Lý thuyết trọng tâm

1. Phương sai và độ lệch chuẩn

1.1. Định nghĩa

Xét mẫu số liệu ghép nhóm:

với cỡ mẫu $n = m_1 + m_2 + \ldots + m_k$.

Gọi $x_i = \dfrac{a_i + a_{i+1}}{2}$ là giá trị đại diện của nhóm thứ $i$ (trung điểm của nhóm) và $\bar{x} = \dfrac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + \ldots + m_k x_k}{n}$ là số trung bình của mẫu.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, ký hiệu là $s^2$, được tính bởi:

$$s^2 = \dfrac{m_1(x_1 – \bar{x})^2 + m_2(x_2 – \bar{x})^2 + \ldots + m_k(x_k – \bar{x})^2}{n}$$

Độ lệch chuẩn của mẫu, ký hiệu là $s$, là căn bậc hai số học của phương sai:

$$s = \sqrt{s^2}$$

1.2. Công thức tính nhanh

Trong thực hành, ta thường dùng công thức rút gọn sau để tính phương sai nhanh hơn (khai triển bình phương rồi đơn giản):

$$\boxed{s^2 = \dfrac{m_1 x_1^2 + m_2 x_2^2 + \ldots + m_k x_k^2}{n} – \bar{x}^2}$$

Mẹo: Công thức này chỉ cần tính tổng bình phương có trọng số rồi trừ đi bình phương của trung bình — không phải tính từng hiệu $(x_i – \bar{x})^2$ rồi mới cộng. Nhanh và ít sai số hơn nhiều.

1.3. Ý nghĩa

• Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu ghép nhóm là các giá trị xấp xỉ cho phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc.
• Cả hai đại lượng này đo mức độ phân tán của các giá trị xung quanh số trung bình $\bar{x}$: càng lớn thì mẫu càng phân tán, các giá trị càng trải xa trung bình.
• Độ lệch chuẩn $s$ có cùng đơn vị đo với mẫu số liệu (điều này rất tiện cho việc diễn giải thực tiễn), trong khi phương sai $s^2$ thì có đơn vị là bình phương.

Chú ý: Một số tài liệu dùng công thức có mẫu $n-1$ thay cho $n$ (ký hiệu $\hat{s}^2$): $\hat{s}^2 = \dfrac{\sum m_i (x_i – \bar{x})^2}{n-1}$. Công thức này dùng khi mẫu được xem là “mẫu ngẫu nhiên của một tổng thể lớn hơn” (chương trình đại học gọi là phương sai mẫu hiệu chỉnh). Trong chương trình lớp 12, ta dùng công thức với mẫu $n$.

Ví dụ 1. Thống kê số giờ học thêm mỗi tuần của học sinh hai trường A, B (mỗi trường có $20$ học sinh) thu được kết quả sau:

Tính số trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn của mỗi mẫu và nhận xét về số giờ học thêm của học sinh hai trường.

Lời giải:

Giá trị đại diện các nhóm: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$, $x_3 = 5$, $x_4 = 7$, $x_5 = 9$.

Trường A ($n_1 = 20$):

$$\bar{x}_A = \dfrac{2 \cdot 1 + 4 \cdot 3 + 8 \cdot 5 + 4 \cdot 7 + 2 \cdot 9}{20} = \dfrac{2 + 12 + 40 + 28 + 18}{20} = \dfrac{100}{20} = 5 \text{ (giờ)}.$$

$$s_A^2 = \dfrac{2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 3^2 + 8 \cdot 5^2 + 4 \cdot 7^2 + 2 \cdot 9^2}{20} – 5^2 = \dfrac{2 + 36 + 200 + 196 + 162}{20} – 25 = \dfrac{596}{20} – 25 = 4{,}8.$$

$$s_A = \sqrt{4{,}8} \approx 2{,}19 \text{ (giờ)}.$$

Trường B ($n_2 = 20$):

$$\bar{x}_B = \dfrac{1 \cdot 1 + 6 \cdot 3 + 6 \cdot 5 + 6 \cdot 7 + 1 \cdot 9}{20} = \dfrac{100}{20} = 5 \text{ (giờ)}.$$

$$s_B^2 = \dfrac{1 + 54 + 150 + 294 + 81}{20} – 25 = \dfrac{580}{20} – 25 = 4.$$

$$s_B = 2 \text{ (giờ)}.$$

Nhận xét: Số giờ học thêm trung bình của hai trường bằng nhau (đều là $5$ giờ), nhưng độ lệch chuẩn của trường A lớn hơn trường B ($s_A \approx 2{,}19 > s_B = 2$). Như vậy, số giờ học thêm của học sinh trường A biến động nhiều hơn trường B; học sinh trường B có thời lượng học thêm đồng đều hơn.

2. Sử dụng phương sai, độ lệch chuẩn để đo độ rủi ro

2.1. Ứng dụng trong tài chính

Trong đầu tư tài chính, một trong các cách đo độ rủi ro của một phương án đầu tư là xem xét độ lệch chuẩn của lợi nhuận thu được. Nguyên tắc:

Độ lệch chuẩn càng lớn thì phương án đầu tư càng rủi ro.

Lý do: độ lệch chuẩn lớn nghĩa là lợi nhuận biến động mạnh — có thể rất cao nhưng cũng có thể rất thấp hoặc lỗ.

Ví dụ 2. Chị Hoa đầu tư số tiền như nhau vào hai lĩnh vực kinh doanh X và Y, rồi theo dõi số tiền thu về mỗi tháng trong $30$ tháng:

So sánh giá trị trung bình và độ lệch chuẩn của số tiền thu được hằng tháng. Đầu tư vào lĩnh vực nào rủi ro hơn?

Lời giải:

Giá trị đại diện: $4$; $8$; $12$; $16$; $20$.

Lĩnh vực X:

$$\bar{x}_X = \dfrac{3 \cdot 4 + 6 \cdot 8 + 12 \cdot 12 + 6 \cdot 16 + 3 \cdot 20}{30} = \dfrac{360}{30} = 12 \text{ (triệu đồng)}.$$

$$s_X = \sqrt{\dfrac{3 \cdot 4^2 + 6 \cdot 8^2 + 12 \cdot 12^2 + 6 \cdot 16^2 + 3 \cdot 20^2}{30} – 12^2} = \sqrt{\dfrac{4896}{30} – 144} = \sqrt{19{,}2} \approx 4{,}38.$$

Lĩnh vực Y:

$$\bar{x}_Y = \dfrac{9 \cdot 4 + 3 \cdot 8 + 6 \cdot 12 + 3 \cdot 16 + 9 \cdot 20}{30} = \dfrac{360}{30} = 12 \text{ (triệu đồng)}.$$

$$s_Y = \sqrt{\dfrac{9 \cdot 16 + 3 \cdot 64 + 6 \cdot 144 + 3 \cdot 256 + 9 \cdot 400}{30} – 144} = \sqrt{\dfrac{5568}{30} – 144} = \sqrt{41{,}6} \approx 6{,}45.$$

Nhận xét: Về trung bình, số tiền thu được ở hai lĩnh vực là như nhau ($12$ triệu). Tuy nhiên $s_Y \approx 6{,}45 > s_X \approx 4{,}38$ nên lợi nhuận ở lĩnh vực Y biến động mạnh hơn. Do đó đầu tư vào lĩnh vực Y rủi ro hơn lĩnh vực X.

2.2. Khi nào KHÔNG nên dùng độ lệch chuẩn để so sánh độ rủi ro

Không phải lúc nào ta cũng dùng độ lệch chuẩn để so sánh độ rủi ro hai phương án đầu tư. Ví dụ sau minh họa điều này.

Ví dụ 3. Thống kê doanh thu hằng tháng (đơn vị: triệu đồng) trong $20$ tháng của hai cửa hàng A (quy mô nhỏ) và B (quy mô lớn):

Tính độ lệch chuẩn của hai mẫu trên. Có nên dựa vào độ lệch chuẩn để so sánh độ phân tán doanh thu của hai cửa hàng này không?

Lời giải:

Cửa hàng A: Giá trị đại diện $15, 25, 35, 45, 55$; cỡ mẫu $n = 20$.

$$\bar{x}_A = \dfrac{1 \cdot 15 + 4 \cdot 25 + 10 \cdot 35 + 4 \cdot 45 + 1 \cdot 55}{20} = \dfrac{700}{20} = 35.$$

$$s_A \approx \sqrt{\dfrac{1 \cdot 225 + 4 \cdot 625 + 10 \cdot 1225 + 4 \cdot 2025 + 1 \cdot 3025}{20} – 35^2} = \sqrt{80} \approx 8{,}94.$$

Cửa hàng B: Giá trị đại diện $515, 525, 535, 545, 555$; cỡ mẫu $n = 20$.

$$\bar{x}_B = \dfrac{3 \cdot 515 + 4 \cdot 525 + 6 \cdot 535 + 4 \cdot 545 + 3 \cdot 555}{20} = \dfrac{10700}{20} = 535.$$

Tính tương tự: $s_B \approx \sqrt{160} \approx 12{,}65.$

Nhận xét: Tuy $s_B > s_A$, nhưng doanh thu trung bình của hai cửa hàng khác nhau quá nhiều ($535$ so với $35$ — chênh lệch hơn $15$ lần). Vì vậy, không nên dùng độ lệch chuẩn để so sánh mức độ phân tán của hai cửa hàng này.

Nguyên tắc: Không nên dùng phương sai hay độ lệch chuẩn để so sánh độ rủi ro/phân tán của hai mẫu khi giá trị trung bình của chúng khác biệt quá lớn. Trong trường hợp này, ta cần dùng hệ số biến thiên $CV = \dfrac{s}{\bar{x}}$ (thường tính ra %).

Các dạng bài tập trọng tâm

Dạng 1: Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Phương pháp giải:

• Bước 1: Xác định giá trị đại diện của từng nhóm: $x_i = \dfrac{a_i + a_{i+1}}{2}$.
• Bước 2: Tính cỡ mẫu $n = m_1 + m_2 + \ldots + m_k$.
• Bước 3: Tính số trung bình $\bar{x} = \dfrac{m_1 x_1 + \ldots + m_k x_k}{n}$.
• Bước 4: Áp dụng công thức tính nhanh: $$s^2 = \dfrac{m_1 x_1^2 + \ldots + m_k x_k^2}{n} – \bar{x}^2.$$
• Bước 5: Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{s^2}$.

Bài 1. Một nhóm $20$ học sinh dùng một thiết bị đo đường kính nhân tế bào cho kết quả như bảng sau:

a) Tính số trung bình và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

b) Số trung bình và độ lệch chuẩn cho biết thông tin gì?

Lời giải chi tiết:

a) Bổ sung hàng giá trị đại diện vào bảng:

Cỡ mẫu: $n = 3 + 8 + 7 + 2 = 20$.

Số trung bình:

$$\bar{x} = \dfrac{4{,}75 \cdot 3 + 5{,}25 \cdot 8 + 5{,}75 \cdot 7 + 6{,}25 \cdot 2}{20} = \dfrac{14{,}25 + 42 + 40{,}25 + 12{,}5}{20} = \dfrac{109}{20} \ (\mu m).$$

Phương sai:

$$s^2 = \dfrac{4{,}75^2 \cdot 3 + 5{,}25^2 \cdot 8 + 5{,}75^2 \cdot 7 + 6{,}25^2 \cdot 2}{20} – \left(\dfrac{109}{20}\right)^2.$$

Tính tử số:

• $4{,}75^2 \cdot 3 = 22{,}5625 \cdot 3 = 67{,}6875$
• $5{,}25^2 \cdot 8 = 27{,}5625 \cdot 8 = 220{,}5$
• $5{,}75^2 \cdot 7 = 33{,}0625 \cdot 7 = 231{,}4375$
• $6{,}25^2 \cdot 2 = 39{,}0625 \cdot 2 = 78{,}125$

Tổng: $67{,}6875 + 220{,}5 + 231{,}4375 + 78{,}125 = 597{,}75$.

Vậy: $s^2 = \dfrac{597{,}75}{20} – \dfrac{11881}{400} = \dfrac{11955}{400} – \dfrac{11881}{400} = \dfrac{74}{400} = \dfrac{37}{200}$.

Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{\dfrac{37}{200}} \approx 0{,}43 \ (\mu m)$.

b) Vì phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu ghép nhóm xấp xỉ cho phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu gốc, ta kết luận: mẫu số liệu gốc có số trung bình xấp xỉ $\dfrac{109}{20} = 5{,}45 \ \mu m$ và độ lệch chuẩn xấp xỉ $0{,}43 \ \mu m$. Tức là các kết quả đo dao động quanh giá trị trung bình $\approx 5{,}45 \ \mu m$ với độ lệch trung bình khoảng $0{,}43 \ \mu m$.

Dạng 2: So sánh độ phân tán, độ ổn định của hai mẫu số liệu

Phương pháp giải:

• Bước 1: Tính số trung bình và độ lệch chuẩn của cả hai mẫu (theo phương pháp Dạng 1).
• Bước 2: So sánh hai độ lệch chuẩn:
  • Mẫu nào có độ lệch chuẩn nhỏ hơn thì mẫu đó ổn định hơn / đồng đều hơn / ít phân tán hơn.
  • Mẫu nào có độ lệch chuẩn lớn hơn thì phân tán hơn.

Lưu ý: Chỉ dùng được phương pháp này khi số trung bình hai mẫu không quá khác biệt.

Bài 1. Tuổi thọ (đơn vị: năm) của một số linh kiện điện tử được sản xuất bởi hai phân xưởng được cho như sau:

Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mỗi mẫu, nhận xét về độ phân tán tuổi thọ linh kiện của hai phân xưởng.

Lời giải chi tiết:

Giá trị đại diện: $1{,}75$; $2{,}25$; $2{,}75$; $3{,}25$; $3{,}75$.

★ Phân xưởng 1:

Cỡ mẫu: $n_1 = 4 + 9 + 13 + 8 + 6 = 40$.

$$\bar{x}_1 = \dfrac{1{,}75 \cdot 4 + 2{,}25 \cdot 9 + 2{,}75 \cdot 13 + 3{,}25 \cdot 8 + 3{,}75 \cdot 6}{40} = \dfrac{7 + 20{,}25 + 35{,}75 + 26 + 22{,}5}{40} = \dfrac{111{,}5}{40} = \dfrac{223}{80}.$$

Tính phương sai:

$$s_1^2 = \dfrac{1{,}75^2 \cdot 4 + 2{,}25^2 \cdot 9 + 2{,}75^2 \cdot 13 + 3{,}25^2 \cdot 8 + 3{,}75^2 \cdot 6}{40} – \left(\dfrac{223}{80}\right)^2.$$

Tính tử số:

• $1{,}75^2 \cdot 4 = 3{,}0625 \cdot 4 = 12{,}25$
• $2{,}25^2 \cdot 9 = 5{,}0625 \cdot 9 = 45{,}5625$
• $2{,}75^2 \cdot 13 = 7{,}5625 \cdot 13 = 98{,}3125$
• $3{,}25^2 \cdot 8 = 10{,}5625 \cdot 8 = 84{,}5$
• $3{,}75^2 \cdot 6 = 14{,}0625 \cdot 6 = 84{,}375$

Tổng: $325$. Vậy: $s_1^2 = \dfrac{325}{40} – \dfrac{223^2}{80^2} = \dfrac{2271}{6400}$.

Độ lệch chuẩn: $s_1 = \sqrt{\dfrac{2271}{6400}} \approx 0{,}6$.

★ Phân xưởng 2:

Cỡ mẫu: $n_2 = 2 + 8 + 20 + 7 + 3 = 40$.

$$\bar{x}_2 = \dfrac{1{,}75 \cdot 2 + 2{,}25 \cdot 8 + 2{,}75 \cdot 20 + 3{,}25 \cdot 7 + 3{,}75 \cdot 3}{40} = \dfrac{110{,}5}{40} = \dfrac{221}{80}.$$

Tính tương tự, ta được: $s_2^2 = \dfrac{1399}{6400}$, suy ra $s_2 \approx 0{,}47$.

★ Kết luận:

Vì $s_1 \approx 0{,}6 > s_2 \approx 0{,}47$ nên tuổi thọ linh kiện của phân xưởng 1 phân tán hơn phân xưởng 2. Nói cách khác, sản phẩm của phân xưởng 2 có chất lượng ổn định (đồng đều) hơn phân xưởng 1.

Bài 2. Thời gian chạy tập luyện cự li 100 m của hai vận động viên được cho trong bảng sau:

Dựa trên độ lệch chuẩn, hãy cho biết vận động viên nào có thành tích luyện tập ổn định hơn.

Lời giải chi tiết:

Giá trị đại diện: $10{,}15$; $10{,}45$; $10{,}75$; $11{,}05$.

★ Vận động viên A ($n_A = 20$):

$$\bar{x}_A = \dfrac{10{,}15 \cdot 2 + 10{,}45 \cdot 10 + 10{,}75 \cdot 5 + 11{,}05 \cdot 3}{20} = \dfrac{211{,}7}{20} = \dfrac{2117}{200}.$$

$$s_A^2 = \dfrac{10{,}15^2 \cdot 2 + 10{,}45^2 \cdot 10 + 10{,}75^2 \cdot 5 + 11{,}05^2 \cdot 3}{20} – \left(\dfrac{2117}{200}\right)^2 = \dfrac{2691}{40000}.$$

$$s_A = \sqrt{\dfrac{2691}{40000}} \approx 0{,}26.$$

★ Vận động viên B ($n_B = 25$):

$$\bar{x}_B = \dfrac{10{,}15 \cdot 3 + 10{,}45 \cdot 7 + 10{,}75 \cdot 9 + 11{,}05 \cdot 6}{25} = \dfrac{266{,}65}{25} = \dfrac{5333}{500}.$$

$$s_B^2 = \dfrac{10{,}15^2 \cdot 3 + 10{,}45^2 \cdot 7 + 10{,}75^2 \cdot 9 + 11{,}05^2 \cdot 6}{25} – \left(\dfrac{5333}{500}\right)^2 = \dfrac{1296}{15625}.$$

$$s_B = \sqrt{\dfrac{1296}{15625}} = \dfrac{36}{125} = 0{,}288.$$

★ Kết luận:

Vì $s_A \approx 0{,}26 < s_B = 0{,}288$ nên vận động viên A có thành tích luyện tập ổn định hơn vận động viên B.

Bài 3. Mai và Ngọc cùng sử dụng vòng đeo tay thông minh để ghi lại số bước chân mỗi ngày trong một tháng:

a) Tính số trung bình và độ lệch chuẩn của mỗi mẫu số liệu.

b) So sánh theo độ lệch chuẩn, bạn nào có số bước chân mỗi ngày đều đặn hơn?

Lời giải chi tiết:

Giá trị đại diện: $4; 6; 8; 10; 12$. Cỡ mẫu mỗi người: $n = 30$.

★ Mai:

$$\bar{x}_1 = \dfrac{6 \cdot 4 + 7 \cdot 6 + 6 \cdot 8 + 6 \cdot 10 + 5 \cdot 12}{30} = \dfrac{24 + 42 + 48 + 60 + 60}{30} = \dfrac{234}{30} = 7{,}8.$$

$$s_1^2 = \dfrac{6 \cdot 16 + 7 \cdot 36 + 6 \cdot 64 + 6 \cdot 100 + 5 \cdot 144}{30} – 7{,}8^2 = \dfrac{2052}{30} – 60{,}84 = 7{,}56.$$

$$s_1 = \sqrt{7{,}56} \approx 2{,}75.$$

★ Ngọc:

$$\bar{x}_2 = \dfrac{2 \cdot 4 + 5 \cdot 6 + 13 \cdot 8 + 8 \cdot 10 + 2 \cdot 12}{30} = \dfrac{246}{30} = 8{,}2.$$

$$s_2^2 = \dfrac{2 \cdot 16 + 5 \cdot 36 + 13 \cdot 64 + 8 \cdot 100 + 2 \cdot 144}{30} – 8{,}2^2 = \dfrac{2132}{30} – 67{,}24 \approx 3{,}83.$$

$$s_2 = \sqrt{3{,}83} \approx 1{,}96.$$

Kết luận: Vì $s_2 \approx 1{,}96 < s_1 \approx 2{,}75$ nên bạn Ngọc có số bước chân mỗi ngày đều đặn hơn bạn Mai.

Bài 4. Trong bài thực hành đo hiệu điện thế của mạch điện, An và Bình dùng hai vôn kế khác nhau, mỗi bạn đo $10$ lần:

Tính độ lệch chuẩn của mỗi mẫu và kết luận vôn kế của bạn nào cho kết quả ổn định hơn.

Lời giải chi tiết:

Giá trị đại diện: $3{,}875; 3{,}925; 3{,}975; 4{,}025$.

★ Kết quả đo của An:

$$\bar{x}_1 = \dfrac{3{,}875 \cdot 1 + 3{,}925 \cdot 6 + 3{,}975 \cdot 2 + 4{,}025 \cdot 1}{10} = \dfrac{39{,}4}{10} = 3{,}94.$$

$$s_1^2 = \dfrac{3{,}875^2 \cdot 1 + 3{,}925^2 \cdot 6 + 3{,}975^2 \cdot 2 + 4{,}025^2 \cdot 1}{10} – 3{,}94^2 = 0{,}001525.$$

$$s_1 = \sqrt{0{,}001525} \approx 0{,}039.$$

★ Kết quả đo của Bình:

$$\bar{x}_2 = \dfrac{3{,}875 \cdot 1 + 3{,}925 \cdot 3 + 3{,}975 \cdot 4 + 4{,}025 \cdot 2}{10} = \dfrac{39{,}6}{10} = 3{,}96.$$

$$s_2^2 = \dfrac{3{,}875^2 \cdot 1 + 3{,}925^2 \cdot 3 + 3{,}975^2 \cdot 4 + 4{,}025^2 \cdot 2}{10} – 3{,}96^2 = 0{,}002025.$$

$$s_2 = \sqrt{0{,}002025} \approx 0{,}045.$$

Kết luận: Vì $s_1 \approx 0{,}039 < s_2 \approx 0{,}045$ nên vôn kế của An cho kết quả đo ổn định hơn vôn kế của Bình.

Bài 5. Một giống cây xoan đào được trồng tại hai địa điểm A và B. Người ta thống kê đường kính thân của một số cây xoan đào $5$ năm tuổi:

a) So sánh đường kính trung bình của thân cây xoan đào trồng tại hai địa điểm.

b) Theo độ lệch chuẩn, cây trồng tại địa điểm nào có đường kính đồng đều hơn?

Lời giải chi tiết:

Giá trị đại diện: $31; 33; 35; 37; 39$. Cỡ mẫu mỗi địa điểm: $n = 100$.

a) Số trung bình:

$$\bar{x}_A = \dfrac{25 \cdot 31 + 38 \cdot 33 + 20 \cdot 35 + 10 \cdot 37 + 7 \cdot 39}{100} = \dfrac{3372}{100} = 33{,}72 \text{ (cm)}.$$

$$\bar{x}_B = \dfrac{22 \cdot 31 + 27 \cdot 33 + 19 \cdot 35 + 18 \cdot 37 + 14 \cdot 39}{100} = \dfrac{3450}{100} = 34{,}5 \text{ (cm)}.$$

Vì $\bar{x}_A < \bar{x}_B$ nên đường kính trung bình của cây ở địa điểm A nhỏ hơn ở địa điểm B.

b) Độ lệch chuẩn:

$$s_A^2 = \dfrac{25 \cdot 31^2 + 38 \cdot 33^2 + 20 \cdot 35^2 + 10 \cdot 37^2 + 7 \cdot 39^2}{100} – 33{,}72^2$$ $$= \dfrac{24025 + 41382 + 24500 + 13690 + 10647}{100} – 1137{,}0384 = 1142{,}44 – 1137{,}0384 \approx 5{,}4.$$

$$s_A \approx \sqrt{5{,}4} \approx 2{,}32.$$

$$s_B^2 = \dfrac{22 \cdot 31^2 + 27 \cdot 33^2 + 19 \cdot 35^2 + 18 \cdot 37^2 + 14 \cdot 39^2}{100} – 34{,}5^2 \approx 1197{,}56 – 1190{,}25 = 7{,}31.$$

$$s_B \approx \sqrt{7{,}31} \approx 2{,}7.$$

Vì $s_A < s_B$ nên cây trồng tại địa điểm A có đường kính đồng đều hơn địa điểm B.

Bài 6. (Bài tập tổng hợp — so sánh theo ba đại lượng) Thời gian hoàn thành một bài viết chính tả của học sinh lớp 4 hai trường X và Y được ghi lại:

a) Theo số trung bình, trường nào viết nhanh hơn?

b) Theo khoảng tứ phân vị, trường nào có tốc độ viết đồng đều hơn?

c) Theo độ lệch chuẩn, trường nào có tốc độ viết đồng đều hơn?

Lời giải chi tiết:

Cỡ mẫu mỗi trường: $n = 50$. Giá trị đại diện: $6{,}5; 7{,}5; 8{,}5; 9{,}5; 10{,}5$.

a) So sánh theo số trung bình:

$$\bar{x}_X = \dfrac{8 \cdot 6{,}5 + 10 \cdot 7{,}5 + 13 \cdot 8{,}5 + 10 \cdot 9{,}5 + 9 \cdot 10{,}5}{50} = \dfrac{427}{50} = 8{,}54.$$

$$\bar{x}_Y = \dfrac{4 \cdot 6{,}5 + 12 \cdot 7{,}5 + 17 \cdot 8{,}5 + 14 \cdot 9{,}5 + 3 \cdot 10{,}5}{50} = \dfrac{425}{50} = 8{,}5.$$

Vì $\bar{x}_Y < \bar{x}_X$ nên theo trung bình, học sinh trường Y viết nhanh hơn.

b) So sánh theo khoảng tứ phân vị:

Trường X: Tần số tích lũy: $8; 18; 31; 41; 50$.

• $\dfrac{n}{4} = 12{,}5$; vì $8 < 12{,}5 \leq 18$ nên $Q_1$ thuộc nhóm $[7; 8)$: $$Q_1 = 7 + \dfrac{12{,}5 – 8}{10} \cdot 1 = 7{,}45.$$
• $\dfrac{3n}{4} = 37{,}5$; vì $31 < 37{,}5 \leq 41$ nên $Q_3$ thuộc nhóm $[9; 10)$: $$Q_3 = 9 + \dfrac{37{,}5 – 31}{10} \cdot 1 = 9{,}65.$$

Khoảng tứ phân vị: $\Delta_{Q_X} = 9{,}65 – 7{,}45 = 2{,}2$.

Trường Y: Tần số tích lũy: $4; 16; 33; 47; 50$.

• $\dfrac{n}{4} = 12{,}5$; vì $4 < 12{,}5 \leq 16$ nên $Q_1’$ thuộc nhóm $[7; 8)$: $$Q_1′ = 7 + \dfrac{12{,}5 – 4}{12} \cdot 1 = \dfrac{185}{24}.$$
• $\dfrac{3n}{4} = 37{,}5$; vì $33 < 37{,}5 \leq 47$ nên $Q_3’$ thuộc nhóm $[9; 10)$: $$Q_3′ = 9 + \dfrac{37{,}5 – 33}{14} \cdot 1 = \dfrac{261}{28}.$$

Khoảng tứ phân vị: $\Delta_{Q_Y} = \dfrac{261}{28} – \dfrac{185}{24} = \dfrac{271}{168} \approx 1{,}61$.

Vì $\Delta_{Q_Y} < \Delta_{Q_X}$ nên theo khoảng tứ phân vị, học sinh trường Y có tốc độ viết đồng đều hơn.

c) So sánh theo độ lệch chuẩn:

$$\sigma_X = \sqrt{\dfrac{8 \cdot 6{,}5^2 + 10 \cdot 7{,}5^2 + 13 \cdot 8{,}5^2 + 10 \cdot 9{,}5^2 + 9 \cdot 10{,}5^2}{50} – 8{,}54^2} \approx 1{,}33.$$

$$\sigma_Y = \sqrt{\dfrac{4 \cdot 6{,}5^2 + 12 \cdot 7{,}5^2 + 17 \cdot 8{,}5^2 + 14 \cdot 9{,}5^2 + 3 \cdot 10{,}5^2}{50} – 8{,}5^2} \approx 1{,}04.$$

Vì $\sigma_Y < \sigma_X$ nên theo độ lệch chuẩn, học sinh trường Y có tốc độ viết đồng đều hơn.

Nhận xét: Trong bài này, cả khoảng tứ phân vị và độ lệch chuẩn đều cho cùng kết luận (trường Y đồng đều hơn). Đó là dấu hiệu cho thấy kết luận đáng tin cậy, không bị ảnh hưởng bởi cách chọn đại lượng đo.

Dạng 3: Đánh giá tính hợp lý khi dùng phương sai (độ lệch chuẩn) để so sánh độ phân tán

Phương pháp giải:

Kiểm tra xem hai mẫu số liệu có đáp ứng điều kiện cơ bản để dùng phương sai (hoặc độ lệch chuẩn) làm công cụ so sánh hay không:

• NÊN dùng khi: hai mẫu có cùng đơn vị đo và giá trị trung bình tương đương (không chênh lệch quá lớn).
• KHÔNG NÊN dùng khi: hai mẫu có đơn vị đo khác nhau hoặc giá trị trung bình chênh lệch quá lớn. Trong trường hợp này, nên dùng hệ số biến thiên $CV = \dfrac{s}{\bar{x}}$.

Bài 1. Có nên dùng phương sai (hoặc độ lệch chuẩn) để so sánh độ phân tán của hai mẫu số liệu ghép nhóm trong mỗi trường hợp sau không? Tại sao?

a) Hai mẫu số liệu ghép nhóm về điểm thi tốt nghiệp môn Toán của học sinh hai trường trung học phổ thông có chất lượng tương đương.

b) Hai mẫu số liệu ghép nhóm về doanh thu của $100$ cửa hàng bán lẻ và doanh thu của $100$ siêu thị.

Lời giải chi tiết:

a) Vì hai trường có chất lượng tương đương, ta có thể kỳ vọng điểm trung bình của hai mẫu gần nhau; cả hai mẫu cùng đo bằng thang điểm như nhau. Do đó NÊN dùng phương sai (hoặc độ lệch chuẩn) để so sánh độ phân tán giữa hai trường — kết quả sẽ phản ánh đúng mức độ đồng đều thực sự.

b) Doanh thu của cửa hàng bán lẻ và siêu thị chênh lệch rất lớn (siêu thị thường có doanh thu lớn hơn cửa hàng bán lẻ nhiều lần). Do số trung bình của hai mẫu không gần tương đương, nên KHÔNG NÊN dùng phương sai (hoặc độ lệch chuẩn) để so sánh trực tiếp độ phân tán. Trong trường hợp này, ta cần dùng hệ số biến thiên $CV = \dfrac{s}{\bar{x}}$ — đại lượng này “loại” ảnh hưởng của thang đo, cho phép so sánh công bằng.

Sai lầm thường gặp

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh