I. GIỚI THIỆU VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1. Phương trình lượng giác là gì?

Định nghĩa: Phương trình lượng giác là phương trình có chứa ẩn số dưới dấu các hàm số lượng giác như sin, cos, tan, cot.

Ví dụ điển hình:

• $\sin x = \dfrac{1}{2}$ (phương trình cơ bản)
• $2\cos^2 x – 3\cos x + 1 = 0$ (phương trình bậc hai)
• $\sin x + \cos x = 1$ (phương trình bậc nhất)
• $\sin^2 x + 2\sin x \cos x – 3\cos^2 x = 0$ (phương trình đẳng cấp)

Sự khác biệt với đẳng thức lượng giác:

Phương trình lượng giác chỉ đúng với một số giá trị cụ thể của x (nghiệm), trong khi đẳng thức lượng giác đúng với mọi giá trị x trong tập xác định.

Ví dụ:

• $\sin x = \dfrac{1}{2}$ là phương trình (chỉ đúng khi $x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi$)
• $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ là đẳng thức (luôn đúng với mọi x)

2. Đặc điểm của phương trình lượng giác

Tính tuần hoàn:

Do các hàm lượng giác là hàm tuần hoàn, nếu $x_0$ là một nghiệm của phương trình thì $x_0 + kT$ (với T là chu kỳ) cũng là nghiệm.

Ví dụ: Nếu $\sin x_0 = \dfrac{1}{2}$ thì $\sin(x_0 + 2\pi) = \dfrac{1}{2}$ do chu kỳ của sin là $2\pi$.

Vô số nghiệm:

Hầu hết các phương trình lượng giác có vô số nghiệm do tính tuần hoàn. Chỉ một số trường hợp đặc biệt mới có hữu hạn nghiệm hoặc vô nghiệm.

Nghiệm tổng quát:

Nghiệm của phương trình lượng giác thường được biểu diễn dưới dạng công thức chứa tham số $k \in \mathbb{Z}$ (k là số nguyên bất kỳ).

Ví dụ: $x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$) biểu diễn vô số nghiệm.

3. Phân loại phương trình lượng giác

Phương trình cơ bản: Các phương trình có dạng $\sin x = m$, $\cos x = m$, $\tan x = m$, $\cot x = m$. Đây là dạng đơn giản nhất và là nền tảng cho các dạng khác.

Phương trình quy về cơ bản: Các phương trình có thể biến đổi về dạng cơ bản bằng các phép biến đổi đại số hoặc lượng giác.

Phương trình bậc nhất: Dạng $a\sin x + b\cos x = c$. Đây là phương trình kết hợp sin và cos với lũy thừa bậc 1.

Phương trình bậc hai: Phương trình chứa một hàm lượng giác với lũy thừa bậc 2, ví dụ: $a\sin^2 x + b\sin x + c = 0$.

Phương trình đẳng cấp: Phương trình mà tất cả các hạng tử có cùng bậc đối với sin và cos. Ví dụ: $a\sin^2 x + b\sin x\cos x + c\cos^2 x = d$ (đẳng cấp bậc 2).

Phương trình đối xứng: Phương trình có dạng đối xứng giữa sin và cos, thường giải bằng cách đặt $t = \sin x + \cos x$.

Phương trình chứa tổng, tích: Phương trình có chứa tích hoặc tổng các hàm lượng giác, giải bằng công thức biến đổi tổng thành tích hoặc ngược lại.

4. Ý nghĩa và ứng dụng

Nền tảng toán học: Phương trình lượng giác là kiến thức cơ bản để học chương hàm số lượng giác, đạo hàm hàm lượng giác, và tích phân lượng giác.

Ứng dụng trong vật lý:

• Dao động điều hòa: Phương trình chuyển động $x = A\sin(\omega t + \varphi)$
• Sóng cơ học: Phương trình sóng có dạng $y = A\sin(kx – \omega t)$
• Dao động điện từ: Dòng điện xoay chiều $i = I_0\sin(\omega t + \varphi)$

Ứng dụng trong kỹ thuật:

• Phân tích mạch điện xoay chiều
• Xử lý tín hiệu (signal processing)
• Thiết kế hệ thống điều khiển tự động

Trong các kỳ thi: Phương trình lượng giác là một trong những chủ đề quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong đề thi THPT Quốc gia với nhiều dạng bài khác nhau.

5. Cấu trúc bài viết

Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết:

1. Công thức nghiệm phương trình cơ bản: Các công thức giải phương trình sin, cos, tan, cot với đầy đủ các trường hợp đặc biệt.
2. Phương pháp giải phương trình nâng cao: Từ phương trình quy về cơ bản, phương trình bậc nhất, bậc hai, đến các dạng phức tạp như đẳng cấp, đối xứng.
3. Bài tập mẫu có lời giải chi tiết: Mỗi dạng phương trình đều có ví dụ minh họa với lời giải từng bước.
4. Mẹo và kỹ thuật giải nhanh: Các mẹo nhớ công thức, nhận dạng dạng bài, và tránh sai lầm thường gặp.

II. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1. Phương trình sin x = m

Điều kiện có nghiệm:

Phương trình $\sin x = m$ có nghiệm khi và chỉ khi: $$-1 \leq m \leq 1$$

Nếu $|m| > 1$ thì phương trình vô nghiệm.

Công thức nghiệm tổng quát:

$$\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \begin{cases} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi – \alpha + k2\pi \end{cases} \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Hoặc viết gọn hơn: $$\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = (\pi – \alpha) + k2\pi \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Cách nhớ công thức:

• “α cộng k2π hoặc π trừ α cộng k2π”
• Trên đường tròn lượng giác: hai điểm có cùng sin sẽ đối xứng qua trục tung
• Chu kỳ của hàm sin là $2\pi$

Giải thích hình học:

Trên đường tròn lượng giác, $\sin x$ là tung độ của điểm M trên đường tròn. Nếu hai điểm có cùng tung độ, chúng sẽ đối xứng qua trục Oy, tương ứng với hai họ nghiệm $x = \alpha + k2\pi$ và $x = (\pi – \alpha) + k2\pi$.

Các trường hợp đặc biệt:

Lưu ý quan trọng:

• Khi $\sin x = 0$, nghiệm có dạng $x = k\pi$ (không phải $k2\pi$)
• Khi $\sin x = \pm 1$, chỉ có một họ nghiệm (không có hai họ)
• Luôn kiểm tra điều kiện $|m| \leq 1$ trước khi giải

Ví dụ 1: Giải phương trình $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Lời giải:

Ta có: $\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sin \dfrac{\pi}{3}$

Áp dụng công thức nghiệm:

• Họ nghiệm thứ nhất: $x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)
• Họ nghiệm thứ hai: $x = \pi – \dfrac{\pi}{3} + k2\pi = \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

Đáp số: $x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi$ hoặc $x = \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

Ví dụ 2: Giải phương trình $\sin 2x = \sin x$

Lời giải:

Áp dụng công thức: $$\sin 2x = \sin x \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 2x = x + k2\pi \\ 2x = \pi – x + k2\pi \end{array}\right.$$

Trường hợp 1: $2x = x + k2\pi$ $$x = k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Trường hợp 2: $2x = \pi – x + k2\pi$ $$3x = \pi + k2\pi$$ $$x = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{k2\pi}{3} = \dfrac{\pi + k2\pi}{3} = \dfrac{(1 + 2k)\pi}{3} \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Đáp số: $x = k2\pi$ hoặc $x = \dfrac{(1 + 2k)\pi}{3}$ ($k \in \mathbb{Z}$)

Ví dụ 3: Giải phương trình $2\sin x + 3 = 0$ trên đoạn $[0; 2\pi]$

Lời giải:

$2\sin x + 3 = 0$ $$\sin x = -\dfrac{3}{2}$$

Vì $\left|-\dfrac{3}{2}\right| = \dfrac{3}{2} > 1$, không thỏa mãn điều kiện $|\sin x| \leq 1$.

Đáp số: Phương trình vô nghiệm.

2. Phương trình cos x = m

Điều kiện có nghiệm:

Phương trình $\cos x = m$ có nghiệm khi và chỉ khi: $$-1 \leq m \leq 1$$

Công thức nghiệm tổng quát:

$$\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Cách nhớ công thức:

• “Cộng trừ α cộng k2π”
• Trên đường tròn lượng giác: hai điểm có cùng cos sẽ đối xứng qua trục hoành
• Chu kỳ của hàm cos là $2\pi$

Giải thích hình học:

Trên đường tròn lượng giác, $\cos x$ là hoành độ của điểm M. Hai điểm có cùng hoành độ sẽ đối xứng qua trục Ox, tương ứng với nghiệm $x = \alpha + k2\pi$ và $x = -\alpha + k2\pi$.

Các trường hợp đặc biệt:

Lưu ý:

• Khi $\cos x = 0$: nghiệm có chu kỳ $\pi$ (không phải $2\pi$)
• Khi $\cos x = \pm 1$: chỉ có một họ nghiệm

Ví dụ 4: Giải phương trình $\cos x = -\dfrac{1}{2}$

Lời giải:

Ta có: $\cos x = -\dfrac{1}{2} = \cos \dfrac{2\pi}{3}$

Áp dụng công thức nghiệm: $$x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Đáp số: $x = \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi$ hoặc $x = -\dfrac{2\pi}{3} + k2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

Ví dụ 5: Giải phương trình $\cos 3x = \cos 2x$

Lời giải:

Áp dụng công thức: $$\cos 3x = \cos 2x \Leftrightarrow 3x = \pm 2x + k2\pi$$

Trường hợp 1: $3x = 2x + k2\pi$ $$x = k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Trường hợp 2: $3x = -2x + k2\pi$ $$5x = k2\pi$$ $$x = \dfrac{k2\pi}{5} \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Đáp số: $x = k2\pi$ hoặc $x = \dfrac{k2\pi}{5}$ ($k \in \mathbb{Z}$)

Ví dụ 6: Giải phương trình $\cos^2 x = 1$

Lời giải:

$\cos^2 x = 1$ $$\cos x = \pm 1$$

Trường hợp 1: $\cos x = 1$ $$x = k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Trường hợp 2: $\cos x = -1$ $$x = \pi + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Có thể gộp lại: $x = k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

Đáp số: $x = k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

3. Phương trình tan x = m

Điều kiện xác định:

Hàm tan x xác định khi $x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

Công thức nghiệm tổng quát:

$$\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Cách nhớ công thức:

• “α cộng kπ”
• Chu kỳ của hàm tan là $\pi$ (không phải $2\pi$ như sin và cos)

Giải thích:

Hàm tan x có chu kỳ $\pi$, nghĩa là $\tan(x + \pi) = \tan x$ với mọi x. Do đó, nếu $x_0$ là nghiệm thì $x_0 + k\pi$ cũng là nghiệm.

Các trường hợp đặc biệt:

Ví dụ 7: Giải phương trình $\tan x = \sqrt{3}$

Lời giải:

Ta có: $\tan x = \sqrt{3} = \tan \dfrac{\pi}{3}$

Áp dụng công thức nghiệm: $$x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Đáp số: $x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

Ví dụ 8: Giải phương trình $\tan 2x = \tan(x + 30°)$

Lời giải:

Áp dụng công thức: $$\tan 2x = \tan(x + 30°) \Leftrightarrow 2x = x + 30° + k \cdot 180°$$ $$x = 30° + k \cdot 180° \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Hoặc viết theo radian: $$x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Đáp số: $x = 30° + k \cdot 180°$ ($k \in \mathbb{Z}$)

Ví dụ 9: Giải phương trình $\tan^2 x = 3$

Lời giải:

$\tan^2 x = 3$ $$\tan x = \pm\sqrt{3}$$

Trường hợp 1: $\tan x = \sqrt{3}$ $$x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Trường hợp 2: $\tan x = -\sqrt{3}$ $$x = -\dfrac{\pi}{3} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Đáp số: $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

4. Phương trình cot x = m

Điều kiện xác định:

Hàm cot x xác định khi $x \neq k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

Công thức nghiệm tổng quát:

$$\cot x = \cot \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Cách nhớ:

• Giống tan, “α cộng kπ”
• Chu kỳ của cot cũng là $\pi$

Các trường hợp đặc biệt:

Ví dụ 10: Giải phương trình $\cot x = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Lời giải:

Ta có: $\cot x = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \cot \dfrac{\pi}{3}$

Áp dụng công thức nghiệm: $$x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Đáp số: $x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

Ví dụ 11: Giải phương trình $\cot 2x = \cot x$

Lời giải:

Điều kiện: $2x \neq k\pi$ và $x \neq k\pi$

Áp dụng công thức: $$\cot 2x = \cot x \Leftrightarrow 2x = x + k\pi$$ $$x = k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Nhưng $x = k\pi$ không thỏa điều kiện $x \neq k\pi$.

Đáp số: Phương trình vô nghiệm.

5. Bảng tổng hợp công thức nghiệm cơ bản

Lưu ý quan trọng:

• Luôn ghi $k \in \mathbb{Z}$ khi viết nghiệm tổng quát
• Chú ý điều kiện xác định với tan và cot
• Nhớ đúng chu kỳ: sin, cos là $2\pi$; tan, cot là $\pi$

III. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ CƠ BẢN

1. Phương pháp biến đổi đại số

Nguyên tắc:

Sử dụng các phép biến đổi đại số đơn giản (cộng, trừ, nhân, chia, chuyển vế, rút gọn) để đưa phương trình về dạng cơ bản.

Các bước thực hiện:

1. Chuyển vế, thu gọn các hạng tử
2. Đưa về dạng $\sin x = m$, $\cos x = m$, $\tan x = m$, hoặc $\cot x = m$
3. Áp dụng công thức nghiệm cơ bản

Ví dụ 12: Giải phương trình $2\sin x – 1 = 0$

Lời giải:

$2\sin x – 1 = 0$ $$2\sin x = 1$$ $$\sin x = \dfrac{1}{2}$$

Ta có: $\sin x = \sin \dfrac{\pi}{6}$

Áp dụng công thức nghiệm:

• $x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi$
• $x = \pi – \dfrac{\pi}{6} + k2\pi = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi$

Đáp số: $x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

Ví dụ 13: Giải phương trình $\sqrt{3}\cos x + 1 = 0$

Lời giải:

$\sqrt{3}\cos x + 1 = 0$ $$\sqrt{3}\cos x = -1$$ $$\cos x = -\dfrac{1}{\sqrt{3}} = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$$

Đặt $\alpha = \arccos\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)$

Áp dụng công thức nghiệm: $$x = \pm\alpha + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Lưu ý: Giá trị $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ không phải góc đặc biệt, nên ta để dạng arccos.

Đáp số: $x = \pm\arccos\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) + k2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

Ví dụ 14: Giải phương trình $3\tan x – \sqrt{3} = 0$

Lời giải:

$3\tan x – \sqrt{3} = 0$ $$3\tan x = \sqrt{3}$$ $$\tan x = \dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$$

Ta có: $\tan x = \tan \dfrac{\pi}{6}$

Áp dụng công thức nghiệm: $$x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Đáp số: $x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

2. Phương pháp biến đổi lượng giác

Nguyên tắc:

Sử dụng các công thức lượng giác để biến đổi phương trình về dạng đơn giản hơn hoặc về dạng cơ bản.

Các công thức thường dùng:

Công thức cộng:

• $\sin(a \pm b) = \sin a \cos b \pm \cos a \sin b$
• $\cos(a \pm b) = \cos a \cos b \mp \sin a \sin b$

Công thức nhân đôi:

• $\sin 2a = 2\sin a \cos a$
• $\cos 2a = \cos^2 a – \sin^2 a = 2\cos^2 a – 1 = 1 – 2\sin^2 a$
• $\tan 2a = \dfrac{2\tan a}{1 – \tan^2 a}$

Công thức hạ bậc:

• $\sin^2 a = \dfrac{1 – \cos 2a}{2}$
• $\cos^2 a = \dfrac{1 + \cos 2a}{2}$

Công thức biến đổi tổng thành tích:

• $\sin a + \sin b = 2\sin\dfrac{a+b}{2}\cos\dfrac{a-b}{2}$
• $\sin a – \sin b = 2\cos\dfrac{a+b}{2}\sin\dfrac{a-b}{2}$
• $\cos a + \cos b = 2\cos\dfrac{a+b}{2}\cos\dfrac{a-b}{2}$
• $\cos a – \cos b = -2\sin\dfrac{a+b}{2}\sin\dfrac{a-b}{2}$

Ví dụ 15: Giải phương trình $\sin x + \cos x = 0$

Lời giải:

Cách 1 – Chia cho $\cos x$:

Điều kiện: $\cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$

Chia cả hai vế cho $\cos x$: $$\dfrac{\sin x}{\cos x} + \dfrac{\cos x}{\cos x} = 0$$ $$\tan x + 1 = 0$$ $$\tan x = -1$$

Ta có: $\tan x = \tan\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$

Nghiệm: $$x = -\dfrac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Kiểm tra điều kiện: Nghiệm $x = -\dfrac{\pi}{4} + k\pi$ thỏa $\cos x \neq 0$.

Cách 2 – Dùng công thức biến đổi:

$$\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = 0$$

$$\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = 0$$

$$x + \dfrac{\pi}{4} = k\pi$$

$$x = -\dfrac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Đáp số: $x = -\dfrac{\pi}{4} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

Ví dụ 16: Giải phương trình $\sin 2x = \sin x$

Lời giải:

Sử dụng công thức $\sin 2x = 2\sin x \cos x$:

$$2\sin x \cos x = \sin x$$ $$2\sin x \cos x – \sin x = 0$$ $$\sin x(2\cos x – 1) = 0$$

Trường hợp 1: $\sin x = 0$ $$x = k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Trường hợp 2: $2\cos x – 1 = 0$ $$\cos x = \dfrac{1}{2}$$ $$x = \pm\dfrac{\pi}{3} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Đáp số: $x = k\pi$ hoặc $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + k2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

Ví dụ 17: Giải phương trình $\cos 2x – \cos x = 0$

Lời giải:

Sử dụng công thức $\cos 2x = 2\cos^2 x – 1$:

$$2\cos^2 x – 1 – \cos x = 0$$ $$2\cos^2 x – \cos x – 1 = 0$$

Đặt $t = \cos x$ với $-1 \leq t \leq 1$: $$2t^2 – t – 1 = 0$$

$\Delta = 1 + 8 = 9$

$$t_1 = \dfrac{1 + 3}{4} = 1$$ $$t_2 = \dfrac{1 – 3}{4} = -\dfrac{1}{2}$$

Với $t_1 = 1$: $\cos x = 1$ $$x = k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Với $t_2 = -\dfrac{1}{2}$: $\cos x = -\dfrac{1}{2}$ $$x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Đáp số: $x = k2\pi$ hoặc $x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + k2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

3. Phương pháp đặt ẩn phụ

Áp dụng khi:

Phương trình chứa duy nhất một hàm lượng giác (sin, cos, tan hoặc cot) với nhiều lũy thừa khác nhau.

Các bước thực hiện:

1. Đặt ẩn phụ $t$ bằng hàm lượng giác đó
2. Chú ý điều kiện của t (ví dụ: $-1 \leq t \leq 1$ với sin và cos)
3. Giải phương trình đại số theo t
4. Với mỗi nghiệm t thỏa điều kiện, giải phương trình lượng giác cơ bản

Ví dụ 18: Giải phương trình $2\cos^2 x – 5\cos x + 2 = 0$

Lời giải:

Đặt $t = \cos x$ với điều kiện $-1 \leq t \leq 1$

Phương trình trở thành: $$2t^2 – 5t + 2 = 0$$

$\Delta = 25 – 16 = 9$

$$t_1 = \dfrac{5 + 3}{4} = 2$$ $$t_2 = \dfrac{5 – 3}{4} = \dfrac{1}{2}$$

Kiểm tra điều kiện:

• $t_1 = 2 > 1$ (loại)
• $t_2 = \dfrac{1}{2}$ (nhận)

Với $t = \dfrac{1}{2}$: $$\cos x = \dfrac{1}{2}$$ $$x = \pm\dfrac{\pi}{3} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Đáp số: $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + k2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

Ví dụ 19: Giải phương trình $\tan^2 x – 3\tan x + 2 = 0$

Lời giải:

Điều kiện: $x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$

Đặt $t = \tan x$ với $t \in \mathbb{R}$

Phương trình trở thành: $$t^2 – 3t + 2 = 0$$

Phân tích: $$(t – 1)(t – 2) = 0$$

$$t_1 = 1, \quad t_2 = 2$$

Với $t_1 = 1$: $\tan x = 1$ $$x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Với $t_2 = 2$: $\tan x = 2$ $$x = \arctan 2 + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Đáp số: $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$ hoặc $x = \arctan 2 + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

Ví dụ 20: Giải phương trình $\sin^2 x + \sin x – 2 = 0$

Lời giải:

Đặt $t = \sin x$ với $-1 \leq t \leq 1$

Phương trình trở thành: $$t^2 + t – 2 = 0$$

Phân tích: $$(t + 2)(t – 1) = 0$$

$$t_1 = -2, \quad t_2 = 1$$

Kiểm tra điều kiện:

• $t_1 = -2 < -1$ (loại)
• $t_2 = 1$ (nhận)

Với $t = 1$: $$\sin x = 1$$ $$x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Đáp số: $x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

IV. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẬC NHẤT

1. Dạng tổng quát

Phương trình bậc nhất đối với sin và cos có dạng:

$$a\sin x + b\cos x = c$$

Trong đó $a$, $b$, $c$ là các hằng số cho trước, $a$ và $b$ không đồng thời bằng 0.

Điều kiện có nghiệm:

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: $$c^2 \leq a^2 + b^2$$

Giải thích: Do $-\sqrt{a^2 + b^2} \leq a\sin x + b\cos x \leq \sqrt{a^2 + b^2}$ nên nếu $|c| > \sqrt{a^2 + b^2}$ thì phương trình vô nghiệm.

2. Phương pháp giải

Phương pháp 1 – Chia cho $\sqrt{a^2 + b^2}$:

Đây là phương pháp chuẩn và được khuyến khích sử dụng.

Các bước thực hiện:

Bước 1: Chia cả hai vế cho $\sqrt{a^2 + b^2}$: $$\dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\sin x + \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\cos x = \dfrac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

Bước 2: Nhận thấy: $$\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\right)^2 + \left(\dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\right)^2 = 1$$

Nên tồn tại góc $\varphi$ sao cho: $$\cos \varphi = \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \quad \sin \varphi = \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

Bước 3: Phương trình trở thành: $$\cos \varphi \cdot \sin x + \sin \varphi \cdot \cos x = \dfrac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$ $$\sin(x + \varphi) = \dfrac{c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

Bước 4: Giải phương trình sin cơ bản, sau đó tìm x.

Phương pháp 2 – Đặt $t = \tan\dfrac{x}{2}$:

Phương pháp này thường ít được sử dụng hơn nhưng hữu ích trong một số trường hợp.

Công thức biến đổi:

• $\sin x = \dfrac{2t}{1 + t^2}$
• $\cos x = \dfrac{1 – t^2}{1 + t^2}$
• Điều kiện: $x \neq \pi + k2\pi$

Thay vào phương trình: $$a \cdot \dfrac{2t}{1 + t^2} + b \cdot \dfrac{1 – t^2}{1 + t^2} = c$$

Nhân cả hai vế với $(1 + t^2)$: $$2at + b(1 – t^2) = c(1 + t^2)$$ $$-bt^2 + 2at + b = c + ct^2$$ $$(b + c)t^2 – 2at + (c – b) = 0$$

Giải phương trình bậc 2 theo t, sau đó suy ra x.

Ví dụ 21: Giải phương trình $\sin x + \cos x = 1$

Lời giải (Phương pháp 1):

Ta có: $a = 1$, $b = 1$, $c = 1$

Tính: $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

Kiểm tra điều kiện: $c^2 = 1 \leq a^2 + b^2 = 2$ (có nghiệm)

Chia cả hai vế cho $\sqrt{2}$: $$\dfrac{1}{\sqrt{2}}\sin x + \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos x = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$$

Nhận thấy: $\cos 45° = \sin 45° = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Đặt $\varphi = 45° = \dfrac{\pi}{4}$, ta có: $$\cos\dfrac{\pi}{4} \cdot \sin x + \sin\dfrac{\pi}{4} \cdot \cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$

Giải: $$\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \sin\dfrac{\pi}{4}$$

$$x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x + \dfrac{\pi}{4} = \pi – \dfrac{\pi}{4} + k2\pi$$

Trường hợp 1: $$x = k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Trường hợp 2: $$x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} + k2\pi$$ $$x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Đáp số: $x = k2\pi$ hoặc $x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

Ví dụ 22: Giải phương trình $\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}$

Lời giải:

Ta có: $a = \sqrt{3}$, $b = 1$, $c = \sqrt{2}$

Kiểm tra điều kiện: $c^2 = 2 \leq a^2 + b^2 = 3 + 1 = 4$ ✓ (có nghiệm)

Tính: $\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4} = 2$

Chia cả hai vế cho 2: $$\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \dfrac{1}{2}\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$

Nhận thấy: $\cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ và $\sin 30° = \dfrac{1}{2}$

Đặt $\varphi = 30° = \dfrac{\pi}{6}$: $$\cos\dfrac{\pi}{6} \cdot \sin x + \sin\dfrac{\pi}{6} \cdot \cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\sin\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$

Giải: $$\sin\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) = \sin\dfrac{\pi}{4}$$

$$x + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{4} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{3\pi}{4} + k2\pi$$

Trường hợp 1: $$x = \dfrac{\pi}{4} – \dfrac{\pi}{6} + k2\pi = \dfrac{3\pi – 2\pi}{12} + k2\pi = \dfrac{\pi}{12} + k2\pi$$

Trường hợp 2: $$x = \dfrac{3\pi}{4} – \dfrac{\pi}{6} + k2\pi = \dfrac{9\pi – 2\pi}{12} + k2\pi = \dfrac{7\pi}{12} + k2\pi$$

Đáp số: $x = \dfrac{\pi}{12} + k2\pi$ hoặc $x = \dfrac{7\pi}{12} + k2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

Ví dụ 23: Giải phương trình $3\sin x – 4\cos x = 5$

Lời giải:

Ta có: $a = 3$, $b = -4$, $c = 5$

Kiểm tra điều kiện: $c^2 = 25$, $a^2 + b^2 = 9 + 16 = 25$

Vì $c^2 = a^2 + b^2$ nên phương trình có nghiệm (trường hợp biên).

Tính: $\sqrt{a^2 + b^2} = 5$

Chia cả hai vế cho 5: $$\dfrac{3}{5}\sin x – \dfrac{4}{5}\cos x = 1$$

Đặt $\cos \varphi = \dfrac{3}{5}$ và $\sin \varphi = -\dfrac{4}{5}$ (góc $\varphi$ nằm ở góc phần tư thứ IV)

$$\sin(x – \varphi) = 1$$ $$x – \varphi = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi$$ $$x = \varphi + \dfrac{\pi}{2} + k2\pi$$

Trong đó $\varphi = \arctan\left(-\dfrac{4}{3}\right)$ hoặc tính từ $\cos \varphi = \dfrac{3}{5}$.

Đáp số: $x = \arccos\left(\dfrac{3}{5}\right) + \dfrac{\pi}{2} + k2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

V. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI MỘT HÀM LƯỢNG GIÁC

1. Dạng tổng quát

Phương trình bậc hai đối với một hàm lượng giác có các dạng:

$$a\sin^2 x + b\sin x + c = 0$$ $$a\cos^2 x + b\cos x + c = 0$$ $$a\tan^2 x + b\tan x + c = 0$$ $$a\cot^2 x + b\cot x + c = 0$$

Trong đó $a \neq 0$.

2. Phương pháp: Đặt ẩn phụ

Các bước thực hiện:

Bước 1: Đặt ẩn phụ

• Nếu phương trình chứa sin: đặt $t = \sin x$ với $-1 \leq t \leq 1$
• Nếu phương trình chứa cos: đặt $t = \cos x$ với $-1 \leq t \leq 1$
• Nếu phương trình chứa tan: đặt $t = \tan x$ với $t \in \mathbb{R}$
• Nếu phương trình chứa cot: đặt $t = \cot x$ với $t \in \mathbb{R}$

Bước 2: Giải phương trình bậc hai theo t: $$at^2 + bt + c = 0$$

Bước 3: Kiểm tra điều kiện của t (nếu có)

Bước 4: Với mỗi nghiệm t hợp lệ, giải phương trình lượng giác cơ bản tương ứng

Ví dụ 24: Giải phương trình $2\sin^2 x – 3\sin x + 1 = 0$

Lời giải:

Đặt $t = \sin x$ với điều kiện $-1 \leq t \leq 1$

Phương trình trở thành: $$2t^2 – 3t + 1 = 0$$

Phân tích: $$(2t – 1)(t – 1) = 0$$

$$t_1 = \dfrac{1}{2}, \quad t_2 = 1$$

Cả hai giá trị đều thỏa điều kiện $-1 \leq t \leq 1$.

Với $t_1 = \dfrac{1}{2}$: $\sin x = \dfrac{1}{2}$ $$x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi$$

Với $t_2 = 1$: $\sin x = 1$ $$x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi$$

Đáp số: $x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi$, $x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi$, hoặc $x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

Ví dụ 25: Giải phương trình $\cos^2 x + \cos x – 2 = 0$

Lời giải:

Đặt $t = \cos x$ với $-1 \leq t \leq 1$

Phương trình trở thành: $$t^2 + t – 2 = 0$$

Phân tích: $$(t + 2)(t – 1) = 0$$

$$t_1 = -2, \quad t_2 = 1$$

Kiểm tra điều kiện:

• $t_1 = -2 < -1$ (loại)
• $t_2 = 1$ (nhận)

Với $t = 1$: $\cos x = 1$ $$x = k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Đáp số: $x = k2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

Ví dụ 26: Giải phương trình $\tan^2 x – 2\tan x – 3 = 0$

Lời giải:

Điều kiện: $x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi$

Đặt $t = \tan x$ với $t \in \mathbb{R}$

Phương trình trở thành: $$t^2 – 2t – 3 = 0$$

Phân tích: $$(t – 3)(t + 1) = 0$$

$$t_1 = 3, \quad t_2 = -1$$

Với $t_1 = 3$: $\tan x = 3$ $$x = \arctan 3 + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Với $t_2 = -1$: $\tan x = -1$ $$x = -\dfrac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Đáp số: $x = \arctan 3 + k\pi$ hoặc $x = -\dfrac{\pi}{4} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

3. Sử dụng công thức hạ bậc

Khi nào sử dụng:

Khi phương trình chứa $\sin^2 x$ hoặc $\cos^2 x$ cùng với các hạng tử khác, ta có thể dùng công thức hạ bậc để đưa về phương trình bậc nhất.

Công thức hạ bậc:

• $\sin^2 x = \dfrac{1 – \cos 2x}{2}$
• $\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}$

Ví dụ 27: Giải phương trình $\cos^2 x – \sin^2 x = \dfrac{1}{2}$

Lời giải:

Sử dụng công thức $\cos 2x = \cos^2 x – \sin^2 x$:

$$\cos 2x = \dfrac{1}{2}$$

Giải phương trình cơ bản: $$2x = \pm\dfrac{\pi}{3} + k2\pi$$ $$x = \pm\dfrac{\pi}{6} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Đáp số: $x = \pm\dfrac{\pi}{6} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

Ví dụ 28: Giải phương trình $2\sin^2 x + 3\cos 2x = 0$

Lời giải:

Sử dụng $\sin^2 x = \dfrac{1 – \cos 2x}{2}$:

$$2 \cdot \dfrac{1 – \cos 2x}{2} + 3\cos 2x = 0$$ $$1 – \cos 2x + 3\cos 2x = 0$$ $$1 + 2\cos 2x = 0$$ $$\cos 2x = -\dfrac{1}{2}$$

Giải: $$2x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + k2\pi$$ $$x = \pm\dfrac{\pi}{3} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Đáp số: $x = \pm\dfrac{\pi}{3} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

VI. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP

1. Phương trình đẳng cấp bậc 2

Dạng tổng quát: $$a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x = d$$

Trong đó $d$ có thể bằng 0 hoặc khác 0.

Đặc điểm: Tất cả các hạng tử đều có bậc 2 đối với sin và cos (kể cả tích $\sin x \cos x$).

Phương pháp giải:

Trường hợp 1: Nếu $d = 0$

$$a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x = 0$$

Bước 1: Kiểm tra $\cos x = 0$ có phải nghiệm không

Bước 2: Nếu $\cos x \neq 0$, chia cả hai vế cho $\cos^2 x$: $$a\tan^2 x + b\tan x + c = 0$$

Bước 3: Đặt $t = \tan x$ và giải phương trình bậc hai

Trường hợp 2: Nếu $d \neq 0$

$a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x = d$

Bước 1: Sử dụng $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, viết lại: $a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x = d(\sin^2 x + \cos^2 x)$

Bước 2: Chuyển vế: $(a – d)\sin^2 x + b\sin x \cos x + (c – d)\cos^2 x = 0$

Bước 3: Giải như trường hợp 1

Ví dụ 29: Giải phương trình $\sin^2 x + 2\sin x \cos x – 3\cos^2 x = 0$

Lời giải:

Bước 1: Kiểm tra $\cos x = 0$

Nếu $\cos x = 0$ thì $\sin^2 x = 1$

Phương trình trở thành: $1 + 0 – 0 = 1 \neq 0$

Vậy $\cos x = 0$ không phải nghiệm.

Bước 2: Chia cả hai vế cho $\cos^2 x$ (với $\cos x \neq 0$):

$\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x} + 2\dfrac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} – 3\dfrac{\cos^2 x}{\cos^2 x} = 0$ $\tan^2 x + 2\tan x – 3 = 0$

Bước 3: Đặt $t = \tan x$:

$t^2 + 2t – 3 = 0$

Phân tích: $(t + 3)(t – 1) = 0$

$t_1 = -3, \quad t_2 = 1$

Với $t_1 = -3$: $\tan x = -3$ $x = \arctan(-3) + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$

Với $t_2 = 1$: $\tan x = 1$ $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$

Đáp số: $x = \arctan(-3) + k\pi$ hoặc $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

Ví dụ 30: Giải phương trình $3\sin^2 x + 4\sin x \cos x + \cos^2 x = 2$

Lời giải:

Sử dụng $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$3\sin^2 x + 4\sin x \cos x + \cos^2 x = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)$ $3\sin^2 x + 4\sin x \cos x + \cos^2 x = 2\sin^2 x + 2\cos^2 x$ $\sin^2 x + 4\sin x \cos x – \cos^2 x = 0$

Chia cho $\cos^2 x$ (giả sử $\cos x \neq 0$): $\tan^2 x + 4\tan x – 1 = 0$

Đặt $t = \tan x$: $t^2 + 4t – 1 = 0$

$\Delta = 16 + 4 = 20$

$t = \dfrac{-4 \pm \sqrt{20}}{2} = \dfrac{-4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = -2 \pm \sqrt{5}$

$t_1 = -2 + \sqrt{5}, \quad t_2 = -2 – \sqrt{5}$

Với $t_1 = -2 + \sqrt{5}$: $\tan x = -2 + \sqrt{5}$ $x = \arctan(-2 + \sqrt{5}) + k\pi$

Với $t_2 = -2 – \sqrt{5}$: $\tan x = -2 – \sqrt{5}$ $x = \arctan(-2 – \sqrt{5}) + k\pi$

Kiểm tra $\cos x = 0$: Thay vào phương trình gốc, không thỏa mãn.

Đáp số: $x = \arctan(-2 \pm \sqrt{5}) + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

2. Phương trình đẳng cấp bậc 3

Dạng tổng quát: $a\sin^3 x + b\sin^2 x \cos x + c\sin x \cos^2 x + d\cos^3 x = 0$

Phương pháp giải:

Bước 1: Kiểm tra $\cos x = 0$

Bước 2: Nếu $\cos x \neq 0$, chia cho $\cos^3 x$: $a\tan^3 x + b\tan^2 x + c\tan x + d = 0$

Bước 3: Đặt $t = \tan x$ và giải phương trình bậc 3

Ví dụ 31: Giải phương trình $\sin^3 x – \cos^3 x = 0$

Lời giải:

Kiểm tra $\cos x = 0$: Nếu $\cos x = 0$ thì $\sin x = \pm 1$, suy ra $\sin^3 x = \pm 1 \neq 0$. Loại.

Chia cho $\cos^3 x$ (với $\cos x \neq 0$): $\tan^3 x – 1 = 0$ $\tan^3 x = 1$ $\tan x = 1$

Giải: $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$

Đáp số: $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

VII. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG

Dạng phương trình đối xứng

Dạng tổng quát: $a(\sin x + \cos x) + b\sin x \cos x + c = 0$

Phương trình này có tính đối xứng giữa sin x và cos x.

Phương pháp giải:

Bước 1: Đặt $t = \sin x + \cos x$ với điều kiện $|t| \leq \sqrt{2}$

Bước 2: Bình phương hai vế: $t^2 = (\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + 2\sin x \cos x$

Suy ra: $\sin x \cos x = \dfrac{t^2 – 1}{2}$

Bước 3: Thay vào phương trình: $at + b \cdot \dfrac{t^2 – 1}{2} + c = 0$

Bước 4: Giải phương trình bậc hai theo t, tìm các giá trị t thỏa $|t| \leq \sqrt{2}$

Bước 5: Với mỗi giá trị t hợp lệ, giải phương trình $\sin x + \cos x = t$

Cách giải $\sin x + \cos x = t$:

$\sin x + \cos x = t$ $\sqrt{2}\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = t$ $\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{t}{\sqrt{2}}$

Sau đó áp dụng công thức nghiệm của phương trình sin cơ bản.

Ví dụ 32: Giải phương trình $\sin x + \cos x + \sin x \cos x = 1$

Lời giải:

Đặt $t = \sin x + \cos x$ với $-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$

Ta có: $\sin x \cos x = \dfrac{t^2 – 1}{2}$

Thay vào phương trình: $t + \dfrac{t^2 – 1}{2} = 1$

Nhân cả hai vế với 2: $2t + t^2 – 1 = 2$ $t^2 + 2t – 3 = 0$

Phân tích: $(t + 3)(t – 1) = 0$

$t_1 = -3, \quad t_2 = 1$

Kiểm tra điều kiện:

• $t_1 = -3 < -\sqrt{2}$ (loại)
• $t_2 = 1 \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ (nhận)

Với $t = 1$: $\sin x + \cos x = 1$

$\sqrt{2}\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = 1$ $\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Giải: $x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4} + k2\pi$

Trường hợp 1: $x = k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$

Trường hợp 2: $x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$

Đáp số: $x = k2\pi$ hoặc $x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

Ví dụ 33: Giải phương trình $2(\sin x + \cos x) – 3\sin x \cos x – 2 = 0$

Lời giải:

Đặt $t = \sin x + \cos x$ với $|t| \leq \sqrt{2}$

$\sin x \cos x = \dfrac{t^2 – 1}{2}$

Thay vào: $2t – 3 \cdot \dfrac{t^2 – 1}{2} – 2 = 0$

Nhân với 2: $4t – 3(t^2 – 1) – 4 = 0$ $4t – 3t^2 + 3 – 4 = 0$ $-3t^2 + 4t – 1 = 0$ $3t^2 – 4t + 1 = 0$

Phân tích: $(3t – 1)(t – 1) = 0$

$t_1 = \dfrac{1}{3}, \quad t_2 = 1$

Cả hai giá trị đều thỏa $|t| \leq \sqrt{2}$.

Với $t_1 = \dfrac{1}{3}$: $\sin x + \cos x = \dfrac{1}{3}$

$\sqrt{2}\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{3}$ $\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{3\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{6}$

$x + \dfrac{\pi}{4} = \arcsin\dfrac{\sqrt{2}}{6} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x + \dfrac{\pi}{4} = \pi – \arcsin\dfrac{\sqrt{2}}{6} + k2\pi$

$x = \arcsin\dfrac{\sqrt{2}}{6} – \dfrac{\pi}{4} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \dfrac{3\pi}{4} – \arcsin\dfrac{\sqrt{2}}{6} + k2\pi$

Với $t_2 = 1$: (đã giải ở ví dụ 32)

$x = k2\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi$

Đáp số: Tổng hợp tất cả các nghiệm từ $t_1$ và $t_2$ ($k \in \mathbb{Z}$)

VIII. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA TỔNG VÀ TÍCH

1. Biến đổi tích thành tổng

Khi nào sử dụng:

Khi phương trình chứa tích của các hàm lượng giác, ta sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng.

Công thức biến đổi:

$\sin a \sin b = \dfrac{1}{2}[\cos(a – b) – \cos(a + b)]$

$\cos a \cos b = \dfrac{1}{2}[\cos(a – b) + \cos(a + b)]$

$\sin a \cos b = \dfrac{1}{2}[\sin(a + b) + \sin(a – b)]$

Ví dụ 34: Giải phương trình $\sin 3x \cos 2x = \sin 5x \cos 4x$

Lời giải:

Áp dụng công thức $\sin a \cos b = \dfrac{1}{2}[\sin(a + b) + \sin(a – b)]$:

Vế trái: $\sin 3x \cos 2x = \dfrac{1}{2}[\sin 5x + \sin x]$

Vế phải: $\sin 5x \cos 4x = \dfrac{1}{2}[\sin 9x + \sin x]$

Phương trình trở thành: $\dfrac{1}{2}[\sin 5x + \sin x] = \dfrac{1}{2}[\sin 9x + \sin x]$ $\sin 5x + \sin x = \sin 9x + \sin x$ $\sin 5x = \sin 9x$

Áp dụng công thức nghiệm: $5x = 9x + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 5x = \pi – 9x + k2\pi$

Trường hợp 1: $-4x = k2\pi$ $x = -\dfrac{k\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})$

Trường hợp 2: $14x = \pi + k2\pi$ $x = \dfrac{(1 + 2k)\pi}{14} \quad (k \in \mathbb{Z})$

Đáp số: $x = -\dfrac{k\pi}{2}$ hoặc $x = \dfrac{(1 + 2k)\pi}{14}$ ($k \in \mathbb{Z}$)

Ví dụ 35: Giải phương trình $\cos x \cos 2x = \cos 3x \cos 4x$

Lời giải:

Áp dụng công thức $\cos a \cos b = \dfrac{1}{2}[\cos(a – b) + \cos(a + b)]$:

Vế trái: $\cos x \cos 2x = \dfrac{1}{2}[\cos x + \cos 3x]$

Vế phải: $\cos 3x \cos 4x = \dfrac{1}{2}[\cos x + \cos 7x]$

Phương trình: $\dfrac{1}{2}[\cos x + \cos 3x] = \dfrac{1}{2}[\cos x + \cos 7x]$ $\cos 3x = \cos 7x$

Giải: $3x = \pm 7x + k2\pi$

Trường hợp 1: $3x = 7x + k2\pi$ $-4x = k2\pi$ $x = -\dfrac{k\pi}{2}$

Trường hợp 2: $3x = -7x + k2\pi$ $10x = k2\pi$ $x = \dfrac{k\pi}{5}$

Đáp số: $x = -\dfrac{k\pi}{2}$ hoặc $x = \dfrac{k\pi}{5}$ ($k \in \mathbb{Z}$)

2. Biến đổi tổng thành tích

Khi nào sử dụng:

Khi phương trình chứa tổng hoặc hiệu các hàm lượng giác, ta biến đổi thành tích để phân tích thành nhân tử.

Công thức biến đổi:

$\sin a + \sin b = 2\sin\dfrac{a + b}{2}\cos\dfrac{a – b}{2}$

$\sin a – \sin b = 2\cos\dfrac{a + b}{2}\sin\dfrac{a – b}{2}$

$\cos a + \cos b = 2\cos\dfrac{a + b}{2}\cos\dfrac{a – b}{2}$

$\cos a – \cos b = -2\sin\dfrac{a + b}{2}\sin\dfrac{a – b}{2}$

Ví dụ 36: Giải phương trình $\sin x + \sin 3x = 0$

Lời giải:

Áp dụng công thức: $\sin x + \sin 3x = 2\sin\dfrac{x + 3x}{2}\cos\dfrac{x – 3x}{2} = 0$ $2\sin 2x \cos(-x) = 0$ $2\sin 2x \cos x = 0$

Phương trình tích: $\sin 2x \cos x = 0$

Trường hợp 1: $\sin 2x = 0$ $2x = k\pi$ $x = \dfrac{k\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})$

Trường hợp 2: $\cos x = 0$ $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$

Nhận thấy trường hợp 2 là một phần của trường hợp 1 (khi k lẻ).

Đáp số: $x = \dfrac{k\pi}{2}$ ($k \in \mathbb{Z}$)

Ví dụ 37: Giải phương trình $\cos 2x + \cos 4x = 0$

Lời giải:

Áp dụng công thức: $\cos 2x + \cos 4x = 2\cos\dfrac{2x + 4x}{2}\cos\dfrac{2x – 4x}{2} = 0$ $2\cos 3x \cos(-x) = 0$ $2\cos 3x \cos x = 0$

Trường hợp 1: $\cos 3x = 0$ $3x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ $x = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{3} \quad (k \in \mathbb{Z})$

Trường hợp 2: $\cos x = 0$ $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$

Đáp số: $x = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{3}$ hoặc $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

Ví dụ 38: Giải phương trình $\sin 5x – \sin x = \cos 3x$

Lời giải:

Biến đổi vế trái: $\sin 5x – \sin x = 2\cos\dfrac{5x + x}{2}\sin\dfrac{5x – x}{2}$ $= 2\cos 3x \sin 2x$

Phương trình trở thành: $2\cos 3x \sin 2x = \cos 3x$ $2\cos 3x \sin 2x – \cos 3x = 0$ $\cos 3x(2\sin 2x – 1) = 0$

Trường hợp 1: $\cos 3x = 0$ $3x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ $x = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{3}$

Trường hợp 2: $2\sin 2x – 1 = 0$ $\sin 2x = \dfrac{1}{2}$ $2x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \quad \text{hoặc} \quad 2x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi$ $x = \dfrac{\pi}{12} + k\pi \quad \text{hoặc} \quad x = \dfrac{5\pi}{12} + k\pi$

Đáp số: $x = \dfrac{\pi}{6} + \dfrac{k\pi}{3}$, $x = \dfrac{\pi}{12} + k\pi$, hoặc $x = \dfrac{5\pi}{12} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

IX. MẸO VÀ KỸ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Chia hai vế cho hàm lượng giác mà không kiểm tra điều kiện

Ví dụ sai: $\sin x \cos x = \sin x$

Chia cả hai vế cho $\sin x$: $\cos x = 1$ (SAI – có thể bỏ sót nghiệm)

Cách đúng: $\sin x \cos x – \sin x = 0$ $\sin x(\cos x – 1) = 0$

Rồi mới xét hai trường hợp: $\sin x = 0$ và $\cos x = 1$.

❌ SAI LẦM 2: Nhầm chu kỳ của hàm lượng giác

• Sin, cos có chu kỳ $2\pi$ → nghiệm chứa $k2\pi$
• Tan, cot có chu kỳ $\pi$ → nghiệm chứa $k\pi$

Ví dụ sai: $\tan x = 1$ có nghiệm $x = \dfrac{\pi}{4} + k2\pi$ (SAI)

Đúng: $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$

❌ SAI LẦM 3: Quên điều kiện $|m| \leq 1$ cho sin và cos

Ví dụ: $\sin x = 2$ → Phải kết luận VÔ NGHIỆM, không giải tiếp.

❌ SAI LẦM 4: Viết nghiệm thiếu $k \in \mathbb{Z}$

Luôn phải ghi rõ $k \in \mathbb{Z}$ sau công thức nghiệm.

❌ SAI LẦM 5: Quên trường hợp đặc biệt

Khi giải phương trình đẳng cấp, phải kiểm tra trường hợp $\cos x = 0$ trước khi chia.

✅ CÁCH KHẮC PHỤC:

1. Luôn đưa về phương trình tích thay vì chia hai vế
2. Ghi nhớ chu kỳ: sin/cos ($2\pi$), tan/cot ($\pi$)
3. Kiểm tra điều kiện trước khi kết luận nghiệm
4. Viết đầy đủ $k \in \mathbb{Z}$
5. Xét riêng trường hợp đặc biệt trước khi biến đổi

2. Sơ đồ tư duy chọn phương pháp

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
│
├─ Dạng sin x = m, cos x = m, tan x = m, cot x = m?
│  └─ Áp dụng công thức nghiệm cơ bản
│
├─ Chứa duy nhất 1 hàm (sin, cos, tan, hoặc cot)?
│  └─ Đặt ẩn phụ t = (hàm đó)
│
├─ Dạng a sin x + b cos x = c?
│  └─ Chia cho √(a² + b²) hoặc đặt t = tan(x/2)
│
├─ Đẳng cấp (tất cả hạng tử cùng bậc)?
│  └─ Chia cho cos^n x (hoặc sin^n x)
│
├─ Đối xứng giữa sin x và cos x?
│  └─ Đặt t = sin x + cos x
│
├─ Chứa tích các hàm lượng giác?
│  └─ Biến đổi tích thành tổng
│
├─ Chứa tổng các hàm lượng giác?
│  └─ Biến đổi tổng thành tích
│
└─ Còn lại?
   └─ Biến đổi lượng giác (công thức cộng, nhân đôi, hạ bậc...)

3. Bảng công thức cần nhớ

Công thức nghiệm cơ bản:

Nghiệm đặc biệt:

4. Mẹo nhớ nghiệm đặc biệt

Nhớ nhanh với đường tròn lượng giác:

Sin x = 0, ±1:

• $\sin x = 0$: “Giao trục hoành” → $x = k\pi$
• $\sin x = 1$: “Điểm cao nhất (đỉnh)” → $x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi$
• $\sin x = -1$: “Điểm thấp nhất (đáy)” → $x = -\dfrac{\pi}{2} + k2\pi$

Cos x = 0, ±1:

• $\cos x = 0$: “Giao trục tung” → $x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$
• $\cos x = 1$: “Điểm bên phải” → $x = k2\pi$
• $\cos x = -1$: “Điểm bên trái” → $x = \pi + k2\pi$

Tan x = 0, ±1:

• $\tan x = 0$: “Sin = 0” → $x = k\pi$
• $\tan x = 1$: “Góc 45°” → $x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$
• $\tan x = -1$: “Góc -45°” → $x = -\dfrac{\pi}{4} + k\pi$

5. Kiểm tra nghiệm

Cách 1: Thế nghiệm vào phương trình gốc

Chọn một giá trị cụ thể của k (thường k = 0 hoặc k = 1), thế vào công thức nghiệm, rồi kiểm tra xem có thỏa mãn phương trình ban đầu không.

Ví dụ: Nghiệm $x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi$ của phương trình $\sin x = \dfrac{1}{2}$

Thử $k = 0$: $x = \dfrac{\pi}{6}$, $\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$ ✓

Cách 2: Sử dụng máy tính

Sử dụng máy tính cầm tay để tính giá trị hàm lượng giác và kiểm tra.

Cách 3: Vẽ đồ thị

Vẽ đồ thị hai vế của phương trình và kiểm tra giao điểm. Số giao điểm trong một chu kỳ cho biết số họ nghiệm.

Cách 4: Kiểm tra điều kiện

• Với sin, cos: Kiểm tra $-1 \leq m \leq 1$
• Với tan, cot: Kiểm tra điều kiện xác định
• Với nghiệm sau đặt ẩn phụ: Kiểm tra miền giá trị của t

6. Mẹo giải nhanh

Mẹo 1: Nhận biết phương trình vô nghiệm

• $\sin x = m$ với $|m| > 1$ → VÔ NGHIỆM
• $\cos x = m$ với $|m| > 1$ → VÔ NGHIỆM
• $a\sin x + b\cos x = c$ với $c^2 > a^2 + b^2$ → VÔ NGHIỆM

Mẹo 2: Sử dụng tính chẵn lẻ

• $\sin(-x) = -\sin x$ (hàm lẻ)
• $\cos(-x) = \cos x$ (hàm chẵn)
• $\tan(-x) = -\tan x$ (hàm lẻ)

Mẹo 3: Góc đặc biệt

Thuộc bảng giá trị lượng giác của các góc 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.

Mẹo 4: Biến đổi thông minh

• $1 – \cos 2x = 2\sin^2 x$
• $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$
• $\sin^2 x – \cos^2 x = -\cos 2x$

X. KẾT LUẬN

1. Tổng kết nội dung

Bài viết đã trình bày đầy đủ và chi tiết về phương trình lượng giác, bao gồm:

✅ Phương trình cơ bản: Công thức nghiệm tổng quát cho $\sin x = m$, $\cos x = m$, $\tan x = m$, $\cot x = m$ với đầy đủ các trường hợp đặc biệt.

✅ Phương trình quy về cơ bản: Các phương pháp biến đổi đại số, biến đổi lượng giác, và đặt ẩn phụ để đưa về dạng cơ bản.

✅ Phương trình bậc nhất: Dạng $a\sin x + b\cos x = c$ với phương pháp chia cho $\sqrt{a^2 + b^2}$ hoặc đặt $t = \tan\dfrac{x}{2}$.

✅ Phương trình bậc hai: Phương trình chứa một hàm lượng giác với lũy thừa bậc hai, giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

✅ Phương trình đẳng cấp: Phương trình mà tất cả hạng tử có cùng bậc, giải bằng cách chia cho $\cos^n x$ hoặc $\sin^n x$.

✅ Phương trình đối xứng: Dạng chứa $\sin x + \cos x$ và $\sin x \cos x$, giải bằng cách đặt $t = \sin x + \cos x$.

✅ Phương trình chứa tổng và tích: Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích hoặc tích thành tổng.

✅ Mẹo và kỹ thuật: Các sai lầm thường gặp, sơ đồ tư duy chọn phương pháp, bảng công thức tóm tắt, và cách kiểm tra nghiệm.

Phương trình lượng giác là một chủ đề vừa thú vị vừa thách thức trong chương trình Toán học phổ thông. Với sự đa dạng của các dạng bài và phương pháp giải, nó đòi hỏi người học phải:

• Nắm vững lý thuyết: Hiểu rõ bản chất và nguồn gốc của các công thức
• Linh hoạt trong tư duy: Biết chọn phương pháp phù hợp với từng bài toán
• Cẩn thận và tỉ mỉ: Chú ý đến điều kiện, chu kỳ, và cách viết nghiệm
• Kiên trì luyện tập: Làm nhiều bài tập để thành thạo các kỹ năng

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn toàn diện và chi tiết về phương trình lượng giác, từ cơ bản đến nâng cao. Hãy sử dụng nó như một tài liệu tham khảo, ôn tập và luyện tập thường xuyên.

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa