Lý thuyết trọng tâm

1. Khái niệm nguyên hàm của một hàm số

1.1. Định nghĩa

Cho hàm số $f(x)$ xác định trên một khoảng $K$ (có thể là đoạn hoặc nửa khoảng). Hàm số $F(x)$ được gọi là một nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên $K$ nếu:

$$F'(x) = f(x), \ \forall x \in K.$$

Nói cách khác, $F(x)$ là một hàm “ngược” của phép đạo hàm: lấy đạo hàm của $F(x)$ ta thu lại được $f(x)$.

Hiểu một cách trực quan: Đạo hàm biến một hàm số $F(x)$ thành $f(x) = F'(x)$. Ngược lại, nguyên hàm là phép đi ngược từ $f(x)$ về $F(x)$. Đây là hai phép toán nghịch đảo của nhau.

Ví dụ 1. Cho hàm số $f(x) = 2x + 3$. Trong hai hàm số sau đây, hàm nào là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$?

$$F(x) = x^2 + 3x; \quad G(x) = x^2 – 3x.$$

Lời giải:

Lấy đạo hàm của từng hàm: $$F'(x) = 2x + 3, \quad G'(x) = 2x – 3.$$

Vì $F'(x) = f(x)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ nên $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $\mathbb{R}$.

Ngược lại, $G'(x) = 2x – 3 \neq 2x + 3$ nên $G(x)$ không phải là nguyên hàm của $f(x)$.

1.2. Họ các nguyên hàm

Giả sử $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$. Khi đó:

• Với mỗi hằng số $C$ tùy ý, hàm số $F(x) + C$ cũng là một nguyên hàm của $f(x)$ (vì đạo hàm của hằng số bằng $0$, nên $(F(x)+C)’ = F'(x) = f(x)$).
• Ngược lại, nếu $G(x)$ là một nguyên hàm bất kỳ của $f(x)$ trên $K$ thì tồn tại một hằng số $C$ sao cho $G(x) = F(x) + C$.

Như vậy, mọi nguyên hàm của $f(x)$ đều có chung dạng $F(x) + C$ (chỉ khác nhau ở hằng số $C$). Ta gọi $F(x) + C$ (với $C \in \mathbb{R}$) là họ các nguyên hàm của $f(x)$ trên $K$, ký hiệu:

$$\int f(x) , dx = F(x) + C.$$

Chú ý:

• Để tìm họ nguyên hàm của $f(x)$, ta chỉ cần tìm một nguyên hàm $F(x)$ rồi cộng thêm hằng số $C$.
• Nếu $f(x)$ liên tục trên khoảng $K$ thì $f(x)$ có nguyên hàm trên khoảng đó.
• Khi đề bài không nói rõ khoảng $K$, ta mặc định tìm nguyên hàm trên tập xác định của $f(x)$.
• Biểu thức $f(x),dx$ được gọi là vi phân của $F(x)$, ký hiệu $dF(x) = F'(x),dx = f(x),dx$.

Ví dụ 2. Tìm một nguyên hàm của hàm số $f(x) = x^5$ trên $\mathbb{R}$. Từ đó tính $\int x^5 , dx$.

Lời giải:

Lấy đạo hàm thử: $\left(\dfrac{x^6}{6}\right)’ = \dfrac{6x^5}{6} = x^5$.

Vậy $F(x) = \dfrac{x^6}{6}$ là một nguyên hàm của $f(x) = x^5$ trên $\mathbb{R}$.

Do đó, họ nguyên hàm là: $\int x^5 , dx = \dfrac{x^6}{6} + C$.

2. Tính chất cơ bản của nguyên hàm

Cho $f(x), g(x)$ là các hàm số liên tục trên $K$ và $k$ là một hằng số khác $0$. Khi đó:

Tính chất 1 — Hằng số nhân vào: $$\int k \cdot f(x) , dx = k \int f(x) , dx.$$

Tính chất 2 — Nguyên hàm của tổng, hiệu: $$\int [f(x) \pm g(x)] , dx = \int f(x) , dx \pm \int g(x) , dx.$$

Hai tính chất này cho phép ta “tách” nguyên hàm của một biểu thức phức tạp thành các nguyên hàm đơn giản hơn.

Lưu ý: KHÔNG có tính chất tương tự cho tích hoặc thương, tức là không có công thức $\int f(x) \cdot g(x),dx = \int f(x),dx \cdot \int g(x),dx$. Đây là sai lầm rất phổ biến.

Ví dụ 3. Sử dụng kết quả $\int x^2 , dx = \dfrac{x^3}{3} + C$, hãy tìm:

a) $\int 4x^3 , dx$;

b) $\int \left(-\dfrac{2}{3} x^3\right) dx$.

Lời giải:

Trước hết ta tìm nguyên hàm của $x^3$. Do $\left(\dfrac{x^4}{4}\right)’ = x^3$ nên $\int x^3 , dx = \dfrac{x^4}{4} + C$.

a) $\int 4x^3 , dx = 4 \int x^3 , dx = 4 \cdot \dfrac{x^4}{4} + C = x^4 + C.$

b) $\int \left(-\dfrac{2}{3} x^3\right) dx = -\dfrac{2}{3} \int x^3 , dx = -\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{x^4}{4} + C = -\dfrac{x^4}{6} + C.$

Ví dụ 4. Tìm:

a) $\int (x^2 + 2x) , dx$;

b) $\int (6x^5 – 2x) , dx$.

Lời giải:

a) Tách nguyên hàm của tổng thành tổng các nguyên hàm: $$\int (x^2 + 2x) , dx = \int x^2 , dx + \int 2x , dx = \dfrac{x^3}{3} + x^2 + C.$$

b) Tách nguyên hàm của hiệu: $$\int (6x^5 – 2x) , dx = 6 \int x^5 , dx – 2 \int x , dx = 6 \cdot \dfrac{x^6}{6} – 2 \cdot \dfrac{x^2}{2} + C = x^6 – x^2 + C.$$

3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

3.1. Nguyên hàm hàm lũy thừa

Với $\alpha \neq -1$: $$\int x^\alpha , dx = \dfrac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C.$$

Trường hợp đặc biệt $\alpha = -1$: $$\int \dfrac{1}{x} , dx = \ln|x| + C.$$

Mẹo nhớ: Với công thức lũy thừa, tăng số mũ lên $1$ đơn vị rồi chia cho số mũ mới. Công thức chỉ dùng được khi $\alpha \neq -1$ (vì nếu $\alpha = -1$ thì mẫu $\alpha + 1 = 0$, không hợp lệ).

Ví dụ 5. Tìm:

a) $\int \sqrt[3]{x} , dx \ (x > 0)$;

b) $\int \dfrac{1}{x^4} , dx$;

c) $\int \left(3x^2 + \dfrac{2}{\sqrt{x}}\right) dx$.

Lời giải:

a) Viết $\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$, áp dụng công thức: $$\int x^{1/3} , dx = \dfrac{x^{1/3 + 1}}{1/3 + 1} + C = \dfrac{x^{4/3}}{4/3} + C = \dfrac{3}{4} x^{4/3} + C = \dfrac{3}{4} x \sqrt[3]{x} + C.$$

b) Viết $\dfrac{1}{x^4} = x^{-4}$: $$\int x^{-4} , dx = \dfrac{x^{-3}}{-3} + C = -\dfrac{1}{3x^3} + C.$$

c) Tách thành tổng: $$\int \left(3x^2 + \dfrac{2}{\sqrt{x}}\right) dx = 3 \int x^2 , dx + 2 \int x^{-1/2} , dx = x^3 + 2 \cdot \dfrac{x^{1/2}}{1/2} + C = x^3 + 4\sqrt{x} + C.$$

3.2. Nguyên hàm hàm lượng giác

$$\int \cos x , dx = \sin x + C; \quad \int \sin x , dx = -\cos x + C.$$

$$\int \dfrac{1}{\cos^2 x} , dx = \tan x + C; \quad \int \dfrac{1}{\sin^2 x} , dx = -\cot x + C.$$

Chú ý dấu: Nguyên hàm của $\sin x$ là $\boxed{-\cos x}$ (có dấu trừ), và nguyên hàm của $\dfrac{1}{\sin^2 x}$ là $\boxed{-\cot x}$ (cũng có dấu trừ). Rất dễ nhầm dấu.

Ví dụ 6. Tìm:

a) $\int (\sin x – \cos x) , dx$;

b) $\int \left(3\sin x + \dfrac{1}{\sin^2 x}\right) dx$.

Lời giải:

a) $\int (\sin x – \cos x) , dx = \int \sin x , dx – \int \cos x , dx = -\cos x – \sin x + C.$

b) $\int \left(3\sin x + \dfrac{1}{\sin^2 x}\right) dx = 3 \int \sin x , dx + \int \dfrac{1}{\sin^2 x} , dx = -3\cos x – \cot x + C.$

3.3. Nguyên hàm hàm mũ

$$\int e^x , dx = e^x + C; \quad \int a^x , dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C \ (0 < a \neq 1).$$

Trường hợp $a = e$ thì $\ln a = 1$, nên công thức $\int e^x , dx = e^x + C$ chính là trường hợp riêng của công thức tổng quát.

Ví dụ 7. Tìm:

a) $\int 3^x , dx$;

b) $\int \dfrac{1}{4^x} , dx$;

c) $\int (3e^x + 2^x) , dx$.

Lời giải:

a) $\int 3^x , dx = \dfrac{3^x}{\ln 3} + C.$

b) Viết $\dfrac{1}{4^x} = \left(\dfrac{1}{4}\right)^x$: $$\int \left(\dfrac{1}{4}\right)^x dx = \dfrac{\left(\dfrac{1}{4}\right)^x}{\ln \dfrac{1}{4}} + C = \dfrac{1}{-4^x \ln 4} + C = -\dfrac{1}{4^x \ln 4} + C.$$

c) Tách thành tổng: $$\int (3e^x + 2^x) , dx = 3e^x + \dfrac{2^x}{\ln 2} + C.$$

3.4. Bảng tổng kết nguyên hàm các hàm số thường gặp

Các em cần học thuộc bảng này vì sẽ sử dụng rất nhiều trong các bài tập nguyên hàm và tích phân về sau.

Các dạng bài tập trọng tâm

Dạng 1: Nguyên hàm đa thức

Phương pháp giải:

Dùng các tính chất cơ bản và công thức $\int x^n , dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Nếu là tích các đa thức, ta khai triển trước khi lấy nguyên hàm.

Công thức bổ sung: $\int (ax + b)^n , dx = \dfrac{1}{a} \cdot \dfrac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C.$

Bài 1. Tính $\int 5x^4 , dx$.

Lời giải: $$\int 5x^4 , dx = 5 \cdot \dfrac{x^5}{5} + C = x^5 + C.$$

Bài 2. Tìm họ tất cả nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2x + 4$.

Lời giải: $$\int (2x + 4) , dx = \int 2x , dx + \int 4 , dx = x^2 + 4x + C.$$

Bài 3. Tìm họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = x^3 + x$.

Lời giải: $$\int (x^3 + x) , dx = \dfrac{x^4}{4} + \dfrac{x^2}{2} + C.$$

Bài 4. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = (x + 1)(x + 2)$.

Lời giải:

Bước 1: Khai triển biểu thức: $$f(x) = (x+1)(x+2) = x^2 + 3x + 2.$$

Bước 2: Lấy nguyên hàm từng hạng tử: $$\int f(x) , dx = \int (x^2 + 3x + 2) , dx = \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{3x^2}{2} + 2x + C.$$

Dạng 2: Nguyên hàm phân thức

Phương pháp giải:

Tách biểu thức thành các hàm phân thức cơ bản rồi dùng các công thức:

$$\int \dfrac{1}{x} , dx = \ln|x| + C; \quad \int \dfrac{1}{x^2} , dx = -\dfrac{1}{x} + C;$$

$$\int \dfrac{1}{ax+b} , dx = \dfrac{1}{a} \ln|ax+b| + C; \quad \int \dfrac{1}{(ax+b)^n} , dx = -\dfrac{1}{a(n-1)(ax+b)^{n-1}} + C.$$

Hai kỹ thuật chính: (1) chia đa thức khi tử có bậc lớn hơn hoặc bằng mẫu; (2) tách phân thức theo dạng $\dfrac{1}{x(x-a)} = \dfrac{1}{a}\left(\dfrac{1}{x-a} – \dfrac{1}{x}\right)$.

Bài 1. Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = \dfrac{1}{2x – 1}$, biết $F(1) = 2$. Tính $F(2)$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tìm họ nguyên hàm của $f(x)$: $$F(x) = \int \dfrac{1}{2x-1} , dx = \dfrac{1}{2} \ln|2x – 1| + C.$$

Bước 2: Dùng điều kiện $F(1) = 2$ để tìm $C$: $$F(1) = \dfrac{1}{2} \ln|2 \cdot 1 – 1| + C = \dfrac{1}{2} \ln 1 + C = 0 + C = 2 \Rightarrow C = 2.$$

Bước 3: Vậy $F(x) = \dfrac{1}{2} \ln|2x-1| + 2$. Tính $F(2)$: $$F(2) = \dfrac{1}{2} \ln|2 \cdot 2 – 1| + 2 = \dfrac{1}{2} \ln 3 + 2.$$

Bài 2. Tính nguyên hàm $I = \int \dfrac{2x^2 – 7x + 5}{x – 3} , dx$.

Lời giải chi tiết:

Vì bậc tử ($2$) lớn hơn bậc mẫu ($1$), ta chia đa thức trước:

Thực hiện phép chia $(2x^2 – 7x + 5) : (x – 3)$:

• $2x^2 : x = 2x$; $2x \cdot (x-3) = 2x^2 – 6x$; phần dư: $-7x + 5 – (-6x) = -x + 5$.
• $-x : x = -1$; $-1 \cdot (x-3) = -x + 3$; phần dư: $5 – 3 = 2$.

Vậy $2x^2 – 7x + 5 = (x – 3)(2x – 1) + 2$, hay: $$\dfrac{2x^2 – 7x + 5}{x – 3} = 2x – 1 + \dfrac{2}{x – 3}.$$

Do đó: $$I = \int \left(2x – 1 + \dfrac{2}{x-3}\right) dx = x^2 – x + 2\ln|x – 3| + C.$$

Bài 3. Tìm nguyên hàm $\int \dfrac{1}{x(x-3)} , dx$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tách phân thức. Quan sát: $\dfrac{1}{x-3} – \dfrac{1}{x} = \dfrac{x – (x-3)}{x(x-3)} = \dfrac{3}{x(x-3)}$.

Suy ra: $\dfrac{1}{x(x-3)} = \dfrac{1}{3}\left(\dfrac{1}{x-3} – \dfrac{1}{x}\right)$.

Bước 2: Lấy nguyên hàm: $$\int \dfrac{1}{x(x-3)} , dx = \dfrac{1}{3} \int \left(\dfrac{1}{x-3} – \dfrac{1}{x}\right) dx = \dfrac{1}{3}\left(\ln|x-3| – \ln|x|\right) + C = \dfrac{1}{3} \ln\left|\dfrac{x-3}{x}\right| + C.$$

Dạng 3: Nguyên hàm căn thức

Phương pháp giải:

Viết lại căn thức dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ, rồi áp dụng công thức $\int x^\alpha , dx$. Công thức bổ sung:

$$\int \sqrt{x} , dx = \dfrac{2}{3} x\sqrt{x} + C; \quad \int \dfrac{1}{\sqrt{x}} , dx = 2\sqrt{x} + C.$$

$$\int \sqrt{ax + b} , dx = \dfrac{2}{3a} (ax+b)\sqrt{ax+b} + C; \quad \int \dfrac{1}{\sqrt{ax+b}} , dx = \dfrac{2}{a} \sqrt{ax+b} + C.$$

Bài 1. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = x\sqrt{x}$ với $x > 0$.

Lời giải chi tiết:

Viết $x\sqrt{x} = x \cdot x^{1/2} = x^{3/2}$. Áp dụng công thức: $$\int x^{3/2} , dx = \dfrac{x^{3/2 + 1}}{3/2 + 1} + C = \dfrac{x^{5/2}}{5/2} + C = \dfrac{2}{5} x^{5/2} + C = \dfrac{2}{5} x^2 \sqrt{x} + C.$$

Bài 2. Tìm nguyên hàm $I = \int \sqrt{\dfrac{2}{x}} , dx$ với $x > 0$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Đưa biểu thức về dạng lũy thừa: $$\sqrt{\dfrac{2}{x}} = \sqrt{2} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{x}} = \sqrt{2} \cdot x^{-1/2}.$$

Bước 2: Áp dụng công thức: $$I = \sqrt{2} \int x^{-1/2} , dx = \sqrt{2} \cdot \dfrac{x^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{x} + C = 2\sqrt{2x} + C.$$

(Ở bước cuối, $2\sqrt{2} \cdot \sqrt{x} = 2\sqrt{2x}$ vì $\sqrt{2} \cdot \sqrt{x} = \sqrt{2x}$.)

Bài 3. Tính $\int \left(\sqrt[3]{x^2} + \dfrac{4}{x}\right) dx$ với $x > 0$.

Lời giải chi tiết:

Viết $\sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$. Tách thành tổng: $$\int \left(x^{2/3} + \dfrac{4}{x}\right) dx = \int x^{2/3} , dx + 4 \int \dfrac{1}{x} , dx = \dfrac{x^{5/3}}{5/3} + 4\ln|x| + C = \dfrac{3}{5} x^{5/3} + 4\ln|x| + C.$$

Dạng 4: Nguyên hàm hàm số lượng giác

Phương pháp giải:

Áp dụng bảng nguyên hàm lượng giác cơ bản và công thức mở rộng:

$$\int \cos(ax+b) , dx = \dfrac{1}{a} \sin(ax+b) + C; \quad \int \sin(ax+b) , dx = -\dfrac{1}{a} \cos(ax+b) + C;$$

$$\int \dfrac{1}{\cos^2(ax+b)} , dx = \dfrac{1}{a} \tan(ax+b) + C; \quad \int \dfrac{1}{\sin^2(ax+b)} , dx = -\dfrac{1}{a} \cot(ax+b) + C.$$

Với các biểu thức phức tạp (như tích hai hàm lượng giác), dùng công thức biến tích thành tổng: $$\sin A \sin B = \dfrac{1}{2}[\cos(A-B) – \cos(A+B)];$$ $$\cos A \cos B = \dfrac{1}{2}[\cos(A-B) + \cos(A+B)];$$ $$\sin A \cos B = \dfrac{1}{2}[\sin(A-B) + \sin(A+B)].$$

Bài 1. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \cos(3x + 1)$.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng công thức $\int \cos(ax + b) , dx = \dfrac{1}{a} \sin(ax+b) + C$ với $a = 3, b = 1$: $$\int \cos(3x + 1) , dx = \dfrac{1}{3} \sin(3x + 1) + C.$$

Bài 2. Tìm nguyên hàm $I = \int \dfrac{1}{1 + \cos 2x} , dx$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Dùng công thức hạ bậc $\cos 2x = 2\cos^2 x – 1$, ta có $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$.

Bước 2: Biểu thức trở thành: $$I = \int \dfrac{1}{2\cos^2 x} , dx = \dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{\cos^2 x} , dx = \dfrac{1}{2} \tan x + C.$$

Bài 3. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x) = \sin 5x \cdot \sin 2x$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Dùng công thức biến tích thành tổng: $$2\sin 5x \cdot \sin 2x = \cos(5x – 2x) – \cos(5x + 2x) = \cos 3x – \cos 7x.$$

Suy ra $f(x) = \sin 5x \cdot \sin 2x = \dfrac{1}{2}(\cos 3x – \cos 7x)$.

Bước 2: Lấy nguyên hàm: $$\int f(x) , dx = \dfrac{1}{2} \int (\cos 3x – \cos 7x) , dx = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sin 3x}{3} – \dfrac{\sin 7x}{7}\right) + C = \dfrac{\sin 3x}{6} – \dfrac{\sin 7x}{14} + C.$$

Dạng 5: Nguyên hàm hàm số mũ và logarit

Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức: $$\int e^x , dx = e^x + C; \quad \int a^x , dx = \dfrac{a^x}{\ln a} + C; \quad \int e^{ax+b} , dx = \dfrac{1}{a} e^{ax+b} + C.$$

Đối với các bài toán có điều kiện ban đầu (ví dụ $F(x_0) = $ một giá trị cho trước), ta tìm họ nguyên hàm trước, rồi thay điều kiện để xác định hằng số $C$.

Bài 1. Cho $\int f(x) , dx = 3x^2 – 4x + C$. Tìm $\int f(e^x) , dx$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Từ giả thiết $\int f(x) , dx = 3x^2 – 4x + C$, lấy đạo hàm hai vế: $$f(x) = (3x^2 – 4x)’ = 6x – 4.$$

Bước 2: Thay $x$ bởi $e^x$: $f(e^x) = 6e^x – 4$.

Bước 3: Tính nguyên hàm: $$\int f(e^x) , dx = \int (6e^x – 4) , dx = 6e^x – 4x + C.$$

Bài 2. Hàm số $y = f(x)$ có một nguyên hàm là $F(x) = e^{2x}$. Tìm nguyên hàm của hàm số $\dfrac{f(x) + 1}{e^x}$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Vì $F(x) = e^{2x}$ là nguyên hàm của $f(x)$ nên: $$f(x) = F'(x) = 2e^{2x}.$$

Bước 2: Biến đổi biểu thức: $$\dfrac{f(x) + 1}{e^x} = \dfrac{2e^{2x} + 1}{e^x} = 2 \cdot \dfrac{e^{2x}}{e^x} + \dfrac{1}{e^x} = 2e^x + e^{-x}.$$

Bước 3: Lấy nguyên hàm: $$\int (2e^x + e^{-x}) , dx = 2e^x – e^{-x} + C.$$

(Lưu ý: $(e^{-x})’ = -e^{-x}$, nên nguyên hàm của $e^{-x}$ là $-e^{-x}$.)

Bài 3. Cho $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = e^x + 2x$ thỏa mãn $F(0) = \dfrac{3}{2}$. Tìm $F(x)$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tìm họ nguyên hàm của $f(x)$: $$\int (e^x + 2x) , dx = e^x + x^2 + C.$$

Vậy $F(x)$ có dạng $F(x) = e^x + x^2 + C$.

Bước 2: Sử dụng điều kiện $F(0) = \dfrac{3}{2}$: $$F(0) = e^0 + 0^2 + C = 1 + C = \dfrac{3}{2} \Rightarrow C = \dfrac{1}{2}.$$

Bước 3: Vậy $F(x) = e^x + x^2 + \dfrac{1}{2}$.

Dạng 6: Bài tập tổng hợp

Phương pháp giải:

Các bài tổng hợp thường yêu cầu tìm các hệ số trong biểu thức nguyên hàm bằng cách lấy đạo hàm vế phải rồi đồng nhất với hàm số ban đầu; hoặc dùng tổng cấp số nhân để tính tổng các giá trị nguyên hàm.

Bài 1. Cho hàm số $f(x) = 2x^2 e^{x^3 + 2} + 2x e^{2x}$. Biết rằng $\int f(x) , dx = m \cdot e^{x^3 + 2} + nx \cdot e^{2x} – p \cdot e^{2x} + C$. Tính $m + n + p$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Vì vế phải là nguyên hàm của $f(x)$, đạo hàm của nó phải bằng $f(x)$: $$\left(m \cdot e^{x^3 + 2} + nx \cdot e^{2x} – p \cdot e^{2x}\right)’ = f(x).$$

Bước 2: Tính đạo hàm từng hạng tử:

• $(m \cdot e^{x^3 + 2})’ = m \cdot 3x^2 \cdot e^{x^3 + 2} = 3mx^2 \cdot e^{x^3 + 2}$ (dùng quy tắc chain: đạo hàm của $x^3 + 2$ là $3x^2$).
• $(nx \cdot e^{2x})’ = n \cdot e^{2x} + nx \cdot 2e^{2x} = n \cdot e^{2x} + 2nx \cdot e^{2x}$ (dùng quy tắc tích).
• $(-p \cdot e^{2x})’ = -2p \cdot e^{2x}$.

Bước 3: Cộng tất cả lại: $$3mx^2 \cdot e^{x^3 + 2} + 2nx \cdot e^{2x} + (n – 2p) \cdot e^{2x}.$$

Bước 4: Đồng nhất với $f(x) = 2x^2 e^{x^3 + 2} + 2x e^{2x} + 0 \cdot e^{2x}$: $$\begin{cases} 3m = 2 \\ 2n = 2 \\ n – 2p = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m = \dfrac{2}{3} \\ n = 1 \\ p = \dfrac{1}{2} \end{cases}$$

Bước 5: Tính tổng: $$m + n + p = \dfrac{2}{3} + 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{4}{6} + \dfrac{6}{6} + \dfrac{3}{6} = \dfrac{13}{6}.$$

Bài 2. Gọi $F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2^x$ thỏa mãn $F(0) = \dfrac{1}{\ln 2}$. Tính giá trị biểu thức: $$T = F(0) + F(1) + F(2) + \ldots + F(2019).$$

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tìm $F(x)$. $$\int 2^x , dx = \dfrac{2^x}{\ln 2} + C \Rightarrow F(x) = \dfrac{2^x}{\ln 2} + C.$$

Dùng điều kiện $F(0) = \dfrac{1}{\ln 2}$: $$F(0) = \dfrac{2^0}{\ln 2} + C = \dfrac{1}{\ln 2} + C = \dfrac{1}{\ln 2} \Rightarrow C = 0.$$

Vậy $F(x) = \dfrac{2^x}{\ln 2}$.

Bước 2: Tính $T$: $$T = \sum_{k=0}^{2019} F(k) = \dfrac{1}{\ln 2} \sum_{k=0}^{2019} 2^k = \dfrac{1}{\ln 2} \left(2^0 + 2^1 + \ldots + 2^{2019}\right).$$

Bước 3: Tổng cấp số nhân $1 + 2 + 4 + \ldots + 2^{2019}$ có $2020$ số hạng, công bội $2$, số đầu $1$: $$1 + 2 + \ldots + 2^{2019} = \dfrac{2^{2020} – 1}{2 – 1} = 2^{2020} – 1.$$

Bước 4: Vậy: $$T = \dfrac{2^{2020} – 1}{\ln 2}.$$

Bài 3. Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R} \setminus {1}$ thỏa mãn $f'(x) = \dfrac{1}{x – 1}$, $f(0) = 2017$ và $f(2) = 2018$. Tính $S = f(3) – f(-1)$.

Lời giải chi tiết:

Quan sát quan trọng: Miền xác định là $\mathbb{R} \setminus {1}$ — gồm hai khoảng rời nhau $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$. Hàm $f(x)$ có thể có công thức khác nhau trên hai khoảng này (hằng số $C$ khác nhau). Ta phải xét riêng từng khoảng.

Bước 1: Trên khoảng $(1; +\infty)$ — chứa điểm $x = 2$ và $x = 3$.

Với $x > 1$: $\int \dfrac{1}{x-1} , dx = \ln(x-1) + C_1$.

Dùng $f(2) = 2018$: $\ln 1 + C_1 = 0 + C_1 = 2018 \Rightarrow C_1 = 2018$.

Vậy khi $x > 1$: $f(x) = \ln(x-1) + 2018$.

Bước 2: Trên khoảng $(-\infty; 1)$ — chứa điểm $x = 0$ và $x = -1$.

Với $x < 1$: $x – 1 < 0$, nên $|x-1| = 1-x$. Do đó $\int \dfrac{1}{x-1} , dx = \ln(1-x) + C_2$.

Dùng $f(0) = 2017$: $\ln 1 + C_2 = C_2 = 2017$.

Vậy khi $x < 1$: $f(x) = \ln(1-x) + 2017$.

Bước 3: Tính $f(3)$ và $f(-1)$:

• $f(3) = \ln(3 – 1) + 2018 = \ln 2 + 2018$.
• $f(-1) = \ln(1 – (-1)) + 2017 = \ln 2 + 2017$.

Bước 4: $$S = f(3) – f(-1) = (\ln 2 + 2018) – (\ln 2 + 2017) = 1.$$

Bài học quan trọng: Khi hàm số xác định trên nhiều khoảng rời nhau, hằng số $C$ ở mỗi khoảng có thể khác nhau. Đừng tự động dùng một hằng số $C$ duy nhất!

Dạng 7: Ứng dụng nguyên hàm vào bài toán thực tế

Phương pháp giải:

Trong các bài toán thực tế về chuyển động hoặc tăng trưởng:

• Vận tốc là nguyên hàm của gia tốc: $v(t) = \int a(t) , dt$.
• Quãng đường là nguyên hàm của vận tốc: $s(t) = \int v(t) , dt$.
• Nhìn chung, nếu biết đạo hàm $F'(x)$ và một giá trị ban đầu $F(x_0)$, ta có thể tìm được $F(x)$ nhờ nguyên hàm và điều kiện ban đầu.

Các bước giải:

1. Viết mối quan hệ “đạo hàm” dưới dạng nguyên hàm.
2. Tính họ nguyên hàm (còn hằng số $C$).
3. Thay điều kiện ban đầu (thường là $t = 0$ hoặc một thời điểm cụ thể) để xác định $C$.
4. Thay giá trị cụ thể cần tính để đưa ra kết quả.

Bài 1. Khi được thả từ độ cao $20$ m, một vật rơi với gia tốc không đổi $a = 10 \ m/s^2$. Sau khi rơi được $1$ giây thì vật có tốc độ bao nhiêu và đi được quãng đường bao nhiêu?

Lời giải chi tiết:

Ký hiệu $v(t)$ là tốc độ và $s(t)$ là quãng đường vật đã đi được tại thời điểm $t$ giây kể từ khi bắt đầu rơi.

Bước 1: Tìm $v(t)$.

Vì $a(t) = v'(t)$ nên $v(t)$ là nguyên hàm của $a(t) = 10$: $$v(t) = \int 10 , dt = 10t + C.$$

Tại thời điểm bắt đầu rơi, vận tốc ban đầu bằng $0$: $v(0) = 0 \Rightarrow C = 0$.

Vậy $v(t) = 10t \ (m/s)$.

Bước 2: Tìm $s(t)$.

Vì $v(t) = s'(t)$ nên $s(t)$ là nguyên hàm của $v(t) = 10t$: $$s(t) = \int 10t , dt = 5t^2 + C.$$

Khi bắt đầu rơi, vật chưa di chuyển: $s(0) = 0 \Rightarrow C = 0$.

Vậy $s(t) = 5t^2 \ (m)$.

Bước 3: Tính tại $t = 1$ giây:

• Vận tốc: $v(1) = 10 \ m/s$.
• Quãng đường: $s(1) = 5 \cdot 1^2 = 5 \ m$.

Kết luận: Sau $1$ giây, vật có tốc độ $10 \ m/s$ và đã đi được quãng đường $5$ m.

Lưu ý: Vật rơi từ độ cao $20$ m nên khi $s(t) = 20$, tức là $5t^2 = 20 \Leftrightarrow t = 2$ s. Vậy bài này chỉ có nghĩa khi $0 \leq t \leq 2$.

Bài 2. Ký hiệu $h(x)$ là chiều cao (tính theo mét) của một cây sau khi trồng $x$ năm. Biết rằng sau năm đầu tiên cây cao $2$ m. Trong $10$ năm tiếp theo, cây phát triển với tốc độ $h'(x) = \dfrac{1}{x}$ (m/năm).

a) Xác định chiều cao của cây sau $x$ năm (với $1 \leq x \leq 11$).

b) Sau bao nhiêu năm cây cao $3$ m?

Lời giải chi tiết:

a) Tìm $h(x)$.

Vì $h'(x) = \dfrac{1}{x}$ nên $h(x)$ là nguyên hàm của $\dfrac{1}{x}$: $$h(x) = \int \dfrac{1}{x} , dx = \ln x + C \ (\text{với } 1 \leq x \leq 11, \text{ do đó } x > 0).$$

Dùng điều kiện $h(1) = 2$: $$h(1) = \ln 1 + C = 0 + C = 2 \Rightarrow C = 2.$$

Vậy $h(x) = \ln x + 2$ (với $1 \leq x \leq 11$).

b) Tìm $x$ để $h(x) = 3$: $$\ln x + 2 = 3 \Leftrightarrow \ln x = 1 \Leftrightarrow x = e \approx 2{,}72.$$

Kết luận: Sau khoảng $2{,}72$ năm (khoảng $2$ năm $8$ tháng rưỡi) thì cây cao $3$ m.

Bài 3. Một chiếc xe đang chuyển động với tốc độ $v_0 = 10 \ m/s$ thì tăng tốc với gia tốc không đổi $a = 2 \ m/s^2$. Tính quãng đường xe đó đi được trong $3$ giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.

Lời giải chi tiết:

Ký hiệu $v(t)$ là tốc độ và $s(t)$ là quãng đường xe đi được sau $t$ giây kể từ khi tăng tốc.

Bước 1: Tìm $v(t)$.

Vì $a(t) = v'(t) = 2$ nên: $$v(t) = \int 2 , dt = 2t + C.$$

Vận tốc ban đầu $v(0) = 10$: $0 + C = 10 \Rightarrow C = 10$.

Vậy $v(t) = 2t + 10 \ (m/s)$.

Bước 2: Tìm $s(t)$. $$s(t) = \int (2t + 10) , dt = t^2 + 10t + C.$$

Tại $t = 0$, xe chưa di chuyển (kể từ thời điểm tăng tốc): $s(0) = 0 \Rightarrow C = 0$.

Vậy $s(t) = t^2 + 10t \ (m)$.

Bước 3: Quãng đường đi được trong $3$ giây: $$s(3) = 3^2 + 10 \cdot 3 = 9 + 30 = 39 \ (m).$$

Kết luận: Trong $3$ giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc, xe đi được $39$ mét.

Sai lầm thường gặp

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh