Lý thuyết trọng tâm

1. Đường tiệm cận ngang

Định nghĩa: Đường thẳng $y = y_0$ được gọi là đường tiệm cận ngang (viết tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu thỏa mãn ít nhất một trong hai điều kiện: $$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = y_0 \quad \text{hoặc} \quad \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = y_0$$

Ý nghĩa hình học: khi $x$ tiến ra vô cùng, điểm $M(x; f(x))$ trên đồ thị sẽ tiến sát đến đường thẳng $y = y_0$ (khoảng cách giữa $M$ và đường thẳng này dần về $0$).

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x) = \dfrac{2x + 3}{x – 1}$.

Lời giải:

Tính giới hạn của $f(x)$ khi $x \to \pm\infty$. Chia cả tử và mẫu cho $x$:

$$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2x + 3}{x – 1} = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2 + \dfrac{3}{x}}{1 – \dfrac{1}{x}} = \dfrac{2 + 0}{1 – 0} = 2$$

Tương tự, $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 2$.

Vậy đồ thị hàm số $f(x)$ có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 2$.

Ví dụ 2. Tìm các tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 4}}{x}$.

Lời giải:

Xét từng giới hạn khi $x \to +\infty$ và $x \to -\infty$ (chú ý dấu của $x$ khi đưa vào căn):

Khi $x \to +\infty$ (tức $x > 0$): $$\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x^2 + 4}}{x} = \lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{\dfrac{x^2 + 4}{x^2}} = \lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{1 + \dfrac{4}{x^2}} = 1$$

Khi $x \to -\infty$ (tức $x < 0$, nên $\sqrt{x^2} = -x$): $$\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{x^2 + 4}}{x} = \lim\limits_{x \to -\infty} \left(-\sqrt{1 + \dfrac{4}{x^2}}\right) = -1$$

Vậy đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là hai đường thẳng $y = 1$ và $y = -1$.

2. Đường tiệm cận đứng

Định nghĩa: Đường thẳng $x = x_0$ được gọi là đường tiệm cận đứng (viết tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: $$\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = +\infty; \quad \lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = -\infty$$ $$\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = +\infty; \quad \lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = -\infty$$

Ý nghĩa hình học: khi $x$ tiến gần đến $x_0$ (từ bên trái hoặc bên phải), giá trị $f(x)$ tiến ra vô cùng, tức đồ thị “chạy dọc” theo đường thẳng $x = x_0$.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 3. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x) = \dfrac{2 – x}{x + 3}$.

Lời giải:

Hàm số xác định trên $\mathbb{R} \setminus {-3}$. Xét giới hạn khi $x \to -3$:

• Khi $x \to (-3)^+$: mẫu $x + 3 \to 0^+$, tử $2 – x \to 5 > 0$.

⟹ $\lim\limits_{x \to (-3)^+} f(x) = +\infty$

• Khi $x \to (-3)^-$: mẫu $x + 3 \to 0^-$, tử $2 – x \to 5 > 0$.

⟹ $\lim\limits_{x \to (-3)^-} f(x) = -\infty$

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = -3$.

Ví dụ 4. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f(x) = \dfrac{x^2 + 3}{x}$.

Lời giải:

Hàm số xác định trên $\mathbb{R} \setminus {0}$. Xét giới hạn khi $x \to 0$:

• Khi $x \to 0^+$: tử $x^2 + 3 \to 3 > 0$, mẫu $x \to 0^+$, nên $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$
• Khi $x \to 0^-$: tử $\to 3 > 0$, mẫu $\to 0^-$, nên $\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = -\infty$

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là đường thẳng $x = 0$ (trục tung).

3. Đường tiệm cận xiên

Định nghĩa: Đường thẳng $y = ax + b$ (với $a \neq 0$) được gọi là đường tiệm cận xiên (viết tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số $y = f(x)$ nếu: $$\lim\limits_{x \to +\infty} \left[f(x) – (ax + b)\right] = 0 \quad \text{hoặc} \quad \lim\limits_{x \to -\infty} \left[f(x) – (ax + b)\right] = 0$$

Công thức tính $a$ và $b$:

Khi chưa biết trước tiệm cận xiên, ta tính hệ số $a$ và $b$ theo công thức: $$a = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} \quad \text{(hoặc } x \to -\infty\text{)}$$ $$b = \lim\limits_{x \to +\infty} \left[f(x) – ax\right] \quad \text{(hoặc } x \to -\infty\text{)}$$

Đặc biệt: Nếu $a = 0$ thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang (không phải tiệm cận xiên).

Ví dụ minh họa

Ví dụ 5. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f(x) = x – 1 + \dfrac{3}{x + 1}$.

Lời giải:

Ta nhận thấy hàm số đã được tách sẵn thành phần đường thẳng cộng với phần dư. Xét:

$$\lim\limits_{x \to +\infty} \left[f(x) – (x – 1)\right] = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{3}{x + 1} = 0$$

Tương tự, $\lim\limits_{x \to -\infty} \left[f(x) – (x – 1)\right] = 0$.

Vậy đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng $y = x – 1$.

Ví dụ 6. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y = f(x) = \dfrac{x^2 + x – 3}{x – 1}$.

Lời giải:

Cách 1 — Dùng công thức tính $a, b$:

$$a = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 + x – 3}{x^2 – x} = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1 + \dfrac{1}{x} – \dfrac{3}{x^2}}{1 – \dfrac{1}{x}} = 1$$

$$b = \lim\limits_{x \to +\infty} \left[f(x) – x\right] = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 + x – 3 – x(x – 1)}{x – 1} = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2x – 3}{x – 1} = 2$$

Tương tự khi $x \to -\infty$: $a = 1$, $b = 2$.

Vậy tiệm cận xiên: $y = x + 2$.

Cách 2 — Chia đa thức (cách thực hành nhanh):

Thực hiện phép chia $x^2 + x – 3$ cho $x – 1$:

$$\dfrac{x^2 + x – 3}{x – 1} = x + 2 – \dfrac{1}{x – 1}$$

Do đó: $f(x) = x + 2 – \dfrac{1}{x – 1}$. Xét: $$\lim\limits_{x \to \pm\infty} \left[f(x) – (x + 2)\right] = \lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{-1}{x – 1} = 0$$

Vậy đồ thị có tiệm cận xiên là đường thẳng $y = x + 2$.

Các dạng bài tập trọng tâm

Dạng 1: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm phân thức hữu tỉ

Phương pháp giải:

Xét hàm số $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ trong đó $P(x), Q(x)$ là các đa thức.

① Tiệm cận đứng: Nếu $x_0$ làm cho $Q(x_0) = 0$ và $P(x_0) \neq 0$ thì đường thẳng $x = x_0$ là tiệm cận đứng.

② Tiệm cận ngang: So sánh bậc của $P(x)$ và $Q(x)$:

• Nếu $\deg P < \deg Q$ ⟹ tiệm cận ngang là $y = 0$.
• Nếu $\deg P = \deg Q$ ⟹ tiệm cận ngang là $y = \dfrac{a}{b}$ (trong đó $a, b$ là hệ số của số hạng bậc cao nhất).
• Nếu $\deg P > \deg Q$ ⟹ không có tiệm cận ngang.

(deg P, deg Q là bậc của đa thức)

③ Tiệm cận xiên: Chỉ có khi $\deg P = \deg Q + 1$ (tức bậc tử lớn hơn bậc mẫu đúng $1$). Khi đó thực hiện phép chia đa thức: $$f(x) = ax + b + \dfrac{R(x)}{Q(x)}, \quad \text{với } \lim\limits_{x \to \infty} \dfrac{R(x)}{Q(x)} = 0$$

Suy ra tiệm cận xiên là $y = ax + b$.

Bài 1. Tìm các đường tiệm cận của các đồ thị hàm số sau:

a) $y = \dfrac{2x + 1}{x + 2}$; b) $y = \dfrac{3 – 4x}{x – 1}$.

Lời giải chi tiết:

a) Hàm số xác định trên $\mathbb{R} \setminus {-2}$.

Tiệm cận ngang: Tử và mẫu đều có bậc $1$, hệ số bậc cao nhất lần lượt là $2$ và $1$.

$$\lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{2x + 1}{x + 2} = 2$$

⟹ Tiệm cận ngang: $y = 2$.

Tiệm cận đứng: Xét $x \to -2$: tử $2(-2) + 1 = -3 \neq 0$.

• $\lim\limits_{x \to (-2)^+} y = -\infty$ (vì mẫu $\to 0^+$, tử $\to -3$)
• $\lim\limits_{x \to (-2)^-} y = +\infty$ (vì mẫu $\to 0^-$, tử $\to -3$)

⟹ Tiệm cận đứng: $x = -2$.

b) Hàm số xác định trên $\mathbb{R} \setminus {1}$.

Tiệm cận ngang: $$\lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{3 – 4x}{x – 1} = \lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{\dfrac{3}{x} – 4}{1 – \dfrac{1}{x}} = -4$$

⟹ Tiệm cận ngang: $y = -4$.

Tiệm cận đứng: Xét $x \to 1$: tử $3 – 4 = -1 \neq 0$.

• $\lim\limits_{x \to 1^+} y = -\infty$ (mẫu $\to 0^+$, tử $\to -1$)
• $\lim\limits_{x \to 1^-} y = +\infty$ (mẫu $\to 0^-$, tử $\to -1$)

⟹ Tiệm cận đứng: $x = 1$.

Bài 2. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = 2x + 1 – \dfrac{1}{x + 2}$.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus {-2}$.

Tiệm cận đứng: Khi $x \to -2$, phần $\dfrac{1}{x+2}$ tiến ra vô cùng.

• $\lim\limits_{x \to (-2)^+} y = 2(-2) + 1 – \dfrac{1}{0^+} = -3 – \infty = -\infty$
• $\lim\limits_{x \to (-2)^-} y = -3 – \dfrac{1}{0^-} = -3 + \infty = +\infty$

⟹ Tiệm cận đứng: $x = -2$.

Tiệm cận xiên: Hàm số đã được tách sẵn dạng $ax + b + \text{phần dư}$, với $a = 2, b = 1$:

$$\lim\limits_{x \to \pm\infty} \left[y – (2x + 1)\right] = \lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{-1}{x + 2} = 0$$

⟹ Tiệm cận xiên: $y = 2x + 1$.

Kết luận: Đồ thị có hai tiệm cận là $x = -2$ (đứng) và $y = 2x + 1$ (xiên).

Bài 3. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^2 – 3x + 4}{2x + 1}$.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{1}{2}\right\}$

Bước 1 — Chia đa thức:

Thực hiện $(x^2 – 3x + 4) : (2x + 1)$:

$$\dfrac{x^2 – 3x + 4}{2x + 1} = \dfrac{1}{2}x – \dfrac{7}{4} + \dfrac{23}{4(2x + 1)}$$

Tiệm cận đứng: Khi $x \to -\dfrac{1}{2}$:

• $\lim\limits_{x \to -\frac{1}{2}^+} y = +\infty$
• $\lim\limits_{x \to -\frac{1}{2}^-} y = -\infty$

⟹ Tiệm cận đứng: $x = -\dfrac{1}{2}$.

Tiệm cận xiên: Từ dạng đã tách: $$\lim\limits_{x \to \pm\infty} \left[y – \left(\dfrac{1}{2}x – \dfrac{7}{4}\right)\right] = \lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{23}{4(2x + 1)} = 0$$

⟹ Tiệm cận xiên: $y = \dfrac{1}{2}x – \dfrac{7}{4}$.

Nhận xét: Với hàm phân thức bậc $2$ trên bậc $1$: $y = \dfrac{ax^2 + bx + c}{dx + e}$ luôn có hai tiệm cận (một đứng $x = -\dfrac{e}{d}$, một xiên, không có tiệm cận ngang).

Dạng 2: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm vô tỉ

Phương pháp giải:

Với hàm số dạng $y = \sqrt{Ax^2 + Bx + C}$ (trong đó $A > 0$) hoặc $y = cx + d \pm \sqrt{Ax^2 + Bx + C}$, các tiệm cận xiên được tìm theo công thức:

• Khi $x \to +\infty$: $a_2 = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{y}{x}$; $b_2 = \lim\limits_{x \to +\infty} [y – a_2 x]$
• Khi $x \to -\infty$: $a_1 = \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{y}{x}$; $b_1 = \lim\limits_{x \to -\infty} [y – a_1 x]$

Kỹ thuật quan trọng: Khi tính giới hạn dạng $\infty – \infty$ (ví dụ $\sqrt{x^2+\ldots} – x$), ta nhân liên hợp để khử dạng vô định.

Chú ý về dấu: Khi $x \to -\infty$ (tức $x < 0$), ta có $\sqrt{x^2} = |x| = -x$ (chứ không phải $x$).

Bài 1. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = \sqrt{x^2 + x + 1}$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1 — Tập xác định: Vì $x^2 + x + 1 > 0$ với mọi $x$ (biệt thức $\Delta = 1 – 4 = -3 < 0$), nên $D = \mathbb{R}$.

Bước 2 — Tiệm cận xiên khi $x \to +\infty$:

Tính $a_2$ (chú ý $x > 0$): $$a_2 = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x^2 + x + 1}}{x} = \lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} = 1$$

Tính $b_2$ (dùng kỹ thuật nhân liên hợp): $$b_2 = \lim\limits_{x \to +\infty} \left[\sqrt{x^2 + x + 1} – x\right] = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{(x^2 + x + 1) – x^2}{\sqrt{x^2 + x + 1} + x}$$

$$= \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x + 1}{\sqrt{x^2 + x + 1} + x} = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1 + \dfrac{1}{x}}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} + 1} = \dfrac{1}{2}$$

⟹ Tiệm cận xiên $d_2: y = x + \dfrac{1}{2}$ (khi $x \to +\infty$).

Bước 3 — Tiệm cận xiên khi $x \to -\infty$:

Tính $a_1$ (chú ý $x < 0$ nên $\sqrt{x^2} = -x$): $$a_1 = \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{x^2 + x + 1}}{x} = \lim\limits_{x \to -\infty} \left(-\sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}}\right) = -1$$

Tính $b_1$: $$b_1 = \lim\limits_{x \to -\infty} \left[\sqrt{x^2 + x + 1} + x\right] = \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{(x^2 + x + 1) – x^2}{\sqrt{x^2 + x + 1} – x}$$

$$= \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{x + 1}{\sqrt{x^2 + x + 1} – x}$$

Khi $x \to -\infty$: $\sqrt{x^2 + x + 1} = -x\sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}}$. Chia tử và mẫu cho $x$:

$$b_1 = \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{1 + \dfrac{1}{x}}{-\sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} – 1} = \dfrac{1}{-1 – 1} = -\dfrac{1}{2}$$

⟹ Tiệm cận xiên $d_1: y = -x – \dfrac{1}{2}$ (khi $x \to -\infty$).

Kết luận: Đồ thị hàm số có hai tiệm cận xiên:

• $y = x + \dfrac{1}{2}$ (khi $x \to +\infty$)
• $y = -x – \dfrac{1}{2}$ (khi $x \to -\infty$)

Bài 2. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số $y = x + \sqrt{x^2 + 1}$.

Lời giải chi tiết:

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Khi $x \to +\infty$:

$$a_2 = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x + \sqrt{x^2 + 1}}{x} = \lim\limits_{x \to +\infty} \left(1 + \sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}}\right) = 1 + 1 = 2$$

$$b_2 = \lim\limits_{x \to +\infty} \left[x + \sqrt{x^2 + 1} – 2x\right] = \lim\limits_{x \to +\infty} \left[\sqrt{x^2 + 1} – x\right]$$

Nhân liên hợp: $\sqrt{x^2+1} – x = \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x} \to 0$ khi $x \to +\infty$.

⟹ $b_2 = 0$. Tiệm cận xiên: $y = 2x$ (khi $x \to +\infty$).

Khi $x \to -\infty$: (chú ý $\sqrt{x^2} = -x$)

$$a_1 = \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{x + \sqrt{x^2 + 1}}{x} = \lim\limits_{x \to -\infty} \left(1 – \sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}}\right) = 1 – 1 = 0$$

Vì $a_1 = 0$, ta có tiệm cận ngang chứ không phải xiên. Tính hằng số:

$$\lim\limits_{x \to -\infty} \left[x + \sqrt{x^2 + 1}\right] = \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{(x + \sqrt{x^2+1})(\sqrt{x^2+1} – x)}{\sqrt{x^2+1} – x} = \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1} – x} = 0$$

(vì khi $x \to -\infty$: $\sqrt{x^2+1} \to +\infty$ và $-x \to +\infty$ nên mẫu $\to +\infty$)

⟹ Tiệm cận ngang: $y = 0$ (khi $x \to -\infty$).

Kết luận: Đồ thị có một tiệm cận xiên $y = 2x$ (khi $x \to +\infty$) và một tiệm cận ngang $y = 0$ (khi $x \to -\infty$).

Dạng 3: Bài toán tiệm cận có chứa tham số $m$

Phương pháp giải:

• Bước 1: Xác định tập xác định theo $m$.
• Bước 2: Tìm các đường tiệm cận theo $m$ (dùng các phương pháp ở Dạng 1).
• Bước 3: Áp dụng điều kiện bài toán (ví dụ: tiệm cận đi qua điểm cho trước, cách đều, tổng khoảng cách min, …) để tìm $m$.

Bài 1. Tìm giá trị của tham số $m$ sao cho đồ thị hàm số $y = \dfrac{2x + 2m – 1}{x + m}$ có tiệm cận đứng đi qua điểm $M(-3; 1)$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tìm dạng tiệm cận. Biến đổi hàm số: $$y = \dfrac{2x + 2m – 1}{x + m} = \dfrac{2(x + m) – 1}{x + m} = 2 – \dfrac{1}{x + m}$$

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus {-m}$.

Bước 2: Tìm tiệm cận đứng.

Khi $x \to -m$: $\lim y = \infty$, vậy đường thẳng $x = -m$ là tiệm cận đứng.

Bước 3: Áp dụng điều kiện. Tiệm cận đứng $x = -m$ đi qua điểm $M(-3; 1)$ khi và chỉ khi hoành độ của $M$ thỏa mãn phương trình $x = -m$: $$-m = -3 \Leftrightarrow m = 3$$

Vậy $m = 3$.

Bài 2. Cho hàm số $y = \dfrac{3x – 4}{x – 2}$ có đồ thị $(C)$. Tìm điểm $M$ thuộc $(C)$ cách đều hai đường tiệm cận.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Xác định các tiệm cận của $(C)$.

• Tiệm cận đứng: $x = 2$ (vì mẫu bằng 0 khi $x = 2$, tử $\neq 0$)
• Tiệm cận ngang: $y = 3$ (vì $\lim\limits_{x \to \pm\infty} y = 3$)

Bước 2: Thiết lập điều kiện.

Gọi $M(x_0; y_0) \in (C)$, với $y_0 = \dfrac{3x_0 – 4}{x_0 – 2}$.

• Khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận đứng $x = 2$: $d_1 = |x_0 – 2|$.
• Khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận ngang $y = 3$: $d_2 = |y_0 – 3|$.

Tính $y_0 – 3$: $$y_0 – 3 = \dfrac{3x_0 – 4}{x_0 – 2} – 3 = \dfrac{3x_0 – 4 – 3(x_0 – 2)}{x_0 – 2} = \dfrac{2}{x_0 – 2}$$

Bước 3: Giải phương trình $d_1 = d_2$: $$|x_0 – 2| = \left|\dfrac{2}{x_0 – 2}\right| \Leftrightarrow (x_0 – 2)^2 = 2$$

$$\Leftrightarrow x_0 – 2 = \pm \sqrt{2} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x_0 = 2 + \sqrt{2} \\ x_0 = 2 – \sqrt{2} \end{array}\right.$$

Tính $y_0$ tương ứng: $y_0 = 3 + \dfrac{2}{x_0 – 2}$.

• Với $x_0 = 2 + \sqrt{2}$: $y_0 = 3 + \dfrac{2}{\sqrt{2}} = 3 + \sqrt{2}$.
• Với $x_0 = 2 – \sqrt{2}$: $y_0 = 3 + \dfrac{2}{-\sqrt{2}} = 3 – \sqrt{2}$.

Vậy có hai điểm thỏa mãn: $M_1(2 + \sqrt{2}; 3 + \sqrt{2})$ và $M_2(2 – \sqrt{2}; 3 – \sqrt{2})$.

Bài 3. Cho hàm số $y = \dfrac{2x + 1}{x + 1}$ có đồ thị $(C)$. Tìm các điểm trên $(C)$ sao cho tổng khoảng cách đến hai đường tiệm cận là nhỏ nhất.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tìm tiệm cận của $(C)$.

• Tiệm cận đứng: $x = -1$.
• Tiệm cận ngang: $y = 2$.

Bước 2: Thiết lập hàm tổng khoảng cách.

Gọi $M(x_0; y_0) \in (C)$. Tính: $$y_0 – 2 = \dfrac{2x_0 + 1}{x_0 + 1} – 2 = \dfrac{2x_0 + 1 – 2(x_0 + 1)}{x_0 + 1} = \dfrac{-1}{x_0 + 1}$$

Do đó:

• $d_1 = |y_0 – 2| = \dfrac{1}{|x_0 + 1|}$
• $d_2 = |x_0 + 1|$

Tổng khoảng cách: $$d = d_1 + d_2 = \dfrac{1}{|x_0 + 1|} + |x_0 + 1|$$

Bước 3: Áp dụng BĐT Cauchy cho $2$ số dương: $$d = \dfrac{1}{|x_0 + 1|} + |x_0 + 1| \geq 2\sqrt{\dfrac{1}{|x_0 + 1|} \cdot |x_0 + 1|} = 2$$

Dấu “=” xảy ra khi: $$\dfrac{1}{|x_0 + 1|} = |x_0 + 1| \Leftrightarrow (x_0 + 1)^2 = 1 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x_0 + 1 = 1 \Rightarrow x_0 = 0 \\ x_0 + 1 = -1 \Rightarrow x_0 = -2 \end{array}\right.$$

Tính $y_0$:

• $x_0 = 0$: $y_0 = \dfrac{0 + 1}{0 + 1} = 1$.
• $x_0 = -2$: $y_0 = \dfrac{-4 + 1}{-2 + 1} = \dfrac{-3}{-1} = 3$.

Kết luận: Tổng khoảng cách nhỏ nhất bằng $2$, đạt được tại hai điểm $M_1(0; 1)$ và $M_2(-2; 3)$.

Dạng 4: Xác định tiệm cận từ đồ thị hoặc bảng biến thiên

Phương pháp giải:

• Tiệm cận ngang $y = y_0$: Quan sát đường thẳng nằm ngang mà đồ thị tiến sát vào khi $x \to \pm\infty$. Tung độ của đường nằm ngang đó chính là $y_0$.
• Tiệm cận đứng $x = x_0$: Quan sát đường thẳng đứng mà đồ thị tiến sát vào (đồ thị “chạy lên” hoặc “chạy xuống” vô cùng khi $x$ gần $x_0$). Hoành độ đó là $x_0$.
• Tiệm cận xiên $y = ax + b$: Quan sát đường thẳng xiên mà đồ thị tiến sát vào. Xác định $a$ (hệ số góc) và $b$ (giao với trục tung) dựa trên hai điểm bất kì trên đường thẳng đó.

Bài 1. Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Xác định phương trình đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Quan sát đồ thị:

• Khi $x \to \pm\infty$, đồ thị tiến sát đến đường thẳng nằm ngang có tung độ bằng $2$.

⟹ Tiệm cận ngang: $y = 2$.

• Khi $x \to -1$, đồ thị “chạy” ra vô cùng theo phương thẳng đứng tại $x = -1$.

⟹ Tiệm cận đứng: $x = -1$.

Bài 2. Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Biết đường tiệm cận xiên của đồ thị đi qua hai điểm $A(2; 2)$ và $B(0; 1)$. Tìm phương trình đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Gọi tiệm cận xiên có dạng $y = ax + b$.

Bước 2: Vì đường tiệm cận đi qua $A(2; 2)$ và $B(0; 1)$, ta có hệ phương trình:

$$\begin{cases} 2a + b = 2 \\ 0 \cdot a + b = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2a + b = 2 \\ b = 1 \end{cases}$$

Từ phương trình thứ hai: $b = 1$. Thay vào phương trình thứ nhất: $2a + 1 = 2 \Rightarrow a = \dfrac{1}{2}$.

Kết luận: Phương trình đường tiệm cận xiên là $y = \dfrac{1}{2}x + 1$.

Sai lầm thường gặp

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh