Lý thuyết trọng tâm

1. Hệ trục toạ độ trong không gian

1.1. Định nghĩa

Trong không gian, xét ba trục $Ox, Oy, Oz$ đôi một vuông góc với nhau tại gốc $O$ chung. Gọi $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ lần lượt là các vectơ đơn vị trên ba trục $Ox, Oy, Oz$ (mỗi vectơ có độ dài bằng $1$).

Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục toạ độ Descartes vuông góc $Oxyz$, hay gọi tắt là hệ toạ độ $Oxyz$.

Trong hệ toạ độ $Oxyz$:

• Điểm $O$ là gốc toạ độ.
• Ba mặt phẳng $(Oxy), (Oyz), (Ozx)$ được gọi là các mặt phẳng toạ độ. Ba mặt phẳng này đôi một vuông góc với nhau.
• Không gian được trang bị hệ toạ độ $Oxyz$ còn được gọi là không gian $Oxyz$.

Lưu ý quan trọng: Ba vectơ đơn vị $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ có các tính chất:

• Đôi một vuông góc với nhau: $\vec{i} \perp \vec{j}$, $\vec{j} \perp \vec{k}$, $\vec{i} \perp \vec{k}$.
• Cùng có độ dài bằng $1$: $|\vec{i}| = |\vec{j}| = |\vec{k}| = 1$.

Ví dụ 1. Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ có độ dài mỗi cạnh bằng $1$. Có thể lập một hệ toạ độ $Oxyz$ có gốc $O$ trùng với đỉnh $B’$ và các vectơ $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ lần lượt là các vectơ $\overrightarrow{B’A’}, \overrightarrow{B’C’}, \overrightarrow{B’B}$ không? Giải thích.

Lời giải:

Xét ba vectơ $\overrightarrow{B’A’}, \overrightarrow{B’C’}, \overrightarrow{B’B}$ — đều có điểm đầu chung là $B’$.

Điều kiện 1 — Vuông góc đôi một: Trong hình lập phương, ba cạnh $B’A’, B’C’, B’B$ cùng xuất phát từ đỉnh $B’$ và đôi một vuông góc với nhau (đây là tính chất cơ bản của hình lập phương: ba cạnh gặp nhau tại một đỉnh thì vuông góc đôi một).

Điều kiện 2 — Độ dài bằng $1$: Vì hình lập phương có cạnh bằng $1$ nên: $$|\overrightarrow{B’A’}| = |\overrightarrow{B’C’}| = |\overrightarrow{B’B}| = 1$$

Do đó ba vectơ trên thoả mãn đầy đủ điều kiện của ba vectơ đơn vị trong một hệ toạ độ. Có thể lập một hệ toạ độ $Oxyz$ như đề bài yêu cầu.

2. Toạ độ của điểm và toạ độ của vectơ trong không gian

2.1. Toạ độ của điểm

Định nghĩa: Trong không gian $Oxyz$, cho một điểm $M$ bất kì. Tồn tại duy nhất một bộ ba số $(x; y; z)$ sao cho: $$\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$$

Bộ ba số $(x; y; z)$ được gọi là toạ độ của điểm $M$ đối với hệ toạ độ $Oxyz$. Ta viết: $$M = (x; y; z) \quad \text{hoặc} \quad M(x; y; z)$$

Trong đó:

• $x$ là hoành độ của $M$
• $y$ là tung độ của $M$
• $z$ là cao độ của $M$

Toạ độ của gốc toạ độ: Vì $\overrightarrow{OO} = \vec{0} = 0\vec{i} + 0\vec{j} + 0\vec{k}$ nên $O = (0; 0; 0)$.

Ví dụ 2. Hình vẽ dưới minh hoạ một hệ toạ độ $Oxyz$ cùng với các hình vuông có cạnh bằng $1$ đơn vị. Tìm toạ độ của điểm $M$.

Lời giải:

Trong hình, $ABCM.FODE$ là hình hộp chữ nhật có các cạnh song song với các trục toạ độ.

Áp dụng quy tắc hình hộp (đã học ở Bài 6): $$\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OF} + \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OB} = 3\vec{i} + 4\vec{j} + 3\vec{k}$$

Đối chiếu với định nghĩa $\overrightarrow{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$, ta có $x = 3, y = 4, z = 3$.

Vậy toạ độ điểm $M$ là $M(3; 4; 3)$.

Ví dụ 3. Trong không gian $Oxyz$, cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A’B’C’D’$ có đỉnh $A’$ trùng với gốc $O$ và các đỉnh $D’, B’, A$ lần lượt thuộc các tia $Ox, Oy, Oz$. Biết đỉnh $C$ có toạ độ $(2; 3; 5)$. Hãy tìm toạ độ các đỉnh $D’, B’, A$.

Lời giải:

Bước 1 — Biểu diễn $\overrightarrow{OD’}, \overrightarrow{OB’}, \overrightarrow{OA}$ theo $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$:

Vì $D’$ thuộc tia $Ox$ nên $\overrightarrow{OD’}$ cùng phương với $\vec{i}$. Tồn tại số thực $m$ sao cho: $$\overrightarrow{OD’} = m\vec{i}$$

Tương tự, $B’ \in Oy$ và $A \in Oz$ nên tồn tại các số thực $n, p$ với: $$\overrightarrow{OB’} = n\vec{j}, \quad \overrightarrow{OA} = p\vec{k}$$

Bước 2 — Áp dụng quy tắc hình hộp cho điểm $C$:

Vì $ABCD.A’B’C’D’$ là hình hộp chữ nhật với $A’ \equiv O$, ba cạnh $OD’, OB’, OA$ xuất phát từ $O$, nên: $$\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OD’} + \overrightarrow{OB’} + \overrightarrow{OA} = m\vec{i} + n\vec{j} + p\vec{k}$$

Suy ra $C(m; n; p)$.

Bước 3 — So sánh với giả thiết $C(2; 3; 5)$:

Đồng nhất: $m = 2, n = 3, p = 5$. Do đó: $$\overrightarrow{OD’} = 2\vec{i}, \quad \overrightarrow{OB’} = 3\vec{j}, \quad \overrightarrow{OA} = 5\vec{k}$$

Kết luận: $D'(2; 0; 0)$, $B'(0; 3; 0)$, $A(0; 0; 5)$.

Nhận xét về toạ độ hình chiếu vuông góc:

Nếu điểm $M$ có toạ độ $(x; y; z)$ thì:

• Hình chiếu vuông góc của $M$ trên các trục:
  • Trên $Ox$: $(x; 0; 0)$
  • Trên $Oy$: $(0; y; 0)$
  • Trên $Oz$: $(0; 0; z)$
• Hình chiếu vuông góc của $M$ trên các mặt phẳng toạ độ:
  • Trên $(Oxy)$: $(x; y; 0)$
  • Trên $(Oyz)$: $(0; y; z)$
  • Trên $(Ozx)$: $(x; 0; z)$

Mẹo nhớ: Khi chiếu lên một trục, giữ lại toạ độ tương ứng với trục đó, hai toạ độ còn lại đều bằng $0$. Khi chiếu lên một mặt phẳng toạ độ, giữ lại hai toạ độ tương ứng với hai trục trong mặt phẳng đó, toạ độ còn lại bằng $0$.

2.2. Toạ độ của vectơ

Định nghĩa: Trong không gian $Oxyz$, cho vectơ $\vec{a}$ tuỳ ý. Tồn tại duy nhất bộ ba số $(x; y; z)$ sao cho: $$\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$$

Bộ ba số $(x; y; z)$ được gọi là toạ độ của vectơ $\vec{a}$. Ta viết: $$\vec{a} = (x; y; z) \quad \text{hoặc} \quad \vec{a}(x; y; z)$$

Nhận xét quan trọng:

• Toạ độ của vectơ $\vec{a}$ cũng chính là toạ độ của điểm $M$ thoả mãn $\overrightarrow{OM} = \vec{a}$.
• Hai vectơ bằng nhau: Nếu $\vec{a} = (x; y; z)$ và $\vec{b} = (x’; y’; z’)$ thì: $$\vec{a} = \vec{b} \Leftrightarrow \begin{cases} x = x’ \\ y = y’ \\ z = z’ \end{cases}$$

Ví dụ 4. Trong không gian $Oxyz$, tìm toạ độ các vectơ đơn vị $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$.

Lời giải:

Từ định nghĩa vectơ đơn vị, ta viết mỗi vectơ dưới dạng $x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$:

$\vec{i} = 1 \cdot \vec{i} + 0 \cdot \vec{j} + 0 \cdot \vec{k}$, nên $\vec{i} = (1; 0; 0)$.

$\vec{j} = 0 \cdot \vec{i} + 1 \cdot \vec{j} + 0 \cdot \vec{k}$, nên $\vec{j} = (0; 1; 0)$.

$\vec{k} = 0 \cdot \vec{i} + 0 \cdot \vec{j} + 1 \cdot \vec{k}$, nên $\vec{k} = (0; 0; 1)$.

2.3. Toạ độ vectơ theo toạ độ hai đầu mút

Công thức quan trọng: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $M(x_M; y_M; z_M)$ và $N(x_N; y_N; z_N)$. Khi đó: $$\boxed{\overrightarrow{MN} = (x_N – x_M; \ y_N – y_M; \ z_N – z_M)}$$

Ý nghĩa: Toạ độ vectơ $\overrightarrow{MN}$ bằng toạ độ điểm cuối $N$ trừ đi toạ độ điểm đầu $M$ (theo từng thành phần).

Chứng minh nhanh: Ta có $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON} – \overrightarrow{OM}$. Mà $\overrightarrow{OM} = (x_M; y_M; z_M)$ và $\overrightarrow{ON} = (x_N; y_N; z_N)$ (theo định nghĩa toạ độ điểm), nên trừ từng thành phần ta được công thức trên.

Ví dụ 5. Trong không gian $Oxyz$, cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A’B’C’$ có $A(1; 0; 2)$, $B(3; 2; 5)$, $C(7; -3; 9)$ và $A'(5; 0; 1)$.

a) Tìm toạ độ của vectơ $\overrightarrow{AA’}$.

b) Tìm toạ độ các điểm $B’, C’$.

Lời giải:

a) Toạ độ của $\overrightarrow{AA’}$:

Áp dụng công thức toạ độ vectơ theo hai đầu mút: $$\overrightarrow{AA’} = (x_{A’} – x_A; \ y_{A’} – y_A; \ z_{A’} – z_A) = (5 – 1; \ 0 – 0; \ 1 – 2) = (4; 0; -1)$$

b) Tìm toạ độ $B’$ và $C’$:

Gọi toạ độ của $B’$ là $(x; y; z)$. Khi đó: $$\overrightarrow{BB’} = (x – 3; \ y – 2; \ z – 5)$$

Vì $ABC.A’B’C’$ là hình lăng trụ nên tứ giác $ABB’A’$ là hình bình hành (hai mặt bên song song của lăng trụ), do đó: $$\overrightarrow{AA’} = \overrightarrow{BB’}$$

Đồng nhất toạ độ: $$\begin{cases} x – 3 = 4 \\ y – 2 = 0 \\ z – 5 = -1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 7 \\ y = 2 \\ z = 4 \end{cases}$$

Vậy $B'(7; 2; 4)$.

Lập luận tương tự với $C’$: Tứ giác $ACC’A’$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AA’} = \overrightarrow{CC’}$. Gọi $C'(x; y; z)$: $$\begin{cases} x – 7 = 4 \\ y – (-3) = 0 \\ z – 9 = -1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 11 \\ y = -3 \\ z = 8 \end{cases}$$

Vậy $C'(11; -3; 8)$.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh