Lý thuyết trọng tâm

1. Công thức tính góc giữa hai đường thẳng

1.1. Xây dựng công thức

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta’$ tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c)$ và $\vec{u’} = (a’; b’; c’)$.

Góc giữa hai đường thẳng luôn là góc nhọn hoặc góc vuông (từ $0°$ đến $90°$), trong khi góc giữa hai VTCP có thể là góc tù. Do đó, khi chuyển giữa hai khái niệm này, ta cần lấy giá trị tuyệt đối của cosin.

Công thức:

$$\boxed{\cos(\Delta, \Delta’) = |\cos(\vec{u}, \vec{u’})| = \dfrac{|a \cdot a’ + b \cdot b’ + c \cdot c’|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{a’^2 + b’^2 + c’^2}}}$$

Quy ước: Trong bài học này, khi không có chỉ định khác, góc được tính theo đơn vị độ và làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất.

1.2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa hai đường thẳng:

$$\Delta: \begin{cases} x = 3 + t \\ y = 1 + t \\ z = 2 \end{cases} \quad \text{và} \quad \Delta’: \begin{cases} x = 1 + s \\ y = 4 \\ z = -2 + s \end{cases}$$

Lời giải:

Từ phương trình tham số, đọc được hai VTCP: $\vec{u} = (1; 1; 0)$ và $\vec{u’} = (1; 0; 1)$.

Áp dụng công thức:

$$\cos(\Delta, \Delta’) = \dfrac{|1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} \cdot \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}$$

Vậy $(\Delta, \Delta’) = 60°$.

2. Công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

2.1. Xây dựng công thức

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $\Delta$ có VTCP $\vec{u} = (a; b; c)$ và mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\vec{n} = (A; B; C)$.

Mối liên hệ then chốt: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng phụ với góc giữa VTCP của đường thẳng và VTPT của mặt phẳng. Do đó sin của góc cần tìm bằng cosin của góc giữa hai vectơ (lấy giá trị tuyệt đối).

Công thức:

$$\boxed{\sin(\Delta, (P)) = |\cos(\vec{u}, \vec{n})| = \dfrac{|aA + bB + cC|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}}$$

⚠ Chú ý quan trọng: Ở công thức này là sin, không phải cos. Đây là lỗi rất hay gặp ở học sinh.

2.2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 2. Trong không gian $Oxyz$, tính góc tạo bởi trục $Oy$ và mặt phẳng $(P): x + y + \sqrt{2}z + 3 = 0$.

Lời giải:

• Trục $Oy$ có VTCP là vectơ đơn vị $\vec{j} = (0; 1; 0)$.
• Mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\vec{n} = (1; 1; \sqrt{2})$.

Áp dụng công thức:

$$\sin(Oy, (P)) = \dfrac{|0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot \sqrt{2}|}{\sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} \cdot \sqrt{1^2 + 1^2 + (\sqrt{2})^2}} = \dfrac{1}{1 \cdot 2} = \dfrac{1}{2}$$

Vậy trục $Oy$ tạo với $(P)$ một góc $30°$.

3. Công thức tính góc giữa hai mặt phẳng

3.1. Xây dựng công thức

Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P), (Q)$ có VTPT lần lượt là $\vec{n} = (A; B; C)$ và $\vec{n’} = (A’; B’; C’)$.

Tương tự góc giữa hai đường thẳng, góc giữa hai mặt phẳng luôn không lớn hơn $90°$, nên cosin phải lấy giá trị tuyệt đối.

Công thức:

$$\boxed{\cos((P), (Q)) = |\cos(\vec{n}, \vec{n’})| = \dfrac{|AA’ + BB’ + CC’|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} \cdot \sqrt{A’^2 + B’^2 + C’^2}}}$$

3.2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 3. Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa hai mặt phẳng $(P): x + y + z + 1 = 0$ và $(Q): x – y + z – 2 = 0$.

Lời giải:

VTPT của hai mặt phẳng: $\vec{n} = (1; 1; 1)$ và $\vec{n’} = (1; -1; 1)$.

Áp dụng công thức:

$$\cos((P), (Q)) = \dfrac{|1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} \cdot \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \dfrac{|1 – 1 + 1|}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \dfrac{1}{3}$$

Vậy $((P), (Q)) \approx 70{,}5°$.

Ví dụ 4. Trong không gian $Oxyz$, cho bốn điểm $A(0; 0; 3)$, $B(0; -2; 0)$, $C(0; 2; 0)$, $D(2; 0; 0)$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(ABD)$ và $(ACD)$.

Lời giải:

Bước 1: Tìm VTPT của $(ABD)$.

Tính cặp VTCP: $\vec{BD} = (2; 2; 0)$ và $\vec{AD} = (2; 0; -3)$.

$$[\vec{BD}, \vec{AD}] = \left(\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & -3 \end{vmatrix}; \ \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ -3 & 2 \end{vmatrix}; \ \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix}\right) = (-6; 6; -4)$$

Chia cho $2$, chọn VTPT đơn giản hơn: $\vec{n} = (-3; 3; -2)$.

Bước 2: Tìm VTPT của $(ACD)$.

Cặp VTCP: $\vec{AC} = (0; 2; -3)$ và $\vec{AD} = (2; 0; -3)$.

$$[\vec{AC}, \vec{AD}] = \left(\begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 0 & -3 \end{vmatrix}; \ \begin{vmatrix} -3 & 0 \\ -3 & 2 \end{vmatrix}; \ \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix}\right) = (-6; -6; -4)$$

Chia cho $-2$, chọn VTPT đơn giản hơn: $\vec{m} = (3; 3; 2)$.

Bước 3: Áp dụng công thức tính góc.

$$\cos((ABD), (ACD)) = \dfrac{|(-3)(3) + (3)(3) + (-2)(2)|}{\sqrt{9 + 9 + 4} \cdot \sqrt{9 + 9 + 4}} = \dfrac{|-9 + 9 – 4|}{\sqrt{22} \cdot \sqrt{22}} = \dfrac{4}{22} = \dfrac{2}{11}$$

Vậy $((ABD), (ACD)) \approx 79{,}5°$.

Các dạng bài tập trọng tâm

Dạng 1: Tính góc giữa hai mặt phẳng

Phương pháp giải:

Cho hai mặt phẳng $(P): A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0$ và $(Q): A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0$ có VTPT tương ứng $\vec{n_P} = (A_1; B_1; C_1)$ và $\vec{n_Q} = (A_2; B_2; C_2)$. Góc $\alpha$ giữa hai mặt phẳng (với $0° \leq \alpha \leq 90°$) được tính bởi:

$$\cos\alpha = \dfrac{|\vec{n_P} \cdot \vec{n_Q}|}{|\vec{n_P}| \cdot |\vec{n_Q}|} = \dfrac{|A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2|}{\sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2} \cdot \sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$$

Các bước giải:

• Bước 1: Xác định VTPT của mỗi mặt phẳng (đọc từ phương trình hoặc tính qua tích có hướng).
• Bước 2: Thay vào công thức, tính $\cos\alpha$.
• Bước 3: Từ $\cos\alpha$ suy ra số đo góc $\alpha$.

Bài 1. Trong không gian $Oxyz$, tính góc giữa hai mặt phẳng $(P): x + 2y + z + 10 = 0$ và $(Q): -x + y + 2z + 13 = 0$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Xác định VTPT.

Đọc trực tiếp từ phương trình:

• $(P)$ có VTPT $\vec{n_1} = (1; 2; 1)$.
• $(Q)$ có VTPT $\vec{n_2} = (-1; 1; 2)$.

Bước 2: Tính tích vô hướng và độ dài.

$$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = -1 + 2 + 2 = 3$$

$$|\vec{n_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6}, \quad |\vec{n_2}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{6}$$

Bước 3: Áp dụng công thức.

$$\cos((P), (Q)) = \dfrac{|3|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$$

Vậy $((P), (Q)) = 60°$.

Bài 2. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $H(2; 1; 2)$ là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ $O$ xuống mặt phẳng $(P)$. Tính số đo góc giữa mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Q): x + y – 11 = 0$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tìm VTPT của $(P)$.

Vì $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $(P)$ nên $OH \perp (P)$. Do đó $\vec{OH}$ là một VTPT của $(P)$:

$$\vec{OH} = (2 – 0; \ 1 – 0; \ 2 – 0) = (2; 1; 2)$$

Bước 2: Tìm VTPT của $(Q)$.

Từ phương trình $(Q): x + y – 11 = 0$, ta có VTPT $\vec{n} = (1; 1; 0)$.

Bước 3: Tính độ dài hai vectơ.

$$|\vec{OH}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9} = 3, \quad |\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$$

Bước 4: Áp dụng công thức.

$$\cos((P), (Q)) = \dfrac{|\vec{OH} \cdot \vec{n}|}{|\vec{OH}| \cdot |\vec{n}|} = \dfrac{|2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0|}{3 \cdot \sqrt{2}} = \dfrac{3}{3\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$$

Vậy $((P), (Q)) = 45°$.

Bài 3. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): x – 2y + 2z – 5 = 0$. Xét mặt phẳng $(Q): x + (2m – 1)z + 7 = 0$ với $m$ là tham số thực. Tìm tất cả giá trị của $m$ để $(P)$ tạo với $(Q)$ một góc $\dfrac{\pi}{4}$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Xác định VTPT.

• $(P)$ có VTPT $\vec{n_P} = (1; -2; 2)$, $|\vec{n_P}| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$.
• $(Q)$ có VTPT $\vec{n_Q} = (1; 0; 2m – 1)$, $|\vec{n_Q}| = \sqrt{1 + 0 + (2m-1)^2} = \sqrt{1 + (2m-1)^2}$.

Bước 2: Lập phương trình.

Vì góc giữa $(P)$ và $(Q)$ bằng $\dfrac{\pi}{4}$ nên:

$$\cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{|\vec{n_P} \cdot \vec{n_Q}|}{|\vec{n_P}| \cdot |\vec{n_Q}|}$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{|1 \cdot 1 + (-2) \cdot 0 + 2 \cdot (2m-1)|}{3 \cdot \sqrt{1 + (2m-1)^2}}$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{|1 + 2(2m – 1)|}{3\sqrt{1 + (2m-1)^2}} = \dfrac{|4m – 1|}{3\sqrt{1 + (2m-1)^2}}$$

Bước 3: Giải phương trình.

Nhân chéo và bình phương hai vế (hai vế đều không âm):

$$3|4m – 1| = \sqrt{2} \cdot \sqrt{1 + (2m-1)^2} \cdot 1$$

Bình phương hai vế:

$$9(4m – 1)^2 = 2 \cdot \left[1 + (2m-1)^2\right]$$

Khoan, cần cẩn thận. Viết lại phương trình gốc:

$$\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{|4m – 1|}{3\sqrt{1 + (2m-1)^2}} \Leftrightarrow \sqrt{2} \cdot |4m – 1| = \dfrac{3\sqrt{1 + (2m-1)^2}}{\text{(không phải)}}$$

Nhân chéo cho đúng: $3\sqrt{1 + (2m-1)^2} = \sqrt{2} \cdot |4m – 1|$.

Bình phương hai vế:

$$9 \left[1 + (2m-1)^2\right] = 2(4m – 1)^2$$

Khai triển:

• $(2m-1)^2 = 4m^2 – 4m + 1$, nên $1 + (2m-1)^2 = 4m^2 – 4m + 2$.
• $(4m-1)^2 = 16m^2 – 8m + 1$.

Phương trình trở thành (đảo lại cho đúng, lưu ý vế nào lớn hơn):

$$2(4m – 1)^2 = 9\left[1 + (2m-1)^2\right]$$

$$\Leftrightarrow 2(16m^2 – 8m + 1) = 9(4m^2 – 4m + 2)$$

$$\Leftrightarrow 32m^2 – 16m + 2 = 36m^2 – 36m + 18$$

$$\Leftrightarrow 4m^2 – 20m + 16 = 0 \Leftrightarrow m^2 – 5m + 4 = 0$$

$$\Leftrightarrow (m – 1)(m – 4) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} m = 1 \\ m = 4 \end{array}\right.$$

Vậy $m = 1$ hoặc $m = 4$.

Kiểm tra nhanh với $m = 1$: $\vec{n_Q} = (1; 0; 1)$, $|\vec{n_Q}| = \sqrt{2}$. $\cos = |1+0+2|/(3\sqrt{2}) = 3/(3\sqrt{2}) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ✓

Dạng 2: Tính góc giữa hai đường thẳng

Phương pháp giải:

Cho hai đường thẳng $d_1, d_2$ có VTCP tương ứng $\vec{u_1} = (a_1; b_1; c_1)$ và $\vec{u_2} = (a_2; b_2; c_2)$. Góc $\alpha$ giữa hai đường thẳng (với $0° \leq \alpha \leq 90°$) được tính bởi:

$$\cos\alpha = \dfrac{|\vec{u_1} \cdot \vec{u_2}|}{|\vec{u_1}| \cdot |\vec{u_2}|} = \dfrac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \cdot \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$$

Các bước giải:

• Bước 1: Xác định VTCP của mỗi đường thẳng.
• Bước 2: Tính tử số (trị tuyệt đối của tích vô hướng) và mẫu số (tích hai độ dài).
• Bước 3: Tính $\cos\alpha$ và suy ra $\alpha$.

Bài 1. Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng:

$$d_1: \begin{cases} x = t \\ y = 5 – 2t \\ z = 14 – 3t \end{cases} \quad \text{và} \quad d_2: \begin{cases} x = 1 – 4t’ \\ y = 2 + t’ \\ z = -1 + 5t’ \end{cases}$$

Tính góc giữa hai đường thẳng đã cho.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Xác định VTCP.

• $d_1$ có VTCP $\vec{u_1} = (1; -2; -3)$.
• $d_2$ có VTCP $\vec{u_2} = (-4; 1; 5)$.

Bước 2: Tính tích vô hướng và độ dài.

$$\vec{u_1} \cdot \vec{u_2} = 1 \cdot (-4) + (-2) \cdot 1 + (-3) \cdot 5 = -4 – 2 – 15 = -21$$

$$|\vec{u_1}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{14}$$

$$|\vec{u_2}| = \sqrt{(-4)^2 + 1^2 + 5^2} = \sqrt{42}$$

Bước 3: Áp dụng công thức.

$$\cos(d_1, d_2) = \dfrac{|-21|}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{42}} = \dfrac{21}{\sqrt{14 \cdot 42}} = \dfrac{21}{\sqrt{588}}$$

Rút gọn mẫu: $\sqrt{588} = \sqrt{4 \cdot 147} = 2\sqrt{147} = 2\sqrt{49 \cdot 3} = 14\sqrt{3}$.

$$\cos(d_1, d_2) = \dfrac{21}{14\sqrt{3}} = \dfrac{3}{2\sqrt{3}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

Vậy $(d_1, d_2) = 30°$.

Bài 2. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): 4x – 7y + z + 25 = 0$ và đường thẳng $d_1: \dfrac{x + 1}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{z – 1}{-1}$. Gọi $d_1’$ là hình chiếu vuông góc của $d_1$ lên mặt phẳng $(P)$. Đường thẳng $d_2$ nằm trên $(P)$, tạo với $d_1, d_1’$ các góc bằng nhau và có vectơ chỉ phương $\vec{u_2} = (a; b; c)$. Tính $\dfrac{a + 2b}{c}$.

Lời giải chi tiết:

Ý tưởng: Gọi $(Q)$ là mặt phẳng chứa cả $d_1$ và hình chiếu $d_1’$. Vì $d_2$ tạo với $d_1$ và $d_1’$ các góc bằng nhau, $d_2$ có một tính chất hình học đặc biệt — ta khai thác điều đó.

Bước 1: Xác định các vectơ cơ bản.

• $(P)$ có VTPT $\vec{n_P} = (4; -7; 1)$.
• $d_1$ có VTCP $\vec{u_1} = (1; 2; -1)$.

Bước 2: Tìm VTPT của mặt phẳng $(Q) = (d_1, d_1′)$.

Mặt phẳng $(Q)$ chứa $d_1$ và vuông góc với $(P)$ (vì hình chiếu $d_1’$ nằm trong $(P)$, và mặt phẳng nối $d_1$ với hình chiếu của nó luôn vuông góc với $(P)$).

Do đó $(Q)$ nhận $\vec{u_1}$ và $\vec{n_P}$ làm cặp VTCP. VTPT của $(Q)$ là:

$$\vec{n_Q} = [\vec{n_P}, \vec{u_1}] = \left(\begin{vmatrix} -7 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}; \ \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}; \ \begin{vmatrix} 4 & -7 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}\right) = (5; 5; 15)$$

Chia cho $5$, ta có $\vec{n_Q}$ cùng phương với $(1; 1; 3)$.

Bước 3: Tìm VTCP của $d_1’$.

$d_1’$ nằm trong $(P)$ và trong $(Q)$, nên VTCP của $d_1’$ vuông góc với cả $\vec{n_P}$ và $\vec{n_Q}$:

$$\vec{u_1′} = [\vec{n_P}, \vec{n_Q}] = [\vec{n_P}, (1; 1; 3)]$$

$$= \left(\begin{vmatrix} -7 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}; \ \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}; \ \begin{vmatrix} 4 & -7 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}\right) = (-22; -11; 11)$$

Chia cho $-11$, chọn $\vec{u_1′} = (2; 1; -1)$.

Bước 4: Thiết lập điều kiện cho $d_2$.

Vì $d_2 \subset (P)$ nên $\vec{u_2} \perp \vec{n_P}$:

$$4a – 7b + c = 0 \Leftrightarrow c = 7b – 4a$$

Vậy $\vec{u_2} = (a; b; 7b – 4a)$.

Bước 5: Áp dụng điều kiện “$d_2$ tạo với $d_1, d_1’$ các góc bằng nhau”.

$$\cos(d_2, d_1) = \cos(d_2, d_1′) \Leftrightarrow \dfrac{|\vec{u_2} \cdot \vec{u_1}|}{|\vec{u_1}|} = \dfrac{|\vec{u_2} \cdot \vec{u_1′}|}{|\vec{u_1′}|}$$

(đã ước lược $|\vec{u_2}|$ ở cả hai vế).

Tính $|\vec{u_1}| = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$ và $|\vec{u_1′}| = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$. Hai độ dài bằng nhau, vậy:

$$|\vec{u_2} \cdot \vec{u_1}| = |\vec{u_2} \cdot \vec{u_1′}|$$

Tính từng tích:

$$\vec{u_2} \cdot \vec{u_1} = a \cdot 1 + b \cdot 2 + (7b – 4a)(-1) = a + 2b – 7b + 4a = 5a – 5b$$

$$\vec{u_2} \cdot \vec{u_1′} = a \cdot 2 + b \cdot 1 + (7b – 4a)(-1) = 2a + b – 7b + 4a = 6a – 6b$$

Điều kiện: $|5a – 5b| = |6a – 6b| \Leftrightarrow 5|a – b| = 6|a – b|$.

$$\Leftrightarrow |a – b| = 0 \Leftrightarrow a = b$$

Bước 6: Chọn giá trị và tính kết quả.

Chọn $a = 1$, khi đó $b = 1$, và $c = 7 \cdot 1 – 4 \cdot 1 = 3$.

$$\dfrac{a + 2b}{c} = \dfrac{1 + 2}{3} = 1$$

Vậy $\dfrac{a + 2b}{c} = 1$.

Dạng 3: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Phương pháp giải:

Cho đường thẳng $d$ có VTCP $\vec{u} = (a; b; c)$ và mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\vec{n} = (A; B; C)$. Góc $\alpha$ giữa $d$ và $(P)$ (với $0° \leq \alpha \leq 90°$) được tính bởi:

$$\sin\alpha = \dfrac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{n}|} = \dfrac{|aA + bB + cC|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

Các bước giải:

• Bước 1: Xác định VTCP $\vec{u}$ của đường thẳng và VTPT $\vec{n}$ của mặt phẳng.
• Bước 2: Thay vào công thức để tính $\sin\alpha$.
• Bước 3: Từ $\sin\alpha$ suy ra số đo góc $\alpha$.

Ghi nhớ: Công thức dùng $\sin$ của góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, khác với $\cos$ dùng cho “góc giữa 2 đường thẳng” và “góc giữa 2 mặt phẳng”.

Bài 1. Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $D: \dfrac{x – 3}{1} = \dfrac{y – 4}{2} = \dfrac{z + 3}{-1}$ và mặt phẳng $(P): 2x + y + z – 1 = 0$. Tính góc giữa $D$ và $(P)$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Xác định VTCP và VTPT.

• Đường thẳng $D$ có VTCP $\vec{u} = (1; 2; -1)$.
• Mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\vec{n} = (2; 1; 1)$.

Bước 2: Tính các đại lượng cần thiết.

$$\vec{u} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 1 = 2 + 2 – 1 = 3$$

$$|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}, \quad |\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{6}$$

Bước 3: Áp dụng công thức.

$$\sin(D, (P)) = \dfrac{|3|}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$$

Vậy $(D, (P)) = 30°$.

Bài 2. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P): -\sqrt{3}x + y + 1 = 0$. Tính góc tạo bởi $(P)$ với trục $Ox$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Xác định VTCP và VTPT.

• Mặt phẳng $(P)$ có VTPT $\vec{n} = (-\sqrt{3}; 1; 0)$.
• Trục $Ox$ có VTCP là vectơ đơn vị $\vec{i} = (1; 0; 0)$.

Bước 2: Tính các đại lượng.

$$\vec{n} \cdot \vec{i} = -\sqrt{3} \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = -\sqrt{3}$$

$$|\vec{n}| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{3 + 1} = 2, \quad |\vec{i}| = 1$$

Bước 3: Áp dụng công thức.

$$\sin((P), Ox) = \dfrac{|-\sqrt{3}|}{2 \cdot 1} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

Vậy góc tạo bởi $(P)$ với trục $Ox$ bằng $60°$.

Dạng 4: Bài toán thực tế

Phương pháp giải:

Các bài toán thực tế về tính góc thường xuất hiện trong các ngữ cảnh kiến trúc, thiết kế, kỹ thuật (mái nhà nghiêng, đường dốc, góc quan sát…). Các bước giải:

• Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ phù hợp với mô hình (thường chọn gốc tọa độ tại một điểm đặc biệt, các trục theo các hướng tự nhiên).
• Bước 2: Xác định tọa độ các điểm quan trọng từ dữ liệu đề bài.
• Bước 3: Lập các vectơ cần thiết (VTCP hoặc VTPT) và tính tích có hướng nếu cần.
• Bước 4: Áp dụng công thức tính góc tương ứng (giữa 2 mặt phẳng, 2 đường thẳng, hay đường thẳng – mặt phẳng).
• Bước 5: Trả lời bài toán theo ngữ cảnh thực tế.

Bài 1. Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ. Các cây cột vuông góc với mặt sàn nhà phẳng và có độ cao lần lượt là $7$ m, $6$ m, $5$ m. Ba chân cột là ba đỉnh của một tam giác đều trên mặt sàn nhà với cạnh dài $4$ m. Hỏi mái nhà nghiêng so với mặt sàn nhà một góc bao nhiêu độ?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ.

Gọi $A, B, C$ là ba chân cột (tam giác đều cạnh $4$ m trên mặt sàn) và $A’, B’, C’$ là ba đỉnh cột tương ứng (là ba điểm của mái nhà).

Chọn hệ trục $Oxyz$ với $O$ là trung điểm cạnh $AC$ của tam giác đáy, trục $Oy$ đi qua $A, C$, trục $Ox$ hướng về phía $B$, trục $Oz$ vuông góc với mặt sàn (hướng lên).

Bước 2: Xác định tọa độ các điểm.

Vì tam giác $ABC$ đều cạnh $4$ m với $O$ là trung điểm $AC$:

• $A(0; -2; 0)$ và $C(0; 2; 0)$ (vì $AC = 4$).
• $B$ cách $AC$ một khoảng bằng đường cao tam giác đều: $h = \dfrac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$. Vậy $B(2\sqrt{3}; 0; 0)$.

Ba đỉnh cột (cao $7$ m, $6$ m, $5$ m — giả sử tương ứng với $A, B, C$):

• $A'(0; -2; 7)$
• $B'(2\sqrt{3}; 0; 6)$
• $C'(0; 2; 5)$

Bước 3: Tìm VTPT của mặt phẳng $(ABC)$ (mặt sàn).

Vì $(ABC)$ là mặt phẳng $Oxy$ (trùng với sàn nhà nằm ngang), VTPT của nó là $\vec{k} = (0; 0; 1)$.

Kiểm tra bằng công thức: Tính $\vec{AB} = (2\sqrt{3}; 2; 0)$ và $\vec{AC} = (0; 4; 0)$.

$$[\vec{AB}, \vec{AC}] = \left(\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 4 & 0 \end{vmatrix}; \ \begin{vmatrix} 0 & 2\sqrt{3} \\ 0 & 0 \end{vmatrix}; \ \begin{vmatrix} 2\sqrt{3} & 2 \\ 0 & 4 \end{vmatrix}\right) = (0; 0; 8\sqrt{3})$$

Chia cho $8\sqrt{3}$, VTPT của $(ABC)$ là $(0; 0; 1)$. ✓

Bước 4: Tìm VTPT của mặt phẳng $(A’B’C’)$ (mặt mái).

Tính $\vec{A’B’} = (2\sqrt{3} – 0; \ 0 – (-2); \ 6 – 7) = (2\sqrt{3}; 2; -1)$.

Tính $\vec{A’C’} = (0 – 0; \ 2 – (-2); \ 5 – 7) = (0; 4; -2)$.

$$[\vec{A’B’}, \vec{A’C’}] = \left(\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 4 & -2 \end{vmatrix}; \ \begin{vmatrix} -1 & 2\sqrt{3} \\ -2 & 0 \end{vmatrix}; \ \begin{vmatrix} 2\sqrt{3} & 2 \\ 0 & 4 \end{vmatrix}\right)$$

Tính từng định thức:

• $\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} = 2 \cdot (-2) – (-1) \cdot 4 = -4 + 4 = 0$
• $\begin{vmatrix} -1 & 2\sqrt{3} \\ -2 & 0 \end{vmatrix} = (-1) \cdot 0 – 2\sqrt{3} \cdot (-2) = 4\sqrt{3}$
• $\begin{vmatrix} 2\sqrt{3} & 2 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} = 2\sqrt{3} \cdot 4 – 2 \cdot 0 = 8\sqrt{3}$

Vậy $[\vec{A’B’}, \vec{A’C’}] = (0; 4\sqrt{3}; 8\sqrt{3})$.

Chia cho $4\sqrt{3}$, VTPT của $(A’B’C’)$ là $(0; 1; 2)$.

Bước 5: Tính góc giữa hai mặt phẳng.

$$\cos((ABC), (A’B’C’)) = \dfrac{|0 \cdot 0 + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 2|}{\sqrt{0 + 0 + 1} \cdot \sqrt{0 + 1 + 4}} = \dfrac{2}{1 \cdot \sqrt{5}} = \dfrac{2}{\sqrt{5}} = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$$

Bước 6: Kết luận.

Suy ra $((ABC), (A’B’C’)) \approx 26{,}6°$.

Vậy mái nhà nghiêng so với mặt sàn một góc khoảng $26{,}6°$.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh