I. GIỚI THIỆU VỀ CHỎM CẦU

1. Định nghĩa chỏm cầu

Chỏm cầu (mặt chỏm cầu): Là phần mặt cầu bị cắt bởi một mặt phẳng.

Khối chỏm cầu: Là phần khối cầu giới hạn bởi chỏm cầu (mặt cong) và mặt phẳng cắt (đáy phẳng).

Hình dung đơn giản: Chỏm cầu giống như “nắp” của một quả bóng khi bạn cắt ngang quả bóng đó.


Các thành phần:

Lưu ý quan trọng:

• $0 < h \leq 2R$ (chiều cao không vượt quá đường kính)
• Khi $h = R$: chỏm cầu là nửa hình cầu
• Khi $h = 2R$: chỏm cầu là toàn bộ hình cầu

2. Công thức liên hệ giữa R, h, r

Đây là công thức cực kỳ quan trọng, xuất hiện trong hầu hết các bài toán:

$$\boxed{r^2 = R^2 – (R – h)^2 = 2Rh – h^2}$$

Hoặc viết dưới dạng: $$\boxed{r^2 = h(2R – h)}$$

Chứng minh: Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông tạo bởi:

• Bán kính mặt cầu $R$ (cạnh huyền)
• Khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng cắt: $(R – h)$
• Bán kính đáy $r$

Ta có: $r^2 + (R-h)^2 = R^2$

Suy ra: $r^2 = R^2 – (R-h)^2 = R^2 – R^2 + 2Rh – h^2 = 2Rh – h^2$

Ứng dụng: Công thức này giúp tính $r$ khi biết $R$ và $h$, hoặc ngược lại.

II. CÔNG THỨC DIỆN TÍCH CHỎM CẦU

1. Diện tích mặt chỏm cầu (diện tích xung quanh)

Công thức:

$$\boxed{S_{xq} = 2\pi Rh}$$

Trong đó:

• $S_{xq}$: Diện tích mặt cong của chỏm cầu (cm², m², dm²)
• $R$: Bán kính mặt cầu (cm, m, dm)
• $h$: Chiều cao chỏm cầu (cm, m, dm)

Đặc điểm quan trọng: Diện tích chỉ phụ thuộc vào $R$ và $h$, không phụ thuộc vào $r$ (bán kính đáy).

Cách nhớ: “2 pi R h” – giống công thức diện tích xung quanh hình trụ

Ví dụ 1: Tính diện tích mặt chỏm cầu có bán kính $R = 10$ cm, chiều cao $h = 6$ cm.

Lời giải:

Áp dụng công thức: $$S_{xq} = 2\pi Rh$$ $$= 2 \times 3.14 \times 10 \times 6$$ $$= 376.8 \text{ cm}^2$$

Hoặc để nguyên dạng: $S_{xq} = 120\pi$ cm²

Kết luận: Diện tích mặt chỏm cầu là 120π cm² ≈ 376.8 cm².

2. Diện tích đáy chỏm cầu

Đáy của chỏm cầu là một hình tròn có bán kính $r$.

Công thức:

$$\boxed{S_{\text{đáy}} = \pi r^2}$$

Với: $r = \sqrt{h(2R – h)}$ (từ công thức liên hệ)

Lưu ý: Nếu đề bài không cho $r$, cần tính $r$ từ $R$ và $h$ trước!

3. Diện tích toàn phần chỏm cầu

Diện tích toàn phần bao gồm cả mặt cong và đáy:

Công thức:

$$\boxed{S_{tp} = S_{xq} + S_{\text{đáy}} = 2\pi Rh + \pi r^2}$$

Hoặc rút gọn (thay $r^2 = h(2R – h)$):

$$S_{tp} = 2\pi Rh + \pi h(2R – h)$$ $$= \pi(2Rh + 2Rh – h^2)$$ $$= \pi(4Rh – h^2)$$ $$\boxed{S_{tp} = \pi h(4R – h)}$$

Hoặc viết dạng khác: $$\boxed{S_{tp} = \pi h(2R + h)}$$ (Khi khai triển từ $2Rh + h(2R-h) = 2Rh + 2Rh – h^2$… nhưng dạng trên hay dùng hơn)

Ví dụ 2: Tính diện tích toàn phần của chỏm cầu có $R = 13$ cm, $h = 5$ cm.

Lời giải:

Bước 1: Tính bán kính đáy $$r^2 = h(2R – h) = 5(2 \times 13 – 5) = 5 \times 21 = 105$$

Bước 2: Tính diện tích xung quanh $$S_{xq} = 2\pi Rh = 2\pi \times 13 \times 5 = 130\pi \text{ cm}^2$$

Bước 3: Tính diện tích đáy $$S_{\text{đáy}} = \pi r^2 = 105\pi \text{ cm}^2$$

Bước 4: Tính diện tích toàn phần $$S_{tp} = S_{xq} + S_{\text{đáy}} = 130\pi + 105\pi = 235\pi \text{ cm}^2$$

Kết luận: Diện tích toàn phần là 235π cm² ≈ 738.2 cm².

III. CÔNG THỨC THỂ TÍCH CHỎM CẦU

1. Công thức thể tích chỏm cầu (công thức chính)

Đây là công thức quan trọng nhất của chỏm cầu:

$$\boxed{V = \pi h^2\left(R – \frac{h}{3}\right)}$$

Hoặc viết gọn hơn:

$$\boxed{V = \frac{\pi h^2(3R – h)}{3}}$$

Trong đó:

• $V$: Thể tích khối chỏm cầu (cm³, m³, dm³)
• $h$: Chiều cao chỏm cầu
• $R$: Bán kính mặt cầu

Cách nhớ: “Pi h bình, trong ngoặc 3R trừ h, chia 3”

Ví dụ 3: Tính thể tích chỏm cầu có $R = 10$ cm, $h = 6$ cm.

Lời giải:

Áp dụng công thức: $$V = \frac{\pi h^2(3R – h)}{3}$$ $$= \frac{\pi \times 6^2 \times (3 \times 10 – 6)}{3}$$ $$= \frac{\pi \times 36 \times 24}{3}$$ $$= \frac{864\pi}{3}$$ $$= 288\pi \text{ cm}^3$$

Tính số: $288 \times 3.14 \approx 904.32$ cm³

Kết luận: Thể tích chỏm cầu là 288π cm³ ≈ 904.32 cm³.

2. Công thức khi biết r và h

Khi đề bài cho bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$ (không cho $R$):

$$\boxed{V = \frac{\pi h}{6}(3r^2 + h^2)}$$

Nguồn gốc: Từ công thức chính, thay $R = \frac{r^2 + h^2}{2h}$ (suy ra từ $r^2 = h(2R-h)$)

Ví dụ 4: Chỏm cầu có chiều cao $h = 4$ cm, bán kính đáy $r = 6$ cm. Tính thể tích.

Lời giải:

Áp dụng công thức với $r$ và $h$: $$V = \frac{\pi h}{6}(3r^2 + h^2)$$ $$= \frac{\pi \times 4}{6}(3 \times 36 + 16)$$ $$= \frac{4\pi}{6}(108 + 16)$$ $$= \frac{4\pi}{6} \times 124$$ $$= \frac{496\pi}{6}$$ $$= \frac{248\pi}{3} \text{ cm}^3$$

Kết luận: Thể tích là $\frac{248\pi}{3}$ cm³ ≈ 259.6 cm³.

3. Trường hợp đặc biệt: Nửa hình cầu

Khi $h = R$ (chiều cao bằng bán kính), chỏm cầu trở thành nửa hình cầu.

Thể tích nửa hình cầu:

Thay $h = R$ vào công thức: $$V = \frac{\pi R^2(3R – R)}{3} = \frac{\pi R^2 \times 2R}{3}$$ $$\boxed{V = \frac{2\pi R^3}{3}}$$

Diện tích xung quanh nửa hình cầu: $$S_{xq} = 2\pi R \times R$$ $$\boxed{S_{xq} = 2\pi R^2}$$

Lưu ý:

• Thể tích nửa khối cầu = $\frac{1}{2} \times$ Thể tích khối cầu
• Diện tích mặt nửa cầu = $\frac{1}{2} \times$ Diện tích mặt cầu

4. So sánh với thể tích khối cầu

Kiểm tra:

• Khi $h = 2R$ (toàn bộ): $V = \frac{\pi (2R)^2(6R – 2R)}{3} = \frac{4\pi R^2 \times 4R}{3} = \frac{16\pi R^3}{3}$… (Có vấn đề ở đây, công thức chỏm cầu chỉ áp dụng khi $h \leq R$)
• Khi $h = R$ (nửa cầu): $V = \frac{2\pi R^3}{3}$ ✓

IV. CÁC DẠNG BÀI TẬP TRỌNG TÂM

Dạng 1: Tính diện tích và thể tích khi biết R và h

Phương pháp: Áp dụng trực tiếp công thức.

Ví dụ 5: Cho chỏm cầu có $R = 15$ cm, $h = 9$ cm. Tính: a) Diện tích xung quanh
b) Thể tích chỏm cầu

Lời giải:

Câu a) Diện tích xung quanh: $$S_{xq} = 2\pi Rh$$ $$= 2 \times 3.14 \times 15 \times 9$$ $$= 270\pi \text{ cm}^2$$ $$\approx 847.8 \text{ cm}^2$$

Câu b) Thể tích: $$V = \frac{\pi h^2(3R – h)}{3}$$ $$= \frac{\pi \times 81 \times (45 – 9)}{3}$$ $$= \frac{\pi \times 81 \times 36}{3}$$ $$= \frac{2916\pi}{3}$$ $$= 972\pi \text{ cm}^3$$ $$\approx 3053.6 \text{ cm}^3$$

Kết luận:

• Diện tích xung quanh: 270π cm² ≈ 847.8 cm²
• Thể tích: 972π cm³ ≈ 3053.6 cm³

Dạng 2: Tính các yếu tố khi biết 2 trong 3 đại lượng R, h, r

Phương pháp: Sử dụng công thức liên hệ $r^2 = h(2R – h)$ để tìm đại lượng còn thiếu.

Ví dụ 6: Chỏm cầu có chiều cao $h = 8$ cm, bán kính đáy $r = 12$ cm. Tính bán kính $R$ và thể tích.

Lời giải:

Bước 1: Tính bán kính $R$

Từ công thức liên hệ: $$r^2 = h(2R – h)$$ $$144 = 8(2R – 8)$$ $$144 = 16R – 64$$ $$16R = 208$$ $$R = 13 \text{ cm}$$

Bước 2: Tính thể tích

Cách 1: Dùng công thức với $R$ và $h$ $$V = \frac{\pi h^2(3R – h)}{3}$$ $$= \frac{\pi \times 64 \times (39 – 8)}{3}$$ $$= \frac{\pi \times 64 \times 31}{3}$$ $$= \frac{1984\pi}{3} \text{ cm}^3$$

Cách 2: Dùng công thức với $r$ và $h$ $$V = \frac{\pi h}{6}(3r^2 + h^2)$$ $$= \frac{\pi \times 8}{6}(3 \times 144 + 64)$$ $$= \frac{8\pi}{6}(432 + 64)$$ $$= \frac{8\pi \times 496}{6}$$ $$= \frac{3968\pi}{6} = \frac{1984\pi}{3} \text{ cm}^3$$

Kết luận:

• Bán kính mặt cầu: $R = 13$ cm
• Thể tích: $\frac{1984\pi}{3}$ cm³ ≈ 2075.4 cm³

Dạng 3: Bài toán thực tế – Thể tích nước trong bể

Ví dụ 7: Một bể nước hình cầu có bán kính $R = 2$ m chứa nước đến độ cao $h = 1.5$ m (tính từ đáy bể). Tính thể tích nước trong bể.

Lời giải:

Đây là bài toán tính thể tích chỏm cầu với:

• Bán kính mặt cầu: $R = 2$ m
• Chiều cao mực nước: $h = 1.5$ m

Áp dụng công thức: $$V = \frac{\pi h^2(3R – h)}{3}$$ $$= \frac{\pi \times 1.5^2 \times (3 \times 2 – 1.5)}{3}$$ $$= \frac{\pi \times 2.25 \times 4.5}{3}$$ $$= \frac{10.125\pi}{3}$$ $$= 3.375\pi \text{ m}^3$$

Tính số: $3.375 \times 3.14 \approx 10.6$ m³

Chuyển đổi: 10.6 m³ = 10,600 lít

Kết luận: Thể tích nước trong bể là 3.375π m³ ≈ 10.6 m³ = 10,600 lít.

Dạng 4: Tính tỷ số thể tích

Ví dụ 8: Một mặt phẳng chia hình cầu bán kính $R$ thành hai chỏm cầu có chiều cao $h_1$ và $h_2 = 2R – h_1$. Tính tỷ số thể tích hai chỏm cầu khi $h_1 = \frac{R}{2}$.

Lời giải:

Bước 1: Xác định chiều cao hai chỏm cầu

• Chỏm cầu 1: $h_1 = \frac{R}{2}$
• Chỏm cầu 2: $h_2 = 2R – \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$

Bước 2: Tính thể tích chỏm cầu 1 $$V_1 = \frac{\pi h_1^2(3R – h_1)}{3}$$ $$= \frac{\pi \times \left(\frac{R}{2}\right)^2 \times \left(3R – \frac{R}{2}\right)}{3}$$ $$= \frac{\pi \times \frac{R^2}{4} \times \frac{5R}{2}}{3}$$ $$= \frac{\pi \times \frac{5R^3}{8}}{3}$$ $$= \frac{5\pi R^3}{24}$$

Bước 3: Tính thể tích chỏm cầu 2 $$V_2 = \frac{\pi h_2^2(3R – h_2)}{3}$$ $$= \frac{\pi \times \left(\frac{3R}{2}\right)^2 \times \left(3R – \frac{3R}{2}\right)}{3}$$ $$= \frac{\pi \times \frac{9R^2}{4} \times \frac{3R}{2}}{3}$$ $$= \frac{\pi \times \frac{27R^3}{8}}{3}$$ $$= \frac{27\pi R^3}{24} = \frac{9\pi R^3}{8}$$

Bước 4: Tính tỷ số $$\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{5\pi R^3}{24}}{\frac{9\pi R^3}{8}}$$ $$= \frac{5\pi R^3}{24} \times \frac{8}{9\pi R^3}$$ $$= \frac{5 \times 8}{24 \times 9}$$ $$= \frac{40}{216} = \frac{5}{27}$$

Kết luận: Tỷ số thể tích hai chỏm cầu là $\frac{V_1}{V_2} = \frac{5}{27}$.

Dạng 5: Mái vòm hình chỏm cầu

Ví dụ 9: Một mái vòm hình chỏm cầu có đường kính đáy 16 m, chiều cao 4 m. Tính diện tích mái vòm cần sơn.

Lời giải:

Bước 1: Xác định dữ liệu

• Đường kính đáy = 16 m → Bán kính đáy: $r = 8$ m
• Chiều cao: $h = 4$ m

Bước 2: Tính bán kính mặt cầu $R$

Từ công thức liên hệ: $$r^2 = h(2R – h)$$ $$64 = 4(2R – 4)$$ $$64 = 8R – 16$$ $$8R = 80$$ $$R = 10 \text{ m}$$

Bước 3: Tính diện tích mái vòm $$S_{xq} = 2\pi Rh$$ $$= 2 \times 3.14 \times 10 \times 4$$ $$= 80\pi \text{ m}^2$$ $$\approx 251.2 \text{ m}^2$$

Kết luận: Diện tích mái vòm cần sơn là 80π m² ≈ 251.2 m².

Dạng 6: Chỏm cầu lồng trong hình trụ

Ví dụ 10: Một chỏm cầu có chiều cao $h$ được đặt vừa khít trong hình trụ có bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$. Biết $h = 6$ cm, $r = 4$ cm. Tính tỷ số thể tích chỏm cầu và hình trụ.

Lời giải:

Bước 1: Tính bán kính $R$ của chỏm cầu

Vì chỏm cầu vừa khít trong hình trụ nên bán kính đáy chỏm cầu bằng bán kính trụ: $r = 4$ cm

Từ công thức liên hệ: $$r^2 = h(2R – h)$$ $$16 = 6(2R – 6)$$ $$16 = 12R – 36$$ $$12R = 52$$ $$R = \frac{13}{3} \text{ cm}$$

Bước 2: Tính thể tích chỏm cầu $$V_{\text{chỏm}} = \frac{\pi h}{6}(3r^2 + h^2)$$ $$= \frac{\pi \times 6}{6}(3 \times 16 + 36)$$ $$= \pi(48 + 36)$$ $$= 84\pi \text{ cm}^3$$

Bước 3: Tính thể tích hình trụ $$V_{\text{trụ}} = \pi r^2 h$$ $$= \pi \times 16 \times 6$$ $$= 96\pi \text{ cm}^3$$

Bước 4: Tính tỷ số $$\frac{V_{\text{chỏm}}}{V_{\text{trụ}}} = \frac{84\pi}{96\pi} = \frac{84}{96} = \frac{7}{8}$$

Kết luận: Tỷ số thể tích chỏm cầu và hình trụ là $\frac{7}{8}$.

V. BẢNG CÔNG THỨC TỔNG HỢP

Bảng công thức chính

Các công thức liên quan

VI. MẸO VÀ LƯU Ý QUAN TRỌNG

1. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Nhầm công thức thể tích với hình nón

Sai:

• $V = \frac{1}{3}\pi r^2h$ (đây là công thức hình nón!) ❌

Đúng:

• $V = \frac{\pi h^2(3R – h)}{3}$ (công thức chỏm cầu) ✓

❌ SAI LẦM 2: Quên công thức liên hệ $r^2 = h(2R – h)$

Sai:

• Tính thể tích khi chỉ biết $r$ và $h$ mà không tìm $R$ trước ❌

Đúng:

• Dùng công thức liên hệ để tìm $R$ hoặc dùng công thức dạng 2 ✓

❌ SAI LẦM 3: Nhầm lẫn giữa $R$ và $r$

Sai:

• $R$ (bán kính mặt cầu) = $r$ (bán kính đáy) ❌

Đúng:

• $R$ luôn lớn hơn hoặc bằng $r$ ✓
• Phân biệt rõ: $R$ là bán kính cầu, $r$ là bán kính đáy

❌ SAI LẦM 4: Quên chia 3 trong công thức thể tích

Sai:

• $V = \pi h^2(3R – h)$ (thiếu chia 3) ❌

Đúng:

• $V = \frac{\pi h^2(3R – h)}{3}$ ✓

2. Mẹo nhớ công thức

Diện tích xung quanh:

“2 pi R h”

Giống hình trụ nhưng không có $r$

Thể tích:

“Pi h bình, trong ngoặc 3R trừ h, chia 3”

$$V = \frac{\pi h^2(3R – h)}{3}$$

Công thức liên hệ:

“r bình = h nhân (2R trừ h)”

$$r^2 = h(2R – h)$$

3. Cách nhận dạng bài toán

Từ khóa trong đề bài:

• “Chỏm cầu”
• “Mái vòm”
• “Nước trong bể hình cầu”
• “Phần cầu bị cắt”
• “Nửa hình cầu”

Dữ kiện thường cho:

• Thường cho 2 trong 3 đại lượng: $R$, $h$, $r$
• Cần tìm đại lượng còn thiếu bằng công thức liên hệ

Yêu cầu bài toán:

• Tính diện tích (xung quanh hoặc toàn phần)
• Tính thể tích
• Tính tỷ số
• Ứng dụng thực tế

4. Thứ tự giải bài chuẩn

Bước 1: Vẽ hình và đánh dấu

• Vẽ chỏm cầu
• Đánh dấu rõ $R$, $h$, $r$
• Xác định đề cho gì, cần tìm gì

Bước 2: Kiểm tra dữ kiện

• Đã có đủ $R$ và $h$ chưa?
• Nếu chưa → dùng công thức liên hệ để tìm

Bước 3: Chọn công thức phù hợp

• Tính diện tích → $S_{xq} = 2\pi Rh$
• Tính thể tích → $V = \frac{\pi h^2(3R-h)}{3}$

Bước 4: Tính toán

• Thay số cẩn thận
• Chú ý đơn vị

Bước 5: Viết kết luận

• Ghi rõ đơn vị (cm², cm³, m², m³…)

VII. KẾT LUẬN

Tổng kết

Bài viết đã hệ thống hóa đầy đủ kiến thức về chỏm cầu:

Định nghĩa và yếu tố: $R$ (bán kính cầu), $h$ (chiều cao), $r$ (bán kính đáy)

Công thức liên hệ quan trọng nhất: $$r^2 = h(2R – h)$$

4 công thức chính:

• Diện tích xung quanh: $S_{xq} = 2\pi Rh$
• Diện tích toàn phần: $S_{tp} = 2\pi Rh + \pi r^2$
• Thể tích (dạng 1): $V = \frac{\pi h^2(3R – h)}{3}$
• Thể tích (dạng 2): $V = \frac{\pi h}{6}(3r^2 + h^2)$

6 dạng bài tập trọng tâm:

1. Tính diện tích và thể tích khi biết $R$, $h$
2. Tính các yếu tố khi biết 2/3 đại lượng
3. Bài toán thực tế về nước trong bể
4. Tính tỷ số thể tích
5. Mái vòm kiến trúc
6. Chỏm cầu lồng trong hình trụ

Mẹo và lưu ý: Tránh 4 sai lầm thường gặp, mẹo nhớ công thức

Xem thêm các chủ đề liên quan:

• [Công thức hình cầu – Diện tích và thể tích đầy đủ]
• [Công thức hình nón – Chi tiết nhất]
• [Công thức hình trụ – Bảng tổng hợp]

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa