:

• $z = 3 + 4i$ → $\text{Re}(z) = 3$, $\text{Im}(z) = 4$
• $z = -2 + 5i$ → $\text{Re}(z) = -2$, $\text{Im}(z) = 5$
• $z = 7$ → $\text{Re}(z) = 7$, $\text{Im}(z) = 0$ (số thực)
• $z = 3i$ → $\text{Re}(z) = 0$, $\text{Im}(z) = 3$ (số thuần ảo)

Tập số phức: Ký hiệu $\mathbb{C}$, bao gồm tất cả các số có dạng $a + bi$.

$$\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$$

Mọi số thực đều là số phức với phần ảo bằng 0.

2. Biểu diễn số phức

Số phức có thể được biểu diễn dưới nhiều dạng khác nhau:

A. Dạng đại số (Dạng cơ bản):

$$\boxed{z = a + bi}$$

Ưu điểm: Dễ hiểu, dễ cộng trừ
Nhược điểm: Khó nhân, chia, lũy thừa

B. Biểu diễn hình học – Mặt phẳng phức (Argand):

Số phức $z = a + bi$ được biểu diễn bởi điểm $M(a, b)$ hoặc vectơ $\vec{OM}$ trong mặt phẳng tọa độ:

• Trục hoành (Ox): trục số thực
• Trục tung (Oy): trục số ảo

Ví dụ: $z = 3 + 4i$ → Điểm M(3, 4)

C. Dạng lượng giác (Dạng cực):

$$\boxed{z = r(\cos\theta + i\sin\theta)}$$

trong đó:

• $r = |z|$: modun (độ dài)
• $\theta = \arg(z)$: argument (góc)

Ưu điểm: Dễ nhân, chia, lũy thừa
Nhược điểm: Khó cộng trừ

D. Dạng mũ (Euler):

$$\boxed{z = re^{i\theta}}$$

Ưu điểm: Gọn nhất, dễ tính toán nhất
Sử dụng: Toán cao cấp, vật lý lý thuyết

II. CÔNG THỨC CƠ BẢN VỀ SỐ PHỨC

1. Số phức bằng nhau

Hai số phức bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau:

$$\boxed{z_1 = z_2 \Leftrightarrow \begin{cases} a_1 = a_2 \\ b_1 = b_2 \end{cases}}$$

Ý nghĩa: Hai số phức bằng nhau khi chúng biểu diễn cùng một điểm trong mặt phẳng phức.

Ví dụ 1: Tìm $x, y$ thực biết: $(2x + 3) + (y – 1)i = 5 + 2i$

Lời giải:

Đồng nhất hai phần:

• Phần thực: $2x + 3 = 5 \Rightarrow x = 1$
• Phần ảo: $y – 1 = 2 \Rightarrow y = 3$

Đáp án: $x = 1$, $y = 3$

Ví dụ 2: Tìm $a, b$ thực biết: $(a – 2b) + (2a + b)i = 4 – 3i$

Lời giải:

Hệ phương trình: $$\begin{cases} a – 2b = 4 \\ 2a + b = -3 \end{cases}$$

Từ phương trình 2: $b = -3 – 2a$

Thay vào phương trình 1: $$a – 2(-3 – 2a) = 4$$ $$a + 6 + 4a = 4$$ $$5a = -2 \Rightarrow a = -\frac{2}{5}$$

$$b = -3 – 2\left(-\frac{2}{5}\right) = -3 + \frac{4}{5} = -\frac{11}{5}$$

2. Số phức liên hợp

Định nghĩa: Số phức liên hợp của $z = a + bi$ là:

$$\boxed{\overline{z} = a – bi}$$

Cách tạo: Đổi dấu phần ảo, giữ nguyên phần thực.

Biểu diễn hình học: Đối xứng qua trục thực (Ox).

Tính chất quan trọng của số phức liên hợp:

Ví dụ 3: Cho $z = 3 + 4i$. Tính $\overline{z}$ và $z \cdot \overline{z}$

Lời giải:

• $\overline{z} = 3 – 4i$
• $z \cdot \overline{z} = (3+4i)(3-4i) = 9 – 16i^2 = 9 + 16 = 25$

Nhận xét: $z \cdot \overline{z}$ cho ta số thực dương, đây là cơ sở để chia số phức!

Ví dụ 4: Cho $z_1 = 2 + 3i$ và $z_2 = 1 – i$. Tính $\overline{z_1 + z_2}$ và $\overline{z_1} + \overline{z_2}$

Lời giải:

Cách 1: Tính tổng trước

• $z_1 + z_2 = (2+3i) + (1-i) = 3 + 2i$
• $\overline{z_1 + z_2} = 3 – 2i$

Cách 2: Tính liên hợp trước

• $\overline{z_1} = 2 – 3i$
• $\overline{z_2} = 1 + i$
• $\overline{z_1} + \overline{z_2} = (2-3i) + (1+i) = 3 – 2i$

Kết luận: $\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$ ✓

3. Modun (độ dài) của số phức

Định nghĩa: Modun của số phức $z = a + bi$ là:

$$\boxed{|z| = \sqrt{a^2 + b^2}}$$

Công thức thay thế:

$$\boxed{|z| = \sqrt{z \cdot \overline{z}}}$$

Ý nghĩa hình học: Khoảng cách từ gốc O đến điểm M biểu diễn số phức $z$.

Tính chất của modun:

Ví dụ 5: Tính modun các số phức sau:

a) $z = 3 + 4i$

Lời giải: $$|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$

b) $z = -5 + 12i$

Lời giải: $$|z| = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$

c) $z = 1 – i$

Lời giải: $$|z| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$

Ví dụ 6: Cho $z_1 = 2 + i$ và $z_2 = 1 + 2i$. Kiểm tra $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$

Lời giải:

Cách 1: Tính trực tiếp

• $z_1 \cdot z_2 = (2+i)(1+2i) = 2 + 4i + i + 2i^2 = 2 + 5i – 2 = 5i$
• $|z_1 \cdot z_2| = |5i| = 5$

Cách 2: Dùng tính chất

• $|z_1| = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$
• $|z_2| = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$
• $|z_1| \cdot |z_2| = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 5$

Kết luận: $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| = 5$ ✓

4. Argument (góc) của số phức

Định nghĩa: Argument của $z = a + bi$ ($z \neq 0$) là góc $\theta$ tạo bởi vectơ $\vec{OM}$ với trục Ox dương, thỏa mãn:

$$\boxed{\cos\theta = \frac{a}{|z|}, \quad \sin\theta = \frac{b}{|z|}}$$

Ký hiệu: $\arg(z) = \theta$

Lưu ý: Argument xác định sai khác $2\pi k$ (k nguyên), tức: $$\arg(z) = \theta + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Argument chính: Giá trị $\theta \in (-\pi, \pi]$ (hoặc $[0, 2\pi)$ tùy quy ước)

Cách xác định argument:

1. Tính $\tan\theta = \frac{b}{a}$ (khi $a \neq 0$)
2. Xác định góc dựa vào vị trí trong mặt phẳng phức:
   • Góc phần tư I ($a > 0, b > 0$): $\theta = \arctan\frac{b}{a}$
   • Góc phần tư II ($a < 0, b > 0$): $\theta = \pi – \arctan\frac{|b|}{|a|}$
   • Góc phần tư III ($a < 0, b < 0$): $\theta = -\pi + \arctan\frac{|b|}{|a|}$
   • Góc phần tư IV ($a > 0, b < 0$): $\theta = -\arctan\frac{|b|}{a}$

Ví dụ 7: Tìm argument của $z = 1 + i$

Lời giải:

• $|z| = \sqrt{2}$
• $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$
• $\theta = \frac{\pi}{4}$ (45°)

Đáp án: $\arg(1 + i) = \frac{\pi}{4}$

III. CÁC PHÉP TOÁN VỚI SỐ PHỨC

1. Cộng và trừ số phức

Công thức cộng:

$$\boxed{z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)i}$$

Công thức trừ:

$$\boxed{z_1 – z_2 = (a_1 – a_2) + (b_1 – b_2)i}$$

Quy tắc: Cộng/trừ phần thực với phần thực, phần ảo với phần ảo.

Biểu diễn hình học: Quy tắc hình bình hành (giống vectơ).

Ví dụ 8: Tính các tổng và hiệu sau:

a) $(3 + 4i) + (2 – 5i)$

Lời giải: $$= (3 + 2) + (4 – 5)i = 5 – i$$

b) $(3 + 4i) – (2 – 5i)$

Lời giải: $$= (3 – 2) + (4 – (-5))i = 1 + 9i$$

c) $(1 + 2i) + (3 – i) – (2 + 3i)$

Lời giải: $$= (1 + 3 – 2) + (2 – 1 – 3)i = 2 – 2i$$

2. Nhân số phức

Công thức nhân:

$$\boxed{z_1 \cdot z_2 = (a_1 + b_1i)(a_2 + b_2i) = (a_1a_2 – b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)i}$$

Quy tắc: Nhân như nhị thức, sau đó thay $i^2 = -1$.

Nhớ công thức: $$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac – bd) + (ad + bc)i$$

Ví dụ 9: Tính các tích sau:

a) $(3 + 2i)(1 + 4i)$

Lời giải: $$= 3 + 12i + 2i + 8i^2$$ $$= 3 + 14i + 8(-1)$$ $$= 3 + 14i – 8$$ $$= -5 + 14i$$

b) $(2 + 3i)(2 – 3i)$ (Tích với liên hợp)

Lời giải: $$= 4 – 6i + 6i – 9i^2$$ $$= 4 – 9(-1)$$ $$= 4 + 9 = 13$$

Nhận xét: Tích với liên hợp luôn cho số thực dương bằng $a^2 + b^2$!

c) $(1 + i)^2$

Lời giải: $$= 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i – 1 = 2i$$

d) $(1 + i)(2 – i)(3 + 2i)$

Lời giải:

Bước 1: Nhân hai số đầu $$(1 + i)(2 – i) = 2 – i + 2i – i^2 = 2 + i + 1 = 3 + i$$

Bước 2: Nhân với số thứ ba $$(3 + i)(3 + 2i) = 9 + 6i + 3i + 2i^2 = 9 + 9i – 2 = 7 + 9i$$

3. Chia số phức (Công thức quan trọng!)

Phương pháp: Nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của mẫu.

Công thức chia số phức:

$$\boxed{\frac{z_1}{z_2} = \frac{a_1 + b_1i}{a_2 + b_2i} = \frac{(a_1 + b_1i)(a_2 – b_2i)}{(a_2 + b_2i)(a_2 – b_2i)} = \frac{(a_1a_2 + b_1b_2) + (a_2b_1 – a_1b_2)i}{a_2^2 + b_2^2}}$$

Công thức rút gọn (dễ nhớ hơn):

$$\boxed{\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \cdot \overline{z_2}}{|z_2|^2}}$$

Ví dụ 10: Tính $\frac{3 + 4i}{1 + 2i}$

Lời giải:

Nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu $\overline{1 + 2i} = 1 – 2i$:

$$\frac{3 + 4i}{1 + 2i} = \frac{(3+4i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}$$

Tử số: $$(3+4i)(1-2i) = 3 – 6i + 4i – 8i^2 = 3 – 2i + 8 = 11 – 2i$$

Mẫu số: $$(1+2i)(1-2i) = 1 – 4i^2 = 1 + 4 = 5$$

Kết quả: $$= \frac{11 – 2i}{5} = \frac{11}{5} – \frac{2}{5}i$$

Ví dụ 11: Tính $\frac{2 – 3i}{4 + i}$

Lời giải:

Nhân với liên hợp $\overline{4 + i} = 4 – i$:

$$\frac{2 – 3i}{4 + i} = \frac{(2-3i)(4-i)}{(4+i)(4-i)}$$

Tử: $$(2-3i)(4-i) = 8 – 2i – 12i + 3i^2 = 8 – 14i – 3 = 5 – 14i$$

Mẫu: $$(4+i)(4-i) = 16 – i^2 = 16 + 1 = 17$$

Kết quả: $$= \frac{5 – 14i}{17} = \frac{5}{17} – \frac{14}{17}i$$

Trường hợp đặc biệt – Nghịch đảo:

$$\boxed{\frac{1}{z} = \frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{a^2+b^2} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}}$$

Ví dụ 12: Tính $\frac{1}{2+3i}$

Lời giải:

Nhân với liên hợp $\overline{2+3i} = 2-3i$:

$$\frac{1}{2+3i} = \frac{2-3i}{(2+3i)(2-3i)} = \frac{2-3i}{4+9} = \frac{2-3i}{13} = \frac{2}{13} – \frac{3}{13}i$$

4. Lũy thừa của $i$

Chu kỳ 4 của $i$:

$$\boxed{\begin{cases} i^1 = i \\ i^2 = -1 \\ i^3 = i^2 \cdot i = -i \\ i^4 = i^2 \cdot i^2 = 1 \\ i^5 = i^4 \cdot i = i \quad \text{(chu kỳ lặp lại)} \end{cases}}$$

Công thức tổng quát:

$$\boxed{i^n = i^{n \bmod 4}}$$

Quy tắc: Chia n cho 4, lấy số dư:

• Dư 0: $i^n = 1$
• Dư 1: $i^n = i$
• Dư 2: $i^n = -1$
• Dư 3: $i^n = -i$

Ví dụ 13: Tính các lũy thừa sau:

a) $i^{100}$

Lời giải: $$100 = 4 \times 25 + 0 \Rightarrow i^{100} = i^0 = 1$$

b) $i^{2023}$

Lời giải: $$2023 = 4 \times 505 + 3 \Rightarrow i^{2023} = i^3 = -i$$

c) $i^{47}$

Lời giải: $$47 = 4 \times 11 + 3 \Rightarrow i^{47} = i^3 = -i$$

d) $i^{1000} + i^{2000} + i^{3000}$

Lời giải:

• $i^{1000} = i^0 = 1$ (1000 chia 4 dư 0)
• $i^{2000} = i^0 = 1$ (2000 chia 4 dư 0)
• $i^{3000} = i^0 = 1$ (3000 chia 4 dư 0)
• Tổng: $1 + 1 + 1 = 3$

IV. DẠNG LƯỢNG GIÁC VÀ MŨ CỦA SỐ PHỨC

1. Dạng lượng giác (dạng cực)

Công thức chuyển đổi từ dạng đại số sang dạng lượng giác:

$$\boxed{z = a + bi = r(\cos\theta + i\sin\theta)}$$

trong đó:

• $r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ (modun)
• $\theta = \arg(z)$ (argument)
• $\cos\theta = \frac{a}{r}$, $\sin\theta = \frac{b}{r}$

Ký hiệu ngắn gọn: $z = r\text{cis}\theta$ (cis = cos + i·sin)

Ví dụ 14: Viết $z = 1 + i$ dưới dạng lượng giác

Lời giải:

Bước 1: Tính modun $$r = |z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$

Bước 2: Tính argument $$\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \sin\theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

Suy ra $\theta = \frac{\pi}{4}$ (45°)

Bước 3: Viết dạng lượng giác $$z = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$$

Ví dụ 15: Viết $z = -1 + i\sqrt{3}$ dưới dạng lượng giác

Lời giải:

• $r = \sqrt{1 + 3} = 2$
• $\cos\theta = \frac{-1}{2}$, $\sin\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$
• $\theta = \frac{2\pi}{3}$ (120°, góc phần tư II)
• $z = 2\left(\cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}\right)$

2. Dạng mũ (Euler)

Công thức Euler (một trong những công thức đẹp nhất toán học):

$$\boxed{e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta}$$

Dạng mũ của số phức:

$$\boxed{z = re^{i\theta}}$$

với $r = |z|$ và $\theta = \arg(z)$

Hệ quả quan trọng từ công thức Euler:

1. Đẳng thức Euler (đẹp nhất!): $$\boxed{e^{i\pi} + 1 = 0}$$

Công thức này liên kết 5 hằng số quan trọng nhất: $e$, $i$, $\pi$, 1, 0

2. Biểu diễn hàm lượng giác: $$\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}$$ $$\sin\theta = \frac{e^{i\theta} – e^{-i\theta}}{2i}$$

Ví dụ 16: Viết $z = 1 + i$ dưới dạng mũ

Lời giải:

Từ Ví dụ 14, ta có $r = \sqrt{2}$ và $\theta = \frac{\pi}{4}$

$$z = \sqrt{2}e^{i\pi/4}$$

3. Công thức nhân và chia dạng lượng giác

A. Nhân số phức (dạng lượng giác):

$$\boxed{z_1 \cdot z_2 = r_1r_2[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)]}$$

Quy tắc:

• Nhân modun: $r = r_1 \cdot r_2$
• Cộng argument: $\theta = \theta_1 + \theta_2$

Dạng mũ: $$z_1 \cdot z_2 = r_1e^{i\theta_1} \cdot r_2e^{i\theta_2} = r_1r_2e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$$

B. Chia số phức (dạng lượng giác):

$$\boxed{\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1 – \theta_2) + i\sin(\theta_1 – \theta_2)]}$$

Quy tắc:

• Chia modun: $r = \frac{r_1}{r_2}$
• Trừ argument: $\theta = \theta_1 – \theta_2$

Ví dụ 17: Cho $z_1 = 2(\cos 30° + i\sin 30°)$ và $z_2 = 3(\cos 45° + i\sin 45°)$. Tính $z_1 \cdot z_2$

Lời giải: $$z_1 \cdot z_2 = 2 \cdot 3 \cdot [\cos(30° + 45°) + i\sin(30° + 45°)]$$ $$= 6(\cos 75° + i\sin 75°)$$

4. Công thức De Moivre (Lũy thừa)

Công thức De Moivre:

$$\boxed{z^n = [r(\cos\theta + i\sin\theta)]^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)}$$

Quy tắc:

• Lũy thừa modun: $|z^n| = |z|^n = r^n$
• Nhân argument với n: $\arg(z^n) = n\theta$

Dạng mũ: $$z^n = (re^{i\theta})^n = r^ne^{in\theta}$$

Ví dụ 18: Tính $(1+i)^{10}$

Lời giải:

Bước 1: Chuyển sang dạng lượng giác $$1 + i = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right)$$

Bước 2: Áp dụng De Moivre $$(1+i)^{10} = (\sqrt{2})^{10}\left[\cos\frac{10\pi}{4} + i\sin\frac{10\pi}{4}\right]$$

$$= 2^5\left(\cos\frac{5\pi}{2} + i\sin\frac{5\pi}{2}\right)$$

$$= 32\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}\right)$$

$$= 32(0 + i \cdot 1) = 32i$$

Ví dụ 19: Tính $\left(\frac{1 + i\sqrt{3}}{2}\right)^6$

Lời giải:

Bước 1: Nhận dạng

• $r = \frac{\sqrt{1 + 3}}{2} = 1$
• $\theta = \frac{\pi}{3}$ (vì $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$)

Bước 2: Áp dụng De Moivre $$\left(\cos\frac{\pi}{3} + i\sin\frac{\pi}{3}\right)^6 = \cos 2\pi + i\sin 2\pi = 1$$

5. Căn bậc n của số phức

Công thức căn bậc n:

Căn bậc n của $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ là:

$$\boxed{\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r}\left[\cos\frac{\theta + 2k\pi}{n} + i\sin\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right]}$$

với $k = 0, 1, 2, …, n-1$ (có đúng n nghiệm)

Ví dụ 20: Tìm căn bậc 2 của $i$

Lời giải:

Bước 1: Viết $i$ dạng lượng giác $$i = \cos\frac{\pi}{2} + i\sin\frac{\pi}{2}$$

Bước 2: Áp dụng công thức căn bậc 2 $$\sqrt{i} = \cos\frac{\pi/2 + 2k\pi}{2} + i\sin\frac{\pi/2 + 2k\pi}{2}, \quad k = 0, 1$$

Với k = 0: $$w_0 = \cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i$$

Với k = 1: $$w_1 = \cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} – \frac{\sqrt{2}}{2}i$$

Đáp án: $\sqrt{i} = \pm\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\right)$

V. PHƯƠNG TRÌNH SỐ PHỨC

1. Phương trình bậc nhất

Dạng tổng quát: $az + b = 0$ với $a, b \in \mathbb{C}$, $a \neq 0$

Nghiệm:

$$\boxed{z = -\frac{b}{a}}$$

Ví dụ 21: Giải phương trình $(2+i)z + (3-2i) = 0$

Lời giải: $$(2+i)z = -(3-2i) = -3 + 2i$$

$$z = \frac{-3 + 2i}{2+i} = \frac{(-3+2i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}$$

$$= \frac{-6 + 3i + 4i – 2i^2}{4 + 1} = \frac{-6 + 7i + 2}{5} = \frac{-4 + 7i}{5}$$

$$z = -\frac{4}{5} + \frac{7}{5}i$$

2. Phương trình bậc hai

Dạng: $az^2 + bz + c = 0$ với $a, b, c \in \mathbb{C}$, $a \neq 0$

Công thức nghiệm:

$$\boxed{z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}}$$

với $\Delta = b^2 – 4ac$

Lưu ý quan trọng: Trong $\mathbb{C}$, căn bậc hai luôn tồn tại, nên phương trình bậc 2 luôn có 2 nghiệm (kể cả nghiệm kép).

Ví dụ 22: Giải $z^2 + 2z + 2 = 0$

Lời giải:

Bước 1: Tính delta $$\Delta = 4 – 8 = -4 = 4i^2$$

Bước 2: Tính căn của delta $$\sqrt{\Delta} = \sqrt{4i^2} = 2i$$

Bước 3: Tính nghiệm $$z = \frac{-2 \pm 2i}{2} = -1 \pm i$$

Đáp án: $z_1 = -1 + i$, $z_2 = -1 – i$

Ví dụ 23: Giải $z^2 – 2z + 5 = 0$

Lời giải:

• $\Delta = 4 – 20 = -16 = 16i^2$
• $\sqrt{\Delta} = 4i$
• $z = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i$

3. Phương trình dạng $z^n = w$

Sử dụng công thức căn bậc n (đã trình bày ở mục IV.5)

Ví dụ 24: Giải $z^3 = 1$ (tìm căn bậc 3 của đơn vị)

Lời giải:

Bước 1: Viết 1 dạng lượng giác $$1 = \cos 0 + i\sin 0$$

Bước 2: Áp dụng công thức căn bậc 3 $$z_k = \cos\frac{2k\pi}{3} + i\sin\frac{2k\pi}{3}, \quad k = 0, 1, 2$$

k = 0: $$z_0 = \cos 0 + i\sin 0 = 1$$

k = 1: $$z_1 = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i = \omega$$

k = 2: $$z_2 = \cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} – \frac{\sqrt{3}}{2}i = \omega^2$$

Đáp án: $z \in {1, \omega, \omega^2}$ với $\omega = e^{2\pi i/3}$

Tính chất: $1 + \omega + \omega^2 = 0$, $\omega^3 = 1$

VI. ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC

1. Trong điện học – Điện xoay chiều

Biểu diễn điện áp và dòng điện:

• Điện áp: $\tilde{U} = U_0 e^{i\omega t}$
• Dòng điện: $\tilde{I} = I_0 e^{i(\omega t + \varphi)}$

Tổng trở phức: $$\tilde{Z} = R + iX$$

trong đó:

• $R$: Điện trở (Resistance)
• $X$: Kháng (Reactance) = $X_L – X_C$
• $X_L = \omega L$: Cảm kháng
• $X_C = \frac{1}{\omega C}$: Dung kháng

Định luật Ohm dạng phức: $$\tilde{U} = \tilde{Z} \cdot \tilde{I}$$

Ưu điểm: Tính toán mạch xoay chiều trở nên đơn giản như mạch một chiều!

2. Trong cơ học – Dao động

Dao động điều hòa: $$x = A\cos(\omega t + \varphi) = \text{Re}(Ae^{i(\omega t + \varphi)})$$

Biểu diễn phức: $$\tilde{x} = Ae^{i(\omega t + \varphi)}$$

Ưu điểm: Tổng hợp dao động bằng cộng số phức, dễ dàng hơn nhiều so với công thức lượng giác!

3. Trong toán học

Định lý cơ bản của đại số:

Mọi phương trình đại số bậc n: $$a_nz^n + a_{n-1}z^{n-1} + \ldots + a_1z + a_0 = 0$$

đều có đúng n nghiệm phức (kể cả nghiệm kép).

Ứng dụng khác:

• Tích phân phức (Residue Theorem)
• Chuỗi Fourier
• Biến đổi Laplace
• Giải phương trình vi phân

4. Trong kỹ thuật

• Xử lý tín hiệu số: FFT (Fast Fourier Transform)
• Thiết kế bộ lọc: Analog và digital filters
• Phân tích mạch điện: Impedance matching
• Điều khiển tự động: Phân tích tần số, Bode plot

5. Trong vật lý lượng tử

• Hàm sóng: $\psi(x, t) = Ae^{i(kx – \omega t)}$
• Trạng thái lượng tử: Biểu diễn trong không gian Hilbert phức
• Biên độ xác suất: Là số phức, $|\psi|^2$ = xác suất

Nguyên lý bất định Heisenberg cũng dựa trên số phức!

VII. MẸO VÀ KỸ THUẬT TÍNH TOÁN SỐ PHỨC

1. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Tổng modun

SAI: $|z_1 + z_2| = |z_1| + |z_2|$

ĐÚNG: $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ (đẳng thức khi cùng phương)

❌ SAI LẦM 2: Bình phương số phức

SAI: $(a+bi)^2 = a^2 + b^2$

ĐÚNG: $(a+bi)^2 = a^2 – b^2 + 2abi$

❌ SAI LẦM 3: Chia số phức

SAI: $\frac{1}{a+bi} = \frac{1}{a} + \frac{1}{bi}$

ĐÚNG: $\frac{1}{a+bi} = \frac{a-bi}{a^2+b^2}$

❌ SAI LẦM 4: Liên hợp của tổng

SAI: $\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$

ĐÚNG: $\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$

2. Mẹo tính nhanh

Mẹo 1 – Chia số phức:

Luôn nhớ: Nhân với liên hợp của mẫu

$$\frac{z_1}{z_2} = \frac{z_1 \cdot \overline{z_2}}{|z_2|^2}$$

Mẫu trở thành số thực: $a^2 + b^2$

Mẹo 2 – Lũy thừa của $i$:

Chia số mũ cho 4, lấy số dư:

$$i^n = i^{n \bmod 4}$$

• Dư 0 → 1
• Dư 1 → $i$
• Dư 2 → $-1$
• Dư 3 → $-i$

Mẹo 3 – Tính $(a+bi)(a-bi)$:

Luôn bằng $a^2 + b^2$ (số thực dương!)

Đây là công thức “vàng” để khử mẫu số phức.

Mẹo 4 – Modun tích/thương:

• $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$
• $\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$

Không cần nhân/chia rồi mới tính modun!

Mẹo 5 – Kiểm tra kết quả:

Sau khi tính xong, kiểm tra:

✅ $z \cdot \overline{z}$ phải ra số thực dương
✅ Modun phải không âm: $|z| \geq 0$
✅ $\overline{\overline{z}} = z$

3. Khi nào dùng dạng nào?

Nguyên tắc vàng:

• Đại số cho cộng/trừ
• Lượng giác cho nhân/chia/lũy thừa

VIII. BÀI TẬP MẪU

Dạng 1: Tính toán cơ bản

Bài 1: Tính $(3-2i) + (1+5i) – (2-3i)$

Lời giải: $$= (3+1-2) + (-2+5+3)i = 2 + 6i$$

Bài 2: Tính $(2+3i)(4-i)$

Lời giải: $$= 8 – 2i + 12i – 3i^2 = 8 + 10i + 3 = 11 + 10i$$

Dạng 2: Chia số phức

Bài 3: Tính $\frac{5+2i}{3-4i}$

Lời giải:

Nhân với liên hợp: $$\frac{5+2i}{3-4i} = \frac{(5+2i)(3+4i)}{(3-4i)(3+4i)}$$

Tử số: $$(5+2i)(3+4i) = 15 + 20i + 6i + 8i^2 = 15 + 26i – 8 = 7 + 26i$$

Mẫu số: $$(3-4i)(3+4i) = 9 + 16 = 25$$

Kết quả: $$= \frac{7+26i}{25} = \frac{7}{25} + \frac{26}{25}i$$

Dạng 3: Số phức liên hợp và modun

Bài 4: Cho $z = 2-3i$. Tính $\overline{z}$, $z + \overline{z}$, $z \cdot \overline{z}$ và $|z|$

Lời giải:

• $\overline{z} = 2+3i$
• $z + \overline{z} = 4$ (số thực – tổng với liên hợp luôn thực!)
• $z \cdot \overline{z} = 4 + 9 = 13$
• $|z| = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

Dạng 4: Lũy thừa

Bài 5: Tính $i^{2024}$

Lời giải: $$2024 = 4 \times 506 + 0$$ $$i^{2024} = i^0 = 1$$

Bài 6: Tính $(1-i)^8$

Lời giải:

Phương pháp 1 – Dùng De Moivre:

$1 – i = \sqrt{2}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$

$(1-i)^8 = (\sqrt{2})^8\left(\cos\left(-2\pi\right) + i\sin\left(-2\pi\right)\right) = 16(1 + 0) = 16$

Phương pháp 2 – Khai triển:

$(1-i)^2 = 1 – 2i + i^2 = -2i$

$(1-i)^4 = (-2i)^2 = 4i^2 = -4$

$(1-i)^8 = (-4)^2 = 16$

Dạng 5: Phương trình

Bài 7: Giải $z^2 + 4 = 0$

Lời giải: $$z^2 = -4 = 4i^2$$ $$z = \pm 2i$$

Bài 8: Giải $z^2 – 4z + 5 = 0$

Lời giải:

• $\Delta = 16 – 20 = -4 = 4i^2$
• $\sqrt{\Delta} = 2i$
• $z = \frac{4 \pm 2i}{2} = 2 \pm i$

IX. KẾT LUẬN

Tổng kết

Bài viết đã tổng hợp đầy đủ các công thức số phức cơ bản và nâng cao:

Định nghĩa: $z = a + bi$ với $i^2 = -1$

Số phức liên hợp: $\overline{a+bi} = a-bi$ – Chìa khóa để chia

Modun: $|z| = \sqrt{a^2+b^2}$ – Độ dài của số phức

Các phép toán:

• Cộng/trừ: Cộng/trừ từng phần
• Nhân: Nhân như nhị thức, thay $i^2 = -1$
• Chia (quan trọng!): Nhân với liên hợp mẫu

Dạng lượng giác: $z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ – Dễ nhân, chia, lũy thừa

Công thức De Moivre: $z^n = r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$ – Tính lũy thừa

Căn bậc n: Có đúng n nghiệm phức

Ứng dụng: Điện, dao động, lượng tử, xử lý tín hiệu

PHỤ LỤC: BẢNG CÔNG THỨC NHANH

Công thức cơ bản

Phép toán

Lũy thừa của $i$

Dạng lượng giác và mũ

Công thức De Moivre và căn

Phép toán dạng lượng giác

Tính chất liên hợp

Tính chất modun

MỘT SỐ VÍ DỤ BỔ SUNG

Ví dụ nâng cao 1: Tìm số phức

Đề: Tìm số phức $z$ biết $|z| = 5$ và $\text{Re}(z) = 3$

Lời giải:

Đặt $z = 3 + bi$ (vì phần thực là 3)

$|z| = \sqrt{9 + b^2} = 5$ $9 + b^2 = 25$ $b^2 = 16$ $b = \pm 4$

Đáp án: $z = 3 + 4i$ hoặc $z = 3 – 4i$

Ví dụ nâng cao 2: Chứng minh đẳng thức

Đề: Chứng minh: Nếu $|z| = 1$ thì $\frac{1}{z} = \overline{z}$

Chứng minh:

$\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}$

Vì $|z| = 1$ nên $|z|^2 = 1$

$\Rightarrow \frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{1} = \overline{z}$ ✓

Kết luận: Với số phức có modun bằng 1, nghịch đảo chính là liên hợp.

Ví dụ nâng cao 3: Tập hợp điểm

Đề: Tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn $|z – 2i| = 3$

Lời giải:

Đặt $z = x + yi$

$|z – 2i| = |x + (y-2)i| = \sqrt{x^2 + (y-2)^2} = 3$

$x^2 + (y-2)^2 = 9$

Đáp án: Đường tròn tâm $I(0; 2)$, bán kính $R = 3$

Ví dụ nâng cao 4: Bài toán cực trị

Đề: Tìm giá trị nhỏ nhất của $|z – 1| + |z + 1|$ với $z \in \mathbb{C}$

Lời giải:

Đặt $A(-1)$ và $B(1)$ trong mặt phẳng phức.

Biểu thức $|z – 1| + |z + 1| = |z – B| + |z – A| = MA + MB$

Theo bất đẳng thức tam giác: $MA + MB \geq AB = 2$

Đẳng thức xảy ra khi $M$ nằm trên đoạn $AB$, tức $z \in [-1; 1]$

Đáp án: Giá trị nhỏ nhất là $2$

Ví dụ nâng cao 5: Phương trình phức tạp

Đề: Giải phương trình $z^4 = -16$

Lời giải:

Bước 1: Viết $-16$ dạng lượng giác $-16 = 16(\cos\pi + i\sin\pi)$

Bước 2: Áp dụng công thức căn bậc 4 $z_k = \sqrt[4]{16}\left[\cos\frac{\pi + 2k\pi}{4} + i\sin\frac{\pi + 2k\pi}{4}\right], \quad k = 0,1,2,3$

$z_k = 2\left[\cos\frac{(2k+1)\pi}{4} + i\sin\frac{(2k+1)\pi}{4}\right]$

k = 0: $z_0 = 2\left(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\right) = 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}i\right) = \sqrt{2}(1 + i)$

k = 1: $z_1 = 2\left(\cos\frac{3\pi}{4} + i\sin\frac{3\pi}{4}\right) = \sqrt{2}(-1 + i)$

k = 2: $z_2 = 2\left(\cos\frac{5\pi}{4} + i\sin\frac{5\pi}{4}\right) = \sqrt{2}(-1 – i)$

k = 3: $z_3 = 2\left(\cos\frac{7\pi}{4} + i\sin\frac{7\pi}{4}\right) = \sqrt{2}(1 – i)$

Đáp án: $z \in {\sqrt{2}(1+i), \sqrt{2}(-1+i), \sqrt{2}(-1-i), \sqrt{2}(1-i)}$

CÂU HỎI THƯỜNG GẶP (FAQ)

Q1: Tại sao $i^2 = -1$ mà không phải $i = \sqrt{-1}$?

A: Thực ra cả hai cách viết đều đúng, nhưng $i^2 = -1$ chính xác hơn vì:

• $\sqrt{-1}$ có 2 giá trị: $i$ và $-i$
• Ta quy ước chọn $i$ là nghiệm chính
• Viết $i^2 = -1$ rõ ràng hơn và tránh nhầm lẫn

Q2: Khi nào dùng dạng đại số, khi nào dùng dạng lượng giác?

A:

• Dạng đại số ($a + bi$): Cho cộng, trừ
• Dạng lượng giác ($r\text{cis}\theta$): Cho nhân, chia, lũy thừa
• Nguyên tắc: Chọn dạng làm bài toán đơn giản nhất

Q3: Làm sao nhớ công thức chia số phức?

A: Nhớ một câu: “Nhân với liên hợp của mẫu”

$\frac{a+bi}{c+di} = \frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} = \frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}$

Mẫu luôn trở thành số thực $c^2 + d^2$

Q4: Số phức có thể so sánh lớn nhỏ không?

A: KHÔNG! Số phức không có thứ tự.

Không thể nói $3 + 4i > 2 + 5i$ hay ngược lại.

Chỉ có thể so sánh modun: $|3 + 4i| = 5$ và $|2 + 5i| = \sqrt{29}$

Q5: Tại sao phương trình bậc 2 luôn có nghiệm trong $\mathbb{C}$?

A: Vì trong $\mathbb{C}$, mọi số đều có căn bậc hai!

Ví dụ: $\sqrt{-4} = 2i$ (tồn tại trong $\mathbb{C}$)

Nên $\Delta < 0$ không còn là vấn đề!

Q6: Số phức có ứng dụng thực tế không hay chỉ là lý thuyết?

A: Có RẤT NHIỀU ứng dụng thực tế:

• Mọi thiết bị điện tử (điện thoại, máy tính) đều dùng số phức
• Sóng WiFi, 4G/5G được phân tích bằng số phức
• Thiết kế máy bay, ô tô dùng số phức
• AI và machine learning dùng số phức

Không có số phức = không có công nghệ hiện đại!

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa