I. GIỚI THIỆU VỀ HỆ SỐ GÓC

1. Hệ số góc là gì?

Định nghĩa: Hệ số góc (ký hiệu là $k$ hoặc $a$) của đường thẳng là số đo độ dốc của đường thẳng đó trong hệ tọa độ Oxy.

Ký hiệu phổ biến:

• $k$: Ký hiệu thông dụng nhất
• $a$: Được sử dụng trong một số tài liệu
• Trong bài viết này, ta sử dụng ký hiệu $k$

Ý nghĩa: Hệ số góc cho biết đường thẳng đi lên hay đi xuống khi ta di chuyển từ trái sang phải trên đồ thị, và mức độ dốc như thế nào.

Đặc điểm:

• Hệ số góc là một số thực (có thể dương, âm hoặc bằng 0)
• Mỗi đường thẳng không thẳng đứng có một hệ số góc xác định
• Đường thẳng thẳng đứng (song song Oy) không có hệ số góc

2. Ý nghĩa hình học

Phân loại theo dấu của hệ số góc:

Khi $k > 0$ (dương):

• Đường thẳng đi lên khi đi từ trái sang phải
• Hướng: ↗ (đông bắc)
• Ví dụ: $y = 2x + 1$ có $k = 2 > 0$

Khi $k < 0$ (âm):

• Đường thẳng đi xuống khi đi từ trái sang phải
• Hướng: ↘ (đông nam)
• Ví dụ: $y = -3x + 2$ có $k = -3 < 0$

Khi $k = 0$:

• Đường thẳng nằm ngang, song song với trục Ox
• Hướng: → (đông)
• Ví dụ: $y = 5$ có $k = 0$

Khi $k$ không tồn tại:

• Đường thẳng thẳng đứng, song song với trục Oy
• Hướng: ↑ (bắc)
• Ví dụ: $x = 3$ (không có hệ số góc)

Mức độ dốc:

• $|k|$ càng lớn → đường thẳng càng dốc (gần với trục Oy)
• $|k|$ càng nhỏ → đường thẳng càng thoải (gần với trục Ox)

II. CÔNG THỨC TÍNH HỆ SỐ GÓC

1. Công thức từ phương trình đường thẳng

📌 A. Phương trình dạng $y = kx + b$

Đây là dạng phương trình chuẩn của đường thẳng.

Hệ số góc: $k$ chính là hệ số của $x$

Các ví dụ:

Ví dụ 1:

• Phương trình: $y = 2x + 3$
• Hệ số góc: $k = 2$

Ví dụ 2:

• Phương trình: $y = -\frac{1}{2}x + 1$
• Hệ số góc: $k = -\frac{1}{2}$

Ví dụ 3:

• Phương trình: $y = 5$
• Viết lại: $y = 0 \cdot x + 5$
• Hệ số góc: $k = 0$ (đường nằm ngang)

Ví dụ 4:

• Phương trình: $y = x – 4$
• Hệ số góc: $k = 1$ (hệ số của $x$ là 1)

📌 B. Phương trình dạng tổng quát $ax + by + c = 0$

Công thức:

$$\boxed{k = -\frac{a}{b}} \quad \text{(với } b \neq 0\text{)}$$

Chú ý: Có dấu trừ trước phân số!

Cách nhớ: “Trừ a chia b”

Chứng minh:

Từ phương trình: $ax + by + c = 0$ (với $b \neq 0$)

Biến đổi: $$by = -ax – c$$ $$y = -\frac{a}{b}x – \frac{c}{b}$$

So sánh với dạng $y = kx + b’$: $$k = -\frac{a}{b}$$

Các ví dụ:

Ví dụ 5: Tìm hệ số góc của $2x + 3y – 6 = 0$

Lời giải:

• $a = 2$, $b = 3$
• $k = -\frac{a}{b} = -\frac{2}{3}$

Ví dụ 6: Tìm hệ số góc của $x – y + 5 = 0$

Lời giải:

• $a = 1$, $b = -1$
• $k = -\frac{1}{-1} = 1$

Ví dụ 7: Tìm hệ số góc của $3x + 4 = 0$

Lời giải:

• Viết lại: $3x + 0y + 4 = 0$
• $b = 0$ → Không có hệ số góc
• Đây là đường thẳng thẳng đứng $x = -\frac{4}{3}$

Ví dụ 8: Tìm hệ số góc của $5y – 10 = 0$

Lời giải:

• Viết lại: $0x + 5y – 10 = 0$
• $a = 0$, $b = 5$
• $k = -\frac{0}{5} = 0$
• Đây là đường nằm ngang $y = 2$

2. Công thức từ hai điểm

Bài toán: Cho hai điểm phân biệt $A(x_1; y_1)$ và $B(x_2; y_2)$ với $x_1 \neq x_2$. Tìm hệ số góc của đường thẳng AB.

Công thức:

$$\boxed{k = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{\Delta y}{\Delta x}}$$

Tên gọi khác:

• “Độ tăng trên độ dời”
• “Tỉ số giữa hiệu tung độ và hiệu hoành độ”

Ý nghĩa:

• $\Delta y = y_2 – y_1$: Độ thay đổi theo phương thẳng đứng
• $\Delta x = x_2 – x_1$: Độ thay đổi theo phương ngang
• $k$ cho biết khi di chuyển 1 đơn vị sang phải thì lên (hoặc xuống) bao nhiêu đơn vị

Ví dụ 9: Tìm hệ số góc của đường thẳng qua $A(1; 2)$ và $B(3; 8)$

Lời giải:

Cách 1: Dùng công thức trực tiếp $$k = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{8 – 2}{3 – 1} = \frac{6}{2} = 3$$

Cách 2: Tính từng bước

• Hiệu tung độ: $\Delta y = 8 – 2 = 6$
• Hiệu hoành độ: $\Delta x = 3 – 1 = 2$
• Hệ số góc: $k = \frac{6}{2} = 3$

Kết luận: $k = 3$ (đường thẳng đi lên khá dốc)

Ví dụ 10: Tìm $k$ của đường thẳng qua $C(-2; 5)$ và $D(4; -1)$

Lời giải: $$k = \frac{-1 – 5}{4 – (-2)} = \frac{-6}{6} = -1$$

Kết luận: $k = -1$ (đường thẳng đi xuống, góc 135° với Ox)

Lưu ý quan trọng:

Trường hợp đặc biệt: Nếu $x_1 = x_2$ (hai điểm có cùng hoành độ):

• Đường thẳng AB thẳng đứng, song song với trục Oy
• Không có hệ số góc
• Phương trình: $x = x_1$

Thứ tự điểm: Công thức đúng với thứ tự điểm bất kỳ: $$\frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{y_1 – y_2}{x_1 – x_2}$$

3. Công thức từ góc tạo với trục Ox

Định nghĩa: Góc $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng với chiều dương của trục Ox, đo theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ).

Công thức:

$$\boxed{k = \tan \alpha}$$

Điều kiện: $\alpha \neq 90°$

Phân tích theo góc:

Trường hợp 1: $0° < \alpha < 90°$ (góc nhọn)

• $\tan \alpha > 0$ → $k > 0$
• Đường thẳng đi lên

Trường hợp 2: $\alpha = 90°$ (góc vuông)

• $\tan 90°$ không xác định
• Đường thẳng thẳng đứng, không có hệ số góc

Trường hợp 3: $90° < \alpha < 180°$ (góc tù)

• $\tan \alpha < 0$ → $k < 0$
• Đường thẳng đi xuống

Trường hợp 4: $\alpha = 0°$ hoặc $\alpha = 180°$

• $\tan \alpha = 0$ → $k = 0$
• Đường thẳng nằm ngang

Các ví dụ với góc đặc biệt:

Ví dụ 11: $\alpha = 45°$ $$k = \tan 45° = 1$$

Ví dụ 12: $\alpha = 60°$ $$k = \tan 60° = \sqrt{3} \approx 1.732$$

Ví dụ 13: $\alpha = 30°$ $$k = \tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577$$

Ví dụ 14: $\alpha = 135°$ $$k = \tan 135° = -1$$

Ví dụ 15: $\alpha = 120°$ $$k = \tan 120° = -\sqrt{3} \approx -1.732$$

Bài toán ngược: Tìm góc khi biết hệ số góc

Nếu biết $k$, tính góc $\alpha$: $$\alpha = \arctan(k)$$

Ví dụ 16: Đường thẳng có $k = 1$. Tính góc $\alpha$? $$\alpha = \arctan(1) = 45°$$

4. Công thức từ vectơ chỉ phương

Định nghĩa: Vectơ chỉ phương của đường thẳng là vectơ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đó.

Công thức: Nếu đường thẳng có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b)$ với $a \neq 0$:

$$\boxed{k = \frac{b}{a}}$$

Giải thích:

• Khi di chuyển $a$ đơn vị theo phương Ox
• Thì di chuyển $b$ đơn vị theo phương Oy
• Tỉ số $\frac{b}{a}$ chính là hệ số góc

Ví dụ 17: Đường thẳng có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (2; 3)$

Lời giải: $$k = \frac{b}{a} = \frac{3}{2}$$

Ví dụ 18: $\vec{u} = (4; -6)$

Lời giải: $$k = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$$

Ví dụ 19: $\vec{u} = (-1; 2)$

Lời giải: $$k = \frac{2}{-1} = -2$$

Lưu ý:

• Nếu $a = 0$ và $b \neq 0$: $\vec{u} = (0; b)$ → Đường thẳng thẳng đứng, không có hệ số góc
• Nếu $a \neq 0$ và $b = 0$: $\vec{u} = (a; 0)$ → Đường nằm ngang, $k = 0$

III. BẢNG CÔNG THỨC TỔNG HỢP

Công thức tính hệ số góc

Dấu của hệ số góc

Mối quan hệ giữa $|k|$ và độ dốc

IV. ỨNG DỤNG CỦA HỆ SỐ GÓC

1. Viết phương trình đường thẳng

Bài toán: Viết phương trình đường thẳng biết hệ số góc $k$ và một điểm $M(x_0; y_0)$.

Công thức:

$$\boxed{y – y_0 = k(x – x_0)}$$

Sau đó khai triển để được dạng $y = kx + b$

Ví dụ 20: Viết phương trình đường thẳng qua điểm $M(2; 3)$ có hệ số góc $k = 2$

Lời giải:

Bước 1: Áp dụng công thức $$y – 3 = 2(x – 2)$$

Bước 2: Khai triển $$y – 3 = 2x – 4$$ $$y = 2x – 1$$

Kết luận: Phương trình cần tìm: $y = 2x – 1$

Ví dụ 21: Viết PT đường thẳng qua $A(-1; 4)$ có $k = -\frac{1}{2}$

Lời giải: $$y – 4 = -\frac{1}{2}(x – (-1))$$ $$y – 4 = -\frac{1}{2}(x + 1)$$ $$y – 4 = -\frac{1}{2}x – \frac{1}{2}$$ $$y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$$

2. Xét vị trí tương đối hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng:

• $(d_1): y = k_1x + b_1$
• $(d_2): y = k_2x + b_2$

📌 Song song ($d_1 // d_2$):

$$\boxed{d_1 // d_2 \Leftrightarrow \begin{cases} k_1 = k_2 \\ b_1 \neq b_2 \end{cases}}$$

Ví dụ:

• $y = 2x + 3$ và $y = 2x – 1$
• Cùng hệ số góc $k = 2$, khác tung độ gốc → Song song ✓

📌 Trùng nhau ($d_1 \equiv d_2$):

$$\boxed{d_1 \equiv d_2 \Leftrightarrow \begin{cases} k_1 = k_2 \\ b_1 = b_2 \end{cases}}$$

Ví dụ:

• $y = 3x + 1$ và $y = 3x + 1$
• Cùng hệ số góc và cùng tung độ gốc → Trùng nhau ✓

📌 Cắt nhau ($d_1 \cap d_2$):

$$\boxed{d_1 \cap d_2 \Leftrightarrow k_1 \neq k_2}$$

Ví dụ:

• $y = 2x + 1$ và $y = 3x – 2$
• Khác hệ số góc ($2 \neq 3$) → Cắt nhau ✓

📌 Vuông góc ($d_1 \perp d_2$):

$$\boxed{d_1 \perp d_2 \Leftrightarrow k_1 \cdot k_2 = -1}$$

Hoặc: $$k_2 = -\frac{1}{k_1}$$

Ví dụ 22:

• $y = 2x + 1$ và $y = -\frac{1}{2}x + 3$
• Kiểm tra: $k_1 \cdot k_2 = 2 \times (-\frac{1}{2}) = -1$ ✓
• Vậy hai đường thẳng vuông góc

Ví dụ 23:

• $y = 3x – 2$ và $y = -\frac{1}{3}x + 5$
• Kiểm tra: $3 \times (-\frac{1}{3}) = -1$ ✓
• Vuông góc

3. Tính góc giữa hai đường thẳng

Công thức: Góc $\alpha$ giữa hai đường thẳng có hệ số góc $k_1$ và $k_2$:

$$\boxed{\tan \alpha = \left|\frac{k_1 – k_2}{1 + k_1k_2}\right|}$$

Điều kiện: $k_1k_2 \neq -1$ (hai đường không vuông góc)

Chú ý: Nếu $k_1k_2 = -1$ thì hai đường vuông góc, $\alpha = 90°$

Ví dụ 24: Tính góc giữa $y = x + 1$ (có $k_1 = 1$) và $y = 2x – 3$ (có $k_2 = 2$)

Lời giải:

$$\tan \alpha = \left|\frac{1 – 2}{1 + 1 \times 2}\right| = \left|\frac{-1}{3}\right| = \frac{1}{3}$$

$$\alpha = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) \approx 18.43°$$

4. Ứng dụng thực tế

a) Kinh tế:

Hàm cầu (Demand function): $$Q = k \cdot P + b$$

Trong đó:

• $Q$: Lượng cầu
• $P$: Giá
• $k$: Hệ số góc (thường $k < 0$)

Ý nghĩa: Khi giá tăng thì lượng cầu giảm.

Ví dụ: $Q = -2P + 100$

• Hệ số góc $k = -2$
• Khi giá tăng 1 đơn vị, cầu giảm 2 đơn vị

b) Vật lý:

Chuyển động thẳng đều: $$s = vt + s_0$$

Trong đó:

• $s$: Quãng đường
• $t$: Thời gian
• $v$: Vận tốc
• $s_0$: Quãng đường ban đầu

Ý nghĩa: Hệ số góc $k = v$ (vận tốc)

Ví dụ: Đồ thị $s = 20t + 10$

• Vận tốc $v = 20$ m/s
• Sau mỗi giây, vật đi được thêm 20m

c) Xây dựng:

Độ dốc của mái nhà, đường dốc: $$k = \frac{\text{độ cao}}{\text{độ dài ngang}}$$

Ví dụ: Mái nhà cao 3m, chiều ngang 4m $$k = \frac{3}{4} = 0.75$$

Góc nghiêng: $$\alpha = \arctan(0.75) \approx 36.87°$$

V. CÁCH TÍNH HỆ SỐ GÓC THEO TỪNG TRƯỜNG HỢP

Trường hợp 1: Cho phương trình

Phương pháp: Đưa phương trình về dạng $y = kx + b$, sau đó xác định hệ số $k$.

Ví dụ 25: Tìm hệ số góc của $3x – 2y + 6 = 0$

Lời giải:

Bước 1: Biến đổi về dạng $y = kx + b$ $$-2y = -3x – 6$$ $$y = \frac{3}{2}x + 3$$

Bước 2: Xác định hệ số góc $$k = \frac{3}{2}$$

Cách nhanh: Dùng công thức $$k = -\frac{a}{b} = -\frac{3}{-2} = \frac{3}{2}$$

Ví dụ 26: Tìm $k$ của $5x + 3y – 15 = 0$

Lời giải: $$k = -\frac{a}{b} = -\frac{5}{3}$$

Trường hợp 2: Cho hai điểm

Phương pháp: Áp dụng công thức $k = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}$

Ví dụ 27: Tìm hệ số góc của đường thẳng qua $A(1; 3)$ và $B(4; 9)$

Lời giải:

Bước 1: Tính hiệu tung độ $$\Delta y = y_2 – y_1 = 9 – 3 = 6$$

Bước 2: Tính hiệu hoành độ $$\Delta x = x_2 – x_1 = 4 – 1 = 3$$

Bước 3: Tính hệ số góc $$k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{6}{3} = 2$$

Kết luận: $k = 2$

Ví dụ 28: $C(-3; 7)$ và $D(5; -1)$

Lời giải: $$k = \frac{-1 – 7}{5 – (-3)} = \frac{-8}{8} = -1$$

Trường hợp 3: Cho góc $\alpha$

Phương pháp: Tính $k = \tan \alpha$ bằng máy tính hoặc bảng giá trị lượng giác.

Ví dụ 29: Đường thẳng tạo góc $\alpha = 30°$ với trục Ox. Tính $k$?

Lời giải:

Bước 1: Xác định góc $\alpha = 30°$

Bước 2: Tính tan $$k = \tan 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577$$

Bước 3: Chú ý dấu

• $0° < 30° < 90°$ → $k > 0$ ✓

Kết luận: $k = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ví dụ 30: $\alpha = 150°$

Lời giải: $$k = \tan 150° = \tan(180° – 30°) = -\tan 30° = -\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Trường hợp 4: Biết song song hoặc vuông góc

A. Song song với đường thẳng cho trước

Nguyên tắc: Hai đường song song có cùng hệ số góc.

Nếu $(d)$ song song với $(d’): y = k_0x + b_0$ thì: $$k = k_0$$

Ví dụ 31: Đường thẳng song song với $y = 3x + 2$. Tìm hệ số góc.

Lời giải:

• Đường cho có $k_0 = 3$
• Đường song song có $k = 3$

B. Vuông góc với đường thẳng cho trước

Nguyên tắc: Hai đường vuông góc có tích hệ số góc bằng $-1$.

Nếu $(d)$ vuông góc với $(d’): y = k_0x + b_0$ thì: $$k \cdot k_0 = -1$$ $$k = -\frac{1}{k_0}$$

Ví dụ 32: Đường thẳng vuông góc với $y = 2x + 1$. Tìm $k$.

Lời giải:

• Đường cho có $k_0 = 2$
• Đường vuông góc có: $$k = -\frac{1}{k_0} = -\frac{1}{2}$$

Ví dụ 33: Vuông góc với $y = -\frac{3}{4}x + 5$

Lời giải:

• $k_0 = -\frac{3}{4}$
• $k = -\frac{1}{-3/4} = \frac{4}{3}$

VI. MẸO VÀ LƯU Ý

1. Mẹo nhớ công thức

Mẹo 1: Công thức từ hai điểm

“Hiệu tung trên hiệu hoành” hoặc “Lên xuống trên trái phải”

$$k = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{\text{lên/xuống}}{\text{trái/phải}}$$

Hình dung: Khi đi từ điểm thứ nhất đến điểm thứ hai:

• Đi lên/xuống bao nhiêu? → Tử số
• Đi trái/phải bao nhiêu? → Mẫu số

Mẹo 2: Điều kiện vuông góc

“Tích bằng âm một”

$$k_1 \cdot k_2 = -1$$

Hoặc nhớ: “Nghịch đảo đối” $$k_2 = -\frac{1}{k_1}$$

Ví dụ:

• $k_1 = 2$ → $k_2 = -\frac{1}{2}$
• $k_1 = -3$ → $k_2 = \frac{1}{3}$

Mẹo 3: Nhận biết dấu của $k$ từ đồ thị

Nhìn đồ thị:

• Đường lên (↗) → $k > 0$
• Đường xuống (↘) → $k < 0$
• Đường ngang (→) → $k = 0$
• Đường đứng (↑) → Không có $k$

2. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Nhầm thứ tự trong công thức hai điểm

Sai: $$k = \frac{x_2 – x_1}{y_2 – y_1}$$ ❌

Đúng: $$k = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}$$ ✓

Cách nhớ: Tung độ (y) ở trên, hoành độ (x) ở dưới.

❌ SAI LẦM 2: Quên dấu trừ khi tính từ phương trình tổng quát

Sai: Từ $ax + by + c = 0$ → $k = \frac{a}{b}$ ❌

Đúng: $$k = -\frac{a}{b}$$ ✓

Nhấn mạnh: Có dấu TRỪFRỪ trước phân số!

❌ SAI LẦM 3: Nhầm công thức góc

Sai: $$k = \sin \alpha$$ ❌

Đúng: $$k = \tan \alpha$$ ✓

❌ SAI LẦM 4: Nhầm điều kiện vuông góc

Sai: $k_1 + k_2 = -1$ ❌

Đúng: $k_1 \cdot k_2 = -1$ ✓ (tích, không phải tổng!)

3. Kiểm tra kết quả

Cách 1: Vẽ đồ thị sơ bộ

Vẽ nhanh để xem đường đi lên hay đi xuống, kiểm tra dấu của $k$ có phù hợp không.

Cách 2: Kiểm tra bằng điểm

Thay tọa độ các điểm đã cho vào phương trình để xem có thỏa mãn không.

Cách 3: Kiểm tra điều kiện

• Song song: $k_1 = k_2$, $b_1 \neq b_2$
• Vuông góc: $k_1 \cdot k_2 = -1$

VII. BÀI TẬP MẪU

Bài 1: Tìm $k$ từ phương trình

Đề bài: Tìm hệ số góc của đường thẳng có phương trình $2x – 3y + 6 = 0$

Lời giải:

Phương pháp 1: Biến đổi về dạng $y = kx + b$ $$-3y = -2x – 6$$ $$y = \frac{2}{3}x + 2$$ $$\Rightarrow k = \frac{2}{3}$$

Phương pháp 2: Dùng công thức $$k = -\frac{a}{b} = -\frac{2}{-3} = \frac{2}{3}$$

Đáp án: $k = \frac{2}{3}$

Bài 2: Tìm $k$ từ hai điểm

Đề bài: Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua $A(2; 5)$ và $B(6; 13)$

Lời giải:

Áp dụng công thức: $$k = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{13 – 5}{6 – 2} = \frac{8}{4} = 2$$

Đáp án: $k = 2$

Bài 3: Viết phương trình biết $k$

Đề bài: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(1; 3)$ và có hệ số góc $k = -2$

Lời giải:

Áp dụng công thức điểm – hệ số góc: $$y – y_0 = k(x – x_0)$$ $$y – 3 = -2(x – 1)$$ $$y – 3 = -2x + 2$$ $$y = -2x + 5$$

Đáp án: $y = -2x + 5$

Bài 4: Xét tính song song

Đề bài: Tìm $m$ để đường thẳng $(d): y = (2m-1)x + 3$ song song với đường thẳng $(d’): y = 3x – 2$

Lời giải:

Để hai đường song song: $$k_d = k_{d’} \text{ và } b_d \neq b_{d’}$$

• Hệ số góc của $(d’)$: $k_{d’} = 3$
• Hệ số góc của $(d)$: $k_d = 2m – 1$

Điều kiện song song: $$2m – 1 = 3$$ $$2m = 4$$ $$m = 2$$

Kiểm tra: Khi $m = 2$:

• $(d): y = 3x + 3$
• $(d’): y = 3x – 2$
• $k_d = k_{d’} = 3$ và $b_d = 3 \neq -2 = b_{d’}$ ✓

Đáp án: $m = 2$

Bài 5: Xét tính vuông góc

Đề bài: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm $A(1; 2)$ và vuông góc với đường thẳng $y = 2x + 1$

Lời giải:

Bước 1: Tìm hệ số góc của đường vuông góc

• Đường cho có $k_1 = 2$
• Đường cần tìm có: $$k_2 = -\frac{1}{k_1} = -\frac{1}{2}$$

Bước 2: Viết phương trình qua $A(1; 2)$ với $k = -\frac{1}{2}$ $$y – 2 = -\frac{1}{2}(x – 1)$$ $$y – 2 = -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$$ $$y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$$

Đáp án: $y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$

Bài 6: Tính góc $\alpha$

Đề bài: Đường thẳng $y = \sqrt{3}x + 2$ tạo với trục Ox một góc $\alpha$. Tính $\alpha$.

Lời giải:

Hệ số góc: $k = \sqrt{3}$

Ta có: $$\tan \alpha = k = \sqrt{3}$$

Từ bảng giá trị lượng giác: $$\alpha = 60°$$

Đáp án: $\alpha = 60°$

VIII. KẾT LUẬN

Bài viết đã trình bày đầy đủ về hệ số góc đường thẳng:

Khái niệm và ý nghĩa của hệ số góc

Các công thức tính hệ số góc:

• Từ phương trình: $k = -\frac{a}{b}$
• Từ hai điểm: $k = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}$
• Từ góc: $k = \tan \alpha$
• Từ vectơ: $k = \frac{b}{a}$

Ứng dụng: Viết PT, xét song song, vuông góc, tính góc

Bài tập mẫu: 6 bài có lời giải chi tiết

CÔNG THỨC QUAN TRỌNG NHẤT

1. Công thức từ hai điểm:

$$\boxed{k = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}}$$

Khi nào dùng: Biết tọa độ hai điểm trên đường thẳng

2. Điều kiện vuông góc:

$$\boxed{k_1 \cdot k_2 = -1}$$

Hoặc: $$k_2 = -\frac{1}{k_1}$$

Khi nào dùng: Xét tính vuông góc hoặc tìm đường thẳng vuông góc

Lời khuyên học tập

📌 Học thuộc công thức từ hai điểm – Đây là công thức cơ bản và quan trọng nhất

📌 Nhớ kỹ: $k = -\frac{a}{b}$ – Có dấu trừ, đừng quên!

📌 Phân biệt rõ:

• Song song: $k_1 = k_2$ (bằng nhau)
• Vuông góc: $k_1 \cdot k_2 = -1$ (tích bằng -1)

📌 Chú ý dấu của $k$ để xác định hướng đường thẳng (lên/xuống/ngang)

📌 Luyện tập nhiều các dạng bài: tìm $k$, viết PT, xét vị trí tương đối

📌 Kiểm tra kết quả bằng cách vẽ đồ thị hoặc thay điểm vào phương trình

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa