I. GIỚI THIỆU VỀ SÓNG DỪNG

1. Sóng dừng là gì?

Định nghĩa: Sóng dừng là sóng được hình thành do sự giao thoa (chồng chất) giữa sóng tới và sóng phản xạ truyền ngược chiều nhau trên cùng một phương truyền.

Đặc điểm của sóng dừng:

Không truyền đi: Khác với sóng truyền thông thường, sóng dừng không lan truyền năng lượng theo phương ngang mà “đứng yên” tại chỗ.

Biên độ dao động không đều:

• Các điểm khác nhau trên dây dao động với biên độ khác nhau
• Có những điểm đứng yên hoàn toàn (nút sóng)
• Có những điểm dao động với biên độ cực đại (bụng sóng)

Nút sóng: Là những điểm luôn đứng yên, không dao động (biên độ dao động = 0).

Bụng sóng: Là những điểm dao động với biên độ cực đại (biên độ = 2A, với A là biên độ sóng tới).

Hình dạng đặc trưng: Sóng dừng có hình dạng như các “bụng” và “nút” xen kẽ đều đặn trên dây.

2. Cách tạo sóng dừng

Phương pháp 1: Dây căng hai đầu cố định

• Gắn chặt hai đầu dây vào hai điểm cố định
• Kích thích dao động ở một điểm trên dây
• Sóng phản xạ tại hai đầu cố định → tạo sóng dừng

Phương pháp 2: Dây căng một đầu cố định, một đầu tự do

• Một đầu gắn cố định, đầu kia để tự do (hoặc gắn với vòng nhẹ)
• Sóng phản xạ tại đầu cố định và đầu tự do → tạo sóng dừng

Phương pháp 3: Sóng âm trong ống

• Ống sáo, kèn: cột không khí dao động
• Hai đầu đóng/hở tạo điều kiện phản xạ sóng âm

3. Các khái niệm cơ bản

Mối liên hệ cơ bản: $$v = \lambda f = \frac{\lambda}{T}$$

II. ĐIỀU KIỆN CÓ SÓNG DỪNG

1. Dây có hai đầu cố định

Đặc điểm:

• Hai đầu dây được giữ cố định (gắn chặt)
• Hai đầu dây là nút sóng (không dao động)
• Giữa hai đầu có các bụng sóng

Điều kiện để có sóng dừng:

Chiều dài dây phải bằng số nguyên lần nửa bước sóng:

$$\boxed{L = k \cdot \frac{\lambda}{2} \quad (k \in \mathbb{N}^*, k = 1, 2, 3, …)}$$

Hoặc viết dưới dạng:

$$\boxed{\lambda = \frac{2L}{k}}$$

Trong đó:

• $L$: chiều dài dây (m)
• $\lambda$: bước sóng (m)
• $k$: số bụng sóng = số bó sóng (k là số nguyên dương)

Số nút và số bụng:

• Số nút sóng: $n = k + 1$
• Số bụng sóng: $k$

Các trường hợp cụ thể:

Trường hợp k = 1 (1 bụng sóng): $$L = \frac{\lambda}{2}$$

• 2 nút (ở hai đầu)
• 1 bụng (ở giữa)
• Dạng sóng đơn giản nhất

Trường hợp k = 2 (2 bụng sóng): $$L = \lambda$$

• 3 nút
• 2 bụng
• Dây dài bằng đúng 1 bước sóng

Trường hợp k = 3 (3 bụng sóng): $$L = \frac{3\lambda}{2}$$

• 4 nút
• 3 bụng

Quy luật chung: Mỗi khi tăng k thêm 1, số bụng tăng 1, số nút tăng 1.

2. Dây có một đầu cố định, một đầu tự do

Đặc điểm:

• Một đầu giữ cố định → nút sóng
• Một đầu để tự do (hoặc gắn vòng nhẹ) → bụng sóng
• Luôn có số nút = số bụng

Điều kiện để có sóng dừng:

Chiều dài dây phải bằng số lẻ lần một phần tư bước sóng:

$$\boxed{L = (2k + 1) \cdot \frac{\lambda}{4} \quad (k = 0, 1, 2, 3, …)}$$

Hoặc viết dưới dạng:

$$\boxed{\lambda = \frac{4L}{2k + 1}}$$

Lưu ý: k bắt đầu từ 0 (khác với trường hợp hai đầu cố định).

Số nút và số bụng:

• Số nút sóng: $k + 1$
• Số bụng sóng: $k + 1$

Các trường hợp cụ thể:

Trường hợp k = 0 (1 nút, 1 bụng): $$L = \frac{\lambda}{4}$$

• 1 nút (đầu cố định)
• 1 bụng (đầu tự do)
• Trường hợp đơn giản nhất

Trường hợp k = 1 (2 nút, 2 bụng): $$L = \frac{3\lambda}{4}$$

• 2 nút
• 2 bụng

Trường hợp k = 2 (3 nút, 3 bụng): $$L = \frac{5\lambda}{4}$$

• 3 nút
• 3 bụng

3. So sánh hai trường hợp

Cách nhớ:

• Hai đầu cố định: Chia cho 2 → $\frac{\lambda}{2}$
• Một đầu tự do: Chia cho 4 → $\frac{\lambda}{4}$, và có hệ số lẻ $(2k+1)$

III. CÔNG THỨC TẦN SỐ SÓNG DỪNG

1. Công thức cơ bản – Mối liên hệ v, f, λ

Công thức sóng cơ bản:

$$\boxed{v = \lambda f}$$

Suy ra:

$$f = \frac{v}{\lambda} \quad \text{và} \quad \lambda = \frac{v}{f}$$

Trong đó:

• $v$: vận tốc truyền sóng (m/s)
• $\lambda$: bước sóng (m)
• $f$: tần số (Hz)

Ý nghĩa: Tần số tỉ lệ thuận với vận tốc, tỉ lệ nghịch với bước sóng.

2. Tần số sóng dừng – Dây hai đầu cố định

Công thức tần số:

Thay $\lambda = \frac{2L}{k}$ vào $f = \frac{v}{\lambda}$:

$$\boxed{f_k = \frac{kv}{2L} \quad (k = 1, 2, 3, …)}$$

Trong đó:

• $f_k$: tần số ứng với k bụng sóng (Hz)
• $k$: số bụng sóng
• $v$: vận tốc sóng (m/s)
• $L$: chiều dài dây (m)

Các tần số đặc biệt:

Công thức tổng quát:

$$\boxed{f_k = k \cdot f_1}$$

Ý nghĩa: Các tần số của sóng dừng là các bội số nguyên của tần số cơ bản.

Dãy họa âm: $f_1, 2f_1, 3f_1, 4f_1, 5f_1, …$ (tất cả các bội số nguyên)

3. Tần số sóng dừng – Dây một đầu tự do

Công thức tần số:

Thay $\lambda = \frac{4L}{2k+1}$ vào $f = \frac{v}{\lambda}$:

$$\boxed{f_k = \frac{(2k+1)v}{4L} \quad (k = 0, 1, 2, …)}$$

Lưu ý: k bắt đầu từ 0.

Các tần số đặc biệt:

Công thức tổng quát:

$$\boxed{f_k = (2k+1) \cdot f_0}$$

Đặc điểm quan trọng: Chỉ có các họa âm bậc lẻ (1, 3, 5, 7, 9, …), không có họa âm bậc chẵn.

Dãy họa âm: $f_0, 3f_0, 5f_0, 7f_0, 9f_0, …$ (chỉ các bội số lẻ)

4. So sánh hai trường hợp

Nhận xét: Tần số cơ bản của dây một đầu tự do nhỏ hơn 2 lần so với dây hai đầu cố định cùng chiều dài.

IV. PHƯƠNG TRÌNH SÓNG DỪNG

1. Phương trình sóng dừng tổng quát

Sóng dừng là tổng hợp của sóng tới và sóng phản xạ:

Sóng tới: $u_1 = A\cos(2\pi ft – \frac{2\pi x}{\lambda})$

Sóng phản xạ: $u_2 = A\cos(2\pi ft + \frac{2\pi x}{\lambda})$

Tổng hợp (sóng dừng):

$$\boxed{u = 2A\cos\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right)\cos(2\pi ft)}$$

Hoặc viết với tần số góc $\omega = 2\pi f$:

$$u = 2A\cos\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right)\cos(\omega t)$$

Trong đó:

• $u$: li độ dao động tại điểm cách đầu cố định một khoảng $x$
• $A$: biên độ sóng tới (cũng là biên độ sóng phản xạ)
• $x$: khoảng cách từ điểm khảo sát đến đầu cố định (m)
• $\lambda$: bước sóng (m)
• $f$: tần số (Hz)
• $t$: thời gian (s)

Đặc điểm:

• Phương trình tách thành tích hai hàm: một phụ thuộc vị trí $\cos\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right)$, một phụ thuộc thời gian $\cos(2\pi ft)$
• Mỗi điểm dao động điều hòa với tần số $f$ và biên độ phụ thuộc vào vị trí $x$

2. Biên độ dao động tại điểm M

Biên độ dao động của điểm cách đầu cố định một khoảng x:

$$\boxed{A_M = 2A\left|\cos\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right)\right|}$$

Trong đó:

• $A_M$: biên độ dao động tại điểm M
• $A$: biên độ sóng tới
• $x$: khoảng cách từ M đến đầu cố định

Phân tích:

• Biên độ $A_M$ phụ thuộc vào vị trí $x$
• Biên độ cực đại: $A_{max} = 2A$ (tại bụng sóng)
• Biên độ cực tiểu: $A_{min} = 0$ (tại nút sóng)

3. Vị trí nút sóng và bụng sóng

Vị trí nút sóng (biên độ = 0):

Điều kiện: $\cos\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right) = 0$

$$\frac{2\pi x}{\lambda} = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k = 0, 1, 2, …)$$

$$\boxed{x = (2k+1)\frac{\lambda}{4} \quad (k = 0, 1, 2, …)}$$

Các nút đầu tiên:

• Nút 1: $x = \frac{\lambda}{4}$ (k = 0)
• Nút 2: $x = \frac{3\lambda}{4}$ (k = 1)
• Nút 3: $x = \frac{5\lambda}{4}$ (k = 2)

Lưu ý: Nếu đầu dây cố định ở $x = 0$, thì đó cũng là một nút sóng.

Vị trí bụng sóng (biên độ max = 2A):

Điều kiện: $\left|\cos\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right)\right| = 1$

$$\frac{2\pi x}{\lambda} = k\pi \quad (k = 0, 1, 2, …)$$

$$\boxed{x = k\frac{\lambda}{2} \quad (k = 0, 1, 2, …)}$$

Các bụng đầu tiên:

• Bụng 1: $x = 0$ (k = 0, nếu đầu tự do)
• Bụng 2: $x = \frac{\lambda}{2}$ (k = 1)
• Bụng 3: $x = \lambda$ (k = 2)

4. Khoảng cách giữa các nút và bụng

Khoảng cách giữa 2 nút liên tiếp: $$\Delta x_{nút} = \frac{\lambda}{2}$$

Khoảng cách giữa 2 bụng liên tiếp: $$\Delta x_{bụng} = \frac{\lambda}{2}$$

Khoảng cách giữa nút và bụng liên tiếp: $$\Delta x_{nút-bụng} = \frac{\lambda}{4}$$

Tổng quát: Trên một bước sóng $\lambda$, có:

• 2 nút sóng
• 2 bụng sóng
• Khoảng cách giữa 2 nút (hoặc 2 bụng) liên tiếp là $\frac{\lambda}{2}$

V. BẢNG CÔNG THỨC TỔNG HỢP

A. Điều kiện sóng dừng

B. Tần số sóng dừng

C. Phương trình và biên độ sóng dừng

D. Khoảng cách giữa nút và bụng

VI. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Mẹo nhớ công thức

Mẹo 1: Nhớ số 2 và 4

Hai đầu cố định: Chia cho 2 $$L = k\frac{\lambda}{2}$$

Một đầu tự do: Chia cho 4, có hệ số lẻ $$L = (2k+1)\frac{\lambda}{4}$$

Cách nhớ: “Hai cố định chia 2, một tự do chia 4”

Mẹo 2: Tần số cơ bản

✅ Hai đầu cố định: $$f_1 = \frac{v}{2L}$$

✅ Một đầu tự do: $$f_0 = \frac{v}{4L}$$

Mối liên hệ: $f_1 = 2f_0$ (tần số hai đầu gấp đôi một đầu)

Mẹo 3: Dãy họa âm

Hai đầu cố định: Họa âm có TẤT CẢ các bội số $$f_k = k \cdot f_1 \quad (k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, …)$$

Dãy: $f_1, 2f_1, 3f_1, 4f_1, 5f_1, …$

Một đầu tự do: Họa âm chỉ có bội số LẺ $$f_k = (2k+1) \cdot f_0 \quad (k = 0, 1, 2, 3, …)$$

Dãy: $f_0, 3f_0, 5f_0, 7f_0, 9f_0, …$

Cách nhớ: “Hai đầu đủ cả, một đầu chỉ lẻ”

Mẹo 4: Khoảng cách

Khoảng cách 2 nút (hoặc 2 bụng): $\frac{\lambda}{2}$

Khoảng cách nút-bụng: $\frac{\lambda}{4}$ (bằng một nửa)

2. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Nhầm điều kiện hai đầu cố định và một đầu tự do

Sai: Dùng $L = k\frac{\lambda}{2}$ cho dây một đầu tự do ❌

Đúng:

• Hai đầu cố định: $L = k\frac{\lambda}{2}$
• Một đầu tự do: $L = (2k+1)\frac{\lambda}{4}$ ✓

❌ SAI LẦM 2: Quên k bắt đầu từ 0 hay 1

Sai: Dùng k = 1 cho trường hợp một đầu tự do khi tính tần số cơ bản ❌

Đúng:

• Hai đầu cố định: k = 1, 2, 3, … (bắt đầu từ 1)
• Một đầu tự do: k = 0, 1, 2, … (bắt đầu từ 0) ✓

❌ SAI LẦM 3: Nhầm khoảng cách giữa nút và bụng

Sai: Khoảng cách nút-bụng = $\frac{\lambda}{2}$ ❌

Đúng: Khoảng cách nút-bụng = $\frac{\lambda}{4}$ ✓

❌ SAI LẦM 4: Quên điều kiện $v = \lambda f$

Sai: Tính tần số mà không dùng mối liên hệ với vận tốc ❌

Đúng: Luôn nhớ $v = \lambda f$ để liên hệ giữa ba đại lượng ✓

3. Quy trình giải bài tập nhanh (3 BƯỚC)

Bước 1: Xác định loại dây

• Đọc kỹ đề xác định: hai đầu cố định hay một đầu tự do?

Bước 2: Áp dụng điều kiện tương ứng

• Hai đầu cố định: $L = k\frac{\lambda}{2}$ và $f_k = \frac{kv}{2L}$
• Một đầu tự do: $L = (2k+1)\frac{\lambda}{4}$ và $f_k = \frac{(2k+1)v}{4L}$

Bước 3: Sử dụng $v = \lambda f$ để tìm đại lượng còn thiếu

• Biết 2 trong 3 đại lượng $v, \lambda, f$ → tính đại lượng còn lại

VII. BÀI TẬP MẪU

Bài tập 1: Tính bước sóng (Hai đầu cố định)

Đề bài: Một sợi dây dài $L = 1.2$ m được căng ngang với hai đầu cố định. Trên dây có sóng dừng với 4 bụng sóng. Tính bước sóng.

Lời giải:

Bước 1: Xác định loại dây

• Hai đầu cố định → áp dụng $L = k\frac{\lambda}{2}$

Bước 2: Xác định k

• k = 4 (số bụng sóng)

Bước 3: Tính bước sóng $$L = k\frac{\lambda}{2}$$ $$1.2 = 4 \times \frac{\lambda}{2}$$ $$\lambda = \frac{1.2 \times 2}{4} = \frac{2.4}{4} = 0.6 \text{ m}$$

Đáp số: Bước sóng $\lambda = 0.6$ m

Bài tập 2: Tính tần số cơ bản

Đề bài: Dây đàn dài 0.8 m, vận tốc sóng trên dây là 40 m/s, hai đầu cố định. Tính tần số cơ bản của dây.

Lời giải:

Bước 1: Xác định loại dây

• Hai đầu cố định → tần số cơ bản $f_1 = \frac{v}{2L}$

Bước 2: Thay số $$f_1 = \frac{v}{2L} = \frac{40}{2 \times 0.8} = \frac{40}{1.6} = 25 \text{ Hz}$$

Đáp số: Tần số cơ bản $f_1 = 25$ Hz

Bài tập 3: Dây một đầu tự do

Đề bài: Một sợi dây dài 0.6 m có một đầu cố định, một đầu tự do. Trên dây có sóng dừng với 2 bụng sóng. Tính bước sóng.

Lời giải:

Bước 1: Xác định k

• 2 bụng sóng ứng với k = 1 (vì công thức là k + 1 bụng)

Bước 2: Áp dụng công thức $$L = (2k+1)\frac{\lambda}{4} = (2 \times 1 + 1)\frac{\lambda}{4} = \frac{3\lambda}{4}$$

Bước 3: Giải $$0.6 = \frac{3\lambda}{4}$$ $$\lambda = \frac{0.6 \times 4}{3} = \frac{2.4}{3} = 0.8 \text{ m}$$

Đáp số: Bước sóng $\lambda = 0.8$ m

Bài tập 4: Đếm số bụng sóng

Đề bài: Dây dài 1.5 m, bước sóng 0.6 m, hai đầu cố định. Hỏi trên dây có bao nhiêu bụng sóng?

Lời giải:

$$L = k\frac{\lambda}{2}$$ $$k = \frac{2L}{\lambda} = \frac{2 \times 1.5}{0.6} = \frac{3}{0.6} = 5$$

Đáp số: Có 5 bụng sóng

Bài tập 5: Tính họa âm

Đề bài: Một dây đàn có tần số cơ bản 50 Hz, hai đầu cố định. Tính họa âm bậc 3 của dây.

Lời giải:

Áp dụng công thức họa âm: $$f_3 = 3f_1 = 3 \times 50 = 150 \text{ Hz}$$

Đáp số: Họa âm bậc 3 là $f_3 = 150$ Hz

Bài tập 6: Vị trí nút sóng

Đề bài: Sóng dừng trên dây có bước sóng $\lambda = 0.8$ m. Tính vị trí 3 nút sóng đầu tiên, kể từ đầu cố định.

Lời giải:

Nút 1 (đầu cố định): $$x_1 = 0$$

Nút 2: $$x_2 = \frac{\lambda}{2} = \frac{0.8}{2} = 0.4 \text{ m}$$

Nút 3: $$x_3 = \lambda = 0.8 \text{ m}$$

Đáp số: Ba nút đầu tiên ở vị trí: 0 m, 0.4 m, 0.8 m

VIII. ỨNG DỤNG THỰC TẾ

1. Nhạc cụ dây (Đàn guitar, đàn piano)

Nguyên lý: Dây đàn được căng với hai đầu cố định, khi gảy tạo sóng dừng.

Cách thay đổi âm thanh:

• Thay đổi chiều dài dây: Ấn phím trên đàn guitar → giảm chiều dài hiệu dụng L → tăng tần số $f = \frac{v}{2L}$ → âm cao hơn
• Thay đổi độ căng dây: Căng dây chặt hơn → tăng vận tốc v → tăng tần số f
• Thay đổi khối lượng dây: Dây mỏng → nhẹ → vận tốc lớn → âm cao

Âm sắc: Mỗi nhạc cụ có âm sắc đặc trưng do sự kết hợp khác nhau giữa âm cơ bản và các họa âm.

2. Nhạc cụ hơi (Sáo, kèn)

Nguyên lý: Cột không khí trong ống dao động, tạo sóng âm dừng.

Hai loại ống:

• Ống hở hai đầu: Tương tự dây hai đầu cố định, có tất cả các họa âm
• Ống kín một đầu: Tương tự dây một đầu tự do, chỉ có họa âm bậc lẻ

Cách thay đổi âm thanh:

• Đóng/mở các lỗ trên sáo → thay đổi chiều dài cột khí hiệu dụng → thay đổi tần số
• Thổi mạnh hơn → tạo họa âm cao hơn

3. Đo vận tốc sóng

Phương pháp:

1. Tạo sóng dừng trên dây với tần số f đã biết
2. Đo khoảng cách giữa hai nút (hoặc hai bụng) liên tiếp → tính $\lambda = 2d$
3. Tính vận tốc: $v = \lambda f$

Ưu điểm: Phương pháp đơn giản, chính xác để đo vận tốc sóng trên dây hoặc trong môi trường.

4. Hiện tượng cộng hưởng

Định nghĩa: Khi tần số kích thích trùng với tần số riêng của hệ, biên độ dao động tăng mạnh.

Ví dụ:

• Đàn piano: Khi hát gần piano với tần số trùng tần số riêng của dây → dây dao động
• Cầu, nhà cao tầng: Nếu tần số gió, động đất trùng tần số riêng → dao động mạnh, nguy hiểm
• Ống xả ô tô: Thiết kế để tránh cộng hưởng với động cơ

IX. KẾT LUẬN

Tổng kết

Bài viết đã trình bày đầy đủ và chi tiết các công thức sóng dừng trong chương trình Vật lý lớp 12:

Điều kiện sóng dừng:

• Hai đầu cố định: $L = k\frac{\lambda}{2}$ (k = 1, 2, 3, …)
• Một đầu tự do: $L = (2k+1)\frac{\lambda}{4}$ (k = 0, 1, 2, …)

Tần số sóng dừng:

• Hai đầu cố định: $f_k = \frac{kv}{2L}$, $f_1 = \frac{v}{2L}$
• Một đầu tự do: $f_k = \frac{(2k+1)v}{4L}$, $f_0 = \frac{v}{4L}$

Phương trình sóng dừng: $$u = 2A\cos\left(\frac{2\pi x}{\lambda}\right)\cos(2\pi ft)$$

Khoảng cách:

• Giữa 2 nút: $\frac{\lambda}{2}$
• Giữa nút-bụng: $\frac{\lambda}{4}$

Nguyên lý cơ bản cần nắm vững

Nguyên lý 1: Sóng dừng = sóng tới + sóng phản xạ

• Giao thoa của hai sóng ngược chiều tạo nên sóng dừng

Nguyên lý 2: Khoảng cách đặc trưng

• Khoảng cách 2 nút (hoặc 2 bụng) liên tiếp = $\frac{\lambda}{2}$
• Khoảng cách nút-bụng = $\frac{\lambda}{4}$

Nguyên lý 3: Họa âm

• Hai đầu cố định: có tất cả các họa âm (1, 2, 3, 4, …)
• Một đầu tự do: chỉ có họa âm lẻ (1, 3, 5, 7, …)

Lời khuyên học tập

📌 Phân biệt rõ hai loại dây: Hai đầu cố định vs một đầu tự do

📌 Nhớ k bắt đầu từ đâu: k = 1 (hai đầu) hay k = 0 (một đầu)

📌 Công thức liên hệ: $v = \lambda f$ (luôn đúng)

📌 Họa âm: Hai đầu có đủ (1,2,3,…), một đầu chỉ lẻ (1,3,5,…)

📌 Khoảng cách: Nhớ $\frac{\lambda}{2}$ (nút-nút) và $\frac{\lambda}{4}$ (nút-bụng)

Cô Trần Thị Bình

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Lý – Hóa – Sinh tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Vật lý, Hoá Học, Bằng Thạc sĩ, Chức danh nghề nghiệp Giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Gia Định