Lý thuyết trọng tâm

1. Vectơ trong không gian

1.1. Định nghĩa và các khái niệm cơ bản

Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Các kí hiệu và khái niệm (tương tự như vectơ trong mặt phẳng):

• Vectơ có điểm đầu $A$, điểm cuối $B$ kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$.
• Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối, vectơ còn kí hiệu là $\vec{a}, \vec{b}, \vec{x}, \vec{y}, \ldots$
• Độ dài vectơ $\overrightarrow{AB}$ kí hiệu là $|\overrightarrow{AB}|$; độ dài vectơ $\vec{a}$ kí hiệu là $|\vec{a}|$.
• Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Ví dụ 1. Cho tứ diện $ABCD$ có độ dài mỗi cạnh bằng $1$.

a) Có bao nhiêu vectơ có điểm đầu là $A$ và điểm cuối là một trong các đỉnh còn lại của tứ diện?

b) Trong các vectơ tìm được ở câu a, những vectơ nào có giá nằm trong mặt phẳng $(ABC)$?

c) Tính độ dài của các vectơ tìm được ở câu a.

Lời giải:

a) Các đỉnh còn lại của tứ diện là $B, C, D$, nên có đúng ba vectơ thỏa mãn: $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}$.

b) Trong ba vectơ trên, hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ có điểm đầu $A$ và điểm cuối $B, C$ đều thuộc mặt phẳng $(ABC)$, nên giá của chúng nằm trong $(ABC)$.

Vectơ $\overrightarrow{AD}$ có điểm cuối $D$ không thuộc $(ABC)$ nên giá không nằm trong $(ABC)$.

c) Vì tứ diện có mọi cạnh bằng $1$ nên: $$|\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AD}| = 1$$

1.2. Hai vectơ cùng phương, cùng hướng, bằng nhau

Các khái niệm này giống hoàn toàn với trường hợp vectơ trong mặt phẳng:

• Hai vectơ cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
• Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược hướng.
• Hai vectơ bằng nhau ($\vec{a} = \vec{b}$) khi chúng cùng hướng và cùng độ dài.

Tính chất và quy ước quan trọng:

• Với mỗi điểm $O$ và vectơ $\vec{a}$ cho trước, tồn tại duy nhất một điểm $M$ sao cho $\overrightarrow{OM} = \vec{a}$.
• Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau ($\overrightarrow{AA}, \overrightarrow{BB}, \ldots$) gọi là vectơ-không.
• Vectơ-không có độ dài bằng $0$, cùng hướng với mọi vectơ. Tất cả các vectơ-không được kí hiệu chung là $\vec{0}$.

Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$.

a) Trong ba vectơ $\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CC’}, \overrightarrow{B’B}$, vectơ nào bằng vectơ $\overrightarrow{AA’}$? Giải thích.

b) Gọi $M$ là trung điểm $BC$. Xác định điểm $M’$ sao cho $\overrightarrow{MM’} = \overrightarrow{AA’}$.

Lời giải:

a) Xét từng vectơ:

• $\overrightarrow{AA’}$ và $\overrightarrow{BC}$: Hai đường thẳng $AA’$ và $BC$ chéo nhau (không đồng phẳng) nên hai vectơ này không cùng phương, do đó không bằng nhau.
• $\overrightarrow{AA’}$ và $\overrightarrow{CC’}$: Trong hình lăng trụ, $ACC’A’$ là hình bình hành, suy ra $AA’ \parallel CC’$ và $AA’ = CC’$. Kết hợp với việc hai vectơ cùng hướng (đều hướng “lên trên” theo cạnh bên của lăng trụ), ta có $\overrightarrow{AA’} = \overrightarrow{CC’}$.
• $\overrightarrow{AA’}$ và $\overrightarrow{B’B}$: Tuy hai vectơ này có cùng độ dài nhưng ngược hướng (một hướng lên, một hướng xuống), nên không bằng nhau.

Vậy vectơ cần tìm là $\overrightarrow{CC’}$.

b) Gọi $M’$ là trung điểm cạnh $B’C’$. Khi đó:

• Tứ giác $BCC’B’$ là hình bình hành nên $MM’ \parallel BB’$ và $MM’ = BB’$.
• Trong lăng trụ: $AA’ \parallel BB’$ và $AA’ = BB’$.

Suy ra $MM’ \parallel AA’$, $MM’ = AA’$, và hai vectơ $\overrightarrow{MM’}, \overrightarrow{AA’}$ cùng hướng.

Vậy $\overrightarrow{MM’} = \overrightarrow{AA’}$, tức $M’$ là trung điểm $B’C’$.

2. Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian

2.1. Tổng của hai vectơ

Định nghĩa: Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$. Lấy một điểm $A$ bất kì và các điểm $B, C$ sao cho $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$, $\overrightarrow{BC} = \vec{b}$. Khi đó vectơ $\overrightarrow{AC}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$, kí hiệu là $\vec{a} + \vec{b}$.

Hai quy tắc cơ bản (vẫn đúng trong không gian như mặt phẳng):

• Quy tắc ba điểm: Với ba điểm $A, B, C$ bất kì: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.
• Quy tắc hình bình hành: Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$.

Ví dụ 3. Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ cạnh bằng $1$. Tính độ dài vectơ $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DD’}$.

Lời giải:

Bước 1 — Biến đổi về vectơ có điểm đầu chung:

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$.

Do đó: $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DD’} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD’}$.

Bước 2 — Áp dụng quy tắc ba điểm:

$$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DD’} = \overrightarrow{AD’}$$

Bước 3 — Tính độ dài $\overrightarrow{AD’}$:

Tứ giác $ADD’A’$ là hình vuông cạnh $1$, nên độ dài đường chéo: $$AD’ = \sqrt{AD^2 + DD’^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$$

Vậy $|\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DD’}| = \sqrt{2}$.

Tính chất của phép cộng vectơ trong không gian:

Với các vectơ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ bất kì:

• Tính chất giao hoán: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$.
• Tính chất kết hợp: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$.
• Cộng với vectơ-không: $\vec{a} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{a} = \vec{a}$.

Nhờ tính kết hợp, ta có thể viết tổng của nhiều vectơ mà không cần dấu ngoặc.

Ví dụ 4. Cho tứ diện $ABCD$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}$.

Lời giải:

Áp dụng quy tắc ba điểm, ta chèn điểm $D$ vào vectơ $\overrightarrow{AC}$: $$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}$$

Khi đó: $$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = (\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}) + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} + (\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BD})$$

Áp dụng tính chất giao hoán cho $\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{BC}$ (theo quy tắc ba điểm).

Vậy $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{BC}$ (đpcm).

2.2. Quy tắc hình hộp

Đây là một quy tắc riêng của vectơ trong không gian, không có trong mặt phẳng.

Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Khi đó: $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA’} = \overrightarrow{AC’}$$

Ý nghĩa: Tổng của ba vectơ có cùng điểm đầu $A$ và là ba cạnh xuất phát từ $A$ của hình hộp thì bằng vectơ đường chéo chính xuất phát từ $A$.

Ví dụ 5. Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AA’} = \overrightarrow{AC’}$.

Lời giải:

Bước 1 — Đưa các vectơ về điểm đầu $A$:

• $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ (hai cạnh đối của hình bình hành).
• Tương tự, $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$.

Bước 2 — Thay vào và dùng quy tắc hình hộp:

$$\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AA’} = \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AA’}$$

Theo quy tắc hình hộp, vế phải bằng $\overrightarrow{AC’}$. Đpcm.

2.3. Hiệu của hai vectơ

Vectơ đối: Trong không gian, vectơ cùng độ dài và ngược hướng với $\vec{a}$ được gọi là vectơ đối của $\vec{a}$, kí hiệu $-\vec{a}$.

Chú ý:

• Hai vectơ là đối nhau $\Leftrightarrow$ tổng của chúng bằng $\vec{0}$.
• Vectơ $\overrightarrow{BA}$ là vectơ đối của $\overrightarrow{AB}$.
• Vectơ $\vec{0}$ là vectơ đối của chính nó.

Định nghĩa hiệu: Vectơ $\vec{a} + (-\vec{b})$ được gọi là hiệu của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$, kí hiệu $\vec{a} – \vec{b}$.

Nhận xét quan trọng (công thức dời điểm): Với ba điểm $O, A, B$ bất kì trong không gian: $$\overrightarrow{OB} – \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AB}$$

Ví dụ 6. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $AB, CD$. Chứng minh:

a) $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{CN}$ là hai vectơ đối nhau.

b) $\overrightarrow{SC} – \overrightarrow{AM} – \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{SA}$.

Lời giải:

a) $ABCD$ là hình bình hành nên $AB \parallel CD$ và $AB = CD$. Do $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB, CD$ nên:

$$AM = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}CD = CN \quad \text{và} \quad AM \parallel CN$$

Hai vectơ $\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{CN}$ có cùng độ dài nhưng hướng ngược nhau (do $M$ chạy từ $A \to B$ còn $N$ chạy từ $C \to D$, mà $AB, CD$ ngược chiều trong hình bình hành).

Vậy $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{CN}$ là hai vectơ đối nhau.

b) Từ câu a, $\overrightarrow{CN} = -\overrightarrow{AM}$. Biến đổi vế trái:

$$\overrightarrow{SC} – \overrightarrow{AM} – \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{SC} + \overrightarrow{CN} – \overrightarrow{AN}$$

Áp dụng quy tắc ba điểm: $\overrightarrow{SC} + \overrightarrow{CN} = \overrightarrow{SN}$.

Tiếp tục: $\overrightarrow{SN} – \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{SN} + \overrightarrow{NA} = \overrightarrow{SA}$ (dùng $-\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{NA}$ và quy tắc ba điểm).

Vậy $\overrightarrow{SC} – \overrightarrow{AM} – \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{SA}$. Đpcm.

3. Tích của một số với một vectơ trong không gian

Định nghĩa: Trong không gian, tích của một số thực $k \neq 0$ với vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$ là một vectơ, kí hiệu $k\vec{a}$, xác định như sau:

• Cùng hướng với $\vec{a}$ nếu $k > 0$; ngược hướng với $\vec{a}$ nếu $k < 0$.
• Độ dài bằng $|k| \cdot |\vec{a}|$.

Quy ước: $0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$ và $k \cdot \vec{0} = \vec{0}$.

Điều kiện hai vectơ cùng phương: $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ($\vec{b} \neq \vec{0}$) cùng phương $\Leftrightarrow$ tồn tại số thực $k$ sao cho $\vec{a} = k\vec{b}$.

Tính chất: Với $h, k \in \mathbb{R}$ và $\vec{a}, \vec{b}$ bất kì:

• $h(k\vec{a}) = (hk)\vec{a}$
• $(h + k)\vec{a} = h\vec{a} + k\vec{a}$
• $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$
• $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$; $(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$

Ví dụ 7. Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A’B’C’$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $AB, AC$ và $O$ là giao điểm của $AB’$ và $A’B$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{CC’} = (-2)\overrightarrow{OM}$.

Lời giải:

Bước 1 — Phân tích vị trí $O$:

Vì $ABB’A’$ là hình bình hành và $O = AB’ \cap A’B$, nên $O$ là trung điểm của cả hai đường chéo $AB’$ và $A’B$.

Bước 2 — Tìm mối liên hệ $OM$ và $B’B$:

Xét tam giác $AB’B$: $O$ là trung điểm $AB’$, $M$ là trung điểm $AB$, nên $OM$ là đường trung bình. Suy ra: $$OM \parallel B’B \quad \text{và} \quad B’B = 2 \cdot OM$$

Bước 3 — Liên hệ với $CC’$:

Tứ giác $BCC’B’$ là hình bình hành (mặt bên của lăng trụ) nên $B’B = C’C$ và $B’B \parallel C’C$.

Kết hợp: $C’C \parallel OM$ và $C’C = 2 \cdot OM$.

Bước 4 — Xét hướng:

Quan sát hình, hai vectơ $\overrightarrow{CC’}$ và $\overrightarrow{OM}$ ngược hướng. Vì $|\overrightarrow{CC’}| = 2|\overrightarrow{OM}|$ và ngược hướng, ta kết luận: $$\overrightarrow{CC’} = -2 \cdot \overrightarrow{OM} = (-2)\overrightarrow{OM}$$

Đpcm.

Ví dụ 8. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Chứng minh rằng: $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG}$$

Lời giải:

Bước 1 — Tính chất trọng tâm:

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ nên: $$\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \vec{0}$$

Bước 2 — Chèn điểm $G$ vào mỗi vectơ vế trái (dùng quy tắc ba điểm):

$$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GB}$$ $$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GC}$$ $$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GD}$$

Cộng ba đẳng thức: $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG} + (\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD})$$

Bước 3 — Thay kết quả bước 1:

$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG} + \vec{0} = 3\overrightarrow{AG}$$

Đpcm.

Hệ quả quan trọng: Nếu $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì với điểm $O$ tùy ý: $$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}$$

4. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

4.1. Góc giữa hai vectơ

Định nghĩa: Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0}$. Lấy một điểm $O$ bất kì và các điểm $A, B$ sao cho $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$. Khi đó góc $\widehat{AOB}$ (với $0° \leq \widehat{AOB} \leq 180°$) được gọi là góc giữa hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$, kí hiệu $(\vec{a}, \vec{b})$.

Chú ý quan trọng:

• Khi $(\vec{a}, \vec{b}) = 90°$, ta nói hai vectơ vuông góc với nhau, kí hiệu $\vec{a} \perp \vec{b}$.
• Cách xác định góc: Để xác định góc giữa $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$, ta lấy điểm $E$ sao cho $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{CD}$, khi đó $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = \widehat{BAE}$.
• Hai vectơ cùng hướng (và khác $\vec{0}$) có góc bằng $0°$.
• Hai vectơ ngược hướng có góc bằng $180°$.

Ví dụ 9. Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$. Tính góc giữa các cặp vectơ sau:

a) $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{B’C’}$;

b) $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{A’D’}$.

Lời giải:

a) Trong hình lập phương, $ADD’A’$ và $BCC’B’$ là hai hình vuông đối diện nhau. Ta thấy $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{B’C’}$ đều hướng “từ cạnh trước ra cạnh sau” của hình lập phương → hai vectơ cùng hướng.

Vậy $(\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{B’C’}) = 0°$.

b) Tứ giác $ADD’A’$ là hình vuông nên $\overrightarrow{A’D’} = \overrightarrow{AD}$ (cùng hướng, cùng độ dài).

Do đó: $$(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{A’D’}) = (\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}) = \widehat{DAC}$$

Xét tam giác $ADC$: vì $ABCD$ là hình vuông nên tam giác $ADC$ vuông cân tại $D$, suy ra: $$\widehat{DAC} = 45°$$

Vậy $(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{A’D’}) = 45°$.

4.2. Tích vô hướng của hai vectơ

Định nghĩa: Trong không gian, cho hai vectơ $\vec{a}, \vec{b}$ đều khác $\vec{0}$. Tích vô hướng của $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là một số thực, kí hiệu $\vec{a} \cdot \vec{b}$, xác định bởi:

$$\boxed{\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})}$$

Quy ước: Nếu $\vec{a} = \vec{0}$ hoặc $\vec{b} = \vec{0}$ thì $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

Hệ quả (rất quan trọng, hay được dùng):

• Điều kiện vuông góc: $\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ (với $\vec{a}, \vec{b}$ khác $\vec{0}$).
• Bình phương vô hướng: $\vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.
• Công thức tính góc: $$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$$

Tính chất tích vô hướng (giống như trong mặt phẳng):

• $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ (giao hoán)
• $k(\vec{a} \cdot \vec{b}) = (k\vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot (k\vec{b})$
• $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$ (phân phối)

Ví dụ 10. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có độ dài tất cả các cạnh bằng $a$. Tính:

a) $\overrightarrow{AS} \cdot \overrightarrow{BC}$;

b) $\overrightarrow{AS} \cdot \overrightarrow{AC}$.

Lời giải:

a) Tính $\overrightarrow{AS} \cdot \overrightarrow{BC}$:

Xác định góc: Vì $ABCD$ là hình vuông nên $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$. Do đó: $$(\overrightarrow{AS}, \overrightarrow{BC}) = (\overrightarrow{AS}, \overrightarrow{AD}) = \widehat{SAD}$$

Tam giác $SAD$ có $SA = AD = SD = a$ (cạnh hình chóp đều), nên là tam giác đều, suy ra $\widehat{SAD} = 60°$.

Tính tích vô hướng: $$\overrightarrow{AS} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AS}| \cdot |\overrightarrow{BC}| \cdot \cos 60° = a \cdot a \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{a^2}{2}$$

b) Tính $\overrightarrow{AS} \cdot \overrightarrow{AC}$:

Xác định góc: Đó là $\widehat{SAC}$.

Xét tam giác $SAC$:

• $SA = SC = a$ (cạnh bên hình chóp)
• $AC = a\sqrt{2}$ (đường chéo hình vuông cạnh $a$)

Kiểm tra: $SA^2 + SC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 = AC^2$, nên tam giác $SAC$ vuông cân tại $S$.

Suy ra $\widehat{SAC} = 45°$.

Tính tích vô hướng: $$\overrightarrow{AS} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AS}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos 45° = a \cdot a\sqrt{2} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = a^2$$

Ví dụ 11. Cho tứ diện $ABCD$ có $AC$ và $BD$ cùng vuông góc với $AB$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB, CD$. Chứng minh:

a) $\overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD})$;

b) $\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$.

Lời giải:

a) Chứng minh đẳng thức vectơ:

Dùng quy tắc ba điểm, ta có hai cách phân tích $\overrightarrow{MN}$:

$$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CN} \quad (1)$$ $$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DN} \quad (2)$$

Cộng $(1)$ và $(2)$ vế theo vế: $$2\overrightarrow{MN} = (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}) + (\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}) + (\overrightarrow{CN} + \overrightarrow{DN})$$

Xét từng nhóm ngoặc:

• $M$ là trung điểm $AB$ ⟹ $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \vec{0}$
• $N$ là trung điểm $CD$ ⟹ $\overrightarrow{CN} + \overrightarrow{DN} = \vec{0}$ (vì $\overrightarrow{NC}$ và $\overrightarrow{ND}$ đối nhau, đổi dấu: $\overrightarrow{CN} = -\overrightarrow{NC}$ và $\overrightarrow{DN} = -\overrightarrow{ND}$, cộng lại bằng $\vec{0}$).

Suy ra: $$2\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} \Leftrightarrow \overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD})$$

b) Chứng minh $\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$:

Từ giả thiết $AC \perp AB$ và $BD \perp AB$, suy ra: $$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \quad \text{và} \quad \overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{AB} = 0$$

Áp dụng kết quả câu a và tính phân phối của tích vô hướng: $$\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{AB} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}) \cdot \overrightarrow{AB} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 + 0 = 0$$

Đpcm.

Các dạng bài tập trọng tâm

Dạng 1: Chứng minh một đẳng thức vectơ

Phương pháp giải:

Để chứng minh một đẳng thức vectơ trong không gian, ta vận dụng các công cụ sau:

• Định nghĩa các khái niệm liên quan đến vectơ (vectơ đối, vectơ bằng nhau, vectơ-không,…).
• Các quy tắc tính toán vectơ: quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp, quy tắc hiệu hai vectơ ($\overrightarrow{OB} – \overrightarrow{OA} = \overrightarrow{AB}$).
• Tính chất hình học của các hình cụ thể (hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm, tam giác có trọng tâm thỏa $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$,…).
• Các hệ thức vectơ thông dụng (công thức trọng tâm tam giác, trung điểm đoạn thẳng,…).

Hướng làm chung: Biến đổi một vế hoặc cả hai vế về cùng một biểu thức. Thường xuyên dùng kỹ thuật chèn điểm để tách/ghép vectơ theo quy tắc ba điểm.

Bài 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$. Đặt $\overrightarrow{SA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{SB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{SC} = \vec{c}$, $\overrightarrow{SD} = \vec{d}$. Chứng minh rằng: $$\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}$$

Lời giải chi tiết:

Bước 1 — Khai thác tính chất tâm của hình bình hành:

Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $O$ là trung điểm của cả hai đường chéo $AC$ và $BD$.

Bước 2 — Dùng công thức trung điểm cho từng đường chéo:

$O$ là trung điểm $AC$, với điểm $S$ bất kì, ta có: $$\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = 2\overrightarrow{SO} \quad (1)$$

Tương tự, $O$ là trung điểm $BD$: $$\overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD} = 2\overrightarrow{SO} \quad (2)$$

Bước 3 — So sánh (1) và (2):

Cả hai vế phải đều bằng $2\overrightarrow{SO}$, nên: $$\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{SC} = \overrightarrow{SB} + \overrightarrow{SD}$$

Thay $\overrightarrow{SA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{SB} = \vec{b}$, $\overrightarrow{SC} = \vec{c}$, $\overrightarrow{SD} = \vec{d}$: $$\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}$$

Đpcm.

Bài 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $G$ là điểm thỏa mãn: $$\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \vec{0}$$

Chứng minh rằng $\overrightarrow{GS} = 4\overrightarrow{OG}$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1 — Chèn điểm $O$ vào bốn vectơ đáy:

Áp dụng quy tắc ba điểm cho mỗi vectơ từ $G$ đến các đỉnh đáy, chèn thêm điểm $O$ (tâm hình bình hành): $$\overrightarrow{GA} = \overrightarrow{GO} + \overrightarrow{OA}$$ $$\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{GO} + \overrightarrow{OB}$$ $$\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GO} + \overrightarrow{OC}$$ $$\overrightarrow{GD} = \overrightarrow{GO} + \overrightarrow{OD}$$

Bước 2 — Cộng bốn đẳng thức:

$$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 4\overrightarrow{GO} + (\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD})$$

Bước 3 — Xử lý biểu thức trong ngoặc:

Vì $O$ là tâm hình bình hành, tức $O$ là trung điểm $AC$ và $BD$:

• $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OC} = \vec{0}$ (vì $O$ là trung điểm $AC$)
• $\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD} = \vec{0}$ (vì $O$ là trung điểm $BD$)

Cộng lại: $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \vec{0}$.

Do đó: $$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 4\overrightarrow{GO}$$

Bước 4 — Thay vào giả thiết:

Từ giả thiết: $\overrightarrow{GS} + \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \vec{0}$

$$\Leftrightarrow \overrightarrow{GS} + 4\overrightarrow{GO} = \vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{GS} = -4\overrightarrow{GO} = 4\overrightarrow{OG}$$

Đpcm.

Bài 3. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $G$ là trọng tâm của tứ diện, $M$ là một điểm bất kì trong không gian. Chứng minh rằng: $$\overrightarrow{MG} = \dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}\right)$$

Lời giải chi tiết:

Bước 1 — Nhắc lại tính chất trọng tâm tứ diện:

Do $G$ là trọng tâm tứ diện $ABCD$, theo định nghĩa: $$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \vec{0}$$

Bước 2 — Chèn điểm $M$ vào mỗi vectơ:

Áp dụng quy tắc ba điểm ($\overrightarrow{GA} = \overrightarrow{GM} + \overrightarrow{MA}$,…):

$$\left(\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{MA}\right) + \left(\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{MB}\right) + \left(\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{MC}\right) + \left(\overrightarrow{GM} + \overrightarrow{MD}\right) = \vec{0}$$

Bước 3 — Gộp các hạng tử:

$$4\overrightarrow{GM} + \left(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}\right) = \vec{0}$$

Bước 4 — Biến đổi về vế cần chứng minh:

Chuyển vế: $$4\overrightarrow{GM} = -\left(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}\right)$$

Vì $\overrightarrow{GM} = -\overrightarrow{MG}$, nên $4\overrightarrow{GM} = -4\overrightarrow{MG}$. Thay vào: $$-4\overrightarrow{MG} = -\left(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}\right)$$

$$\Leftrightarrow \overrightarrow{MG} = \dfrac{1}{4}\left(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD}\right)$$

Đpcm.

Ghi nhớ: Đây là công thức tổng quát xác định trọng tâm tứ diện — hoàn toàn tương tự công thức trọng tâm tam giác $\overrightarrow{MG} = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC})$.

Dạng 2: Phân tích một vectơ theo các vectơ thành phần

Phương pháp giải:

Để biểu diễn (phân tích) một vectơ theo một “hệ vectơ gốc” (thường là các vectơ xuất phát từ cùng một đỉnh như $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}$), ta kết hợp:

• Quan sát hình vẽ để thấy các vị trí đặc biệt (trung điểm, trọng tâm, điểm chia đoạn theo tỉ lệ).
• Quy tắc ba điểm để tách/ghép vectơ qua các điểm trung gian phù hợp.
• Tính chất trung điểm: Nếu $I$ là trung điểm $AB$ thì $\overrightarrow{MI} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB})$ với $M$ tùy ý.
• Tính chất trọng tâm tam giác: Nếu $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ thì $\overrightarrow{MG} = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD})$.

Bài 1. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $I, J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$.

a) Hãy biểu diễn vectơ $\overrightarrow{IJ}$ theo ba vectơ $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}$.

b) Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Hãy biểu diễn vectơ $\overrightarrow{AG}$ theo ba vectơ $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}$.

Lời giải chi tiết:

a) Biểu diễn $\overrightarrow{IJ}$:

Bước 1 — Dùng quy tắc ba điểm (chèn điểm $A$):

$$\overrightarrow{IJ} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AJ}$$

Bước 2 — Biểu diễn $\overrightarrow{IA}$ qua $\overrightarrow{AB}$:

$I$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$. Suy ra: $$\overrightarrow{IA} = -\overrightarrow{AI} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$$

Bước 3 — Biểu diễn $\overrightarrow{AJ}$ qua $\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}$:

$J$ là trung điểm $CD$, áp dụng công thức trung điểm (với đỉnh $A$): $$\overrightarrow{AJ} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD})$$

Bước 4 — Thay vào và kết luận:

$$\overrightarrow{IJ} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}$$

b) Biểu diễn $\overrightarrow{AG}$:

Bước 1 — Dùng quy tắc ba điểm (chèn điểm $G$):

$$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GB}$$ $$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GC}$$ $$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GD}$$

Bước 2 — Cộng ba đẳng thức theo vế:

$$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG} + (\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD})$$

Bước 3 — Khai thác tính chất trọng tâm:

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$: $$\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = \vec{0}$$

Thay vào: $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG}$$

Bước 4 — Rút gọn $\overrightarrow{AG}$:

$$\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD})$$

Bài 2. Cho tứ diện $ABCD$. Lấy các điểm $M$ và $N$ lần lượt thuộc $AD$ và $BC$ sao cho: $$\overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{MD}; \quad \overrightarrow{NB} = -3\overrightarrow{NC}$$ Biết $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$ và $\overrightarrow{CD} = \vec{b}$.

a) Hãy biểu diễn vectơ $\overrightarrow{MN}$ theo $\vec{a}$ và $\vec{b}$.

b) Gọi $P, Q$ lần lượt là trung điểm của $AD$ và $BC$; $G$ là trung điểm của $PQ$. Chứng minh rằng $G$ là trọng tâm tứ diện $ABCD$.

Lời giải chi tiết:

a) Biểu diễn $\overrightarrow{MN}$:

Bước 1 — Viết $\overrightarrow{MN}$ theo hai cách (chèn hai đường khác nhau):

Cách đi từ $M$ đến $N$ qua $D, C$: $$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CN} \quad (1)$$

Cách đi từ $M$ đến $N$ qua $A, B$: $$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN} \quad (2)$$

Bước 2 — Xử lý các giả thiết về tỉ lệ:

Từ $\overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{MD}$, ta có: $$\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MD} = -\overrightarrow{AM} + 3\overrightarrow{MD} = -3\overrightarrow{MD} + 3\overrightarrow{MD} = \vec{0}$$

Từ $\overrightarrow{NB} = -3\overrightarrow{NC}$: $$\overrightarrow{NB} + 3\overrightarrow{NC} = \vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{BN} + 3\overrightarrow{CN} = \vec{0} \quad (\text{nhân } -1)$$

Bước 3 — Cộng $3 \times (1) + (2)$:

$$3\overrightarrow{MN} + \overrightarrow{MN} = 3(\overrightarrow{MD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CN}) + (\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN})$$

$$4\overrightarrow{MN} = (\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MD}) + \overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{DC} + (\overrightarrow{BN} + 3\overrightarrow{CN})$$

Bước 4 — Thay các tổng bằng $\vec{0}$:

Ở bước 2, hai nhóm $(\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MD}) = \vec{0}$ và $(\overrightarrow{BN} + 3\overrightarrow{CN}) = \vec{0}$. Do đó:

$$4\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{DC}$$

Bước 5 — Thay $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$ và $\overrightarrow{DC} = -\overrightarrow{CD} = -\vec{b}$:

$$4\overrightarrow{MN} = \vec{a} + 3 \cdot (-\vec{b}) = \vec{a} – 3\vec{b}$$

$$\Rightarrow \overrightarrow{MN} = \dfrac{1}{4}\vec{a} – \dfrac{3}{4}\vec{b}$$

b) Chứng minh $G$ là trọng tâm tứ diện $ABCD$:

Bước 1 — Áp dụng tính chất trung điểm cho $P, Q$:

$P$ là trung điểm $AD$ ⟹ với mọi điểm $G$: $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GD} = 2\overrightarrow{GP}$.

$Q$ là trung điểm $BC$ ⟹ $\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{GQ}$.

Bước 2 — Cộng hai đẳng thức:

$$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2\overrightarrow{GP} + 2\overrightarrow{GQ} = 2(\overrightarrow{GP} + \overrightarrow{GQ})$$

Bước 3 — Khai thác $G$ là trung điểm $PQ$:

$G$ là trung điểm $PQ$ ⟹ $\overrightarrow{GP} + \overrightarrow{GQ} = \vec{0}$.

Suy ra: $$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} + \overrightarrow{GD} = 2 \cdot \vec{0} = \vec{0}$$

Đây chính là định nghĩa trọng tâm tứ diện. Vậy $G$ là trọng tâm tứ diện $ABCD$.

Dạng 3: Góc giữa hai vectơ — Tích vô hướng

Phương pháp giải:

• Bước 1: Dời một (hoặc cả hai) vectơ về cùng điểm đầu. Thường tìm một vectơ bằng vectơ đã cho nhưng xuất phát từ điểm chung.
• Bước 2: Xác định góc giữa hai vectơ (góc $\widehat{AOB}$ khi hai vectơ cùng xuất phát từ $O$).
• Bước 3: Áp dụng công thức tích vô hướng (nếu cần): $$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})$$

Kỹ thuật phân tích vectơ: Với những bài phức tạp, ta phân tích vectơ bằng quy tắc hiệu ($\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} – \overrightarrow{AC}$), sau đó tính tích vô hướng bằng cách khai triển.

Bài 1. Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DH}$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1 — Dời vectơ $\overrightarrow{DH}$ về điểm đầu $A$:

Trong hình lập phương, tứ giác $ADHE$ là hình vuông (mặt bên), nên: $$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{DH}$$ (cùng hướng, cùng độ dài — hai cạnh đối của hình vuông, cùng “đi lên trên”).

Bước 2 — Xác định góc:

$$(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DH}) = (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AE}) = \widehat{BAE}$$

Bước 3 — Tính góc $\widehat{BAE}$:

Tứ giác $ABFE$ là hình vuông (mặt bên). Trong hình vuông, hai cạnh kề vuông góc với nhau, nên $\widehat{BAE} = 90°$.

Kết luận: $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{DH}) = 90°$.

Bài 2. Cho hình lập phương $ABCD.EFGH$. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{EG}$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1 — Dời vectơ $\overrightarrow{EG}$ về điểm đầu $A$:

Quan sát hình: $AE$ và $CG$ là hai cạnh bên của hình lập phương, song song và bằng nhau. Do đó $AEGC$ là hình bình hành, suy ra: $$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{EG}$$ (vì $AC$ và $EG$ là hai cạnh đối của hình bình hành $AEGC$, cùng hướng và cùng độ dài).

Bước 2 — Xác định góc:

$$(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{EG}) = (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \widehat{BAC}$$

Bước 3 — Tính góc $\widehat{BAC}$:

Tứ giác $ABCD$ là hình vuông (mặt đáy), và $AC$ là đường chéo. Đường chéo hình vuông tạo với cạnh một góc $45°$, nên: $$\widehat{BAC} = 45°$$

Kết luận: $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{EG}) = 45°$.

Bài 3. Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = AC = AD$ và $\widehat{BAC} = \widehat{BAD} = 60°$. Hãy xác định góc giữa cặp vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1 — Phân tích $\overrightarrow{CD}$ theo hai vectơ xuất phát từ $A$:

Áp dụng công thức hiệu hai vectơ: $$\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD} – \overrightarrow{AC}$$

Bước 2 — Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}$:

$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AD} – \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} – \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$$

Bước 3 — Tính từng tích vô hướng:

$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AD}| \cdot \cos(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AD}| \cdot \cos 60°$$

$$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{AC}| \cdot \cos 60°$$

Bước 4 — Khai thác điều kiện $AC = AD$:

Vì $AC = AD$, tức $|\overrightarrow{AC}| = |\overrightarrow{AD}|$, nên hai tích vô hướng ở Bước 3 bằng nhau: $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$$

Do đó: $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD} – \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$$

Bước 5 — Kết luận:

Vì $\overrightarrow{AB} \neq \vec{0}$ và $\overrightarrow{CD} \neq \vec{0}$, kết hợp $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 0$ suy ra: $$\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{CD} \Rightarrow (\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = 90°$$

Dạng 4: Một số bài toán ứng dụng vectơ giải toán thực tiễn

Phương pháp giải:

• Bước 1: Chuyển bài toán thực tế về ngôn ngữ vectơ (xác định các vectơ lực, vận tốc, độ dịch chuyển,…).
• Bước 2: Áp dụng các công thức liên quan: $\vec{F} = m\vec{a}$ (định luật II Newton), $A = \vec{F} \cdot \vec{d}$ (công của lực), tổng hợp lực,…
• Bước 3: Thực hiện các phép tính vectơ (cộng, trừ, tích vô hướng) và đưa ra đáp số.

Bài 1. Cho ba vectơ $\vec{F_1}, \vec{F_2}, \vec{F_3}$ biểu diễn lực căng của các sợi dây cáp $AB, AC, AD$ tác dụng lên vật nặng. Giá của ba vectơ này có cùng nằm trên một mặt phẳng không?

Lời giải chi tiết:

Giá của ba vectơ $\vec{F_1}, \vec{F_2}, \vec{F_3}$ lần lượt là ba đường thẳng $AB, AC, AD$.

Quan sát hệ thống treo: đầu chung $A$ nằm phía trên, còn $B, C, D$ là ba điểm trên vật nặng phía dưới. Bốn điểm $A, B, C, D$ tạo thành một tứ diện (không đồng phẳng).

Vì bốn điểm $A, B, C, D$ không đồng phẳng, nên ba đường thẳng $AB, AC, AD$ không thể cùng nằm trong một mặt phẳng.

Kết luận: Giá của ba vectơ $\vec{F_1}, \vec{F_2}, \vec{F_3}$ không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Bài 2. Theo định luật II Newton: Gia tốc của một vật có cùng hướng với lực tác dụng lên vật. Độ lớn của gia tốc tỉ lệ thuận với độ lớn của lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật: $$\vec{F} = m\vec{a}$$ trong đó $\vec{a}$ là vectơ gia tốc (m/s²), $\vec{F}$ là vectơ lực (N), $m$ (kg) là khối lượng vật.

Muốn truyền cho quả bóng có khối lượng $0{,}5$ kg một gia tốc $50$ m/s² thì cần một lực đá có độ lớn là bao nhiêu?

Lời giải chi tiết:

Bước 1 — Viết công thức liên hệ độ lớn:

Từ $\vec{F} = m\vec{a}$, suy ra: $$|\vec{F}| = m \cdot |\vec{a}|$$ (vì $m > 0$, hướng của $\vec{F}$ trùng với $\vec{a}$, nên độ lớn nhân hệ số dương $m$).

Bước 2 — Thay số:

$$|\vec{F}| = 0{,}5 \times 50 = 25 \text{ (N)}$$

Kết luận: Để truyền cho quả bóng khối lượng $0{,}5$ kg một gia tốc $50$ m/s², cần một lực đá có độ lớn $\mathbf{25}$ N.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh