Lý thuyết trọng tâm

1. Phương trình mặt cầu

1.1. Khái niệm mặt cầu

Mặt cầu tâm $I$ bán kính $R$ (với $R > 0$) là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách $I$ một khoảng bằng $R$.

Với một điểm $M$ bất kỳ trong không gian:

• $M$ nằm trên mặt cầu $\Leftrightarrow IM = R$.
• $M$ nằm trong mặt cầu $\Leftrightarrow IM < R$.
• $M$ nằm ngoài mặt cầu $\Leftrightarrow IM > R$.

Đường kính của mặt cầu là đoạn thẳng nối hai điểm nằm trên mặt cầu sao cho đoạn đó đi qua tâm. Mỗi đường kính có trung điểm là tâm và độ dài bằng $2R$.

1.2. Phương trình chính tắc của mặt cầu

Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $(S)$ tâm $I(a; b; c)$ bán kính $R$ có phương trình:

$$\boxed{(S): \ (x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = R^2}$$

Chú ý về vị trí điểm đối với mặt cầu:

• Điểm $M(x; y; z)$ nằm trong $(S)$ nếu $(x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 < R^2$.
• Điểm $M(x; y; z)$ nằm ngoài $(S)$ nếu $(x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 > R^2$.

Cách nhớ nhanh: Nhìn vào phương trình, các giá trị $a, b, c$ (cùng dấu với các số trong ngoặc nhưng đổi dấu) chính là tọa độ tâm. Vế phải là bình phương bán kính.

1.3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ có phương trình $(x – 2)^2 + (y + 1)^2 + z^2 = 4$.

a) Xác định tâm và bán kính của $(S)$.

b) Hỏi gốc tọa độ $O(0; 0; 0)$ nằm trong, nằm ngoài hay thuộc mặt cầu $(S)$?

Lời giải:

a) Viết lại phương trình dưới dạng chuẩn:

$$(x – 2)^2 + [y – (-1)]^2 + (z – 0)^2 = 2^2$$

Vậy mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2; -1; 0)$ và bán kính $R = 2$.

b) Tính $OI^2$:

$$OI^2 = (0 – 2)^2 + (0 – (-1))^2 + (0 – 0)^2 = 4 + 1 + 0 = 5$$

So sánh: $OI^2 = 5 > 4 = R^2$, nên gốc tọa độ $O$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$.

Ví dụ 2. Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu $(S)$ trong mỗi trường hợp sau:

a) Tâm $I(2; -1; 3)$, bán kính $R = \dfrac{5}{2}$.

b) Đường kính $AB$, với $A(0; 2; -1)$ và $B(4; 0; 3)$.

Lời giải:

a) Áp dụng công thức, mặt cầu $(S)$ có phương trình:

$$(x – 2)^2 + (y + 1)^2 + (z – 3)^2 = \left(\dfrac{5}{2}\right)^2$$

hay: $(S): (x – 2)^2 + (y + 1)^2 + (z – 3)^2 = \dfrac{25}{4}$.

b) Tâm $J$ của mặt cầu là trung điểm đoạn $AB$:

$$J\left(\dfrac{0 + 4}{2}; \ \dfrac{2 + 0}{2}; \ \dfrac{-1 + 3}{2}\right) = J(2; 1; 1)$$

Bán kính $R$:

$$R = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{1}{2}\sqrt{(4 – 0)^2 + (0 – 2)^2 + (3 – (-1))^2} = \dfrac{1}{2}\sqrt{16 + 4 + 16} = \dfrac{\sqrt{36}}{2} = 3$$

Vậy: $(S): (x – 2)^2 + (y – 1)^2 + (z – 1)^2 = 9$.

1.4. Phương trình dạng khai triển

Khi khai triển phương trình chính tắc $(x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = R^2$, ta được:

$$x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz + (a^2 + b^2 + c^2 – R^2) = 0$$

Đặt $d = a^2 + b^2 + c^2 – R^2$, ta có dạng khai triển:

$$\boxed{x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0}$$

Điều kiện & Công thức ngược: Phương trình $x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0$ là phương trình của một mặt cầu khi và chỉ khi:

$$a^2 + b^2 + c^2 – d > 0$$

Khi đó mặt cầu có tâm $I(a; b; c)$ và bán kính $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 – d}$.

⚠ Ba điều kiện để nhận biết PT mặt cầu dạng khai triển:

1. Hệ số của $x^2, y^2, z^2$ phải bằng nhau (thường bằng $1$).
2. Không có các tích chéo $xy, yz, xz$.
3. $a^2 + b^2 + c^2 – d > 0$ (để $R$ là số thực dương).

1.5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 3. Trong không gian $Oxyz$, cho tập hợp $(S)$ gồm các điểm $M(x; y; z)$ thỏa mãn phương trình:

$$x^2 + y^2 + z^2 – 4x + 6y – 2z – 11 = 0$$

Chứng minh $(S)$ là một mặt cầu. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

Lời giải:

Ghép các hạng tử để đưa về dạng chuẩn (phương pháp “bình phương hóa”):

• Nhóm $x$: $x^2 – 4x = (x^2 – 4x + 4) – 4 = (x – 2)^2 – 4$.
• Nhóm $y$: $y^2 + 6y = (y^2 + 6y + 9) – 9 = (y + 3)^2 – 9$.
• Nhóm $z$: $z^2 – 2z = (z^2 – 2z + 1) – 1 = (z – 1)^2 – 1$.

Thay vào phương trình gốc:

$$[(x – 2)^2 – 4] + [(y + 3)^2 – 9] + [(z – 1)^2 – 1] – 11 = 0$$

$$\Leftrightarrow (x – 2)^2 + (y + 3)^2 + (z – 1)^2 = 25 = 5^2$$

Vậy $(S)$ là mặt cầu tâm $I(2; -3; 1)$ và bán kính $R = 5$.

Ví dụ 4. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của một mặt cầu? Xác định tâm và bán kính nếu có.

a) $x^2 + y^2 + z^2 – 2x + 4y – 6z + 20 = 0$

b) $x^2 + y^2 + z^2 + 2x – 4y + 6z – 2 = 0$

c) $x^2 + y^2 + z^2 + 3xy – 2x + y + 5 = 0$

Lời giải:

a) Đối chiếu với dạng khai triển tổng quát, ta có $a = 1, \ b = -2, \ c = 3, \ d = 20$.

Xét: $a^2 + b^2 + c^2 – d = 1 + 4 + 9 – 20 = -6 < 0$.

Vậy phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu.

b) Tương tự, ta có $a = -1, \ b = 2, \ c = -3, \ d = -2$.

Xét: $a^2 + b^2 + c^2 – d = 1 + 4 + 9 – (-2) = 16 > 0$.

Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm $I(-1; 2; -3)$ và bán kính $R = \sqrt{16} = 4$.

c) Phương trình có chứa hạng tử $3xy$ (tích chéo giữa $x$ và $y$), nên không phải là phương trình mặt cầu (vi phạm điều kiện thứ hai).

2. Một số ứng dụng của phương trình mặt cầu trong thực tiễn

2.1. Mô hình Trái Đất trong hệ trục $Oxyz$

Trong mô hình toán học, bề mặt Trái Đất là một mặt cầu có bán kính xấp xỉ $6371$ km.

• Kinh tuyến là các nửa đường tròn có đường kính là trục Trái Đất (trục nối cực Bắc $N$ và cực Nam $S$).
• Kinh tuyến gốc đi qua Đài thiên văn Greenwich (London).
• Kinh độ của một điểm $P$ là số đo góc nhị diện tạo bởi kinh tuyến gốc và kinh tuyến đi qua $P$ (giá trị từ $0°$ đến $180°$, kèm ký hiệu $E$ – Đông, $W$ – Tây).
• Vĩ độ của $P$ là số đo góc giữa mặt phẳng xích đạo và đường thẳng nối $P$ với tâm Trái Đất (giá trị từ $0°$ đến $90°$, kèm ký hiệu $N$ – Bắc, $S$ – Nam).

Thiết lập hệ trục $Oxyz$: Gốc $O$ đặt tại tâm Trái Đất, trục $Ox$ đi qua giao điểm của kinh tuyến gốc và xích đạo, trục $Oz$ hướng về cực Bắc $N$, trục $Oy$ cắt xích đạo tại một điểm thuộc bán cầu Đông. Lấy $1$ đơn vị dài tương ứng $6371$ km, khi đó bề mặt Trái Đất có phương trình:

$$x^2 + y^2 + z^2 = 1$$

2.2. Tọa độ điểm trên bề mặt Trái Đất

Điểm $P$ có vĩ độ, kinh độ tương ứng là $\alpha°N, \ \beta°E$ (với $0 < \alpha < 90$, $0 < \beta < 180$) có tọa độ:

$$P(\cos\alpha° \cdot \cos\beta°; \ \cos\alpha° \cdot \sin\beta°; \ \sin\alpha°)$$

Với điểm $Q$ ở bán cầu Tây ($\alpha°N, \beta°W$), tọa độ là:

$$Q(\cos\alpha° \cdot \cos\beta°; \ -\cos\alpha° \cdot \sin\beta°; \ \sin\alpha°)$$

Khoảng cách giữa hai vị trí $P, Q$ trên mặt đất là độ dài cung nhỏ $PQ$ của đường tròn có tâm $O$ và đi qua $P, Q$. Cách tính:

• Bước 1: Tính $\cos\widehat{POQ} = \vec{OP} \cdot \vec{OQ}$ (vì $|\vec{OP}| = |\vec{OQ}| = 1$).
• Bước 2: Tìm góc $\widehat{POQ}$ (tính theo độ).
• Bước 3: Độ dài cung trên mặt cầu đơn vị: $\ell = \dfrac{\widehat{POQ}}{360°} \cdot 2\pi$.
• Bước 4: Khoảng cách thực tế: $\ell \times 6371$ (km).

2.3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 5. Tính khoảng cách trên mặt đất từ vị trí $P: 30°N, 0°E$ (giao của kinh tuyến gốc và vĩ tuyến $30°$ Bắc) đến vị trí $Q: 30°N, 60°E$.

Quy ước: kết quả phép tính được làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư.

Lời giải:

Bước 1: Xác định tọa độ $P, Q$.

$$P(\cos 30° \cdot \cos 0°; \ \cos 30° \cdot \sin 0°; \ \sin 30°) = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}; \ 0; \ \dfrac{1}{2}\right)$$

$$Q(\cos 30° \cdot \cos 60°; \ \cos 30° \cdot \sin 60°; \ \sin 30°) = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}; \ \dfrac{3}{4}; \ \dfrac{1}{2}\right)$$

Bước 2: Tính $\vec{OP} \cdot \vec{OQ}$.

$$\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{4} + 0 \cdot \dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{8} + 0 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{8}$$

Bước 3: Tìm góc $\widehat{POQ}$.

Vì $P, Q$ thuộc mặt đất nên $|\vec{OP}| = |\vec{OQ}| = 1$. Do đó:

$$\cos\widehat{POQ} = \dfrac{\vec{OP} \cdot \vec{OQ}}{|\vec{OP}| \cdot |\vec{OQ}|} = \dfrac{5}{8} = 0{,}6250$$

Suy ra $\widehat{POQ} \approx 51{,}3178°$.

Bước 4: Tính độ dài cung và khoảng cách thực tế.

Độ dài cung $PQ$ (trên mặt cầu đơn vị):

$$\ell \approx \dfrac{51{,}3178}{360} \cdot 2\pi \approx 0{,}8957$$

Vì $1$ đơn vị dài tương ứng $6371$ km trên thực tế, khoảng cách trên mặt đất giữa $P$ và $Q$ xấp xỉ:

$$0{,}8957 \times 6371 \approx 5706{,}2820 \text{ (km)}$$

Các dạng bài tập trọng tâm

Dạng 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu

Phương pháp giải:

① Phương trình dạng chính tắc $(x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = R^2$: tâm $I(a; b; c)$, bán kính $R$.

② Phương trình dạng khai triển $x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0$:

• Điều kiện là phương trình mặt cầu: $a^2 + b^2 + c^2 – d > 0$.
• Khi đó: tâm $I(a; b; c)$, bán kính $R = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2 – d}$.

Mẹo đọc hệ số: $2a$ là hệ số của $x$ đổi dấu rồi chia $2$. Tương tự cho $b, c$.

Bài 1. Trong không gian $Oxyz$, tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(x – 1)^2 + (y + 2)^2 + (z – 4)^2 = 20$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: So sánh với dạng chuẩn.

Viết lại phương trình:

$$(x – 1)^2 + [y – (-2)]^2 + (z – 4)^2 = (\sqrt{20})^2$$

Đối chiếu với dạng $(x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = R^2$, ta có $a = 1, \ b = -2, \ c = 4$ và $R^2 = 20$.

Bước 2: Kết luận.

Tâm $I(1; -2; 4)$ và bán kính $R = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

Bài 2. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 – 8x + 2y + 1 = 0$. Tìm tọa độ tâm và bán kính của $(S)$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Đưa về dạng chuẩn bằng cách ghép bình phương.

• Nhóm $x$: $x^2 – 8x = (x^2 – 8x + 16) – 16 = (x – 4)^2 – 16$.
• Nhóm $y$: $y^2 + 2y = (y^2 + 2y + 1) – 1 = (y + 1)^2 – 1$.
• Nhóm $z$: giữ nguyên $z^2$.

Thay vào phương trình gốc:

$$[(x – 4)^2 – 16] + [(y + 1)^2 – 1] + z^2 + 1 = 0$$

$$\Leftrightarrow (x – 4)^2 + (y + 1)^2 + z^2 = 16$$

Bước 2: Kết luận.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(4; -1; 0)$ và bán kính $R = \sqrt{16} = 4$.

Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu

Phương pháp giải:

① Bài toán 1: Biết tâm $I(a; b; c)$ và bán kính $R$.

$$(S): (x – a)^2 + (y – b)^2 + (z – c)^2 = R^2$$

② Bài toán 2: Biết tâm $I$ và mặt cầu đi qua điểm $A$. Bán kính $R = IA$, sau đó áp dụng Bài toán 1.

③ Bài toán 3: Biết đường kính $AB$ (hai điểm $A, B$ cho trước). Tâm $I$ là trung điểm của $AB$, bán kính $R = \dfrac{AB}{2}$.

④ Bài toán nhận biết mặt cầu: Cho phương trình dạng khai triển có tham số $m$, tìm điều kiện của $m$ để là PT mặt cầu: giải bất phương trình $a^2 + b^2 + c^2 – d > 0$ theo $m$.

Bài 1. Trong không gian $Oxyz$, tìm tất cả giá trị của $m$ để phương trình $x^2 + y^2 + z^2 – 2x – 2y – 4z + m = 0$ là phương trình của một mặt cầu.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Xác định các hệ số $a, b, c, d$.

So sánh với dạng $x^2 + y^2 + z^2 – 2ax – 2by – 2cz + d = 0$:

$$-2a = -2 \Rightarrow a = 1; \quad -2b = -2 \Rightarrow b = 1; \quad -2c = -4 \Rightarrow c = 2; \quad d = m$$

Bước 2: Áp dụng điều kiện $a^2 + b^2 + c^2 – d > 0$.

$$1^2 + 1^2 + 2^2 – m > 0 \Leftrightarrow 6 – m > 0 \Leftrightarrow m < 6$$

Vậy $m < 6$ thì phương trình đã cho là phương trình của một mặt cầu.

Bài 2. Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu có tâm $I(2; 1; -2)$ bán kính $R = 2$.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng công thức PT chính tắc với $a = 2, \ b = 1, \ c = -2, \ R = 2$:

$$(x – 2)^2 + (y – 1)^2 + (z – (-2))^2 = 2^2$$

$$\Leftrightarrow (x – 2)^2 + (y – 1)^2 + (z + 2)^2 = 4$$

Vậy phương trình mặt cầu là $(x – 2)^2 + (y – 1)^2 + (z + 2)^2 = 4$.

Dạng 3: Mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng hoặc mặt phẳng

Phương pháp giải:

① Bài toán 1: Tâm $I \in (P)$ và mặt cầu đi qua 3 điểm $A, B, C$.

• Gọi $I(a; b; c)$ là tâm mặt cầu.
• $I \in (P)$ → thay tọa độ $I$ vào PT của $(P)$, thu được $1$ phương trình.
• Mặt cầu đi qua $A, B, C$ → $IA = IB = IC$ → $\begin{cases} IA^2 = IB^2 \\ IA^2 = IC^2 \end{cases}$, thu được $2$ phương trình nữa.
• Giải hệ $3$ phương trình tìm $a, b, c$. Bán kính $R = IA$.

② Bài toán 2: Tâm $I \in d$ và mặt cầu đi qua 2 điểm $A, B$.

• Viết $I$ dưới dạng tham số theo $t$ dựa trên PT của $d$.
• Áp dụng $IA = IB \Leftrightarrow IA^2 = IB^2$ để tìm $t$.
• Từ $t$ suy ra tọa độ $I$. Bán kính $R = IA$.

⚠ Lưu ý: Nếu đường thẳng/mặt phẳng là trục tọa độ hoặc mặt phẳng tọa độ, dùng trực tiếp dạng tọa độ đặc biệt: $I(x; 0; 0)$ nếu thuộc $Ox$; $I(a; b; 0)$ nếu thuộc $(Oxy)$; …

Bài 1. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S)$ đi qua hai điểm $A(1; 2; 3)$, $B(2; 0; -2)$ và có tâm nằm trên trục $Ox$. Viết phương trình mặt cầu $(S)$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Đặt tọa độ tâm $I$.

Vì $I \in Ox$ nên $I$ có dạng $I(x; 0; 0)$.

Bước 2: Áp dụng $IA = IB$ để tìm $x$.

Tính:

$$IA^2 = (x – 1)^2 + (0 – 2)^2 + (0 – 3)^2 = (x – 1)^2 + 4 + 9 = (x – 1)^2 + 13$$

$$IB^2 = (x – 2)^2 + (0 – 0)^2 + (0 – (-2))^2 = (x – 2)^2 + 0 + 4 = (x – 2)^2 + 4$$

Đặt $IA^2 = IB^2$:

$$(x – 1)^2 + 13 = (x – 2)^2 + 4$$

$$\Leftrightarrow x^2 – 2x + 1 + 13 = x^2 – 4x + 4 + 4$$

$$\Leftrightarrow -2x + 14 = -4x + 8 \Leftrightarrow 2x = -6 \Leftrightarrow x = -3$$

Vậy $I(-3; 0; 0)$.

Bước 3: Tính bán kính và viết PT.

$$R^2 = IA^2 = (-3 – 1)^2 + 13 = 16 + 13 = 29$$

Phương trình mặt cầu: $(x + 3)^2 + y^2 + z^2 = 29$.

Bài 2. Trong không gian $Oxyz$, tìm bán kính mặt cầu đi qua hai điểm $A(3; -1; 2)$, $B(1; 1; -2)$ và có tâm $I$ thuộc đường thẳng $D: \dfrac{x}{2} = \dfrac{y – 1}{1} = \dfrac{z}{-1}$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Viết tâm $I$ dưới dạng tham số.

Từ PT của $D$, đặt $\dfrac{x}{2} = \dfrac{y – 1}{1} = \dfrac{z}{-1} = t$, ta có $I(2t; \ 1 + t; \ -t)$.

Bước 2: Áp dụng điều kiện $IA = IB$.

Tính:

$$IA^2 = (3 – 2t)^2 + (-1 – (1 + t))^2 + (2 – (-t))^2$$

$$= (3 – 2t)^2 + (-2 – t)^2 + (2 + t)^2$$

Khai triển từng hạng tử:

• $(3 – 2t)^2 = 9 – 12t + 4t^2$
• $(-2 – t)^2 = (2 + t)^2 = 4 + 4t + t^2$
• $(2 + t)^2 = 4 + 4t + t^2$

Cộng lại: $IA^2 = 4t^2 + t^2 + t^2 + (-12t + 4t + 4t) + (9 + 4 + 4) = 6t^2 – 4t + 17$.

Tương tự:

$$IB^2 = (1 – 2t)^2 + (1 – (1 + t))^2 + (-2 – (-t))^2 = (1 – 2t)^2 + (-t)^2 + (-2 + t)^2$$

Khai triển:

• $(1 – 2t)^2 = 1 – 4t + 4t^2$
• $(-t)^2 = t^2$
• $(-2 + t)^2 = (t – 2)^2 = t^2 – 4t + 4$

Cộng: $IB^2 = 4t^2 + t^2 + t^2 + (-4t – 4t) + (1 + 4) = 6t^2 – 8t + 5$.

Đặt $IA^2 = IB^2$:

$$6t^2 – 4t + 17 = 6t^2 – 8t + 5 \Leftrightarrow 4t = -12 \Leftrightarrow t = -3$$

Bước 3: Tính tọa độ $I$ và bán kính.

Với $t = -3$: $I(2 \cdot (-3); \ 1 + (-3); \ -(-3)) = I(-6; -2; 3)$.

Tính bán kính:

$$R = IA = \sqrt{(3 – (-6))^2 + (-1 – (-2))^2 + (2 – 3)^2} = \sqrt{9^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{81 + 1 + 1} = \sqrt{83}$$

Vậy bán kính mặt cầu là $R = \sqrt{83}$.

Kiểm tra: $IB = \sqrt{(1-(-6))^2 + (1-(-2))^2 + (-2-3)^2} = \sqrt{49 + 9 + 25} = \sqrt{83}$. ✓

Dạng 4: Mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng hoặc mặt phẳng

Phương pháp giải:

① Bài toán 1: Mặt cầu tâm $I(a; b; c)$ tiếp xúc với mặt phẳng $(P)$. Khi đó bán kính:

$$R = d(I, (P))$$

• Với $(P): Ax + By + Cz + D = 0$: $R = \dfrac{|Aa + Bb + Cc + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.
• Với $(Oxy)$: $R = |c|$. Với $(Oxz)$: $R = |b|$. Với $(Oyz)$: $R = |a|$.

② Bài toán 2: Mặt cầu tâm $I$ tiếp xúc với đường thẳng $D$. Bán kính: $R = d(I, D)$.

③ Trường hợp tiếp xúc tại điểm cụ thể $M$: Ta có $\vec{IM}$ phải vuông góc với mặt phẳng/đường thẳng tiếp xúc. Đồng thời $M$ thuộc mặt cầu, nên $R = IM$.

Bài 1. Trong không gian $Oxyz$, viết phương trình mặt cầu có tâm $I(1; -2; 1)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(Oxy)$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tính bán kính.

Vì mặt cầu $(S)$ tiếp xúc với $(Oxy)$ nên:

$$R = d(I, (Oxy)) = |z_I| = |1| = 1$$

Bước 2: Viết PT mặt cầu.

Mặt cầu có tâm $I(1; -2; 1)$ và bán kính $R = 1$:

$$(x – 1)^2 + (y + 2)^2 + (z – 1)^2 = 1$$

Bài 2. Trong không gian $Oxyz$, tìm bán kính mặt cầu đi qua điểm $B(1; 3; 0)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(Oyz)$ tại điểm $M(0; 3; -2)$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Phân tích điều kiện tiếp xúc tại điểm $M$.

Vì $(S)$ tiếp xúc với $(Oyz)$ tại $M$, $\vec{IM}$ phải vuông góc với $(Oyz)$, tức $\vec{IM}$ cùng phương với vectơ pháp tuyến của $(Oyz)$ là $\vec{i} = (1; 0; 0)$.

Điều đó có nghĩa là $I$ và $M$ có cùng tung độ và cùng cao độ (chỉ khác hoành độ). Vậy tâm $I$ có dạng $I(a; 3; -2)$.

Khi đó bán kính: $R = IM = |a – 0| = |a|$.

Bước 2: Áp dụng điều kiện mặt cầu đi qua $B$.

$IB = R = |a|$, nên $IB^2 = a^2$:

$$(a – 1)^2 + (3 – 3)^2 + (-2 – 0)^2 = a^2$$

$$\Leftrightarrow (a – 1)^2 + 0 + 4 = a^2$$

$$\Leftrightarrow a^2 – 2a + 1 + 4 = a^2$$

$$\Leftrightarrow -2a + 5 = 0 \Leftrightarrow a = \dfrac{5}{2}$$

Bước 3: Kết luận.

Bán kính $R = |a| = \dfrac{5}{2}$.

Dạng 5: Mặt cầu cắt đường thẳng hoặc mặt phẳng

Phương pháp giải:

① Bài toán 1: Mặt cầu tâm $I$ bán kính $R$ cắt mặt phẳng $(P)$ theo giao tuyến là đường tròn tâm $I’$ bán kính $r$. Gọi $d = d(I, (P))$, khi đó:

$$\boxed{R^2 = d^2 + r^2}$$

với $I’$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $(P)$.

② Bài toán 2: Mặt cầu tâm $I$ bán kính $R$ cắt đường thẳng $D$ tại hai điểm $A, B$. Gọi $H$ là trung điểm $AB$, $d = d(I, D)$, khi đó:

$$\boxed{R^2 = d^2 + \dfrac{AB^2}{4}}$$

(vì $AH = \dfrac{AB}{2}$ và tam giác $IHA$ vuông tại $H$).

Bài 1. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S): (x – 2)^2 + (y + 3)^2 + (z – 4)^2 = 25$. Mặt phẳng $(Oxy)$ cắt $(S)$ theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng bao nhiêu?

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Xác định tâm và bán kính của $(S)$.

$(S)$ có tâm $I(2; -3; 4)$ và bán kính $R = \sqrt{25} = 5$.

Bước 2: Tính khoảng cách từ $I$ đến $(Oxy)$.

$(Oxy)$: $z = 0$. Khoảng cách:

$$d = d(I, (Oxy)) = |z_I| = |4| = 4$$

Bước 3: Áp dụng công thức tính bán kính đường tròn giao tuyến.

$$r^2 = R^2 – d^2 = 25 – 16 = 9 \Rightarrow r = 3$$

Vậy bán kính đường tròn giao tuyến là $r = 3$.

Bài 2. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $I(2; 4; 1)$ và mặt phẳng $(P): x + y + z – 4 = 0$. Tìm phương trình mặt cầu $(S)$ tâm $I$ sao cho $(S)$ cắt $(P)$ theo đường tròn có đường kính bằng 2.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Tính $d(I, (P))$.

$$d(I, (P)) = \dfrac{|2 + 4 + 1 – 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}} = \dfrac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$$

Bước 2: Tính bán kính đường tròn giao tuyến.

Đường kính $= 2$ nên bán kính $r = 1$.

Bước 3: Áp dụng công thức $R^2 = d^2 + r^2$.

$$R^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$$

Bước 4: Viết PT mặt cầu.

Mặt cầu $(S)$ tâm $I(2; 4; 1)$, bán kính $R = 2$:

$$(S): (x – 2)^2 + (y – 4)^2 + (z – 1)^2 = 4$$

Bài 3. Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A(-2; -4; 5)$. Viết phương trình mặt cầu có tâm là $A$ và cắt trục $Oz$ tại hai điểm $B, C$ sao cho tam giác $ABC$ vuông.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Phân tích hình học.

Vì $B, C$ thuộc mặt cầu tâm $A$ nên $AB = AC = R$, tam giác $ABC$ cân tại $A$. Kết hợp với điều kiện “vuông”, suy ra tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$.

Gọi $H$ là trung điểm $BC$. Vì tam giác cân tại $A$ nên $AH \perp BC$. Mặt khác $B, C$ thuộc $Oz$ nên $BC$ thuộc $Oz$, do đó $H$ chính là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $Oz$.

Bước 2: Tính $AH$.

Hình chiếu của $A(-2; -4; 5)$ lên $Oz$ là $H(0; 0; 5)$ (giữ lại cao độ, các tọa độ khác bằng $0$).

$$AH = d(A, Oz) = \sqrt{x_A^2 + y_A^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$

Bước 3: Tính bán kính $R$.

Trong tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$, đường cao từ $A$ đến $BC$ (chính là $AH$) cũng là trung tuyến, và:

$$AH = \dfrac{BC}{2}$$

Đồng thời theo định lí Pytago trong tam giác vuông $ABH$ (vuông tại $H$):

$$AB^2 = AH^2 + BH^2 = AH^2 + AH^2 = 2 \cdot AH^2$$

Vậy $R = AB = AH \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{5} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{10}$.

$$R^2 = 40$$

Bước 4: Viết PT mặt cầu.

Mặt cầu tâm $A(-2; -4; 5)$, $R^2 = 40$:

$$(x + 2)^2 + (y + 4)^2 + (z – 5)^2 = 40$$

Dạng 6: Vị trí tương đối liên quan mặt cầu

Phương pháp giải:

① Vị trí tương đối của điểm $M$ với mặt cầu $(S)$ tâm $I$, bán kính $R$:

• $IM > R$ → $M$ nằm ngoài $(S)$.
• $IM = R$ → $M$ nằm trên $(S)$.
• $IM < R$ → $M$ nằm trong $(S)$.

② Vị trí tương đối của mặt phẳng $(P)$ với mặt cầu $(S)$ tâm $I$, bán kính $R$: so sánh $d(I, (P))$ với $R$.

• $d(I, (P)) > R$ → $(P)$ không cắt $(S)$.
• $d(I, (P)) = R$ → $(P)$ tiếp xúc $(S)$.
• $d(I, (P)) < R$ → $(P)$ cắt $(S)$ theo một đường tròn.

③ Vị trí tương đối của đường thẳng $d$ với mặt cầu $(S)$ tâm $I$, bán kính $R$: so sánh $d(I, d)$ với $R$.

• $d(I, d) > R$ → $d$ không cắt $(S)$.
• $d(I, d) = R$ → $d$ tiếp xúc $(S)$.
• $d(I, d) < R$ → $d$ cắt $(S)$ tại 2 điểm.

Bài 1. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 – 4x – 2y + 2z – 3 = 0$ và điểm $M(4; 2; -2)$. Xét vị trí của $M$ so với $(S)$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Đưa $(S)$ về dạng chuẩn.

$$x^2 + y^2 + z^2 – 4x – 2y + 2z – 3 = 0$$

$$\Leftrightarrow (x – 2)^2 + (y – 1)^2 + (z + 1)^2 = 4 + 1 + 1 + 3 = 9$$

Vậy $(S)$ có tâm $I(2; 1; -1)$ và bán kính $R = 3$.

Bước 2: Tính $IM$.

$$\vec{IM} = (4 – 2; \ 2 – 1; \ -2 – (-1)) = (2; 1; -1)$$

$$IM = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{6}$$

Bước 3: So sánh và kết luận.

Vì $\sqrt{6} \approx 2{,}449 < 3 = R$ nên điểm $M$ nằm trong mặt cầu $(S)$.

Bài 2. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $(S): x^2 + y^2 + z^2 – 2x – 2y + 2z – 1 = 0$ và mặt phẳng $(P): 2x + y – 2z + 1 = 0$. Xét vị trí tương đối của $(P)$ so với $(S)$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Xác định tâm và bán kính của $(S)$.

$$(S): (x – 1)^2 + (y – 1)^2 + (z + 1)^2 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4$$

Vậy $(S)$ có tâm $I(1; 1; -1)$ và bán kính $R = \sqrt{4} = 2$.

Bước 2: Tính $d(I, (P))$.

$$d(I, (P)) = \dfrac{|2 \cdot 1 + 1 \cdot 1 – 2 \cdot (-1) + 1|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}} = \dfrac{|2 + 1 + 2 + 1|}{\sqrt{9}} = \dfrac{6}{3} = 2$$

Bước 3: So sánh và kết luận.

Vì $d(I, (P)) = 2 = R$ nên mặt phẳng $(P)$ tiếp xúc với mặt cầu $(S)$.

Dạng 7: Bài toán thực tế

Phương pháp giải:

Các bài toán thực tế thường gặp về mặt cầu:

• Vùng phủ sóng điện thoại / radar → mặt cầu với tâm là trạm phát, bán kính là phạm vi phủ sóng.
• Xác định vị trí vật thể trong không gian dựa vào mặt cầu (công nghệ VAR trong bóng đá, GPS…).

Các bước giải:

• Bước 1: Mô hình hóa tình huống bằng hệ trục $Oxyz$ với đơn vị phù hợp.
• Bước 2: Viết phương trình mặt cầu tương ứng.
• Bước 3: Áp dụng các công thức về vị trí điểm, khoảng cách, … để trả lời câu hỏi thực tế.

Bài 1. Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị của các trục tọa độ là kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động có đầu thu phát được đặt tại điểm $I(6; -2; 4)$.

(1) Cho biết bán kính phủ sóng của trạm là $3$ km. Viết phương trình mặt cầu $(S)$ biểu diễn ranh giới của vùng phủ sóng.

(2) Một người sử dụng điện thoại tại điểm $M(5; 2; -2)$. Hỏi điểm $M$ nằm trong hay nằm ngoài $(S)$, và người đó có thể sử dụng dịch vụ của trạm hay không?

(3) Câu hỏi tương tự với người sử dụng tại điểm $N(6; 0; 3)$.

Lời giải chi tiết:

(1) Viết phương trình mặt cầu $(S)$.

$(S)$ có tâm $I(6; -2; 4)$ và bán kính $R = 3$, nên:

$$(S): (x – 6)^2 + (y + 2)^2 + (z – 4)^2 = 9$$

(2) Xét vị trí của $M(5; 2; -2)$.

Tính khoảng cách từ $M$ đến tâm $I$:

$$\vec{IM} = (5 – 6; \ 2 – (-2); \ -2 – 4) = (-1; 4; -6)$$

$$IM = \sqrt{(-1)^2 + 4^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 16 + 36} = \sqrt{53} \text{ (km)}$$

Vì $\sqrt{53} \approx 7{,}28$ km $> 3$ km $= R$, nên điểm $M$ nằm ngoài mặt cầu $(S)$.

Kết luận: Người tại $M$ không thể sử dụng được dịch vụ của trạm.

(3) Xét vị trí của $N(6; 0; 3)$.

$$\vec{IN} = (6 – 6; \ 0 – (-2); \ 3 – 4) = (0; 2; -1)$$

$$IN = \sqrt{0^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5} \text{ (km)}$$

Vì $\sqrt{5} \approx 2{,}24$ km $< 3$ km $= R$, nên điểm $N$ nằm trong mặt cầu $(S)$.

Kết luận: Người tại $N$ có thể sử dụng được dịch vụ của trạm.

Bài 2. Công nghệ hỗ trợ trọng tài VAR (Video Assistant Referee) thiết lập một hệ tọa độ $Oxyz$ để theo dõi vị trí của quả bóng $M$. Cho biết $M$ đang nằm trên mặt sân có phương trình $z = 0$, đồng thời thuộc mặt cầu $(S): (x – 32)^2 + (y – 50)^2 + (z – 8)^2 = 100$ (đơn vị độ dài tính theo mét).

(1) Tìm tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của $(S)$.

(2) Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc $J$ của tâm $I$ trên mặt sân.

(3) Tính khoảng cách từ vị trí $M$ của quả bóng đến điểm $J$.

Lời giải chi tiết:

(1) Xác định tâm và bán kính của $(S)$.

So sánh với dạng chuẩn: $(S)$ có tâm $I(32; 50; 8)$ và bán kính $R = \sqrt{100} = 10$.

(2) Tìm tọa độ $J$.

Mặt sân có phương trình $z = 0$, trùng với mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$. Hình chiếu vuông góc của điểm $I(32; 50; 8)$ lên $(Oxy)$ có được bằng cách giữ nguyên hoành độ và tung độ, đặt cao độ bằng $0$:

$$J(32; 50; 0)$$

(3) Tính khoảng cách $MJ$.

Phân tích hình học: Quả bóng $M$ ở trên sân ($z_M = 0$) và trên mặt cầu. Tam giác $IJM$ có $\vec{IJ}$ vuông góc với mặt sân (vì $J$ là hình chiếu của $I$), mà $M$ nằm trong mặt sân nên $\vec{IJ} \perp \vec{JM}$. Do đó tam giác $IJM$ vuông tại $J$.

Tính $IJ$:

$$\vec{IJ} = (32 – 32; \ 50 – 50; \ 0 – 8) = (0; 0; -8) \Rightarrow IJ = 8 \text{ (m)}$$

Vì $M \in (S)$ nên $IM = R = 10$ m. Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông $IJM$:

$$MJ^2 = IM^2 – IJ^2 = 10^2 – 8^2 = 100 – 64 = 36$$

$$MJ = 6 \text{ (m)}$$

Vậy khoảng cách từ vị trí $M$ của quả bóng đến điểm $J$ là $6$ m.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh