Lý thuyết trọng tâm

1. Khái niệm tích phân

1.1. Diện tích hình thang cong

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hàm số $f(x)$ liên tục và không âm trên đoạn $[a; b]$. Hình phẳng được giới hạn bởi:

• Đồ thị $y = f(x)$,
• Trục hoành,
• Hai đường thẳng đứng $x = a$ và $x = b$,

được gọi là một hình thang cong.

Công thức tính diện tích hình thang cong:

Nếu $f(x)$ liên tục và không âm trên $[a; b]$ thì diện tích $S$ của hình thang cong được tính bởi:

$$\boxed{S = F(b) – F(a)}$$

trong đó $F(x)$ là một nguyên hàm bất kỳ của $f(x)$ trên $[a; b]$.

Ý tưởng cốt lõi: Diện tích hình thang cong được tính nhờ nguyên hàm — đây chính là cầu nối giữa bài toán tính diện tích (hình học) và phép nguyên hàm (giải tích).

Lời giải:

Một nguyên hàm của $f(x) = x^2 + 1$ là $F(x) = \dfrac{x^3}{3} + x$.

Diện tích cần tính: $$S = F(2) – F(0) = \left(\dfrac{8}{3} + 2\right) – 0 = \dfrac{14}{3}.$$

1.2. Định nghĩa tích phân

Từ công thức diện tích trên, người ta tổng quát hóa thành khái niệm tích phân.

Định nghĩa: Cho $f(x)$ là hàm số liên tục trên đoạn $[a; b]$. Nếu $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $[a; b]$ thì hiệu số $F(b) – F(a)$ được gọi là tích phân từ $a$ đến $b$ của $f(x)$, ký hiệu:

$$\int_a^b f(x) , dx = F(b) – F(a).$$

Hiệu $F(b) – F(a)$ thường được viết gọn dưới dạng: $$F(x) \Big|_a^b = F(b) – F(a).$$

Các thuật ngữ:

• $\int$: dấu tích phân;
• $a$: cận dưới; $b$: cận trên;
• $f(x),dx$: biểu thức dưới dấu tích phân;
• $f(x)$: hàm số dưới dấu tích phân.

Chú ý quan trọng:

1. Tích phân không phụ thuộc vào biến lấy tích phân: $$\int_a^b f(x) , dx = \int_a^b f(t) , dt = \int_a^b f(u) , du.$$
2. Quy ước về cận: $$\int_a^a f(x) , dx = 0; \quad \int_a^b f(x) , dx = -\int_b^a f(x) , dx.$$
3. Tích phân không phụ thuộc vào việc chọn nguyên hàm $F(x)$: vì nếu $G(x) = F(x) + C$ thì $G(b) – G(a) = F(b) – F(a)$ (hằng số $C$ triệt tiêu).

Ví dụ 1. Tính các tích phân sau:

a) $\int_0^2 x^3 , dx$;

b) $\int_0^{\pi/4} \sin t , dt$;

c) $\int_1^2 \dfrac{1}{x} , dx$;

d) $\int_0^1 e^x , dx$.

Lời giải:

a) $\int_0^2 x^3 , dx = \dfrac{x^4}{4} \Big|_0^2 = \dfrac{2^4}{4} – 0 = 4.$

b) $\int_0^{\pi/4} \sin t , dt = -\cos t \Big|_0^{\pi/4} = -\cos\dfrac{\pi}{4} – (-\cos 0) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} + 1 = 1 – \dfrac{\sqrt{2}}{2}.$

c) $\int_1^2 \dfrac{1}{x} , dx = \ln|x| \Big|_1^2 = \ln 2 – \ln 1 = \ln 2.$

d) $\int_0^1 e^x , dx = e^x \Big|_0^1 = e – 1.$

1.3. Ý nghĩa hình học của tích phân

Nếu $f(x)$ liên tục và không âm trên đoạn $[a; b]$, thì tích phân $\int_a^b f(x),dx$ chính là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$:

$$S = \int_a^b f(x) , dx.$$

Ý nghĩa hình học này cho phép ta tính một số tích phân mà không cần tìm nguyên hàm, chỉ bằng cách nhận dạng hình học.

Ví dụ 2. Sử dụng ý nghĩa hình học, hãy tính:

a) $\int_0^2 (x + 2) , dx$;

b) $\int_{-2}^2 \sqrt{4 – x^2} , dx$.

Lời giải:

a) Hàm $y = x + 2$ là đường thẳng. Hình thang cong cần tính là hình thang vuông với đáy nhỏ $= 2$ (giá trị $y$ tại $x = 0$), đáy lớn $= 4$ (giá trị $y$ tại $x = 2$) và chiều cao $= 2$.

$$\int_0^2 (x + 2) , dx = \dfrac{(2 + 4) \cdot 2}{2} = 6.$$

b) Đường cong $y = \sqrt{4 – x^2}$ là nửa trên của đường tròn tâm $O$, bán kính $2$. Do đó: $$\int_{-2}^2 \sqrt{4 – x^2} , dx = \dfrac{1}{2} \cdot \pi \cdot 2^2 = 2\pi.$$

2. Tính chất của tích phân

Cho $f(x), g(x)$ là các hàm số liên tục trên đoạn $[a; b]$. Khi đó:

Tính chất 1 — Hằng số nhân vào: $$\int_a^b k \cdot f(x) , dx = k \int_a^b f(x) , dx \ (k \text{ là hằng số}).$$

Tính chất 2 — Tổng và hiệu: $$\int_a^b [f(x) \pm g(x)] , dx = \int_a^b f(x) , dx \pm \int_a^b g(x) , dx.$$

Tính chất 3 — Tách cận: $$\int_a^b f(x) , dx = \int_a^c f(x) , dx + \int_c^b f(x) , dx \quad (a < c < b).$$

Ba tính chất đầu tương tự như tính chất của nguyên hàm. Riêng Tính chất 3 là đặc trưng riêng của tích phân — rất hữu ích khi tính tích phân của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối hoặc hàm được định nghĩa theo từng khoảng.

Ví dụ 3. Tính các tích phân sau:

a) $\int_0^1 (x^2 + 2\sqrt{x}) , dx$;

b) $\int_0^{\pi/2} (e^x + \sin x) , dx$;

c) $\int_1^2 \left(3^x + \dfrac{2}{x}\right) dx$.

Lời giải:

a) Tách thành tổng hai tích phân: $$\int_0^1 x^2 , dx + 2\int_0^1 \sqrt{x} , dx = \dfrac{x^3}{3}\Big|_0^1 + 2 \cdot \dfrac{2x^{3/2}}{3}\Big|_0^1 = \dfrac{1}{3} + \dfrac{4}{3} = \dfrac{5}{3}.$$

b) $\int_0^{\pi/2} e^x , dx + \int_0^{\pi/2} \sin x , dx = e^x \Big|_0^{\pi/2} + (-\cos x) \Big|_0^{\pi/2}$ $$= (e^{\pi/2} – 1) + (-0 – (-1)) = e^{\pi/2} – 1 + 1 = e^{\pi/2}.$$

c) $\int_1^2 3^x , dx + 2\int_1^2 \dfrac{1}{x} , dx = \dfrac{3^x}{\ln 3}\Big|_1^2 + 2\ln|x|\Big|_1^2$ $$= \dfrac{9 – 3}{\ln 3} + 2\ln 2 = \dfrac{6}{\ln 3} + 2\ln 2.$$

Ví dụ 4. Tính $\int_0^4 |x – 3| , dx$.

Lời giải:

Ta có $|x – 3| = \begin{cases} 3 – x & \text{nếu } x < 3 \\ x – 3 & \text{nếu } x \geq 3 \end{cases}$

Áp dụng Tính chất 3 để tách tích phân tại $x = 3$: $$\int_0^4 |x – 3| , dx = \int_0^3 (3 – x) , dx + \int_3^4 (x – 3) , dx.$$

Tính từng tích phân: $$\int_0^3 (3 – x) , dx = \left(3x – \dfrac{x^2}{2}\right)\Big|_0^3 = \left(9 – \dfrac{9}{2}\right) – 0 = \dfrac{9}{2}.$$

$$\int_3^4 (x – 3) , dx = \left(\dfrac{x^2}{2} – 3x\right)\Big|_3^4 = \left(8 – 12\right) – \left(\dfrac{9}{2} – 9\right) = -4 + \dfrac{9}{2} = \dfrac{1}{2}.$$

Vậy: $\int_0^4 |x – 3| , dx = \dfrac{9}{2} + \dfrac{1}{2} = 5.$

Các dạng bài tập trọng tâm

Dạng 1: Sử dụng tính chất của tích phân

Phương pháp giải:

Dùng các tính chất của tích phân để tách/gộp các tích phân đã cho về dạng có thể tính hoặc đã biết giá trị:

1. $\int_a^b kf(x) , dx = k \int_a^b f(x) , dx$
2. $\int_a^b [f(x) \pm g(x)] , dx = \int_a^b f(x),dx \pm \int_a^b g(x),dx$
3. $\int_a^b f(x),dx = \int_a^c f(x),dx + \int_c^b f(x),dx$

Bài 1. Cho $\int_1^2 f(x),dx = -2$ và $\int_2^3 f(x),dx = 1$. Tính $\int_1^3 f(x),dx$.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng Tính chất 3 — tách cận tại $x = 2$: $$\int_1^3 f(x) , dx = \int_1^2 f(x) , dx + \int_2^3 f(x) , dx = -2 + 1 = -1.$$

Bài 2. Cho $\int_0^1 f(x) , dx = 4$. Tính $\int_0^1 2f(x) , dx$.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng Tính chất 1 (đưa hằng số $k = 2$ ra ngoài dấu tích phân): $$\int_0^1 2f(x) , dx = 2 \int_0^1 f(x) , dx = 2 \cdot 4 = 8.$$

Bài 3. Biết $F(x) = x^2$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $\mathbb{R}$. Tính giá trị của $\int_1^2 [2 + f(x)] , dx$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tách tích phân thành tổng: $$\int_1^2 [2 + f(x)] , dx = \int_1^2 2 , dx + \int_1^2 f(x) , dx.$$

Bước 2: Tính từng phần.

Phần đầu: $\int_1^2 2 , dx = 2x\Big|_1^2 = 2 \cdot 2 – 2 \cdot 1 = 2$.

Phần sau: vì $F(x) = x^2$ là nguyên hàm của $f(x)$, nên: $$\int_1^2 f(x) , dx = F(2) – F(1) = 2^2 – 1^2 = 3.$$

Bước 3: Cộng lại: $\int_1^2 [2 + f(x)] , dx = 2 + 3 = 5.$

Dạng 2: Tích phân lũy thừa

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nguyên hàm lũy thừa rồi thay cận: $$\int_a^b x^n , dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}\Big|_a^b = \dfrac{b^{n+1} – a^{n+1}}{n+1} \ (n \neq -1).$$

Với bài toán có hàm chứa dấu “min/max” hoặc hàm định nghĩa theo từng miền: xác định khoảng nào hàm nào chiếm ưu thế, rồi dùng Tính chất 3 để tách cận.

Bài 1. Tính tích phân $I = \int_0^2 (2x – 1) , dx$.

Lời giải chi tiết:

Lấy nguyên hàm: $\int (2x – 1) , dx = x^2 – x + C$.

Áp dụng công thức Newton-Leibniz: $$I = (x^2 – x)\Big|_0^2 = (4 – 2) – 0 = 2.$$

Bài 2. Tính tích phân $\int_0^2 \min{x^2, \ 3x – 2} , dx$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Xác định giao điểm của hai đồ thị $y = x^2$ và $y = 3x – 2$ trên $[0; 2]$: $$x^2 = 3x – 2 \Leftrightarrow x^2 – 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 1 \\ x = 2 \end{array}\right.$$

Bước 2: Xác định hàm nhỏ hơn trên từng khoảng.

• Trên $(0; 1)$: Lấy $x = 0{,}5$ thử: $x^2 = 0{,}25$; $3x – 2 = -0{,}5$. Vậy $3x – 2 < x^2$ → $\min{x^2, 3x-2} = 3x – 2$.
• Trên $(1; 2)$: Lấy $x = 1{,}5$ thử: $x^2 = 2{,}25$; $3x – 2 = 2{,}5$. Vậy $x^2 < 3x – 2$ → $\min{x^2, 3x-2} = x^2$.

Bước 3: Tách cận tại $x = 1$ và tính: $$\int_0^2 \min{x^2, 3x-2} , dx = \int_0^1 (3x – 2) , dx + \int_1^2 x^2 , dx.$$

• $\int_0^1 (3x – 2) , dx = \left(\dfrac{3x^2}{2} – 2x\right)\Big|_0^1 = \dfrac{3}{2} – 2 = -\dfrac{1}{2}$.
• $\int_1^2 x^2 , dx = \dfrac{x^3}{3}\Big|_1^2 = \dfrac{8 – 1}{3} = \dfrac{7}{3}$.

Vậy: $I = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{7}{3} = -\dfrac{3}{6} + \dfrac{14}{6} = \dfrac{11}{6}.$

Bài 3. Cho $I = \int_0^2 (2x^2 – x – m) , dx$ và $J = \int_0^1 (x^2 – 2mx) , dx$. Tìm điều kiện của $m$ để $I \leq J$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tính $I$ theo $m$: $$I = \left(\dfrac{2x^3}{3} – \dfrac{x^2}{2} – mx\right)\Big|_0^2 = \dfrac{16}{3} – 2 – 2m = \dfrac{10}{3} – 2m.$$

Bước 2: Tính $J$ theo $m$: $$J = \left(\dfrac{x^3}{3} – mx^2\right)\Big|_0^1 = \dfrac{1}{3} – m.$$

Bước 3: Giải bất phương trình $I \leq J$: $$\dfrac{10}{3} – 2m \leq \dfrac{1}{3} – m \Leftrightarrow \dfrac{10}{3} – \dfrac{1}{3} \leq 2m – m \Leftrightarrow 3 \leq m.$$

Vậy $m \geq 3$.

Dạng 3: Tích phân hữu tỉ

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức:

• $\int \dfrac{1}{ax+b} , dx = \dfrac{1}{a} \ln|ax+b| + C \ (a \neq 0)$.
• $\int \dfrac{u'(x)}{u(x)} , dx = \ln|u(x)| + C$.

Với phân thức phức tạp, dùng các kỹ thuật: chia đa thức (khi bậc tử ≥ bậc mẫu); thêm-bớt để tách; đồng nhất thức để phân tích thành tổng các phân thức đơn giản.

Bài 1. Tính tích phân $\int_0^2 \dfrac{2}{2x+1} , dx$.

Lời giải chi tiết:

Nhận xét: $d(2x+1) = 2 , dx$, nên: $$\int_0^2 \dfrac{2}{2x+1} , dx = \int_0^2 \dfrac{d(2x+1)}{2x+1} = \ln|2x+1|\Big|_0^2 = \ln 5 – \ln 1 = \ln 5.$$

Bài 2. Biết $\int_{1/3}^1 \dfrac{x – 5}{2x + 2} , dx = a + \ln b$ với $a, b$ là các số thực. Tính $ab$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Chia đa thức để tách tử.

Ta có $x – 5 = \dfrac{1}{2}(2x + 2) – 6$, nên: $$\dfrac{x – 5}{2x + 2} = \dfrac{1}{2} – \dfrac{6}{2x + 2} = \dfrac{1}{2} – \dfrac{3}{x + 1}.$$

Bước 2: Tính tích phân: $$\int_{1/3}^1 \left(\dfrac{1}{2} – \dfrac{3}{x+1}\right) dx = \left(\dfrac{x}{2} – 3\ln|x+1|\right)\Big|_{1/3}^1.$$

Bước 3: Thay cận: $$= \left(\dfrac{1}{2} – 3\ln 2\right) – \left(\dfrac{1}{6} – 3\ln\dfrac{4}{3}\right) = \dfrac{1}{2} – \dfrac{1}{6} + 3\ln\dfrac{4/3}{2} = \dfrac{1}{3} + 3\ln\dfrac{2}{3}.$$

Viết dưới dạng $a + \ln b$: $$= \dfrac{1}{3} + \ln\left(\dfrac{2}{3}\right)^3 = \dfrac{1}{3} + \ln\dfrac{8}{27}.$$

Suy ra $a = \dfrac{1}{3}$, $b = \dfrac{8}{27}$. Vậy: $$ab = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{8}{27} = \dfrac{8}{81}.$$

Bài 3. Cho $\int_1^2 \dfrac{1}{x^2 + 5x + 6} , dx = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5$ với $a, b, c$ là các số nguyên. Tính $a + b + c$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Phân tích mẫu: $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$.

Sử dụng đồng nhất thức: $$\dfrac{1}{(x+2)(x+3)} = \dfrac{1}{x+2} – \dfrac{1}{x+3}.$$

(Kiểm tra nhanh: $\dfrac{1}{x+2} – \dfrac{1}{x+3} = \dfrac{(x+3) – (x+2)}{(x+2)(x+3)} = \dfrac{1}{(x+2)(x+3)}$ ✓)

Bước 2: Tính tích phân: $$\int_1^2 \left(\dfrac{1}{x+2} – \dfrac{1}{x+3}\right) dx = \ln\left|\dfrac{x+2}{x+3}\right|\Big|_1^2 = \ln\dfrac{4}{5} – \ln\dfrac{3}{4}.$$

Bước 3: Biến đổi: $$= \ln 4 – \ln 5 – \ln 3 + \ln 4 = 2\ln 4 – \ln 3 – \ln 5 = 4\ln 2 – \ln 3 – \ln 5.$$

Đối chiếu: $a = 4$, $b = -1$, $c = -1$. Vậy: $$a + b + c = 4 – 1 – 1 = 2.$$

Dạng 4: Tích phân lượng giác

Phương pháp giải:

Loại 1 — Tích phân cơ bản: Dùng công thức (với $k \neq 0$): $$\int \cos kx , dx = \dfrac{1}{k}\sin kx + C; \quad \int \sin kx , dx = -\dfrac{1}{k}\cos kx + C;$$ $$\int \dfrac{1}{\cos^2 kx} , dx = \dfrac{1}{k}\tan kx + C; \quad \int \dfrac{1}{\sin^2 kx} , dx = -\dfrac{1}{k}\cot kx + C.$$

Loại 2 — Tích của các hàm lượng giác: Dùng công thức biến tích thành tổng: $$\cos A \cos B = \dfrac{1}{2}[\cos(A-B) + \cos(A+B)];$$ $$\sin A \sin B = \dfrac{1}{2}[\cos(A-B) – \cos(A+B)];$$ $$\sin A \cos B = \dfrac{1}{2}[\sin(A-B) + \sin(A+B)].$$

Loại 3 — Lũy thừa của hàm lượng giác $\sin^n x, \cos^n x$:

• $n$ chẵn: dùng công thức hạ bậc $\cos^2 x = \dfrac{1+\cos 2x}{2}$; $\sin^2 x = \dfrac{1-\cos 2x}{2}$.
• $n$ lẻ: tách một thừa số, dùng $\cos x , dx = d(\sin x)$ hoặc $\sin x , dx = -d(\cos x)$.

Bài 1. Tính tích phân $I = \int_0^{\pi/4} \cos^2 x , dx$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Hạ bậc: $\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}$.

Bước 2: $$I = \dfrac{1}{2} \int_0^{\pi/4} (1 + \cos 2x) , dx = \dfrac{1}{2}\left(x + \dfrac{\sin 2x}{2}\right)\Big|_0^{\pi/4}.$$

Bước 3: Thay cận: $$I = \dfrac{1}{2}\left[\left(\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\sin(\pi/2)}{2}\right) – 0\right] = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{\pi + 2}{8}.$$

Bài 2. Tính tích phân $I = \int_0^{\pi/4} \tan^2 x , dx$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Dùng đồng nhất thức $\tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x} – 1$:

$$I = \int_0^{\pi/4} \left(\dfrac{1}{\cos^2 x} – 1\right) dx.$$

Bước 2: $$I = (\tan x – x)\Big|_0^{\pi/4} = \left(\tan\dfrac{\pi}{4} – \dfrac{\pi}{4}\right) – 0 = 1 – \dfrac{\pi}{4}.$$

Bài 3. Tính tích phân $I = \int_0^{\pi/2} \sin\left(\dfrac{\pi}{4} – x\right) dx$.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng công thức $\int \sin(ax + b) , dx = -\dfrac{1}{a}\cos(ax + b) + C$ với $a = -1, b = \dfrac{\pi}{4}$:

$$\int \sin\left(\dfrac{\pi}{4} – x\right) dx = \cos\left(\dfrac{\pi}{4} – x\right) + C.$$

(Kiểm tra đạo hàm: $\left[\cos\left(\dfrac{\pi}{4} – x\right)\right]’ = -\sin\left(\dfrac{\pi}{4} – x\right) \cdot (-1) = \sin\left(\dfrac{\pi}{4} – x\right)$ ✓)

Thay cận: $$I = \cos\left(\dfrac{\pi}{4} – x\right)\Big|_0^{\pi/2} = \cos\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) – \cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} – \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 0.$$

Bài 4. Cho tích phân $\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos x \cos 3x , dx = a + b$. Tính giá trị $A = a^3 + b^3 + 1$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Dùng công thức biến tích thành tổng: $$\cos x \cos 3x = \dfrac{1}{2}[\cos(x – 3x) + \cos(x + 3x)] = \dfrac{1}{2}[\cos 2x + \cos 4x]$$ (ở đây dùng $\cos(-2x) = \cos 2x$).

Bước 2: Tính tích phân: $$I = \dfrac{1}{2} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (\cos 2x + \cos 4x) , dx = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sin 2x}{2} + \dfrac{\sin 4x}{4}\right)\Big|_{-\pi/2}^{\pi/2}.$$

Bước 3: Thay cận. Do $\sin(\pm\pi) = 0$ và $\sin(\pm 2\pi) = 0$: $$I = \dfrac{1}{2}\left[\left(0 + 0\right) – \left(0 + 0\right)\right] = 0.$$

Bước 4: Từ giả thiết, $a + b = 0$. Áp dụng hằng đẳng thức: $$a^3 + b^3 = (a + b)^3 – 3ab(a + b) = 0 – 0 = 0.$$

Vậy $A = a^3 + b^3 + 1 = 0 + 1 = 1.$

Dạng 5: Tích phân hàm số mũ

Phương pháp giải:

Áp dụng các công thức: $$\int_a^b e^x , dx = e^x \Big|_a^b = e^b – e^a; \quad \int_a^b k^x , dx = \dfrac{k^x}{\ln k} \Big|_a^b.$$

Công thức mở rộng: $\int e^{ax+b} , dx = \dfrac{1}{a} e^{ax+b} + C$.

Bài 1. Tính $I = \int_0^1 e^{3x} , dx$.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng công thức $\int e^{ax} , dx = \dfrac{1}{a} e^{ax} + C$ với $a = 3$: $$I = \dfrac{1}{3} e^{3x} \Big|_0^1 = \dfrac{1}{3}(e^3 – e^0) = \dfrac{e^3 – 1}{3}.$$

Bài 2. Tính $I = \int_0^1 2^{x+1} , dx$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Biến đổi: $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$.

Bước 2: $$I = 2\int_0^1 2^x , dx = 2 \cdot \dfrac{2^x}{\ln 2}\Big|_0^1 = 2 \cdot \dfrac{2 – 1}{\ln 2} = \dfrac{2}{\ln 2}.$$

Bài 3. Biết $\int_1^4 \sqrt{\dfrac{1}{4x} + \dfrac{\sqrt{x} + e^x}{\sqrt{x} \cdot e^{2x}}} , dx = a + e^b – e^c$ với $a, b, c$ là các số nguyên. Tính $T = a + b + c$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Biến đổi biểu thức dưới dấu căn.

Tách phân thức thứ hai: $$\dfrac{\sqrt{x} + e^x}{\sqrt{x} \cdot e^{2x}} = \dfrac{1}{e^{2x}} + \dfrac{1}{\sqrt{x} \cdot e^x}.$$

Vậy biểu thức dưới căn là: $$\dfrac{1}{4x} + \dfrac{1}{\sqrt{x} \cdot e^x} + \dfrac{1}{e^{2x}}.$$

Bước 2: Nhận dạng hằng đẳng thức. Xét $\left(\dfrac{1}{2\sqrt{x}} + \dfrac{1}{e^x}\right)^2$: $$= \dfrac{1}{4x} + 2 \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \dfrac{1}{e^x} + \dfrac{1}{e^{2x}} = \dfrac{1}{4x} + \dfrac{1}{\sqrt{x} \cdot e^x} + \dfrac{1}{e^{2x}}.$$

Đúng bằng biểu thức dưới căn! Vậy: $$\sqrt{\ldots} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} + \dfrac{1}{e^x} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} + e^{-x}.$$

(Do cả hai thành phần đều dương trên $[1; 4]$, không cần trị tuyệt đối.)

Bước 3: Tính tích phân: $$\int_1^4 \left(\dfrac{1}{2\sqrt{x}} + e^{-x}\right) dx = \left(\sqrt{x} – e^{-x}\right)\Big|_1^4.$$

Bước 4: Thay cận: $$= (2 – e^{-4}) – (1 – e^{-1}) = 1 + e^{-1} – e^{-4}.$$

Đối chiếu với dạng $a + e^b – e^c$: $a = 1$, $b = -1$, $c = -4$. Vậy: $$T = 1 + (-1) + (-4) = -4.$$

Dạng 6: Bài toán thực tế (ứng dụng tích phân)

Phương pháp giải:

Trong các bài toán chuyển động hoặc chi phí:

• Quãng đường đi được từ thời điểm $t_1$ đến $t_2$ (khi biết vận tốc): $s = \int_{t_1}^{t_2} v(t) , dt$.
• Tốc độ trung bình trong khoảng $[t_1; t_2]$: $v_{tb} = \dfrac{s}{t_2 – t_1}$.
• Chi phí hoặc sản lượng tích lũy từ $x_1$ đến $x_2$ (khi biết tốc độ thay đổi $f'(x)$): $f(x_2) – f(x_1) = \int_{x_1}^{x_2} f'(x) , dx$.

Bài 1. Một ô tô đang di chuyển với tốc độ $20 \ m/s$ thì hãm phanh, nên tốc độ $(m/s)$ của xe thay đổi theo thời gian $t$ tính theo công thức $v(t) = 20 – 5t \ (0 \leq t \leq 4)$.

a) Kể từ khi hãm phanh đến khi dừng, ô tô đi được quãng đường bao nhiêu?

b) Tính tốc độ trung bình của xe trong khoảng thời gian đó.

Lời giải chi tiết:

a) Tìm thời điểm xe dừng: $v(t) = 20 – 5t = 0 \Leftrightarrow t = 4$ (giây).

Với $t \in [0; 4]$, ta có $v(t) = 20 – 5t \geq 0$, nên quãng đường đi được là: $$s = \int_0^4 v(t) , dt = \int_0^4 (20 – 5t) , dt = \left(20t – \dfrac{5t^2}{2}\right)\Big|_0^4.$$

Thay cận: $$s = \left(80 – \dfrac{80}{2}\right) – 0 = 80 – 40 = 40 \ (m).$$

Vậy từ khi hãm phanh đến khi dừng, ô tô đi được $40$ mét.

b) Tốc độ trung bình trong khoảng $[0; 4]$: $$v_{tb} = \dfrac{s}{4 – 0} = \dfrac{40}{4} = 10 \ (m/s).$$

Bài 2. Tại một nhà máy, gọi $C(x)$ là tổng chi phí để sản xuất $x$ tấn sản phẩm A trong một tháng. Đạo hàm $C'(x)$ được gọi là chi phí cận biên, cho biết tốc độ tăng chi phí theo lượng sản phẩm được sản xuất. Giả sử chi phí cận biên được ước lượng bởi công thức: $$C'(x) = 5 – 0{,}06x + 0{,}00072x^2, \ 0 \leq x \leq 150.$$

Biết rằng $C(0) = 30$ triệu đồng (chi phí cố định). Tính tổng chi phí khi nhà máy sản xuất $100$ tấn sản phẩm A trong tháng.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Dùng công thức Newton-Leibniz: $$C(100) – C(0) = \int_0^{100} C'(x) , dx = \int_0^{100} (5 – 0{,}06x + 0{,}00072x^2) , dx.$$

Bước 2: Tính từng phần: $$= 5x\Big|_0^{100} – 0{,}03x^2\Big|_0^{100} + 0{,}00024x^3\Big|_0^{100}.$$

Thay cận:

• $5x\Big|_0^{100} = 500$.
• $0{,}03x^2\Big|_0^{100} = 0{,}03 \cdot 10\,000 = 300$.
• $0{,}00024x^3\Big|_0^{100} = 0{,}00024 \cdot 1\,000\,000 = 240$.

Tổng: $C(100) – C(0) = 500 – 300 + 240 = 440$ (triệu đồng).

Bước 3: Tính $C(100)$: $$C(100) = C(0) + 440 = 30 + 440 = 470 \ \text{(triệu đồng)}.$$

Vậy khi nhà máy sản xuất $100$ tấn sản phẩm A trong tháng thì tổng chi phí là $470$ triệu đồng.

Sai lầm thường gặp

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh