Chọn đến phần học sinh cần nhanh chóng thông qua mục lục bằng cách click đến phần đó
Lý thuyết trọng tâm
1. Khoảng biến thiên
1.1. Định nghĩa
Xét mẫu số liệu ghép nhóm được cho dưới dạng bảng tần số sau:
| Nhóm | $[a_1; a_2)$ | $[a_2; a_3)$ | … | $[a_k; a_{k+1})$ |
|---|---|---|---|---|
| Tần số | $m_1$ | $m_2$ | … | $m_k$ |
Trong đó $m_1 > 0$, $m_k > 0$ (nhóm đầu và nhóm cuối đều có ít nhất một giá trị) và cỡ mẫu là $n = m_1 + m_2 + \ldots + m_k$.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm này, ký hiệu $R$, được tính bằng hiệu giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên:
$$\boxed{R = a_{k+1} – a_1}$$
1.2. Ý nghĩa
- Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là một giá trị xấp xỉ cho khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc (thường sẽ lớn hơn khoảng biến thiên thực tế một chút do các giá trị gốc luôn nằm trong lòng nhóm, không đạt tới đầu mút).
- $R$ được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu: khoảng biến thiên càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán, các giá trị càng trải rộng.
Chú ý quan trọng: Khi gặp bảng số liệu mà nhóm đầu tiên hoặc nhóm cuối có tần số bằng $0$, ta phải bỏ qua các nhóm đó khi tính khoảng biến thiên (vì điều kiện định nghĩa yêu cầu $m_1 > 0$ và $m_k > 0$). Ví dụ, nếu nhóm $[28; 30)$ có tần số bằng $0$ thì khoảng biến thiên được tính từ đầu nhóm kế tiếp.
Ví dụ 1. Thống kê thời gian tự học ở nhà mỗi ngày (tính bằng phút) của học sinh hai lớp 12B và 12D thu được kết quả sau:
| Thời gian (phút) | $[0; 15)$ | $[15; 30)$ | $[30; 60)$ | $[60; 120)$ |
|---|---|---|---|---|
| Số HS lớp 12B | $3$ | $5$ | $4$ | $2$ |
| Số HS lớp 12D | $6$ | $2$ | $4$ | $0$ |
Tính khoảng biến thiên cho mẫu số liệu về thời gian tự học của học sinh mỗi lớp và giải thích ý nghĩa.
Lời giải:
Gọi $R_B$, $R_D$ lần lượt là khoảng biến thiên của hai mẫu số liệu.
- Lớp 12B: Nhóm đầu tiên $[0; 15)$ có tần số $3 > 0$, nhóm cuối $[60; 120)$ có tần số $2 > 0$. Vậy: $$R_B = 120 – 0 = 120 \text{ (phút)}.$$
- Lớp 12D: Nhóm đầu tiên $[0; 15)$ có tần số $6 > 0$, nhưng nhóm cuối $[60; 120)$ có tần số $0$ — phải bỏ qua. Khoảng biến thiên được tính đến nhóm cuối có tần số khác $0$ là $[30; 60)$: $$R_D = 60 – 0 = 60 \text{ (phút)}.$$
Vì $R_B > R_D$ nên thời gian tự học của học sinh lớp 12B phân tán hơn thời gian tự học của học sinh lớp 12D.
2. Khoảng tứ phân vị
2.1. Công thức tính tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Với mẫu số liệu ghép nhóm có cỡ mẫu $n$, tứ phân vị thứ $r$ (ký hiệu $Q_r$, với $r = 1, 2, 3$) được tính bởi công thức:
$$Q_r = a_p + \dfrac{\dfrac{rn}{4} – (m_1 + m_2 + \ldots + m_{p-1})}{m_p} \cdot (a_{p+1} – a_p)$$
Trong đó $[a_p; a_{p+1})$ là nhóm chứa tứ phân vị thứ $r$.
Cách xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ $r$:
- Bước 1: Tính $\dfrac{rn}{4}$.
- Bước 2: Lập bảng tần số tích lũy (cộng dồn các tần số từ trái qua phải).
- Bước 3: Tìm nhóm $[a_p; a_{p+1})$ đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng $\dfrac{rn}{4}$. Đó chính là nhóm chứa tứ phân vị thứ $r$.
2.2. Khoảng tứ phân vị
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ký hiệu $\Delta_Q$, là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba và tứ phân vị thứ nhất:
$$\boxed{\Delta_Q = Q_3 – Q_1}$$
2.3. Ý nghĩa
- Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu gốc.
- $\Delta_Q$ cũng được dùng để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu: khoảng tứ phân vị càng lớn thì mẫu số liệu càng phân tán.
- Ưu điểm: Khoảng tứ phân vị chỉ phụ thuộc vào nửa giữa (50% giá trị nằm giữa) của mẫu số liệu, nên không bị ảnh hưởng bởi các giá trị bất thường (quá lớn hoặc quá nhỏ so với các giá trị còn lại). Vì vậy, khoảng tứ phân vị thường được dùng để phát hiện và loại bỏ giá trị bất thường.
Ví dụ 2. Thời gian chờ thanh toán (tính bằng phút) của các khách hàng tại siêu thị A được cho trong bảng sau:
| Thời gian (phút) | $[0; 5)$ | $[5; 10)$ | $[10; 15)$ | $[15; 20)$ |
|---|---|---|---|---|
| Số khách hàng | $2$ | $8$ | $10$ | $4$ |
a) Tìm khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm này.
b) Tại một siêu thị B khác, khoảng tứ phân vị của thời gian chờ thanh toán được tính là $8{,}75$. Hỏi tại siêu thị nào, thời gian chờ của khách hàng phân tán hơn?
Lời giải:
a) Cỡ mẫu: $n = 2 + 8 + 10 + 4 = 24$.
Bảng tần số tích lũy:
| Nhóm | $[0; 5)$ | $[5; 10)$ | $[10; 15)$ | $[15; 20)$ |
|---|---|---|---|---|
| Tần số | $2$ | $8$ | $10$ | $4$ |
| Tần số tích lũy | $2$ | $10$ | $20$ | $24$ |
Tính $Q_1$: Ta có $\dfrac{n}{4} = \dfrac{24}{4} = 6$.
Vì $2 < 6 \leq 10$ nên nhóm chứa $Q_1$ là $[5; 10)$. Áp dụng công thức:
$$Q_1 = 5 + \dfrac{6 – 2}{8} \cdot (10 – 5) = 5 + \dfrac{4}{8} \cdot 5 = 5 + 2{,}5 = 7{,}5.$$
Tính $Q_3$: Ta có $\dfrac{3n}{4} = \dfrac{3 \cdot 24}{4} = 18$.
Vì $10 < 18 \leq 20$ nên nhóm chứa $Q_3$ là $[10; 15)$. Áp dụng công thức:
$$Q_3 = 10 + \dfrac{18 – 10}{10} \cdot (15 – 10) = 10 + \dfrac{8}{10} \cdot 5 = 10 + 4 = 14.$$
Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: $$\Delta_Q = Q_3 – Q_1 = 14 – 7{,}5 = 6{,}5.$$
b) Vì $\Delta_Q = 6{,}5 < 8{,}75$ nên thời gian chờ thanh toán của khách hàng tại siêu thị B phân tán hơn siêu thị A.
Các dạng bài tập trọng tâm
Dạng 1: Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm
Phương pháp giải:
Cho mẫu số liệu ghép nhóm với các nhóm $[a_1; a_2), [a_2; a_3), \ldots, [a_k; a_{k+1})$ có các tần số tương ứng $m_1, m_2, \ldots, m_k$ (giả sử $m_1 > 0$, $m_k > 0$).
- Bước 1: Xác định đầu mút trái của nhóm đầu tiên (có tần số khác $0$): $a_1$.
- Bước 2: Xác định đầu mút phải của nhóm cuối cùng (có tần số khác $0$): $a_{k+1}$.
- Bước 3: Khoảng biến thiên: $R = a_{k+1} – a_1$.
Nếu đề bài còn cho biết giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của mẫu số liệu gốc, ta tính khoảng biến thiên mẫu gốc bằng cách lấy hiệu hai giá trị đó.
Bài 1. Thời gian hoàn thành bài kiểm tra môn Toán của các bạn trong lớp 12C được cho trong bảng sau:
| Thời gian (phút) | $[25; 30)$ | $[30; 35)$ | $[35; 40)$ | $[40; 45)$ |
|---|---|---|---|---|
| Số học sinh | $8$ | $16$ | $4$ | $2$ |
a) Tính khoảng biến thiên $R$ cho mẫu số liệu ghép nhóm trên.
b) Nếu biết học sinh hoàn thành bài kiểm tra sớm nhất mất $27$ phút và muộn nhất mất $43$ phút thì khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc là bao nhiêu?
Lời giải chi tiết:
a) Quan sát bảng, ta thấy nhóm đầu tiên là $[25; 30)$ với tần số $8 > 0$, nhóm cuối cùng là $[40; 45)$ với tần số $2 > 0$ — cả hai đều có tần số khác $0$, nên không cần bỏ qua nhóm nào.
Đầu mút trái của nhóm đầu tiên là $a_1 = 25$, đầu mút phải của nhóm cuối cùng là $a_5 = 45$.
Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: $$R = 45 – 25 = 20 \text{ (phút)}.$$
b) Với mẫu số liệu gốc, ta đã biết:
- Giá trị nhỏ nhất: $27$ phút (học sinh làm nhanh nhất).
- Giá trị lớn nhất: $43$ phút (học sinh làm chậm nhất).
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu gốc là: $$R_{\text{gốc}} = 43 – 27 = 16 \text{ (phút)}.$$
Nhận xét: Ta thấy $R_{\text{gốc}} = 16 < R = 20$. Điều này khớp với lý thuyết: khoảng biến thiên tính trên mẫu ghép nhóm luôn xấp xỉ và lớn hơn khoảng biến thiên thật sự của mẫu gốc.
Bài 2. Bảng dưới biểu thị kết quả điều tra thời gian sử dụng Internet hằng ngày (tính bằng phút) của một số người.
| Thời gian (phút) | $[30; 60)$ | $[60; 90)$ | $[90; 120)$ | $[120; 150)$ | $[150; 180)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Số người | $2$ | $4$ | $10$ | $5$ | $3$ |
Tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu đã cho. Kết quả cho biết điều gì?
Lời giải chi tiết:
Nhóm đầu tiên $[30; 60)$ có tần số $2 > 0$, nhóm cuối cùng $[150; 180)$ có tần số $3 > 0$. Do đó:
- Đầu mút trái của nhóm đầu tiên: $a_1 = 30$.
- Đầu mút phải của nhóm cuối cùng: $a_6 = 180$.
Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: $$R = 180 – 30 = 150 \text{ (phút)}.$$
Ý nghĩa: Kết quả này cho biết thời gian sử dụng Internet hằng ngày của các thành viên được điều tra chênh lệch nhau nhiều nhất là $150$ phút.
Bài 3. Bảng dưới đây thống kê thành tích nhảy xa (đơn vị: cm) của một số học sinh lớp 12. Tìm khoảng biến thiên thành tích nhảy xa của nhóm học sinh này.
| Thành tích (cm) | $[150; 180)$ | $[180; 210)$ | $[210; 240)$ | $[240; 270)$ | $[270; 300)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Số học sinh | $3$ | $5$ | $28$ | $14$ | $8$ |
Lời giải chi tiết:
Tất cả các nhóm đều có tần số khác $0$, nên:
- Đầu mút trái của nhóm đầu tiên: $a_1 = 150$.
- Đầu mút phải của nhóm cuối cùng: $a_6 = 300$.
Khoảng biến thiên thành tích nhảy xa là: $$R = 300 – 150 = 150 \text{ (cm)}.$$
Dạng 2: Xác định khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Phương pháp giải:
- Bước 1: Tính cỡ mẫu $n$ (cộng tất cả các tần số).
- Bước 2: Lập bảng tần số tích lũy (cộng dồn).
- Bước 3: Tìm $Q_1$:
- Tính $\dfrac{n}{4}$.
- Tìm nhóm $[a_p; a_{p+1})$ đầu tiên có tần số tích lũy $\geq \dfrac{n}{4}$ → đây là nhóm chứa $Q_1$.
- Áp dụng công thức: $Q_1 = a_p + \dfrac{\frac{n}{4} – (m_1 + \ldots + m_{p-1})}{m_p} \cdot (a_{p+1} – a_p)$.
- Bước 4: Tìm $Q_3$ theo cách tương tự, nhưng thay $\dfrac{n}{4}$ bởi $\dfrac{3n}{4}$.
- Bước 5: Tính khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q = Q_3 – Q_1$.
Bài 1. Một người ghi lại thời gian đàm thoại của một số cuộc gọi cho kết quả như bảng sau:
| Thời gian $t$ (phút) | Số cuộc gọi |
|---|---|
| $0 \leq t < 1$ | $8$ |
| $1 \leq t < 2$ | $17$ |
| $2 \leq t < 3$ | $25$ |
| $3 \leq t < 4$ | $20$ |
| $4 \leq t < 5$ | $10$ |
Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.
Lời giải chi tiết:
Hiệu chỉnh lại bảng cho gọn theo dạng chuẩn:
| Thời gian $t$ (phút) | $[0; 1)$ | $[1; 2)$ | $[2; 3)$ | $[3; 4)$ | $[4; 5)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Số cuộc gọi | $8$ | $17$ | $25$ | $20$ | $10$ |
Bước 1: Cỡ mẫu: $n = 8 + 17 + 25 + 20 + 10 = 80$.
Bước 2: Lập bảng tần số tích lũy:
| Nhóm | $[0; 1)$ | $[1; 2)$ | $[2; 3)$ | $[3; 4)$ | $[4; 5)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Tần số | $8$ | $17$ | $25$ | $20$ | $10$ |
| Tần số tích lũy | $8$ | $25$ | $50$ | $70$ | $80$ |
Bước 3: Tính $Q_1$.
Ta có $\dfrac{n}{4} = \dfrac{80}{4} = 20$.
Vì $8 < 20 \leq 25$ nên tần số tích lũy vượt $20$ lần đầu tiên tại nhóm $[1; 2)$. Vậy nhóm chứa $Q_1$ là $[1; 2)$.
Áp dụng công thức với $a_p = 1$, $a_{p+1} = 2$, $m_p = 17$, $m_1 + \ldots + m_{p-1} = 8$:
$$Q_1 = 1 + \dfrac{20 – 8}{17} \cdot (2 – 1) = 1 + \dfrac{12}{17} = \dfrac{17 + 12}{17} = \dfrac{29}{17}.$$
Bước 4: Tính $Q_3$.
Ta có $\dfrac{3n}{4} = \dfrac{3 \cdot 80}{4} = 60$.
Vì $50 < 60 \leq 70$ nên nhóm chứa $Q_3$ là $[3; 4)$.
Áp dụng công thức với $a_p = 3$, $a_{p+1} = 4$, $m_p = 20$, $m_1 + \ldots + m_{p-1} = 8 + 17 + 25 = 50$:
$$Q_3 = 3 + \dfrac{60 – 50}{20} \cdot (4 – 3) = 3 + \dfrac{10}{20} = 3 + 0{,}5 = 3{,}5.$$
Bước 5: Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là:
$$\Delta_Q = Q_3 – Q_1 = 3{,}5 – \dfrac{29}{17} = \dfrac{7}{2} – \dfrac{29}{17} = \dfrac{7 \cdot 17 – 29 \cdot 2}{34} = \dfrac{119 – 58}{34} = \dfrac{61}{34}.$$
Vậy $\Delta_Q = \dfrac{61}{34} \approx 1{,}79$ (phút).
Bài 2. Thống kê số ngày trong tháng Sáu năm 2021 và năm 2022 theo nhiệt độ cao nhất trong ngày tại Hà Nội, người ta thu được bảng sau:
| Nhiệt độ (°C) | $[28; 30)$ | $[30; 32)$ | $[32; 34)$ | $[34; 36)$ | $[36; 38)$ | $[38; 40)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Số ngày 6/2021 | $0$ | $2$ | $8$ | $5$ | $6$ | $9$ |
| Số ngày 6/2022 | $2$ | $3$ | $4$ | $11$ | $8$ | $2$ |
Hỏi tháng Sáu năm nào ở Hà Nội nhiệt độ cao nhất trong ngày biến đổi nhiều hơn?
Lời giải chi tiết:
Để so sánh mức độ biến đổi, ta tính cả khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị cho mẫu số liệu của mỗi năm.
★ Tháng 6/2021:
• Khoảng biến thiên:
Chú ý rằng nhóm đầu tiên $[28; 30)$ có tần số $0$ nên phải bỏ qua. Nhóm đầu tiên có tần số khác $0$ là $[30; 32)$, nhóm cuối có tần số khác $0$ là $[38; 40)$. Do đó: $$R_1 = 40 – 30 = 10 \ (^\circ C).$$
• Khoảng tứ phân vị:
Cỡ mẫu $n = 0 + 2 + 8 + 5 + 6 + 9 = 30$.
Bảng tần số tích lũy (không tính nhóm tần số $0$):
| Nhóm | $[30; 32)$ | $[32; 34)$ | $[34; 36)$ | $[36; 38)$ | $[38; 40)$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Tần số | $2$ | $8$ | $5$ | $6$ | $9$ |
| Tích lũy | $2$ | $10$ | $15$ | $21$ | $30$ |
Tính $Q_1$: Ta có $\dfrac{n}{4} = \dfrac{30}{4} = 7{,}5$.
Vì $2 < 7{,}5 \leq 10$ nên nhóm chứa $Q_1$ là $[32; 34)$.
$$Q_1 = 32 + \dfrac{7{,}5 – 2}{8} \cdot (34 – 32) = 32 + \dfrac{5{,}5}{8} \cdot 2 = 32 + \dfrac{11}{8} = 33{,}375.$$
Tính $Q_3$: Ta có $\dfrac{3n}{4} = \dfrac{90}{4} = 22{,}5$.
Vì $21 < 22{,}5 \leq 30$ nên nhóm chứa $Q_3$ là $[38; 40)$.
$$Q_3 = 38 + \dfrac{22{,}5 – 21}{9} \cdot (40 – 38) = 38 + \dfrac{1{,}5}{9} \cdot 2 = 38 + \dfrac{1}{3} = \dfrac{115}{3}.$$
Khoảng tứ phân vị năm 2021: $$\Delta_{Q_1} = \dfrac{115}{3} – 33{,}375 = \dfrac{115}{3} – \dfrac{267}{8} = \dfrac{920 – 801}{24} = \dfrac{119}{24} \approx 4{,}96.$$
★ Tháng 6/2022:
• Khoảng biến thiên:
Tất cả các nhóm đều có tần số khác $0$. Nhóm đầu là $[28; 30)$, nhóm cuối là $[38; 40)$. Do đó: $$R_2 = 40 – 28 = 12 \ (^\circ C).$$
• Khoảng tứ phân vị:
Cỡ mẫu $n = 2 + 3 + 4 + 11 + 8 + 2 = 30$.
Bảng tần số tích lũy:
| Nhóm | $[28; 30)$ | $[30; 32)$ | $[32; 34)$ | $[34; 36)$ | $[36; 38)$ | $[38; 40)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Tần số | $2$ | $3$ | $4$ | $11$ | $8$ | $2$ |
| Tích lũy | $2$ | $5$ | $9$ | $20$ | $28$ | $30$ |
Tính $Q_1’$: Ta có $\dfrac{n}{4} = 7{,}5$.
Vì $5 < 7{,}5 \leq 9$ nên nhóm chứa $Q_1’$ là $[32; 34)$.
$$Q_1′ = 32 + \dfrac{7{,}5 – 5}{4} \cdot (34 – 32) = 32 + \dfrac{2{,}5}{4} \cdot 2 = 32 + 1{,}25 = 33{,}25.$$
Tính $Q_3’$: Ta có $\dfrac{3n}{4} = 22{,}5$.
Vì $20 < 22{,}5 \leq 28$ nên nhóm chứa $Q_3’$ là $[36; 38)$.
$$Q_3′ = 36 + \dfrac{22{,}5 – 20}{8} \cdot (38 – 36) = 36 + \dfrac{2{,}5}{8} \cdot 2 = 36 + 0{,}625 = 36{,}625.$$
Khoảng tứ phân vị năm 2022: $$\Delta_{Q_2} = 36{,}625 – 33{,}25 = 3{,}375.$$
★ Kết luận:
Lập bảng so sánh:
| Đại lượng | Tháng 6/2021 | Tháng 6/2022 |
|---|---|---|
| Khoảng biến thiên $R$ | $10$ | $12$ |
| Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$ | $\approx 4{,}96$ | $3{,}375$ |
- Theo khoảng biến thiên: $R_2 > R_1$ ⟹ nhiệt độ cao nhất trong ngày tháng 6 năm 2022 biến đổi nhiều hơn.
- Theo khoảng tứ phân vị: $\Delta_{Q_1} > \Delta_{Q_2}$ ⟹ nhiệt độ cao nhất trong ngày tháng 6 năm 2021 biến đổi nhiều hơn.
Nhận xét thú vị: Hai số đặc trưng cho kết luận trái ngược nhau — đây là tình huống rất đáng lưu ý. Nguyên nhân: năm 2022 có một ngày nhiệt độ thấp bất thường (nhóm $[28; 30)$ có $2$ ngày) và một ngày rất nóng (nhóm $[38; 40)$ có $2$ ngày), kéo khoảng biến thiên lên cao. Tuy nhiên phần nửa giữa mẫu số liệu (bỏ qua $25\%$ đầu và $25\%$ cuối) của năm 2021 lại trải rộng hơn năm 2022. Điều này cho thấy vai trò bổ sung của khoảng tứ phân vị: nó không bị chi phối bởi các giá trị đầu hoặc cuối nên đánh giá độ phân tán “cốt lõi” của mẫu ổn định hơn.
Sai lầm thường gặp
| Sai lầm | Đính chính |
|---|---|
| Khi nhóm đầu tiên (hoặc nhóm cuối) có tần số bằng $0$ vẫn lấy cả nhóm đó vào để tính khoảng biến thiên. | Định nghĩa yêu cầu $m_1 > 0$ và $m_k > 0$. Phải bỏ qua các nhóm có tần số $0$ ở hai đầu, chỉ tính khoảng biến thiên giữa nhóm đầu tiên và nhóm cuối cùng có tần số khác $0$. |
| Dùng giá trị đại diện (trung điểm nhóm) để tính khoảng biến thiên thay vì đầu mút. | Công thức $R = a_{k+1} – a_1$ dùng đầu mút phải của nhóm cuối trừ đầu mút trái của nhóm đầu, KHÔNG phải hiệu giữa hai giá trị đại diện. |
| Khi xác định nhóm chứa $Q_1$, $Q_3$, so sánh tần số từng nhóm với $\dfrac{n}{4}$ hoặc $\dfrac{3n}{4}$ mà không lập bảng tần số tích lũy. | Phải cộng dồn (tần số tích lũy) rồi so sánh với $\dfrac{n}{4}$ (hoặc $\dfrac{3n}{4}$). Nhóm chứa tứ phân vị là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy đạt hoặc vượt giá trị đó. |
| Áp dụng công thức $Q_r$ nhưng nhầm lẫn giữa tần số tích lũy của nhóm chứa $Q_r$ và tần số tích lũy của nhóm liền trước. | Trong công thức có biểu thức $m_1 + m_2 + \ldots + m_{p-1}$ — đây là tần số tích lũy của các nhóm TRƯỚC nhóm chứa tứ phân vị, KHÔNG bao gồm chính nhóm chứa $Q_r$. |
| Nhầm độ rộng $a_{p+1} – a_p$: dùng sai độ rộng của nhóm khác. | Độ rộng nhân trong công thức phải đúng là độ rộng của nhóm chứa tứ phân vị đó. Không được lấy đại độ rộng của nhóm nào khác. |
| Kết luận vội vàng chỉ dựa trên một trong hai đại lượng $R$ hoặc $\Delta_Q$ khi so sánh hai mẫu. | Hai đại lượng này đo mức độ phân tán theo cách khác nhau. $R$ bị ảnh hưởng bởi giá trị cực đoan, còn $\Delta_Q$ thì không. Khi chúng cho kết luận trái ngược, cần phân tích kỹ hơn (nhìn vào phân bố cụ thể) thay vì tin tuyệt đối vào một con số. |
| Viết $\dfrac{n}{4}$ là số nguyên khi $n$ không chia hết cho $4$. | $\dfrac{n}{4}$ có thể là số thập phân (ví dụ $n = 30$ thì $\dfrac{n}{4} = 7{,}5$). Vẫn thay trực tiếp vào công thức, không làm tròn. |
| Tính khoảng tứ phân vị rồi lấy trị tuyệt đối hoặc đổi dấu. | $\Delta_Q = Q_3 – Q_1$ luôn không âm vì $Q_3 \geq Q_1$. Không cần dấu trị tuyệt đối, nhưng nếu tính ra âm thì chắc chắn đã sai ở đâu đó — cần kiểm tra lại. |
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh