I. GIỚI THIỆU VỀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

1. Tích phân được ứng dụng vào đâu?

Tích phân không chỉ là một công cụ toán học thuần túy mà còn có vô số ứng dụng thực tế trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học và đời sống.

Trong hình học:

• Tính diện tích hình phẳng bất kỳ: Không chỉ giới hạn ở các hình cơ bản như tam giác, hình chữ nhật, mà còn tính được diện tích các hình phức tạp giới hạn bởi đường cong
• Tính thể tích vật thể trong không gian: Các khối có hình dạng không đều, khối tròn xoay, khối có thiết diện đặc biệt
• Tính độ dài đường cong: Đo chiều dài các đường cong phức tạp trong mặt phẳng hoặc không gian

Trong vật lý:

• Tính công: Công của lực biến đổi khi vật di chuyển
• Tính áp lực: Áp lực nước lên đập, áp lực khí quyển
• Tính khối lượng: Khối lượng vật thể có mật độ không đều
• Tính điện tích, từ trường: Các đại lượng phân bố liên tục

Trong kỹ thuật:

• Thiết kế cầu đường, công trình xây dựng
• Tính toán kết cấu máy móc
• Phân tích mạch điện, tín hiệu

Trong kinh tế:

• Tính tổng lợi nhuận, chi phí tích lũy
• Phân tích tăng trưởng kinh tế
• Dự báo xu hướng thị trường

2. Tại sao tích phân giải quyết được các bài toán này?

Nguyên lý cơ bản: Tích phân hoạt động theo quy trình “Chia nhỏ → Tính gần đúng → Cộng lại → Lấy giới hạn”

Ví dụ với diện tích:

1. Chia nhỏ: Chia hình phẳng thành n hình chữ nhật nhỏ
2. Tính gần đúng: Diện tích mỗi hình chữ nhật ≈ $f(x_i) \cdot \Delta x$
3. Cộng lại: Tổng diện tích ≈ $\sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x$
4. Lấy giới hạn: Khi $n \to \infty$: $S = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i) \Delta x = \int_a^b f(x)dx$

Ví dụ với thể tích:

• Thể tích = tổng của vô số lát cắt mỏng
• Mỗi lát có thể tích $\Delta V = S(x) \cdot \Delta x$
• Tổng: $V = \int_a^b S(x)dx$

Sức mạnh của tích phân:

• Biến bài toán phức tạp thành tổng của vô số phần tử đơn giản
• Cho kết quả chính xác tuyệt đối (không phải gần đúng)
• Áp dụng được cho mọi hình dạng, mọi hàm số liên tục

3. Cấu trúc bài viết

Bài viết này tập trung vào ba ứng dụng quan trọng nhất của tích phân trong chương trình phổ thông:

Phần 1: Tính diện tích hình phẳng

• 5 dạng bài toán diện tích
• Công thức chi tiết cho từng trường hợp
• Phương pháp xét dấu và chia đoạn

Phần 2: Tính thể tích vật thể

• Công thức tổng quát với thiết diện
• Các dạng thiết diện thường gặp
• Ví dụ tính thể tích khối chóp

Phần 3: Tính thể tích khối tròn xoay

• 4 dạng quay quanh các trục
• Công thức cho 1 đồ thị và 2 đồ thị
• Bảng tổng hợp công thức

Phần 4: Mẹo và lưu ý quan trọng

• Các sai lầm thường gặp
• Cách nhận dạng nhanh
• Phương pháp kiểm tra kết quả

II. ỨNG DỤNG 1: TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

1. Diện tích giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành

Công thức

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

• Đồ thị $y = f(x)$
• Trục Ox (trục hoành)
• Hai đường thẳng $x = a$ và $x = b$

$$S = \int_a^b |f(x)|dx$$

Lưu ý quan trọng về dấu

Trường hợp 1: Nếu $f(x) \geq 0$ trên $[a, b]$

Hàm số nằm hoàn toàn phía trên trục hoành:

$$S = \int_a^b f(x)dx$$

Trường hợp 2: Nếu $f(x) \leq 0$ trên $[a, b]$

Hàm số nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành:

$$S = -\int_a^b f(x)dx = \int_a^b |f(x)|dx$$

Giải thích: Tích phân cho giá trị âm khi hàm âm, nhưng diện tích luôn dương, nên phải lấy trị tuyệt đối.

Trường hợp 3: Nếu $f(x)$ đổi dấu trên $[a, b]$

Phải chia thành nhiều đoạn mà trên mỗi đoạn hàm số không đổi dấu.

Phương pháp giải (4 bước)

Bước 1: Tìm nghiệm của $f(x) = 0$ trên $[a, b]$

Giải phương trình để tìm các điểm mà đồ thị cắt trục hoành.

Bước 2: Lập bảng xét dấu $f(x)$

Xác định dấu của $f(x)$ trên từng khoảng.

Bước 3: Chia thành các đoạn mà $f(x)$ không đổi dấu

Mỗi nghiệm tạo ra một điểm chia.

Bước 4: Tính diện tích từng đoạn và cộng lại

$$S = \sum \left|\int \text{(từng đoạn)}\right|$$

Ví dụ 1: Hàm không âm

Bài toán: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$, trục Ox, $x = 0$, $x = 2$.

Lời giải:

Bước 1: Xét dấu $$f(x) = x^2 \geq 0 \text{ với mọi } x \in [0, 2]$$

Bước 2: Vì hàm không âm, áp dụng công thức trực tiếp:

$$S = \int_0^2 x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2$$

$$= \frac{8}{3} – 0 = \frac{8}{3}$$

Đáp số: $\dfrac{8}{3}$ (đvdt)

Ý nghĩa hình học: Diện tích vùng nằm dưới parabol $y = x^2$ từ 0 đến 2.

Ví dụ 2: Hàm đổi dấu

Bài toán: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2 – 4$, trục Ox, $x = 0$, $x = 3$.

Lời giải:

Bước 1: Tìm nghiệm

$$x^2 – 4 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2$$

Trên $[0, 3]$, nghiệm là $x = 2$.

Bước 2: Xét dấu

• Trên $[0, 2]$: $x^2 – 4 \leq 0$ (phía dưới trục Ox)
• Trên $[2, 3]$: $x^2 – 4 \geq 0$ (phía trên trục Ox)

Bước 3: Chia đoạn và tính diện tích

$$S = \int_0^2 |x^2-4|dx + \int_2^3 |x^2-4|dx$$

$$= -\int_0^2 (x^2-4)dx + \int_2^3 (x^2-4)dx$$

Tính tích phân thứ nhất:

$$-\int_0^2 (x^2-4)dx = -\left[\frac{x^3}{3}-4x\right]_0^2$$

$$= -\left(\frac{8}{3}-8-0\right) = -\left(\frac{8-24}{3}\right) = -\left(-\frac{16}{3}\right) = \frac{16}{3}$$

Tính tích phân thứ hai:

$$\int_2^3 (x^2-4)dx = \left[\frac{x^3}{3}-4x\right]_2^3$$

$$= \left(\frac{27}{3}-12\right) – \left(\frac{8}{3}-8\right)$$

$$= (9-12) – \left(\frac{8}{3}-8\right) = -3 – \frac{8-24}{3}$$

$$= -3 + \frac{16}{3} = \frac{-9+16}{3} = \frac{7}{3}$$

Bước 4: Tổng hợp

$$S = \frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3}$$

Đáp số: $\dfrac{23}{3}$ (đvdt)

2. Diện tích giới hạn bởi hai đồ thị hàm số

Công thức

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

• Đồ thị $y = f(x)$
• Đồ thị $y = g(x)$
• Hai đường thẳng $x = a$, $x = b$

$$S = \int_a^b |f(x) – g(x)|dx$$

Nếu $f(x) \geq g(x)$ trên $[a, b]$ (đồ thị $f$ nằm phía trên $g$):

$$S = \int_a^b [f(x) – g(x)]dx$$

Phương pháp giải (3 bước)

Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm

Giải phương trình $f(x) = g(x)$ để tìm các cận tích phân (nếu chưa cho).

Bước 2: Xác định hàm nào nằm phía trên

Chọn một điểm $x_0$ bất kỳ trong $(a, b)$ và so sánh $f(x_0)$ với $g(x_0)$.

Bước 3: Áp dụng công thức

$$S = \int_a^b [\text{hàm trên} – \text{hàm dưới}]dx$$

Ví dụ 3: Đường thẳng và parabol

Bài toán: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 2x$.

Lời giải:

Bước 1: Tìm giao điểm

$$x^2 = 2x \Leftrightarrow x^2 – 2x = 0 \Leftrightarrow x(x – 2) = 0$$

$$\Leftrightarrow x = 0 \text{ hoặc } x = 2$$

Bước 2: Xác định hàm phía trên

Chọn $x = 1 \in (0, 2)$:

• $f(1) = 2 \cdot 1 = 2$
• $g(1) = 1^2 = 1$

Vậy trên $[0, 2]$: $2x \geq x^2$ (đường thẳng nằm phía trên parabol)

Bước 3: Tính diện tích

$$S = \int_0^2 (2x – x^2)dx$$

$$= \left[x^2 – \frac{x^3}{3}\right]_0^2$$

$$= \left(4 – \frac{8}{3}\right) – 0 = \frac{12-8}{3} = \frac{4}{3}$$

Đáp số: $\dfrac{4}{3}$ (đvdt)

Ví dụ 4: Hai parabol

Bài toán: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2 – 2x$ và $y = x$.

Lời giải:

Bước 1: Tìm giao điểm

$$x^2 – 2x = x \Leftrightarrow x^2 – 3x = 0$$

$$\Leftrightarrow x(x – 3) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \text{ hoặc } x = 3$$

Bước 2: Xác định hàm phía trên

Chọn $x = 1$:

• $f(1) = 1^2 – 2 \cdot 1 = -1$
• $g(1) = 1$

Vậy trên $[0, 3]$: $x \geq x^2 – 2x$ (đường thẳng phía trên)

Bước 3: Tính diện tích

$$S = \int_0^3 [x – (x^2 – 2x)]dx = \int_0^3 (3x – x^2)dx$$

$$= \left[\frac{3x^2}{2} – \frac{x^3}{3}\right]_0^3$$

$$= \frac{3 \cdot 9}{2} – \frac{27}{3} = \frac{27}{2} – 9 = \frac{27-18}{2} = \frac{9}{2}$$

Đáp số: $\dfrac{9}{2}$ (đvdt)

3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị và trục tung

Công thức

Khi tính diện tích với trục Oy, ta đổi vai trò x và y:

$$S = \int_c^d |x(y)|dy$$

Trong đó $x = x(y)$ là hàm theo biến $y$, với $c \leq y \leq d$.

Khi nào sử dụng?

• Khi dễ biểu diễn $x$ theo $y$ hơn là $y$ theo $x$
• Khi đồ thị song song với trục Ox
• Khi hình phẳng giới hạn bởi trục Oy

Ví dụ 5: Parabol nằm ngang

Bài toán: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi $x = y^2$, trục Oy, $y = 0$, $y = 2$.

Lời giải:

Phân tích: Đây là parabol nằm ngang, dễ tính theo biến $y$.

$$S = \int_0^2 y^2 dy = \left[\frac{y^3}{3}\right]_0^2 = \frac{8}{3} – 0 = \frac{8}{3}$$

Đáp số: $\dfrac{8}{3}$ (đvdt)

4. Diện tích hình phẳng cho bởi tham số

Công thức

Nếu đường cong cho bởi phương trình tham số:

$$\begin{cases} x = x(t) \ y = y(t) \end{cases}, \quad t \in [\alpha, \beta]$$

Thì diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong, trục Ox và hai đường $x = x(\alpha)$, $x = x(\beta)$ là:

$$S = \int_\alpha^\beta |y(t) \cdot x'(t)|dt$$

Khi nào sử dụng?

• Khi đường cong cho dưới dạng tham số
• Đường tròn, elip, cycloid, và các đường cong phức tạp khác

5. Công thức tổng hợp

Nguyên tắc vàng: Diện tích luôn dương → Phải dùng trị tuyệt đối hoặc xét dấu cẩn thận!

III. ỨNG DỤNG 2: TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ

1. Công thức tổng quát

Nguyên lý

Chia vật thể thành vô số lát cắt mỏng vuông góc với một trục (thường là Ox hoặc Oy).

Mỗi lát cắt có:

• Diện tích thiết diện: $S(x)$
• Độ dày: $dx$ (vô cùng nhỏ)
• Thể tích: $dV = S(x) \cdot dx$

Công thức

Nếu $S(x)$ là diện tích thiết diện vuông góc với trục Ox tại điểm $x$, thì thể tích vật thể từ $x = a$ đến $x = b$ là:

$$V = \int_a^b S(x)dx$$

Trong đó:

• $S(x)$: diện tích thiết diện tại vị trí $x$
• $[a, b]$: khoảng giá trị của $x$

2. Các dạng thiết diện thường gặp

3. Phương pháp giải (4 bước)

Bước 1: Xác định phương trình đường biên của vật thể

Xác định các đường cong hoặc hàm số giới hạn vật thể.

Bước 2: Chọn trục (thường là Ox hoặc Oy)

Chọn trục sao cho thiết diện vuông góc với trục dễ xác định nhất.

Bước 3: Xác định diện tích thiết diện $S(x)$ tại vị trí $x$

Dựa vào hình dạng thiết diện và đường biên để tính $S(x)$.

Bước 4: Tính tích phân

$$V = \int_a^b S(x)dx$$

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 6: Thể tích khối chóp

Bài toán: Tính thể tích khối chóp có đáy là hình vuông cạnh $a$, chiều cao $h$, biết thiết diện vuông góc với chiều cao là hình vuông.

Lời giải:

Bước 1: Chọn hệ trục

Chọn trục Ox theo chiều cao, gốc O tại đỉnh chóp.

Bước 2: Xác định cạnh hình vuông thiết diện

Tại vị trí $x$ với $0 \leq x \leq h$:

• Do hình chóp đều, cạnh hình vuông tỉ lệ với khoảng cách từ đỉnh
• Cạnh hình vuông = $\dfrac{ax}{h}$

Bước 3: Tính diện tích thiết diện

$$S(x) = \left(\frac{ax}{h}\right)^2 = \frac{a^2x^2}{h^2}$$

Bước 4: Tính thể tích

$$V = \int_0^h \frac{a^2x^2}{h^2}dx = \frac{a^2}{h^2}\int_0^h x^2 dx$$

$$= \frac{a^2}{h^2}\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^h = \frac{a^2}{h^2} \cdot \frac{h^3}{3} = \frac{a^2h}{3}$$

Đáp số: $V = \dfrac{a^2h}{3}$ (đvtt)

Kiểm tra: Đây chính là công thức thể tích khối chóp đáy vuông cạnh $a$, chiều cao $h$! ✓

IV. ỨNG DỤNG 3: TÍNH THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOAY

1. Khối tròn xoay là gì?

Định nghĩa

Khối tròn xoay là khối hình học được tạo ra khi quay một hình phẳng quanh một trục (thường là trục Ox hoặc Oy).

Các ví dụ quen thuộc

Quay hình chữ nhật quanh một cạnh → Hình trụ

Quay tam giác vuông quanh cạnh góc vuông → Hình nón

Quay nửa hình tròn quanh đường kính → Hình cầu

Quay hình thang quanh đáy → Hình nón cụt

2. Dạng 1: Quay quanh trục Ox

Công thức

Khi quay hình phẳng giới hạn bởi:

• Đồ thị $y = f(x)$
• Trục Ox
• Hai đường thẳng $x = a$, $x = b$

Quanh trục Ox, ta được khối tròn xoay có thể tích:

$$V = \pi\int_a^b [f(x)]^2 dx = \pi\int_a^b y^2 dx$$

Giải thích công thức

• Tại vị trí $x$, khi quay quanh Ox, thiết diện là hình tròn bán kính $r = |f(x)|$
• Diện tích thiết diện: $S(x) = \pi r^2 = \pi[f(x)]^2$
• Thể tích: $V = \int_a^b S(x)dx = \pi\int_a^b [f(x)]^2dx$

Lưu ý: Phải có $\pi$ và bình phương của $f(x)$!

Ví dụ 7: Thể tích parabol xoay

Bài toán: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$, trục Ox, $x = 0$, $x = 2$ quanh trục Ox.

Lời giải:

$$V = \pi\int_0^2 (x^2)^2 dx = \pi\int_0^2 x^4 dx$$

$$= \pi\left[\frac{x^5}{5}\right]_0^2 = \pi \cdot \frac{32}{5} – 0 = \frac{32\pi}{5}$$

Đáp số: $\dfrac{32\pi}{5}$ (đvtt)

Ví dụ 8: Thể tích khối cầu

Bài toán: Tính thể tích khối cầu bán kính $R$.

Lời giải:

Khối cầu được tạo ra khi quay nửa đường tròn $y = \sqrt{R^2 – x^2}$ (với $-R \leq x \leq R$) quanh trục Ox.

$$V = \pi\int_{-R}^R (\sqrt{R^2-x^2})^2 dx = \pi\int_{-R}^R (R^2-x^2)dx$$

$$= \pi\left[R^2x – \frac{x^3}{3}\right]_{-R}^R$$

$$= \pi\left[\left(R^3 – \frac{R^3}{3}\right) – \left(-R^3 + \frac{R^3}{3}\right)\right]$$

$$= \pi\left[\frac{2R^3}{3} – \left(-\frac{2R^3}{3}\right)\right] = \pi \cdot \frac{4R^3}{3} = \frac{4\pi R^3}{3}$$

Đáp số: $V = \dfrac{4\pi R^3}{3}$ (đvtt)

Kiểm tra: Đây chính là công thức thể tích khối cầu! ✓

3. Dạng 2: Quay quanh trục Oy

Công thức

Khi quay hình phẳng giới hạn bởi:

• Đồ thị $x = g(y)$
• Trục Oy
• Hai đường thẳng $y = c$, $y = d$

Quanh trục Oy, ta được khối tròn xoay có thể tích:

$$V = \pi\int_c^d [g(y)]^2 dy = \pi\int_c^d x^2 dy$$

Lưu ý:

• Biến tích phân là $y$ (không phải $x$)
• Phải biểu diễn $x$ theo $y$ trước

Ví dụ 9: Parabol nằm ngang xoay

Bài toán: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $x = y^2$, trục Oy, $y = 0$, $y = 2$ quanh trục Oy.

Lời giải:

$$V = \pi\int_0^2 (y^2)^2 dy = \pi\int_0^2 y^4 dy$$

$$= \pi\left[\frac{y^5}{5}\right]_0^2 = \pi \cdot \frac{32}{5} = \frac{32\pi}{5}$$

Đáp số: $\dfrac{32\pi}{5}$ (đvtt)

4. Dạng 3: Quay hình phẳng giữa hai đồ thị quanh Ox

Công thức

Khi quay hình phẳng giới hạn bởi:

• Đồ thị $y = f(x)$ (phía trên)
• Đồ thị $y = g(x)$ (phía dưới)
• $x = a$, $x = b$

Quanh trục Ox:

$$V = \pi\int_a^b {[f(x)]^2 – [g(x)]^2}dx$$

Giải thích: Nguyên lý hình vành khuyên

• Thể tích lớn (quay đồ thị trên): $V_1 = \pi\int_a^b [f(x)]^2dx$
• Thể tích nhỏ (quay đồ thị dưới): $V_2 = \pi\int_a^b [g(x)]^2dx$
• Thể tích hình vành khuyên: $V = V_1 – V_2$

Ví dụ 10: Thể tích vành khuyên

Bài toán: Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$ và $y = 2x$ quanh trục Ox.

Lời giải:

Bước 1: Tìm giao điểm (đã biết từ ví dụ trước): $x = 0$, $x = 2$

Bước 2: Xác định hàm trên và dưới

Trên $[0, 2]$: $2x \geq x^2$

Bước 3: Áp dụng công thức

$$V = \pi\int_0^2 [(2x)^2 – (x^2)^2]dx$$

$$= \pi\int_0^2 (4x^2 – x^4)dx$$

$$= \pi\left[\frac{4x^3}{3} – \frac{x^5}{5}\right]_0^2$$

$$= \pi\left(\frac{4 \cdot 8}{3} – \frac{32}{5}\right) = \pi\left(\frac{32}{3} – \frac{32}{5}\right)$$

$$= \pi \cdot 32\left(\frac{1}{3} – \frac{1}{5}\right) = 32\pi \cdot \frac{5-3}{15} = 32\pi \cdot \frac{2}{15} = \frac{64\pi}{15}$$

Đáp số: $\dfrac{64\pi}{15}$ (đvtt)

5. Dạng 4: Quay hình phẳng giữa hai đồ thị quanh Oy

Công thức

Tương tự dạng 3, nhưng quay quanh Oy:

$$V = \pi\int_c^d {[f(y)]^2 – [g(y)]^2}dy$$

Trong đó:

• $x = f(y)$ là đồ thị bên phải
• $x = g(y)$ là đồ thị bên trái
• $c \leq y \leq d$

6. Bảng tổng hợp công thức thể tích khối tròn xoay

Ghi nhớ nhanh:

• Quay Ox → tích phân theo $dx$, dùng $y^2$
• Quay Oy → tích phân theo $dy$, dùng $x^2$
• Luôn có $\pi$ và bình phương!

V. MẸO VÀ LƯU Ý QUAN TRỌNG

1. Các sai lầm thường gặp

❌ SAI LẦM 1: Quên dấu trị tuyệt đối khi tính diện tích

Sai: $$S = \int_0^2 (x-1)^2 – 1 , dx$$

Đúng: $$S = \int_0^2 |(x-1)^2 – 1| , dx$$

Hậu quả: Có thể ra diện tích âm hoặc sai số!

Cách tránh: Luôn xét dấu hàm số trước khi tính.

❌ SAI LẦM 2: Quên $\pi$ trong công thức thể tích tròn xoay

Sai: $$V = \int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3}$$

Đúng: $$V = \pi\int_0^1 x^2 dx = \frac{\pi}{3}$$

Hậu quả: Sai hoàn toàn kết quả!

Cách tránh: Ghi nhớ “tròn xoay = có $\pi$”.

❌ SAI LẦM 3: Nhầm công thức quay quanh Ox và Oy

Sai: Quay quanh Ox nhưng dùng $V = \pi\int x^2 dy$

Đúng:

• Quay Ox → $V = \pi\int y^2 dx$
• Quay Oy → $V = \pi\int x^2 dy$

Cách nhớ: “Quay trục nào, biến còn lại bình phương”

❌ SAI LẦM 4: Không chia đoạn khi hàm đổi dấu

Sai: Tính $\int_{-1}^1 x^3 dx$ cho diện tích mà không xét dấu

Đúng: Chia thành $\int_{-1}^0 |x^3|dx + \int_0^1 |x^3|dx$

Hậu quả: Diện tích bằng 0 (sai!)

2. Mẹo nhận dạng nhanh

Tính diện tích

Thấy “giới hạn bởi trục Ox” → $\int |f(x)|dx$

Thấy “giữa hai đồ thị” → $\int |f(x) – g(x)|dx$

Thấy “trục Oy” → Đổi biến, dùng $\int |x(y)|dy$

Tính thể tích

Thấy “quay quanh Ox” → $\pi\int y^2 dx$

Thấy “quay quanh Oy” → $\pi\int x^2 dy$

Thấy “thiết diện” → $\int S(x)dx$

Thấy “hai đồ thị” → Thể tích lớn trừ thể tích nhỏ

3. Các bước giải chung

Với bài toán diện tích (4 bước)

Bước 1: Vẽ hình (nếu có thể) để hình dung

Bước 2: Tìm giao điểm (nếu cần)

Bước 3: Xét dấu hàm số trên từng đoạn

Bước 4: Chia đoạn và tính từng phần

Với bài toán thể tích (4 bước)

Bước 1: Xác định trục quay (Ox hay Oy)

Bước 2: Xác định biến tích phân (x hay y)

Bước 3: Viết công thức (nhớ $\pi$ và bình phương)

Bước 4: Tính tích phân và thay cận

4. Kiểm tra kết quả

Kiểm tra logic

✓ Diện tích, thể tích phải > 0

Nếu ra số âm → Sai ngay!

✓ So sánh với hình học đơn giản đã biết

Ví dụ: Thể tích khối cầu $R=1$ phải là $\dfrac{4\pi}{3} \approx 4.19$

✓ Kiểm tra đơn vị

• Diện tích: đvdt (đơn vị diện tích)
• Thể tích: đvtt (đơn vị thể tích)

Ước lượng nhanh

Ví dụ: Tính $\int_0^1 x^2 dx$

• Hình chữ nhật lớn: $1 \times 1 = 1$
• Kết quả phải < 1
• Tính được $\dfrac{1}{3} \approx 0.33$ → Hợp lý ✓

VI. KẾT LUẬN

Tổng kết

Bài viết đã trình bày đầy đủ ba ứng dụng quan trọng nhất của tích phân trong chương trình Toán 12:

Ứng dụng 1: Tính diện tích hình phẳng

• Công thức cho 5 dạng khác nhau
• Diện tích với 1 đồ thị và trục: $S = \int_a^b |f(x)|dx$
• Diện tích giữa 2 đồ thị: $S = \int_a^b |f(x) – g(x)|dx$
• Phương pháp xét dấu và chia đoạn chi tiết

Ứng dụng 2: Tính thể tích vật thể

• Công thức tổng quát: $V = \int_a^b S(x)dx$
• Bảng các dạng thiết diện thường gặp
• Ví dụ tính thể tích khối chóp

Ứng dụng 3: Tính thể tích khối tròn xoay

• Quay quanh Ox: $V = \pi\int_a^b y^2 dx$
• Quay quanh Oy: $V = \pi\int_c^d x^2 dy$
• Công thức cho 1 đồ thị và 2 đồ thị
• 4 ví dụ chi tiết từ cơ bản đến nâng cao

Công thức cần nhớ

Diện tích: Luôn có dấu trị tuyệt đối $$S = \int |f(x)|dx \text{ hoặc } S = \int |f(x) – g(x)|dx$$

Thể tích tròn xoay: Luôn có $\pi$ và bình phương $$V = \pi\int y^2 dx \text{ (quay Ox)} \quad V = \pi\int x^2 dy \text{ (quay Oy)}$$

Xét dấu: Bắt buộc khi tính diện tích

Tìm nghiệm → Lập bảng xét dấu → Chia đoạn → Tính

Chọn trục: Nhớ quy tắc

• Quay Ox → Tích phân theo $dx$, dùng $y^2$
• Quay Oy → Tích phân theo $dy$, dùng $x^2$

ThS. Nguyễn Văn An

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn Tổ Toán tại Edus

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Toán học, Thạc sĩ Lý luận & Phương pháp dạy học môn Toán, Chức danh nghề nghiệp giáo viên THPT – Hạng II, Tin học ứng dụng cơ bản, Ngoại ngữ B1, Chứng chỉ bồi dưỡng năng lực tổ trưởng chuyên môn

Kinh nghiệm: 12+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT chuyên Trần Đại Nghĩa