Lý thuyết trọng tâm

1. Biểu thức tọa độ của phép cộng, phép trừ và phép nhân một số với vectơ

1.1. Công thức các phép toán

Giả sử trong không gian $Oxyz$, ta có hai vectơ với tọa độ $\vec{a} = (x; y; z)$ và $\vec{b} = (x’; y’; z’)$, cùng một số thực $k$ bất kỳ. Khi đó:

• $\vec{a} + \vec{b} = (x + x’; \ y + y’; \ z + z’)$
• $\vec{a} – \vec{b} = (x – x’; \ y – y’; \ z – z’)$
• $k\vec{a} = (kx; \ ky; \ kz)$

Nói cách khác, để thực hiện các phép toán cộng, trừ vectơ ta chỉ cần cộng (hoặc trừ) các tọa độ tương ứng của chúng. Với phép nhân một số với vectơ, ta nhân số đó lần lượt với cả ba thành phần tọa độ.

1.2. Tọa độ của vectơ đối

Vì vectơ đối của $\vec{a}$ là $-\vec{a} = (-1) \cdot \vec{a}$, áp dụng công thức nhân một số với vectơ ở trên, ta suy ra:

$$\text{Nếu } \vec{a} = (x; y; z) \text{ thì } -\vec{a} = (-x; -y; -z).$$

1.3. Điều kiện hai vectơ cùng phương

Hai vectơ $\vec{a} = (x; y; z)$ và $\vec{b} = (x’; y’; z’) \neq \vec{0}$ cùng phương khi và chỉ khi có một số thực $k$ sao cho: $$x = kx’, \quad y = ky’, \quad z = kz’.$$

Ghi nhớ: Khi cả ba tọa độ $x’, y’, z’$ đều khác $0$, điều kiện này tương đương với: $$\dfrac{x}{x’} = \dfrac{y}{y’} = \dfrac{z}{z’}.$$ Nếu có thành phần nào bằng $0$ thì phải dùng dạng ba phương trình ở trên, không được đưa về tỉ số vì sẽ chia cho $0$.

Ví dụ 1. Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a} = (2; 1; 5)$ và $\vec{b} = (2; 2; 1)$. Tìm tọa độ của các vectơ:

a) $\vec{a} – \vec{b}$

b) $3\vec{a} + 2\vec{b}$.

Lời giải:

a) Lấy từng tọa độ tương ứng trừ cho nhau: $$\vec{a} – \vec{b} = (2 – 2; \ 1 – 2; \ 5 – 1) = (0; \ -1; \ 4).$$

b) Nhân số với vectơ trước, rồi cộng lại: $$3\vec{a} = (6; \ 3; \ 15), \quad 2\vec{b} = (4; \ 4; \ 2).$$ $$\Rightarrow 3\vec{a} + 2\vec{b} = (6 + 4; \ 3 + 4; \ 15 + 2) = (10; \ 7; \ 17).$$

2. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm tam giác

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm không thẳng hàng $A(x_A; y_A; z_A)$, $B(x_B; y_B; z_B)$, $C(x_C; y_C; z_C)$.

Trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ có tọa độ là trung bình cộng của tọa độ hai đầu mút: $$M\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}; \ \dfrac{y_A + y_B}{2}; \ \dfrac{z_A + z_B}{2}\right).$$

Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ có tọa độ là trung bình cộng tọa độ ba đỉnh: $$G\left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3}; \ \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}; \ \dfrac{z_A + z_B + z_C}{3}\right).$$

Lưu ý phân biệt: Trung điểm chia mẫu cho 2, trọng tâm chia mẫu cho 3. Rất dễ nhầm lẫn nếu không để ý.

Ví dụ 2. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1; 2; 3)$, $B(3; 2; 1)$, $C(2; -1; 5)$. Tìm tọa độ trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ và trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.

Lời giải:

Áp dụng công thức trung điểm cho $A, B$: $$M\left(\dfrac{1+3}{2}; \ \dfrac{2+2}{2}; \ \dfrac{3+1}{2}\right) = M(2; 2; 2).$$

Áp dụng công thức trọng tâm cho ba điểm $A, B, C$: $$G\left(\dfrac{1+3+2}{3}; \ \dfrac{2+2+(-1)}{3}; \ \dfrac{3+1+5}{3}\right) = G(2; 1; 3).$$

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

3.1. Công thức tích vô hướng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a} = (x; y; z)$ và $\vec{b} = (x’; y’; z’)$. Tích vô hướng của chúng được tính theo công thức:

$$\boxed{\vec{a} \cdot \vec{b} = xx’ + yy’ + zz’}$$

Nghĩa là: nhân từng cặp tọa độ tương ứng, rồi cộng lại. Kết quả là một số thực (không phải vectơ).

3.2. Ba hệ quả quan trọng

Từ công thức trên, ta rút ra được ba công thức ứng dụng cực kỳ hay gặp:

(1) Điều kiện vuông góc. Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng $0$: $$\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow xx’ + yy’ + zz’ = 0.$$

(2) Độ dài của một vectơ. Nếu $\vec{a} = (x; y; z)$ thì: $$|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}} = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}.$$

(3) Góc giữa hai vectơ (khi $\vec{a}, \vec{b}$ đều khác $\vec{0}$): $$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \dfrac{xx’ + yy’ + zz’}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \cdot \sqrt{x’^2 + y’^2 + z’^2}}.$$

3.3. Độ dài đoạn thẳng khi biết tọa độ hai đầu mút

Cho hai điểm $A(x_A; y_A; z_A)$ và $B(x_B; y_B; z_B)$. Độ dài đoạn thẳng $AB$ chính là độ dài vectơ $\vec{AB}$:

$$AB = |\vec{AB}| = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2 + (z_B – z_A)^2}.$$

Trường hợp đặc biệt, khi $B \equiv O$ (gốc tọa độ) thì: $$OA = \sqrt{x_A^2 + y_A^2 + z_A^2}.$$

Ví dụ 3. Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a} = (1; 4; 2)$ và $\vec{b} = (-4; 1; 0)$.

a) Tính $\vec{a} \cdot \vec{b}$ và cho biết hai vectơ này có vuông góc với nhau hay không.

b) Tính độ dài của vectơ $\vec{a}$.

Lời giải:

a) Áp dụng công thức tích vô hướng: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot (-4) + 4 \cdot 1 + 2 \cdot 0 = -4 + 4 + 0 = 0.$$

Vì $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ nên $\vec{a} \perp \vec{b}$.

b) Độ dài của $\vec{a}$: $$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 4^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21}.$$

Ví dụ 4. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật và $SA \perp (ABCD)$. Biết $SA = 2$, $AB = 3$, $AD = 4$. Chọn hệ tọa độ $Oxyz$ với $O \equiv A$ và các tia $Ox, Oy, Oz$ lần lượt trùng với các tia $AB, AD, AS$.

a) Xác định tọa độ các điểm $S, A, B, C, D$.

b) Tính $BD$ và $SC$.

c) Tính góc giữa hai vectơ $\vec{BD}$ và $\vec{SC}$.

Lời giải:

a) Xác định tọa độ từng điểm theo vị trí trong hệ trục:

• $A \equiv O$ nên $A(0; 0; 0)$.
• $B$ nằm trên tia $Ox$ và cách $A$ một khoảng $AB = 3$ nên $B(3; 0; 0)$.
• $D$ nằm trên tia $Oy$ và cách $A$ một khoảng $AD = 4$ nên $D(0; 4; 0)$.
• $S$ nằm trên tia $Oz$ và cách $A$ một khoảng $AS = 2$ nên $S(0; 0; 2)$.
• $C$ là đỉnh còn lại của hình chữ nhật, có hình chiếu lên các trục $Ox, Oy, Oz$ lần lượt là $B, D, A$ nên $C(3; 4; 0)$.

b) Tính tọa độ các vectơ rồi lấy độ dài:

$$\vec{BD} = (0 – 3; \ 4 – 0; \ 0 – 0) = (-3; 4; 0) \Rightarrow BD = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5.$$

$$\vec{SC} = (3 – 0; \ 4 – 0; \ 0 – 2) = (3; 4; -2) \Rightarrow SC = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{29}.$$

c) Tính cosin góc giữa hai vectơ: $$\cos(\vec{BD}, \vec{SC}) = \dfrac{\vec{BD} \cdot \vec{SC}}{|\vec{BD}| \cdot |\vec{SC}|} = \dfrac{(-3) \cdot 3 + 4 \cdot 4 + 0 \cdot (-2)}{5 \cdot \sqrt{29}} = \dfrac{-9 + 16 + 0}{5\sqrt{29}} = \dfrac{7}{5\sqrt{29}}.$$

Từ đó $(\vec{BD}, \vec{SC}) \approx 74{,}9^\circ$.

Các dạng bài tập trọng tâm

Dạng 1: Xác định tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp giải:

• Bước 1: Gọi tọa độ điểm cần tìm, thường dưới dạng $D(x; y; z)$. Nếu điểm nằm trên trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ thì chỉ có một tọa độ khác $0$, hai tọa độ còn lại bằng $0$.
• Bước 2: Dựa vào điều kiện bài cho (trung điểm, trọng tâm, đẳng thức vectơ, hình bình hành…), thiết lập các phương trình theo tọa độ cần tìm.
• Bước 3: Giải hệ phương trình, kết luận tọa độ điểm.

Bài 1. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(2; 9; -1)$, $B(9; 4; 5)$ và $G(3; 0; 4)$. Tìm tọa độ điểm $C$ sao cho $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$.

Lời giải chi tiết:

Gọi $C(x; y; z)$ là điểm cần tìm.

Vì $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên theo công thức trọng tâm, ta có:

$$\begin{cases} \dfrac{x_A + x_B + x_C}{3} = x_G \\[4pt] \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3} = y_G \\[4pt] \dfrac{z_A + z_B + z_C}{3} = z_G \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \dfrac{2 + 9 + x}{3} = 3 \\[4pt] \dfrac{9 + 4 + y}{3} = 0 \\[4pt] \dfrac{-1 + 5 + z}{3} = 4 \end{cases}$$

Giải từng phương trình:

• Phương trình 1: $2 + 9 + x = 9 \Leftrightarrow x = 9 – 11 = -2$.
• Phương trình 2: $9 + 4 + y = 0 \Leftrightarrow y = -13$.
• Phương trình 3: $-1 + 5 + z = 12 \Leftrightarrow z = 12 – 4 = 8$.

Vậy $C(-2; -13; 8)$.

Bài 2. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(1; 0; -2)$, $B(2; 1; -1)$, $C(1; -2; 2)$. Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình bình hành.

Lời giải chi tiết:

Gọi $D(x; y; z)$ là điểm cần tìm.

Nhận xét: $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\vec{AB} = \vec{DC}$ (hai cạnh đối song song và bằng nhau, cùng hướng).

(Cẩn thận: thứ tự đỉnh $ABCD$ đi theo chu vi hình bình hành, nên cặp cạnh đối là $AB$ và $DC$, không phải $AB$ và $CD$.)

Tính tọa độ hai vectơ:

$$\vec{AB} = (x_B – x_A; \ y_B – y_A; \ z_B – z_A) = (2 – 1; \ 1 – 0; \ -1 – (-2)) = (1; \ 1; \ 1).$$

$$\vec{DC} = (x_C – x_D; \ y_C – y_D; \ z_C – z_D) = (1 – x; \ -2 – y; \ 2 – z).$$

Điều kiện $\vec{AB} = \vec{DC}$ tương đương:

$$\begin{cases} 1 – x = 1 \\ -2 – y = 1 \\ 2 – z = 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 0 \\ y = -3 \\ z = 1 \end{cases}$$

Vậy $D(0; -3; 1)$.

Lưu ý: Nếu đề hỏi “$ABDC$ là hình bình hành” (thứ tự đỉnh khác), ta phải dùng điều kiện $\vec{AB} = \vec{CD}$. Luôn đọc kỹ thứ tự các đỉnh trong tên hình bình hành.

Dạng 2: Ứng dụng tích vô hướng (vuông góc, tính góc, chu vi tam giác)

Phương pháp giải:

• Tính góc giữa hai vectơ / góc trong tam giác: dùng công thức $$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}.$$ Để tính góc $\widehat{BAC}$ trong tam giác $ABC$, ta tính $\cos(\vec{AB}, \vec{AC})$.
• Tìm tham số để hai vectơ vuông góc: giải phương trình $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$ theo tham số.
• Tính chu vi tam giác: tính ba cạnh bằng công thức độ dài đoạn thẳng, rồi cộng lại.

Bài 1. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(0; 2; 1)$, $B(3; -2; 1)$ và $C(-2; 5; 7)$.

a) Tính chu vi tam giác $ABC$.

b) Tính số đo góc $\widehat{BAC}$ (làm tròn đến độ).

Lời giải chi tiết:

a) Tính độ dài ba cạnh theo công thức độ dài đoạn thẳng:

$$AB = \sqrt{(3-0)^2 + (-2-2)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{9 + 16 + 0} = \sqrt{25} = 5.$$

$$AC = \sqrt{(-2-0)^2 + (5-2)^2 + (7-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7.$$

$$BC = \sqrt{(-2-3)^2 + (5-(-2))^2 + (7-1)^2} = \sqrt{25 + 49 + 36} = \sqrt{110}.$$

Chu vi tam giác $ABC$ là: $$P = AB + AC + BC = 5 + 7 + \sqrt{110} = 12 + \sqrt{110} \approx 22{,}49.$$

b) Góc $\widehat{BAC}$ là góc tại đỉnh $A$, tạo bởi hai cạnh $AB$ và $AC$. Ta tính cosin của góc bằng cosin giữa hai vectơ $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$:

$$\vec{AB} = (3; -4; 0), \quad \vec{AC} = (-2; 3; 6).$$

Tích vô hướng: $$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 3 \cdot (-2) + (-4) \cdot 3 + 0 \cdot 6 = -6 – 12 + 0 = -18.$$

Độ dài hai vectơ đã có từ câu a: $|\vec{AB}| = 5$ và $|\vec{AC}| = 7$.

Vậy: $$\cos\widehat{BAC} = \dfrac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \dfrac{-18}{5 \cdot 7} = -\dfrac{18}{35}.$$

Suy ra $\widehat{BAC} \approx 121^\circ$.

Nhận xét: Vì $\cos\widehat{BAC} < 0$ nên góc $\widehat{BAC}$ là góc tù. Đây là điều bình thường — khác với “góc giữa hai đường thẳng” luôn nằm trong khoảng $[0^\circ; 90^\circ]$, “góc trong tam giác” có thể là góc tù.

Bài 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{a} = (2; 1; 2)$ và $\vec{b} = (1; 0; -2)$. Tính $\cos(\vec{a}, \vec{b})$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tính tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{b}$: $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 2 \cdot (-2) = 2 + 0 – 4 = -2.$$

Bước 2: Tính độ dài mỗi vectơ: $$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3.$$ $$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 0 + 4} = \sqrt{5}.$$

Bước 3: Áp dụng công thức cosin: $$\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} = \dfrac{-2}{3\sqrt{5}} = -\dfrac{2}{3\sqrt{5}} = -\dfrac{2\sqrt{5}}{15}.$$

(Ở bước cuối, ta nhân cả tử và mẫu với $\sqrt{5}$ để trục căn khỏi mẫu.)

Vậy $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = -\dfrac{2\sqrt{5}}{15}$.

Bài 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u} = (2; 3; -1)$ và $\vec{v} = (5; -4; m)$. Tìm $m$ để $\vec{u} \perp \vec{v}$.

Lời giải chi tiết:

Hai vectơ vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng $0$: $$\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0.$$

Tính tích vô hướng theo $m$: $$\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 5 + 3 \cdot (-4) + (-1) \cdot m = 10 – 12 – m = -2 – m.$$

Ta có phương trình: $$-2 – m = 0 \Leftrightarrow m = -2.$$

Vậy $m = -2$.

Dạng 3: Bài toán thực tiễn

Phương pháp giải:

Loại 1 — Vật chuyển động đều (máy bay, tàu thủy…):

Khi vật di chuyển với vận tốc và hướng không đổi, vectơ vận tốc là hằng. Do đó:

• Các vectơ nối các vị trí liên tiếp luôn cùng hướng (cùng phương, cùng chiều).
• Tỉ số độ dài các vectơ này bằng tỉ số thời gian tương ứng.

Nghĩa là, nếu vật đi từ $M$ đến $N$ mất thời gian $t_1$ rồi từ $N$ đến $Q$ mất thời gian $t_2$, thì $\vec{MN}$ và $\vec{NQ}$ cùng hướng và: $$\vec{NQ} = \dfrac{t_2}{t_1} \cdot \vec{MN}.$$

Loại 2 — Đo khoảng cách, kích thước thực tế:

Gắn hệ tọa độ $Oxyz$ phù hợp với bài toán, xác định tọa độ các điểm đặc biệt, rồi áp dụng công thức độ dài đoạn thẳng.

Bài 1. Radar phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $A(800; 500; 7)$ đến điểm $B(940; 550; 8)$ trong $10$ phút (đơn vị đo lấy theo kilômét). Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ máy bay sau $5$ phút tiếp theo (tính từ thời điểm ở $B$) là gì?

Lời giải chi tiết:

Gọi $C(x; y; z)$ là vị trí của máy bay sau $5$ phút tiếp theo.

Phân tích: Vì hướng bay không đổi nên $\vec{AB}$ và $\vec{BC}$ cùng hướng. Vì vận tốc không đổi, thời gian bay $A \to B$ là $10$ phút, thời gian bay $B \to C$ là $5$ phút, nên: $$\dfrac{BC}{AB} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \vec{BC} = \dfrac{1}{2} \vec{AB}.$$

Bước 1: Tính $\vec{AB}$: $$\vec{AB} = (940 – 800; \ 550 – 500; \ 8 – 7) = (140; 50; 1).$$

Bước 2: Tính $\vec{BC} = \dfrac{1}{2}\vec{AB}$: $$\vec{BC} = \left(\dfrac{140}{2}; \ \dfrac{50}{2}; \ \dfrac{1}{2}\right) = (70; 25; 0{,}5).$$

Bước 3: Mặt khác, theo định nghĩa vectơ: $$\vec{BC} = (x – 940; \ y – 550; \ z – 8).$$

So sánh hai cách biểu diễn của $\vec{BC}$: $$\begin{cases} x – 940 = 70 \\ y – 550 = 25 \\ z – 8 = 0{,}5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 1\,010 \\ y = 575 \\ z = 8{,}5 \end{cases}$$

Vậy tọa độ máy bay sau $5$ phút tiếp theo là $C(1\,010; \ 575; \ 8{,}5)$.

Bài 2. Radar phát hiện một chiếc máy bay chiến đấu của Mỹ di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $M(1\,000; 600; 14)$ đến điểm $N$ trong $30$ phút (đơn vị đo lấy theo kilômét). Nếu máy bay giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ máy bay sau $10$ phút tiếp theo (tính từ $N$) là $Q(1\,400; 800; 16)$. Xác định tọa độ điểm $N$.

Lời giải chi tiết:

Gọi $N(x; y; z)$ là điểm cần tìm.

Phân tích: Máy bay đi $M \to N \to Q$ với vận tốc và hướng không đổi. Thời gian $M \to N$ là $30$ phút, thời gian $N \to Q$ là $10$ phút, nên: $$\dfrac{MN}{NQ} = \dfrac{30}{10} = 3 \Rightarrow \vec{MN} = 3 \vec{NQ}.$$

Tức là thời gian $M \to N$ gấp $3$ lần $N \to Q$, do đó quãng đường (và vectơ di chuyển) cũng gấp $3$ lần.

Bước 1: Tính hai vectơ theo ẩn số:

$$\vec{MN} = (x – 1\,000; \ y – 600; \ z – 14).$$

$$\vec{NQ} = (1\,400 – x; \ 800 – y; \ 16 – z).$$

Bước 2: Áp dụng đẳng thức $\vec{MN} = 3\vec{NQ}$:

$$\begin{cases} x – 1\,000 = 3(1\,400 – x) \\ y – 600 = 3(800 – y) \\ z – 14 = 3(16 – z) \end{cases}$$

Bước 3: Giải từng phương trình:

• Phương trình 1: $x – 1\,000 = 4\,200 – 3x \Leftrightarrow 4x = 5\,200 \Leftrightarrow x = 1\,300$.
• Phương trình 2: $y – 600 = 2\,400 – 3y \Leftrightarrow 4y = 3\,000 \Leftrightarrow y = 750$.
• Phương trình 3: $z – 14 = 48 – 3z \Leftrightarrow 4z = 62 \Leftrightarrow z = 15{,}5$.

Vậy $N(1\,300; \ 750; \ 15{,}5)$.

Mẹo xử lý: Khi bài cho thời gian “$M \to N$ gấp $k$ lần $N \to Q$”, nhớ: vế nào gấp thì vế đó nhân $k$. Dễ nhầm chia cho $k$, dẫn đến ra kết quả sai hoàn toàn.

Bài 3. Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát $2$ km về phía nam và $1$ km về phía đông, đồng thời cách mặt đất $0{,}5$ km. Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát $1$ km về phía bắc và $1{,}5$ km về phía tây, đồng thời cách mặt đất $0{,}8$ km.

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát, mặt phẳng $(Oxy)$ trùng với mặt đất; trục $Ox$ hướng về phía nam, trục $Oy$ hướng về phía đông, trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời (đơn vị kilômét).

a) Tìm tọa độ của mỗi chiếc khinh khí cầu.

b) Xác định khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai).

Lời giải chi tiết:

a) Xác định tọa độ:

Với chiếc thứ nhất:

• Nằm về phía nam (trục $Ox$) cách $2$ km ⟹ tọa độ $x = 2$.
• Nằm về phía đông (trục $Oy$) cách $1$ km ⟹ tọa độ $y = 1$.
• Cao cách mặt đất (trục $Oz$) $0{,}5$ km ⟹ tọa độ $z = 0{,}5$.

Vậy chiếc thứ nhất có tọa độ $P_1(2; \ 1; \ 0{,}5)$.

Với chiếc thứ hai:

• Nằm về phía bắc (ngược hướng trục $Ox$) cách $1$ km ⟹ $x = -1$.
• Nằm về phía tây (ngược hướng trục $Oy$) cách $1{,}5$ km ⟹ $y = -1{,}5$.
• Cao cách mặt đất $0{,}8$ km ⟹ $z = 0{,}8$.

Vậy chiếc thứ hai có tọa độ $P_2(-1; \ -1{,}5; \ 0{,}8)$.

Chú ý: Trục $Ox$ hướng nam, nên hướng bắc sẽ mang tọa độ âm. Tương tự, trục $Oy$ hướng đông nên tây mang tọa độ âm.

b) Tính khoảng cách giữa hai khinh khí cầu bằng công thức độ dài đoạn thẳng:

$$P_1P_2 = \sqrt{(-1 – 2)^2 + (-1{,}5 – 1)^2 + (0{,}8 – 0{,}5)^2}$$

$$= \sqrt{(-3)^2 + (-2{,}5)^2 + (0{,}3)^2} = \sqrt{9 + 6{,}25 + 0{,}09} = \sqrt{15{,}34}.$$

$$\Rightarrow P_1P_2 \approx 3{,}92 \text{ (km)}.$$

Vậy khoảng cách giữa hai chiếc khinh khí cầu xấp xỉ $3{,}92$ km.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh