I. GIỚI THIỆU VỀ TÍCH CÓ HƯỚNG

1. Tích có hướng là gì?

Định nghĩa: Tích có hướng (còn gọi là tích vector hay tích ngoài) là một phép toán giữa hai vectơ trong không gian ba chiều cho kết quả là một vectơ mới (không phải số thực).

Ký hiệu:

• $\vec{a} \times \vec{b}$ (phổ biến nhất, dùng dấu nhân chéo)
• $[\vec{a}, \vec{b}]$ (ký hiệu dấu ngoặc vuông)
• Trong tiếng Anh: cross product, vector product

Cách đọc:

• “a tích có hướng b”
• “tích vector của a và b”
• “a cross b” (theo tiếng Anh)

Đặc điểm quan trọng nhất:

• Là phép toán giữa hai vectơ
• Cho kết quả là một vectơ mới (khác hoàn toàn với tích vô hướng)
• Chỉ tồn tại trong không gian 3 chiều (không có trong mặt phẳng 2D)
• Vectơ kết quả vuông góc với cả hai vectơ ban đầu

2. Phân biệt tích vô hướng và tích có hướng

Cách phân biệt nhanh:

• Tích vô hướng (dot product) → Kết quả là số → Dùng cos
• Tích có hướng (cross product) → Kết quả là vectơ → Dùng sin

LƯU Ý CỰC KỲ QUAN TRỌNG: Tích có hướng chỉ có nghĩa trong không gian 3 chiều. Không tồn tại tích có hướng trong mặt phẳng 2D. Đây là điểm khác biệt lớn so với tích vô hướng (có cả 2D và 3D).

II. ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC

1. Định nghĩa hình học

Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ trong không gian ba chiều, tích có hướng $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ là một vectơ được xác định bởi ba yếu tố:

a) Hướng của vectơ kết quả:

Tính chất vuông góc: Vectơ $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$ vuông góc với cả hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$.

$$\vec{c} \perp \vec{a} \text{ và } \vec{c} \perp \vec{b}$$

Quy tắc bàn tay phải: Để xác định hướng của $\vec{c}$:

1. Đặt bốn ngón tay phải (trừ ngón cái) dọc theo $\vec{a}$
2. Khép bốn ngón lại sao cho chúng quay từ $\vec{a}$ sang $\vec{b}$ (theo góc nhỏ hơn)
3. Ngón cái choãi ra chỉ hướng của $\vec{c}$

Minh họa quy tắc bàn tay phải:

      ↑ c = a × b
      │
      │    b
      │   ↗
      │  ↗ 
      │ ↗
      └────────→ a

b) Độ dài của vectơ kết quả:

Độ dài (module) của tích có hướng được tính theo công thức:

$$\boxed{|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \sin(\vec{a}, \vec{b})}$$

Trong đó:

• $|\vec{a}|$, $|\vec{b}|$: độ dài hai vectơ
• $(\vec{a}, \vec{b})$ hoặc $\alpha$: góc giữa hai vectơ (từ 0° đến 180°)
• $\sin(\vec{a}, \vec{b})$: sin của góc giữa hai vectơ

Ý nghĩa hình học quan trọng:

$$|\vec{a} \times \vec{b}| = \text{Diện tích hình bình hành tạo bởi } \vec{a} \text{ và } \vec{b}$$

Đây là ý nghĩa hình học cực kỳ quan trọng của tích có hướng!

So sánh với tích vô hướng:

• Tích vô hướng: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\alpha$ (dùng cos)
• Tích có hướng: $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin\alpha$ (dùng sin)

2. Minh họa với vectơ đơn vị

Trong không gian Oxyz, ba vectơ đơn vị $\vec{i}$, $\vec{j}$, $\vec{k}$ có các tích có hướng đặc biệt:

Chu trình thuận: $$\vec{i} \times \vec{j} = \vec{k}$$ $$\vec{j} \times \vec{k} = \vec{i}$$ $$\vec{k} \times \vec{i} = \vec{j}$$

Mẹo nhớ: i → j → k → i (theo vòng tròn thuận chiều kim đồng hồ)

Chu trình nghịch: $$\vec{j} \times \vec{i} = -\vec{k}$$ $$\vec{k} \times \vec{j} = -\vec{i}$$ $$\vec{i} \times \vec{k} = -\vec{j}$$

Tích với chính nó: $$\vec{i} \times \vec{i} = \vec{0}$$ $$\vec{j} \times \vec{j} = \vec{0}$$ $$\vec{k} \times \vec{k} = \vec{0}$$

Ví dụ kiểm tra:

• $\vec{i} = (1; 0; 0)$, $\vec{j} = (0; 1; 0)$
• $\vec{i} \times \vec{j} = (0; 0; 1) = \vec{k}$ ✓
• $\vec{j} \times \vec{i} = (0; 0; -1) = -\vec{k}$ ✓

III. CÔNG THỨC TỌA ĐỘ TÍCH CÓ HƯỚNG

1. Công thức tổng quát dạng định thức

Cho hai vectơ trong không gian:

• $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$
• $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$

Tích có hướng được biểu diễn dưới dạng định thức:

$$\boxed{\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \end{vmatrix}}$$

2. Khai triển định thức – Công thức chi tiết

Cách 1: Khai triển theo hàng đầu tiên

$$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{i} \begin{vmatrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \end{vmatrix} – \vec{j} \begin{vmatrix} x_1 & z_1 \\ x_2 & z_2 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix}$$

Cách 2: Viết dưới dạng tọa độ

$$\boxed{\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{vmatrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \end{vmatrix}; -\begin{vmatrix} x_1 & z_1 \\ x_2 & z_2 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix} \right)}$$

Cách 3: Công thức đầy đủ (QUAN TRỌNG NHẤT)

$$\boxed{\vec{a} \times \vec{b} = (y_1z_2 – z_1y_2; , z_1x_2 – x_1z_2; , x_1y_2 – y_1x_2)}$$

Hoặc viết tách riêng từng thành phần:

• Thành phần x: $y_1z_2 – z_1y_2$
• Thành phần y: $z_1x_2 – x_1z_2$
• Thành phần z: $x_1y_2 – y_1x_2$

3. Mẹo nhớ công thức (CỰC KỲ QUAN TRỌNG)

Quy tắc “Bỏ – Đổi – Bỏ”:

Thành phần x: BỎ cột x, lấy định thức của (y, z) $$x = \begin{vmatrix} y_1 & z_1 \\ y_2 & z_2 \end{vmatrix} = y_1z_2 – y_2z_1 = y_1z_2 – z_1y_2$$

Thành phần y: BỎ cột y, lấy định thức của (x, z), rồi ĐỔI DẤU $$y = -\begin{vmatrix} x_1 & z_1 \\ x_2 & z_2 \end{vmatrix} = -(x_1z_2 – x_2z_1) = z_1x_2 – x_1z_2$$

Thành phần z: BỎ cột z, lấy định thức của (x, y) $$z = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 \\ x_2 & y_2 \end{vmatrix} = x_1y_2 – x_2y_1 = x_1y_2 – y_1x_2$$

⚠️ LƯU Ý SIÊU QUAN TRỌNG: Chỉ có thành phần y là đổi dấu! Đây là sai lầm phổ biến nhất khi tính tích có hướng.

Cách nhớ khác: “y nằm giữa nên đặc biệt, phải đổi dấu”

4. Ví dụ chi tiết từng bước

Bài toán: Tính $\vec{a} \times \vec{b}$ với $\vec{a} = (1; 2; 3)$ và $\vec{b} = (4; 5; 6)$

Lời giải:

Phương pháp 1: Dùng công thức trực tiếp

$$\vec{a} \times \vec{b} = (y_1z_2 – z_1y_2; , z_1x_2 – x_1z_2; , x_1y_2 – y_1x_2)$$

Thay số:

• Thành phần x: $y_1z_2 – z_1y_2 = 2(6) – 3(5) = 12 – 15 = -3$
• Thành phần y: $z_1x_2 – x_1z_2 = 3(4) – 1(6) = 12 – 6 = 6$
• Thành phần z: $x_1y_2 – y_1x_2 = 1(5) – 2(4) = 5 – 8 = -3$

$$\vec{a} \times \vec{b} = (-3; 6; -3)$$

Phương pháp 2: Dùng định thức 2×2

$$\vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 6 \end{vmatrix}; -\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} \right)$$

Tính từng định thức:

• Thành phần x: $(2)(6) – (3)(5) = 12 – 15 = -3$
• Thành phần y: $-[(1)(6) – (3)(4)] = -(6 – 12) = -(-6) = 6$
• Thành phần z: $(1)(5) – (2)(4) = 5 – 8 = -3$

$$\vec{a} \times \vec{b} = (-3; 6; -3)$$

Kiểm tra kết quả:

Kiểm tra vuông góc với $\vec{a}$: $$\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = (1)(-3) + (2)(6) + (3)(-3)$$ $$= -3 + 12 – 9 = 0$$ ✓

Kiểm tra vuông góc với $\vec{b}$: $$\vec{b} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = (4)(-3) + (5)(6) + (6)(-3)$$ $$= -12 + 30 – 18 = 0$$ ✓

Vậy $\vec{a} \times \vec{b}$ thực sự vuông góc với cả $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ✓

Rút gọn kết quả: $$\vec{a} \times \vec{b} = (-3; 6; -3) = -3(1; -2; 1)$$

IV. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH CÓ HƯỚNG

1. Các tính chất cơ bản

Bảng tổng hợp:

Chứng minh tính phản giao hoán:

Từ quy tắc bàn tay phải, khi đổi thứ tự hai vectơ, hướng của kết quả sẽ ngược lại, do đó: $$\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$$

Ví dụ kiểm tra: Với $\vec{a} = (1; 2; 3)$, $\vec{b} = (4; 5; 6)$:

• $\vec{a} \times \vec{b} = (-3; 6; -3)$
• $\vec{b} \times \vec{a} = (3; -6; 3) = -(-3; 6; -3)$ ✓

Lưu ý: Tích có hướng KHÔNG có tính chất giao hoán và KHÔNG có tính chất kết hợp:

• $\vec{a} \times \vec{b} \neq \vec{b} \times \vec{a}$ (không giao hoán)
• $\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) \neq (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}$ (không kết hợp)

2. Điều kiện cùng phương

Định lý: Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương khi và chỉ khi:

$$\boxed{\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}}$$

Giải thích: Nếu hai vectơ cùng phương (song song), góc giữa chúng là 0° hoặc 180°, do đó $\sin\alpha = 0$, suy ra $|\vec{a} \times \vec{b}| = 0$.

Ví dụ: Cho $\vec{a} = (2; 4; 6)$ và $\vec{b} = (1; 2; 3)$

Ta thấy $\vec{a} = 2\vec{b}$ nên hai vectơ cùng phương.

Kiểm tra: $$\vec{a} \times \vec{b} = (4 \cdot 3 – 6 \cdot 2; 6 \cdot 1 – 2 \cdot 3; 2 \cdot 2 – 4 \cdot 1)$$ $$= (12 – 12; 6 – 6; 4 – 4) = (0; 0; 0) = \vec{0}$$ ✓

Ứng dụng: Kiểm tra ba điểm thẳng hàng – nếu $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \vec{0}$ thì A, B, C thẳng hàng.

3. So sánh độ lớn với tích độ dài

Bất đẳng thức:

$$\boxed{|\vec{a} \times \vec{b}| \leq |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$

Chứng minh: Từ $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin\alpha$ và $|\sin\alpha| \leq 1$

Dấu bằng xảy ra khi $\sin\alpha = 1$, tức là $\alpha = 90°$ (hai vectơ vuông góc).

So sánh với tích vô hướng:

• Tích vô hướng: $|\vec{a} \cdot \vec{b}| \leq |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$ (dấu = khi cùng phương)
• Tích có hướng: $|\vec{a} \times \vec{b}| \leq |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$ (dấu = khi vuông góc)

V. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH CÓ HƯỚNG

1. Tính diện tích hình bình hành

Công thức:

Hình bình hành ABCD với hai cạnh kề $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$ có diện tích:

$$\boxed{S_{ABCD} = |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}|}$$

Ví dụ: Hình bình hành ABCD có:

• $A(1; 0; 0)$
• $B(2; 1; 0)$
• $D(1; 1; 1)$

Tính diện tích.

Lời giải:

Bước 1: Tính các vectơ cạnh: $$\overrightarrow{AB} = (2-1; 1-0; 0-0) = (1; 1; 0)$$ $$\overrightarrow{AD} = (1-1; 1-0; 1-0) = (0; 1; 1)$$

Bước 2: Tính tích có hướng: $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD} = \left(\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}; -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}\right)$$

$$= (1 – 0; -(1 – 0); 1 – 0) = (1; -1; 1)$$

Bước 3: Tính độ dài: $$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AD}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$$

Kết luận: Diện tích hình bình hành là $\sqrt{3}$ đơn vị diện tích.

2. Tính diện tích tam giác

Công thức:

Tam giác ABC có diện tích:

$$\boxed{S_{ABC} = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|}$$

Lưu ý: Phải chia cho 2 vì diện tích tam giác bằng một nửa diện tích hình bình hành.

Ví dụ: Tam giác ABC có:

• $A(1; 0; 0)$
• $B(0; 1; 0)$
• $C(0; 0; 1)$

Tính diện tích.

Lời giải:

Bước 1: Tính vectơ: $$\overrightarrow{AB} = (-1; 1; 0)$$ $$\overrightarrow{AC} = (-1; 0; 1)$$

Bước 2: Tính tích có hướng: $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (1 – 0; -(-1 – 0); 0 – (-1))$$ $$= (1; 1; 1)$$

Bước 3: Tính độ dài: $$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$$

Bước 4: Tính diện tích: $$S = \frac{1}{2} \times \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Kết luận: Diện tích tam giác là $\frac{\sqrt{3}}{2}$ đơn vị diện tích.

3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

Định lý: Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C có vectơ pháp tuyến:

$$\boxed{\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}}$$

Ứng dụng: Sau khi tìm được VTPT, ta có thể viết phương trình mặt phẳng.

Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm:

• $A(1; 0; 0)$
• $B(0; 1; 0)$
• $C(0; 0; 1)$

Lời giải:

Bước 1: Tính vectơ: $$\overrightarrow{AB} = (-1; 1; 0)$$ $$\overrightarrow{AC} = (-1; 0; 1)$$

Bước 2: Tính VTPT: $$\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (1; 1; 1)$$

Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng qua A có VTPT $\vec{n} = (1; 1; 1)$: $$1(x – 1) + 1(y – 0) + 1(z – 0) = 0$$ $$x – 1 + y + z = 0$$ $$x + y + z – 1 = 0$$

Kết luận: Phương trình mặt phẳng là $x + y + z – 1 = 0$.

4. Kiểm tra ba điểm thẳng hàng

Định lý: Ba điểm A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi:

$$\boxed{\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \vec{0}}$$

Ví dụ: Kiểm tra ba điểm có thẳng hàng không:

• $A(1; 0; 0)$
• $B(2; 1; 1)$
• $C(3; 2; 2)$

Lời giải:

Tính vectơ: $$\overrightarrow{AB} = (1; 1; 1)$$ $$\overrightarrow{AC} = (2; 2; 2)$$

Nhận xét: $\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}$ → cùng phương

Kiểm tra: $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (1 \cdot 2 – 1 \cdot 2; 1 \cdot 2 – 1 \cdot 2; 1 \cdot 2 – 1 \cdot 2)$$ $$= (0; 0; 0) = \vec{0}$$

Kết luận: Ba điểm A, B, C thẳng hàng ✓

5. Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Công thức:

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng AB:

$$\boxed{d(M, AB) = \frac{|\overrightarrow{AM} \times \overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{AB}|}}$$

Ví dụ: Tính khoảng cách từ $M(1; 1; 1)$ đến đường thẳng AB với:

• $A(0; 0; 0)$
• $B(1; 0; 0)$

Lời giải:

Bước 1: Tính vectơ: $$\overrightarrow{AM} = (1; 1; 1)$$ $$\overrightarrow{AB} = (1; 0; 0)$$

Bước 2: Tính tích có hướng: $$\overrightarrow{AM} \times \overrightarrow{AB} = (0 – 0; 0 – 1; 0 – 1) = (0; -1; -1)$$

Bước 3: Tính độ dài: $$|\overrightarrow{AM} \times \overrightarrow{AB}| = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$$ $$|\overrightarrow{AB}| = 1$$

Bước 4: Tính khoảng cách: $$d = \frac{\sqrt{2}}{1} = \sqrt{2}$$

Kết luận: Khoảng cách là $\sqrt{2}$ đơn vị độ dài.

6. Ứng dụng trong vật lý: Mô men lực

Định nghĩa: Mô men lực (torque) của lực $\vec{F}$ đối với trục quay đi qua điểm O:

$$\boxed{\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}}$$

Trong đó:

• $\vec{r}$: vectơ vị trí từ trục quay O đến điểm đặt lực
• $\vec{F}$: lực tác dụng
• $\vec{M}$: mô men lực (vectơ vuông góc với mặt phẳng chứa $\vec{r}$ và $\vec{F}$)

Độ lớn mô men: $$|\vec{M}| = |\vec{r}| \cdot |\vec{F}| \cdot \sin\alpha = F \cdot d$$

với $d = |\vec{r}| \sin\alpha$ là cánh tay đòn.

Ví dụ: Lực $\vec{F} = (0; 10; 0)$ N tác dụng tại điểm có vectơ vị trí $\vec{r} = (2; 0; 0)$ m. Tính mô men lực đối với gốc O.

Lời giải: $$\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} = (0; 0; 20)$$ N·m

Độ lớn: $|\vec{M}| = 20$ N·m

VI. TÍCH HỖN TẠP (Mở rộng)

1. Định nghĩa tích hỗn tạp

Định nghĩa: Tích hỗn tạp (scalar triple product) của ba vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ là một số thực, được định nghĩa:

$$\boxed{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})}$$

Ý nghĩa: Kết hợp tích có hướng và tích vô hướng.

2. Công thức tọa độ

Cho $\vec{a} = (x_1; y_1; z_1)$, $\vec{b} = (x_2; y_2; z_2)$, $\vec{c} = (x_3; y_3; z_3)$:

$$\boxed{[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{vmatrix}}$$

Cách tính định thức 3×3 (Quy tắc Sarrus):

Khai triển theo hàng đầu: $$\begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ x_3 & y_3 & z_3 \end{vmatrix} = x_1\begin{vmatrix} y_2 & z_2 \\ y_3 & z_3 \end{vmatrix} – y_1\begin{vmatrix} x_2 & z_2 \\ x_3 & z_3 \end{vmatrix} + z_1\begin{vmatrix} x_2 & y_2 \\ x_3 & y_3 \end{vmatrix}$$

3. Ứng dụng: Tính thể tích

Thể tích khối hộp:

Khối hộp được tạo bởi ba vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ có thể tích:

$$\boxed{V_{\text{khối hộp}} = |[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]|}$$

Thể tích tứ diện:

Tứ diện ABCD có thể tích:

$$\boxed{V_{ABCD} = \frac{1}{6}|[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}]|}$$

Lưu ý: Phải chia cho 6!

Ví dụ: Tính thể tích tứ diện với:

• $A(0; 0; 0)$
• $B(1; 0; 0)$
• $C(0; 1; 0)$
• $D(0; 0; 1)$

Lời giải:

Tính tích hỗn tạp: $$[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}] = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$$

Thể tích: $$V = \frac{1}{6} \times |1| = \frac{1}{6}$$

4. Điều kiện đồng phẳng

Định lý: Bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng khi và chỉ khi:

$$\boxed{[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}] = 0}$$

VII. BẢNG CÔNG THỨC TÓM TẮT

A. Công thức tính tích có hướng

B. Ứng dụng tính diện tích, thể tích

C. Tính chất

VIII. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Mẹo tính nhanh tích có hướng

✅ Quy tắc “Bỏ – Đổi – Bỏ”:

Bước 1: Thành phần x – BỎ cột x, tính định thức (y, z): $$x = y_1z_2 – z_1y_2$$

Bước 2: Thành phần y – BỎ cột y, tính định thức (x, z), ĐỔI DẤU: $$y = z_1x_2 – x_1z_2$$

Bước 3: Thành phần z – BỎ cột z, tính định thức (x, y): $$z = x_1y_2 – y_1x_2$$

✅ Chu trình vectơ đơn vị (i → j → k → i):

• Thuận: $\vec{i} \times \vec{j} = \vec{k}$, $\vec{j} \times \vec{k} = \vec{i}$, $\vec{k} \times \vec{i} = \vec{j}$
• Nghịch: $\vec{j} \times \vec{i} = -\vec{k}$, $\vec{k} \times \vec{j} = -\vec{i}$, $\vec{i} \times \vec{k} = -\vec{j}$

2. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Quên đổi dấu thành phần y

Sai: $$\vec{a} \times \vec{b} = (y_1z_2-z_1y_2; , x_1z_2-z_1x_2; , x_1y_2-y_1x_2)$$ ❌

Đúng: $$\vec{a} \times \vec{b} = (y_1z_2-z_1y_2; , z_1x_2-x_1z_2; , x_1y_2-y_1x_2)$$ ✓

Chú ý: Thành phần y phải là $z_1x_2 – x_1z_2$ (không phải $x_1z_2 – z_1x_2$)

❌ SAI LẦM 2: Nhầm kết quả là số thực

Sai: Tích có hướng cho kết quả là số thực ❌

Đúng: Tích có hướng cho kết quả là vectơ ✓

❌ SAI LẦM 3: Quên chia 2 khi tính diện tích tam giác

Sai: $$S_{ABC} = |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$$ ❌

Đúng: $$S_{ABC} = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$$ ✓

❌ SAI LẦM 4: Quên chia 6 khi tính thể tích tứ diện

Sai: $$V = |[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}]|$$ ❌

Đúng: $$V = \frac{1}{6}|[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}]|$$ ✓

❌ SAI LẦM 5: Tính tích có hướng trong mặt phẳng 2D

Sai: Tính $\vec{a} \times \vec{b}$ với $\vec{a} = (x_1; y_1)$, $\vec{b} = (x_2; y_2)$ ❌

Đúng: Tích có hướng chỉ tồn tại trong không gian 3D ✓

3. Kiểm tra kết quả

Kiểm tra vuông góc với $\vec{a}$: $$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$$

Kiểm tra vuông góc với $\vec{b}$: $$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{b} = 0$$

Kiểm tra phản giao hoán: $$\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$$

Module phải không âm: $$|\vec{a} \times \vec{b}| \geq 0$$

IX. BÀI TẬP MẪU

Bài 1: Tính tích có hướng cơ bản

Đề bài: Tính $\vec{a} \times \vec{b}$ với $\vec{a} = (2; -1; 3)$ và $\vec{b} = (1; 2; -1)$

Lời giải:

Áp dụng công thức: $$\vec{a} \times \vec{b} = (y_1z_2 – z_1y_2; , z_1x_2 – x_1z_2; , x_1y_2 – y_1x_2)$$

Thay số:

• Thành phần x: $(-1)(-1) – (3)(2) = 1 – 6 = -5$
• Thành phần y: $(3)(1) – (2)(-1) = 3 + 2 = 5$
• Thành phần z: $(2)(2) – (-1)(1) = 4 + 1 = 5$

Kết luận: $\vec{a} \times \vec{b} = (-5; 5; 5)$

Kiểm tra:

• $\vec{a} \cdot (\vec{a} \times \vec{b}) = 2(-5) + (-1)(5) + 3(5) = -10 – 5 + 15 = 0$ ✓

Bài 2: Tính diện tích tam giác

Đề bài: Tính diện tích tam giác ABC với $A(1; 2; 3)$, $B(2; 0; 1)$, $C(0; 1; 2)$

Lời giải:

Bước 1: Tính vectơ:

• $\overrightarrow{AB} = (1; -2; -2)$
• $\overrightarrow{AC} = (-1; -1; -1)$

Bước 2: Tính tích có hướng: $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = ((-2)(-1) – (-2)(-1); , (-2)(-1) – (1)(-1); , (1)(-1) – (-2)(-1))$$ $$= (2 – 2; 2 + 1; -1 – 2) = (0; 3; -3)$$

Bước 3: Tính độ dài: $$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{0^2 + 3^2 + (-3)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$

Bước 4: Tính diện tích: $$S = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$

Kết luận: Diện tích tam giác là $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ đơn vị diện tích.

Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng

Đề bài: Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm $A(1; 1; 1)$, $B(2; 0; 1)$, $C(1; 2; 0)$

Lời giải:

Bước 1: Tính vectơ:

• $\overrightarrow{AB} = (1; -1; 0)$
• $\overrightarrow{AC} = (0; 1; -1)$

Bước 2: Tìm VTPT: $$\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = ((-1)(-1) – (0)(1); , (0)(0) – (1)(-1); , (1)(1) – (-1)(0))$$ $$= (1; 1; 1)$$

Bước 3: Viết phương trình qua A(1; 1; 1) với VTPT $(1; 1; 1)$: $$1(x – 1) + 1(y – 1) + 1(z – 1) = 0$$ $$x + y + z – 3 = 0$$

Kết luận: Phương trình mặt phẳng là $x + y + z – 3 = 0$

Bài 4: Kiểm tra ba điểm thẳng hàng

Đề bài: Kiểm tra ba điểm $A(1; 0; 0)$, $B(2; 1; 1)$, $C(3; 2; 2)$ có thẳng hàng không?

Lời giải:

Bước 1: Tính vectơ:

• $\overrightarrow{AB} = (1; 1; 1)$
• $\overrightarrow{AC} = (2; 2; 2)$

Bước 2: Nhận xét: $$\overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AB}$$

Hai vectơ cùng phương → Ba điểm thẳng hàng

Bước 3: Kiểm tra bằng tích có hướng: $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (1 \cdot 2 – 1 \cdot 2; , 1 \cdot 2 – 1 \cdot 2; , 1 \cdot 2 – 1 \cdot 2)$$ $$= (0; 0; 0) = \vec{0}$$

Kết luận: Ba điểm A, B, C thẳng hàng ✓

Bài 5: Tính thể tích tứ diện

Đề bài: Tính thể tích tứ diện ABCD với $A(0; 0; 0)$, $B(2; 0; 0)$, $C(0; 3; 0)$, $D(0; 0; 4)$

Lời giải:

Bước 1: Tính vectơ:

• $\overrightarrow{AB} = (2; 0; 0)$
• $\overrightarrow{AC} = (0; 3; 0)$
• $\overrightarrow{AD} = (0; 0; 4)$

Bước 2: Tính tích hỗn tạp: $$[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}] = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} = 2 \times 3 \times 4 = 24$$

Bước 3: Tính thể tích: $$V = \frac{1}{6} \times |24| = \frac{24}{6} = 4$$

Kết luận: Thể tích tứ diện là 4 đơn vị thể tích.

X. KẾT LUẬN

Bài viết đã hệ thống hóa đầy đủ kiến thức về tích có hướng:

Định nghĩa và tính chất hình học:

• Tích có hướng của hai vectơ cho kết quả là vectơ mới
• Vectơ kết quả vuông góc với cả hai vectơ ban đầu
• Hướng theo quy tắc bàn tay phải
• Độ dài bằng diện tích hình bình hành

Công thức tọa độ – trọng tâm chính: $$\vec{a} \times \vec{b} = (y_1z_2 – z_1y_2; , z_1x_2 – x_1z_2; , x_1y_2 – y_1x_2)$$

Mẹo nhớ “Bỏ – Đổi – Bỏ”:

• Bỏ cột x → định thức (y, z)
• Bỏ cột y → định thức (x, z) đổi dấu
• Bỏ cột z → định thức (x, y)

Ứng dụng quan trọng:

• Tính diện tích tam giác: $S = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$
• Tìm vectơ pháp tuyến: $\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$
• Tính thể tích tứ diện: $V = \frac{1}{6}|[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}]|$

Bài tập mẫu: 5 dạng bài điển hình với lời giải chi tiết

Công thức QUAN TRỌNG NHẤT phải nhớ

$$\boxed{\vec{a} \times \vec{b} = (y_1z_2 – z_1y_2; , z_1x_2 – x_1z_2; , x_1y_2 – y_1x_2)}$$

⚠️ LUÔN NHỚ: Chỉ có thành phần y đổi dấu!

Hai ứng dụng QUAN TRỌNG NHẤT

1. Tính diện tích tam giác: $$S_{ABC} = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|$$

2. Tìm vectơ pháp tuyến mặt phẳng: $$\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$$

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa