Lý thuyết trọng tâm

1. Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

1.1. Vectơ pháp tuyến

Một vectơ $\vec{n} \neq \vec{0}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ nếu giá của $\vec{n}$ vuông góc với $(\alpha)$.

Chú ý quan trọng:

• Một mặt phẳng được xác định duy nhất khi biết một điểm thuộc mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến của nó. Đây là “cặp đôi” cốt lõi để viết phương trình mặt phẳng.
• Nếu $\vec{n}$ là vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ thì với mọi $k \neq 0$, vectơ $k\vec{n}$ cũng là vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$. Nghĩa là một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến, tất cả chúng đều cùng phương với nhau.

Ví dụ 1. Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

a) $\vec{AA’}$ và $2\vec{BB’}$ đều là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABCD)$.

b) $\vec{BD}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ACC’A’)$.

c) $\vec{A’C’}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(ABCD)$.

Lời giải:

• Khẳng định a) ĐÚNG. Các cạnh bên $AA’$, $BB’$ của hình lập phương đều vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$, nên $\vec{AA’}$ và $2\vec{BB’}$ đều có giá vuông góc với $(ABCD)$, đều là vectơ pháp tuyến của $(ABCD)$.
• Khẳng định b) ĐÚNG. Đường chéo $BD$ của đáy vuông góc với đường chéo $AC$ (tính chất hình vuông) và cũng vuông góc với $AA’$ (vì $AA’ \perp (ABCD)$). Do $BD$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong $(ACC’A’)$ nên $BD \perp (ACC’A’)$. Vậy $\vec{BD}$ là vectơ pháp tuyến của $(ACC’A’)$.
• Khẳng định c) SAI. Đường thẳng $A’C’$ nằm trong mặt phẳng $(A’B’C’D’)$, song song với $(ABCD)$ chứ không vuông góc với nó. Do đó $\vec{A’C’}$ không phải vectơ pháp tuyến của $(ABCD)$.

1.2. Tích có hướng của hai vectơ

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\vec{u} = (a; b; c)$ và $\vec{v} = (a’; b’; c’)$. Khi đó vectơ

$$\vec{n} = (bc’ – b’c; \ ca’ – c’a; \ ab’ – a’b)$$

vuông góc với cả hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$. Vectơ $\vec{n}$ được gọi là tích có hướng của $\vec{u}$ và $\vec{v}$, ký hiệu:

$$[\vec{u}, \vec{v}] = (bc’ – b’c; \ ca’ – c’a; \ ab’ – a’b)$$

Chú ý:

• $[\vec{u}, \vec{v}] = \vec{0}$ khi và chỉ khi $\vec{u}$ và $\vec{v}$ cùng phương.
• Có thể viết gọn bằng định thức cấp hai: với 4 số $x, y, x’, y’$, ta ký hiệu $\begin{vmatrix} x & y \\ x’ & y’ \end{vmatrix} = xy’ – x’y$. Khi đó:

$$[\vec{u}, \vec{v}] = \left(\begin{vmatrix} b & c \\ b’ & c’ \end{vmatrix}; \ \begin{vmatrix} c & a \\ c’ & a’ \end{vmatrix}; \ \begin{vmatrix} a & b \\ a’ & b’ \end{vmatrix}\right)$$

Mẹo nhớ định thức: $\begin{vmatrix} x & y \\ x’ & y’ \end{vmatrix}$ = “tích chéo xuống” trừ “tích chéo lên” = $xy’ – x’y$.

Ví dụ 2. Trong không gian $Oxyz$, cho $\vec{u} = (1; -2; 0)$ và $\vec{v} = (3; 1; -4)$. Tính $[\vec{u}, \vec{v}]$.

Lời giải:

$$[\vec{u}, \vec{v}] = \left(\begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 1 & -4 \end{vmatrix}; \ \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -4 & 3 \end{vmatrix}; \ \begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}\right)$$

Tính từng định thức:

• $\begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} = (-2)(-4) – 0 \cdot 1 = 8$.
• $\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -4 & 3 \end{vmatrix} = 0 \cdot 3 – 1 \cdot (-4) = 4$.
• $\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 – (-2) \cdot 3 = 7$.

Vậy $[\vec{u}, \vec{v}] = (8; 4; 7)$.

1.3. Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng

Trong không gian $Oxyz$, hai vectơ $\vec{u}$, $\vec{v}$ được gọi là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng $(P)$ nếu chúng không cùng phương và có giá nằm trong hoặc song song với $(P)$.

Tính chất then chốt: Nếu $\vec{u}$, $\vec{v}$ là cặp vectơ chỉ phương của $(P)$ thì $[\vec{u}, \vec{v}]$ là một vectơ pháp tuyến của $(P)$.

Đây chính là công cụ để chuyển từ “cặp vectơ chỉ phương” sang “vectơ pháp tuyến” — bước trung gian rất hay dùng khi viết phương trình mặt phẳng.

Ví dụ 3. Trong không gian $Oxyz$, cho các vectơ $\vec{u} = (2; -1; 0)$, $\vec{v} = (1; -1; 2)$. Gọi $(\alpha)$ là một mặt phẳng song song với các giá của $\vec{u}, \vec{v}$. Hãy tìm một vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$.

Lời giải:

Tính tích có hướng: $$\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}] = \left(\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}; \ \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}; \ \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}\right) = (-2; -4; -1) \neq \vec{0}.$$

Vì $\vec{u}, \vec{v}$ không cùng phương (do $[\vec{u}, \vec{v}] \neq \vec{0}$) nên chúng là cặp vectơ chỉ phương của $(\alpha)$. Vậy $\vec{n} = (-2; -4; -1)$ là một vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$.

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

2.1. Định nghĩa

Trong không gian $Oxyz$, mỗi mặt phẳng đều có phương trình dạng:

$$\boxed{Ax + By + Cz + D = 0}$$

với các hệ số $A, B, C$ không đồng thời bằng $0$. Phương trình này được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng.

Chú ý (hệ quả ngược lại): Mỗi phương trình $Ax + By + Cz + D = 0$ (với $A, B, C$ không đồng thời bằng $0$) đều xác định một mặt phẳng nhận $\vec{n} = (A; B; C)$ làm vectơ pháp tuyến.

Cách nhận biết nhanh: Nhìn vào phương trình $Ax + By + Cz + D = 0$, các hệ số của $x, y, z$ chính là tọa độ vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Ví dụ 4. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình tổng quát của một mặt phẳng?

a) $x + 2y – 3z^2 + 1 = 0$

b) $\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} + \dfrac{3}{z} + 2 = 0$

c) $y + 1 = 0$

Lời giải:

• (a) KHÔNG là phương trình mặt phẳng vì có chứa $z^2$ (bậc 2 theo $z$). Phương trình mặt phẳng phải là bậc nhất theo cả ba biến.
• (b) KHÔNG là phương trình mặt phẳng vì có $x, y, z$ ở mẫu số (nghĩa là $\dfrac{1}{x}$, $\dfrac{1}{y}$, $\dfrac{1}{z}$) — đây không phải dạng bậc nhất.
• (c) LÀ phương trình mặt phẳng. Ta có thể viết dưới dạng $0 \cdot x + 1 \cdot y + 0 \cdot z + 1 = 0$, tức $A = 0, B = 1, C = 0, D = 1$. Mặc dù $A = C = 0$ nhưng $B = 1 \neq 0$ nên thỏa mãn điều kiện “không đồng thời bằng $0$”.

Ví dụ 5. Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $(\alpha): x + 2y – z + 1 = 0$.

a) Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$.

b) Vectơ $\vec{m} = (2; 4; -2)$ có là vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$ không?

c) Trong hai điểm $A(1; 3; 2)$, $B(1; 1; 4)$, điểm nào thuộc $(\alpha)$?

Lời giải:

a) Từ phương trình, các hệ số của $x, y, z$ là $1, 2, -1$. Vậy $\vec{n} = (1; 2; -1)$ là một vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$.

b) Ta thấy $\vec{m} = (2; 4; -2) = 2 \cdot (1; 2; -1) = 2\vec{n}$ nên $\vec{m}$ cùng phương với $\vec{n}$. Do đó $\vec{m}$ cũng là vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$.

c) Thay tọa độ từng điểm vào phương trình mặt phẳng:

• Với $A(1; 3; 2)$: $1 + 2 \cdot 3 – 2 + 1 = 6 \neq 0$ ⟹ $A$ không thuộc $(\alpha)$.
• Với $B(1; 1; 4)$: $1 + 2 \cdot 1 – 4 + 1 = 0$ ⟹ $B$ thuộc $(\alpha)$.

3. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng

Có 3 trường hợp thường gặp: (a) biết 1 điểm + 1 vectơ pháp tuyến, (b) biết 1 điểm + cặp vectơ chỉ phương, (c) biết 3 điểm không thẳng hàng.

3.1. Mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $M_0(x_0; y_0; z_0)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C)$ có phương trình:

$$\boxed{A(x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0}$$

Khai triển ra dạng tổng quát: $Ax + By + Cz + D = 0$ với $D = -(Ax_0 + By_0 + Cz_0)$.

Ví dụ 6. Viết phương trình mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $M(2; -1; 0)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (3; -4; 6)$.

Lời giải:

Áp dụng công thức với $(x_0; y_0; z_0) = (2; -1; 0)$ và $(A; B; C) = (3; -4; 6)$:

$$3(x – 2) – 4[y – (-1)] + 6(z – 0) = 0$$ $$\Leftrightarrow 3x – 4y + 6z – 10 = 0.$$

3.2. Mặt phẳng đi qua một điểm và biết cặp vectơ chỉ phương

Các bước giải:

• Bước 1: Tính vectơ pháp tuyến $\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}]$.
• Bước 2: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua $M$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ (theo công thức ở 3.1).

Ví dụ 7. Trong không gian $Oxyz$, cho hình lăng trụ $ABC.A’B’C’$ với $A(1; 2; 3)$, $B(4; 3; 5)$, $C(2; 3; 2)$, $A'(1; 1; 1)$. Viết phương trình mặt phẳng $(A’B’C’)$.

Lời giải:

Vì mặt phẳng $(A’B’C’)$ song song với mặt phẳng $(ABC)$ (hai mặt đáy của lăng trụ), nên hai mặt phẳng này có chung vectơ pháp tuyến. Vậy mặt phẳng $(A’B’C’)$ nhận cặp vectơ chỉ phương của $(ABC)$ làm cặp vectơ chỉ phương:

$$\vec{AB} = (3; 1; 2), \quad \vec{AC} = (1; 1; -1).$$

Vectơ pháp tuyến: $$\vec{n} = [\vec{AB}, \vec{AC}] = \left(\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}; \ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}; \ \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}\right) = (-3; 5; 2).$$

Mặt phẳng $(A’B’C’)$ đi qua $A'(1; 1; 1)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (-3; 5; 2)$ nên có phương trình:

$$-3(x – 1) + 5(y – 1) + 2(z – 1) = 0 \Leftrightarrow 3x – 5y – 2z + 4 = 0.$$

3.3. Mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng

Các bước giải:

• Bước 1: Tìm cặp vectơ chỉ phương $\vec{AB}$, $\vec{AC}$.
• Bước 2: Tính vectơ pháp tuyến $\vec{n} = [\vec{AB}, \vec{AC}]$.
• Bước 3: Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua $A$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$.

Ví dụ 8. Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A(2; 1; -1)$, $B(3; 2; 1)$, $C(3; 1; 4)$.

a) Chứng minh ba điểm $A, B, C$ không thẳng hàng.

b) Viết phương trình mặt phẳng $(ABC)$.

Lời giải:

a) Tính hai vectơ: $$\vec{AB} = (1; 1; 2), \quad \vec{AC} = (1; 0; 5).$$

Kiểm tra xem hai vectơ có cùng phương hay không: Nếu $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ cùng phương thì $\dfrac{1}{1} = \dfrac{1}{0}$ — điều này vô nghĩa vì có thành phần bằng $0$ ở $\vec{AC}$ nhưng thành phần tương ứng ở $\vec{AB}$ khác $0$. Vậy $\vec{AB}$ và $\vec{AC}$ không cùng phương, suy ra $A, B, C$ không thẳng hàng.

b) Mặt phẳng $(ABC)$ có cặp vectơ chỉ phương $\vec{AB}, \vec{AC}$ nên có vectơ pháp tuyến:

$$\vec{n} = [\vec{AB}, \vec{AC}] = \left(\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 5 \end{vmatrix}; \ \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 5 & 1 \end{vmatrix}; \ \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}\right) = (5; -3; -1).$$

Mặt phẳng $(ABC)$ đi qua $A(2; 1; -1)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (5; -3; -1)$ nên có phương trình:

$$5(x – 2) – 3(y – 1) – (z + 1) = 0 \Leftrightarrow 5x – 3y – z – 8 = 0.$$

3.4. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Nếu mặt phẳng $(\alpha)$ không đi qua gốc tọa độ và cắt ba trục $Ox, Oy, Oz$ lần lượt tại $A(a; 0; 0)$, $B(0; b; 0)$, $C(0; 0; c)$ (với $a, b, c \neq 0$) thì $(\alpha)$ có phương trình:

$$\boxed{\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} + \dfrac{z}{c} = 1}$$

Đây là công thức rất tiện khi bài toán cho biết giao điểm của mặt phẳng với các trục tọa độ.

4. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng: $$(\alpha): Ax + By + Cz + D = 0, \quad (\beta): A’x + B’y + C’z + D’ = 0$$

với các vectơ pháp tuyến tương ứng $\vec{n} = (A; B; C)$ và $\vec{n’} = (A’; B’; C’)$. Khi đó:

$$\boxed{(\alpha) \perp (\beta) \Leftrightarrow \vec{n} \perp \vec{n’} \Leftrightarrow AA’ + BB’ + CC’ = 0}$$

Cách hiểu trực quan: Hai mặt phẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến của chúng vuông góc với nhau. Muốn kiểm tra chỉ cần tính tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến — nếu bằng $0$ thì hai mặt phẳng vuông góc.

Chú ý: Nếu hai mặt phẳng vuông góc thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này có giá song song hoặc nằm trong mặt phẳng kia. Tính chất này rất hay dùng khi viết phương trình mặt phẳng có điều kiện vuông góc với mặt phẳng cho trước.

Ví dụ 9. Chứng minh rằng hai mặt phẳng sau vuông góc với nhau: $$(\alpha): x – 3y + 2z + 1 = 0, \quad (\beta): 5x + y – z + 2 = 0.$$

Lời giải:

Vectơ pháp tuyến tương ứng: $\vec{n} = (1; -3; 2)$ và $\vec{n’} = (5; 1; -1)$.

Tính tích vô hướng: $$\vec{n} \cdot \vec{n’} = 1 \cdot 5 + (-3) \cdot 1 + 2 \cdot (-1) = 5 – 3 – 2 = 0.$$

Vì tích vô hướng bằng $0$ nên $\vec{n} \perp \vec{n’}$, suy ra $(\alpha) \perp (\beta)$.

Ví dụ 10. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua hai điểm $A(1; 2; -2)$, $B(2; 4; 1)$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q): x + 3y + z – 1 = 0$.

Lời giải:

Phân tích: Mặt phẳng $(P)$ cần viết đi qua $A, B$ nên $\vec{AB}$ là một vectơ chỉ phương của $(P)$. Mặt khác, $(P) \perp (Q)$ nên theo “Chú ý” ở trên, vectơ pháp tuyến $\vec{n_Q}$ của $(Q)$ song song hoặc nằm trong $(P)$ — nghĩa là $\vec{n_Q}$ cũng là một vectơ chỉ phương của $(P)$.

Vậy $(P)$ có cặp vectơ chỉ phương $\vec{AB}$ và $\vec{n_Q}$: $$\vec{AB} = (1; 2; 3), \quad \vec{n_Q} = (1; 3; 1).$$

Vectơ pháp tuyến của $(P)$: $$\vec{n_P} = [\vec{AB}, \vec{n_Q}] = \left(\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}; \ \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}; \ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}\right) = (-7; 2; 1).$$

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A(1; 2; -2)$ có phương trình:

$$-7(x – 1) + 2(y – 2) + (z + 2) = 0 \Leftrightarrow 7x – 2y – z – 5 = 0.$$

5. Điều kiện để hai mặt phẳng song song

Cho hai mặt phẳng: $$(\alpha): Ax + By + Cz + D = 0, \quad (\beta): A’x + B’y + C’z + D’ = 0$$

với các vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (A; B; C)$ và $\vec{n’} = (A’; B’; C’)$ tương ứng. Khi đó:

$$\boxed{(\alpha) \parallel (\beta) \Leftrightarrow \begin{cases} \vec{n’} = k\vec{n} \\ D’ \neq kD \end{cases} \text{ với } k \text{ nào đó}.}$$

Hai chú ý quan trọng:

• Nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng kia (vì chúng cùng phương).
• Hai mặt phẳng trùng nhau khi và chỉ khi tồn tại $k \neq 0$ sao cho $A’ = kA, B’ = kB, C’ = kC, D’ = kD$ (tức là phương trình thứ hai thu được từ phương trình thứ nhất bằng cách nhân với $k$).

Quy trình kiểm tra song song / trùng nhau:

1. Kiểm tra $\vec{n}, \vec{n’}$ có cùng phương không (tìm $k$ sao cho $\vec{n’} = k\vec{n}$). Nếu không → hai mặt phẳng cắt nhau.
2. Nếu cùng phương, kiểm tra tiếp $D’ = kD$ hay không. Nếu có → trùng nhau; nếu không → song song.

Ví dụ 11. Cho hai mặt phẳng: $$(\alpha): 3x – y + z + \sqrt{2} = 0, \quad (\beta): 3\sqrt{2}x – \sqrt{2}y + \sqrt{2}z + 1 = 0.$$

Hỏi $(\alpha)$ và $(\beta)$ có song song với nhau không?

Lời giải:

Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng là: $$\vec{n_\alpha} = (3; -1; 1), \quad \vec{n_\beta} = (3\sqrt{2}; -\sqrt{2}; \sqrt{2}).$$

Ta thấy $\vec{n_\beta} = \sqrt{2} \cdot \vec{n_\alpha}$, nên $\vec{n_\beta}$ cùng phương $\vec{n_\alpha}$ với $k = \sqrt{2}$.

Kiểm tra hệ số tự do: nếu hai mặt phẳng trùng nhau thì $D_\beta = \sqrt{2} \cdot D_\alpha$, tức $1 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ — sai.

Vậy $(\alpha) \parallel (\beta)$ (song song, không trùng nhau).

6. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách từ điểm $M(x_0; y_0; z_0)$ đến mặt phẳng $(P): Ax + By + Cz + D = 0$ được tính bởi công thức:

$$\boxed{d(M, (P)) = \dfrac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}}$$

Cách nhớ:

• Tử số: thay tọa độ $M$ vào vế trái phương trình mặt phẳng rồi lấy trị tuyệt đối.
• Mẫu số: căn của tổng bình phương các hệ số của $x, y, z$ — chính là độ dài vectơ pháp tuyến.

Ví dụ 12. Tính khoảng cách từ điểm $M(1; 2; -1)$ đến mặt phẳng $(P): x + 2y – 2z + 5 = 0$.

Lời giải:

Thay tọa độ $M$ vào vế trái phương trình $(P)$: $$1 + 2 \cdot 2 – 2 \cdot (-1) + 5 = 1 + 4 + 2 + 5 = 12.$$

Độ dài vectơ pháp tuyến: $$\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3.$$

Khoảng cách: $$d(M, (P)) = \dfrac{|12|}{3} = 4.$$

Ứng dụng quan trọng — Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song:

Nếu $(P) \parallel (Q)$, ta tính khoảng cách giữa chúng bằng cách:

• Bước 1: Chọn một điểm bất kỳ thuộc $(P)$ (thường là điểm có tọa độ đơn giản — cho $x = 0, y = 0$ rồi giải tìm $z$).
• Bước 2: Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm đó đến $(Q)$. Kết quả chính là khoảng cách giữa hai mặt phẳng.

Đây là dạng bài khá phổ biến trong đề thi — ý tưởng là “chuyển khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song thành khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng”.

Các dạng bài tập trọng tâm

Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và vectơ pháp tuyến

Phương pháp giải:

Đây là dạng cơ bản nhất — nền tảng cho tất cả các dạng sau. Có 3 tình huống thường gặp, tất cả đều quy về việc tìm được vectơ pháp tuyến, sau đó áp dụng công thức:

$$A(x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0$$

① Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M(x_0; y_0; z_0)$ và biết sẵn $\vec{n} = (A; B; C)$: thay trực tiếp vào công thức.

② Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và vuông góc với đường thẳng $(d)$: vectơ chỉ phương $\vec{u}$ của $(d)$ chính là vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$.

③ Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và song song với mặt phẳng $(\beta): Ax + By + Cz + D = 0$: vectơ pháp tuyến của $(\beta)$ cũng là vectơ pháp tuyến của $(\alpha)$. Khi đó $(\alpha)$ có phương trình:

$$A(x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0$$

Cốt lõi: Dạng này chỉ cần 1 điểm + 1 VTPT. Mọi tình huống khác đều là cách “ngụy trang” để bạn tìm ra VTPT.

Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A(1; 2; 3)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (-1; 2; 1)$.

Lời giải chi tiết:

Áp dụng công thức với $(x_0; y_0; z_0) = (1; 2; 3)$ và $(A; B; C) = (-1; 2; 1)$:

$$-1 \cdot (x – 1) + 2 \cdot (y – 2) + 1 \cdot (z – 3) = 0$$

Khai triển:

$$-x + 1 + 2y – 4 + z – 3 = 0 \Leftrightarrow -x + 2y + z – 6 = 0$$

Hoặc viết dưới dạng gọn (đổi dấu cả hai vế): $x – 2y – z + 6 = 0$.

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là $x – 2y – z + 6 = 0$.

Bài 2. Cho ba điểm $A(2; 1; -1)$, $B(-1; 0; 4)$, $C(0; -2; -1)$. Viết phương trình mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $BC$.

Lời giải chi tiết:

Phân tích: Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và vuông góc với $BC$ nên nhận $\vec{BC}$ làm vectơ pháp tuyến.

Tính $\vec{BC}$:

$$\vec{BC} = (0 – (-1); \ -2 – 0; \ -1 – 4) = (1; -2; -5)$$

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A(2; 1; -1)$ và có VTPT $\vec{n} = (1; -2; -5)$ nên có phương trình:

$$1 \cdot (x – 2) – 2 \cdot (y – 1) – 5 \cdot (z + 1) = 0$$

Khai triển:

$$x – 2 – 2y + 2 – 5z – 5 = 0 \Leftrightarrow x – 2y – 5z – 5 = 0$$

Vậy $(P): x – 2y – 5z – 5 = 0$.

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có cặp vectơ chỉ phương

Phương pháp giải:

Khi bài toán không cho sẵn vectơ pháp tuyến nhưng cho biết hai vectơ nằm trong (hoặc song song với) mặt phẳng, ta dùng tích có hướng để tìm VTPT:

$$\vec{n} = [\vec{u}, \vec{v}]$$

Các tình huống thường gặp:

① Biết điểm $M$ và cặp VTCP $\vec{a}, \vec{b}$: $\vec{n} = [\vec{a}, \vec{b}]$.

② Mặt phẳng $(\alpha)$ chứa đường thẳng $(d)$ và vuông góc với mặt phẳng $(\beta)$:

• VTCP $\vec{u}$ của $(d)$ nằm trong $(\alpha)$.
• VTPT $\vec{n_\beta}$ của $(\beta)$ cũng song song với $(\alpha)$ (do tính chất $(\alpha) \perp (\beta)$).
• Vậy $\vec{n_\alpha} = [\vec{u}, \vec{n_\beta}]$, lấy điểm $M$ bất kỳ thuộc $(d)$.

③ Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $M$ và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau $(\beta), (\gamma)$:

• $\vec{n_\beta}, \vec{n_\gamma}$ đều song song với $(\alpha)$, là cặp VTCP của $(\alpha)$.
• Vậy $\vec{n_\alpha} = [\vec{n_\beta}, \vec{n_\gamma}]$.

④ Mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng $A, B, C$: $\vec{n} = [\vec{AB}, \vec{AC}]$, lấy điểm $A$ làm điểm đi qua.

Chìa khóa: “Nằm trong / song song với mặt phẳng” → vectơ chỉ phương. “Vuông góc với mặt phẳng” → vectơ pháp tuyến. Chỉ cần xác định đúng vai trò, phần còn lại là tính toán máy móc.

Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ đi qua điểm $M(0; 2; -2)$ và nhận $\vec{a} = (2; 0; 1)$, $\vec{b} = (-1; 1; 0)$ là hai vectơ chỉ phương.

Lời giải chi tiết:

Vectơ pháp tuyến của $(P)$:

$$\vec{n} = [\vec{a}, \vec{b}] = \left(\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}; \ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix}; \ \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}\right)$$

Tính từng định thức:

• $\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 \cdot 0 – 1 \cdot 1 = -1$
• $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (-1) – 2 \cdot 0 = -1$
• $\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 1 – 0 \cdot (-1) = 2$

Vậy $\vec{n} = (-1; -1; 2)$, hoặc có thể chọn $\vec{n} = (1; 1; -2)$ cho gọn.

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $M(0; 2; -2)$ có phương trình:

$$1 \cdot (x – 0) + 1 \cdot (y – 2) – 2 \cdot (z + 2) = 0$$

$$\Leftrightarrow x + y – 2 – 2z – 4 = 0 \Leftrightarrow x + y – 2z – 6 = 0$$

Vậy $(P): x + y – 2z – 6 = 0$.

Bài 2. Cho hai điểm $A(1; -1; 5)$, $B(0; 0; 1)$. Viết phương trình mặt phẳng $(P)$ chứa $A, B$ và song song với trục $Oy$.

Lời giải chi tiết:

Phân tích: Mặt phẳng $(P)$ chứa hai điểm $A, B$ nên $\vec{AB}$ là một VTCP của $(P)$. Mặt khác, $(P)$ song song với trục $Oy$ nên vectơ đơn vị $\vec{j} = (0; 1; 0)$ của trục $Oy$ cũng là một VTCP của $(P)$.

Tính các vectơ:

$$\vec{AB} = (-1; 1; -4), \quad \vec{j} = (0; 1; 0)$$

Vectơ pháp tuyến của $(P)$:

$$\vec{n} = [\vec{AB}, \vec{j}] = \left(\begin{vmatrix} 1 & -4 \\ 1 & 0 \end{vmatrix}; \ \begin{vmatrix} -4 & -1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix}; \ \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}\right)$$

Tính từng định thức:

• $\begin{vmatrix} 1 & -4 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 1 \cdot 0 – (-4) \cdot 1 = 4$
• $\begin{vmatrix} -4 & -1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = (-4) \cdot 0 – (-1) \cdot 0 = 0$
• $\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = (-1) \cdot 1 – 1 \cdot 0 = -1$

Vậy $\vec{n} = (4; 0; -1)$.

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $B(0; 0; 1)$ có phương trình:

$$4(x – 0) + 0(y – 0) – 1(z – 1) = 0 \Leftrightarrow 4x – z + 1 = 0$$

Vậy $(P): 4x – z + 1 = 0$.

Kiểm tra: Phương trình $(P)$ không chứa biến $y$ — điều này phù hợp với việc $(P)$ song song với trục $Oy$.

Bài 3. Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A(1; 2; -1)$, $B(2; 1; 0)$ và mặt phẳng $(P): 2x + y – 3z + 1 = 0$. Gọi $(Q)$ là mặt phẳng chứa $A, B$ và vuông góc với $(P)$. Viết phương trình mặt phẳng $(Q)$.

Lời giải chi tiết:

Phân tích: Mặt phẳng $(Q)$ chứa $A, B$ nên $\vec{AB}$ là một VTCP của $(Q)$. Vì $(Q) \perp (P)$ nên VTPT $\vec{n_P}$ của $(P)$ song song với $(Q)$, do đó $\vec{n_P}$ cũng là một VTCP của $(Q)$.

Tính các vectơ:

$$\vec{AB} = (1; -1; 1), \quad \vec{n_P} = (2; 1; -3)$$

Vectơ pháp tuyến của $(Q)$:

$$\vec{n_Q} = [\vec{AB}, \vec{n_P}] = \left(\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix}; \ \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -3 & 2 \end{vmatrix}; \ \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}\right)$$

Tính từng định thức:

• $\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -3 \end{vmatrix} = (-1)(-3) – 1 \cdot 1 = 3 – 1 = 2$
• $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -3 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot 2 – 1 \cdot (-3) = 2 + 3 = 5$
• $\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot 1 – (-1) \cdot 2 = 1 + 2 = 3$

Vậy $\vec{n_Q} = (2; 5; 3)$.

Mặt phẳng $(Q)$ đi qua $A(1; 2; -1)$ có phương trình:

$$2(x – 1) + 5(y – 2) + 3(z + 1) = 0 \Leftrightarrow 2x + 5y + 3z – 9 = 0$$

Vậy $(Q): 2x + 5y + 3z – 9 = 0$.

Dạng 3: Vị trí tương đối của hai mặt phẳng

Phương pháp giải:

Cho hai mặt phẳng $(P): A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0$ và $(Q): A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0$. Dấu hiệu nhận biết các vị trí tương đối (giả sử $A_2, B_2, C_2, D_2 \neq 0$):

$$(P) \text{ cắt } (Q) \Leftrightarrow \dfrac{A_1}{A_2} \neq \dfrac{B_1}{B_2} \text{ hoặc } \dfrac{B_1}{B_2} \neq \dfrac{C_1}{C_2}$$

$$(P) \parallel (Q) \Leftrightarrow \dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{B_1}{B_2} = \dfrac{C_1}{C_2} \neq \dfrac{D_1}{D_2}$$

$$(P) \equiv (Q) \Leftrightarrow \dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{B_1}{B_2} = \dfrac{C_1}{C_2} = \dfrac{D_1}{D_2}$$

$$(P) \perp (Q) \Leftrightarrow A_1 A_2 + B_1 B_2 + C_1 C_2 = 0$$

⚠ Lưu ý: Nếu có hệ số ở mẫu bằng $0$, không được dùng dạng tỉ số mà phải quay về định nghĩa $\vec{n_1} = k \vec{n_2}$ với $k$ nào đó.

Bài 1. Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P): 2x + my + 3z – 5 = 0$ và $(Q): nx – 8y – 6z + 2 = 0$ với $m, n \in \mathbb{R}$. Xác định $m, n$ để $(P)$ song song với $(Q)$.

Lời giải chi tiết:

Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng:

$$\vec{n_1} = (2; m; 3), \quad \vec{n_2} = (n; -8; -6)$$

Để $(P) \parallel (Q)$ thì tồn tại $k \in \mathbb{R}$ sao cho $\vec{n_1} = k \vec{n_2}$, đồng thời hệ số tự do không tỉ lệ theo $k$. Ta có:

$$\begin{cases} 2 = kn \\ m = -8k \\ 3 = -6k \end{cases}$$

Từ phương trình thứ ba: $k = -\dfrac{1}{2}$.

Thay vào:

• $m = -8 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 4$
• $2 = -\dfrac{1}{2} \cdot n \Rightarrow n = -4$

Kiểm tra điều kiện song song (không trùng nhau): $D_1 = -5$, $D_2 = 2$. Nếu trùng nhau thì $D_1 = k D_2 = -\dfrac{1}{2} \cdot 2 = -1$, nhưng $D_1 = -5 \neq -1$. Vậy hai mặt phẳng không trùng nhau, thực sự song song.

Vậy $m = 4, \ n = -4$.

Bài 2. Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P): x – 2y + 2z – 3 = 0$ và $(Q): mx + y – 2z + 1 = 0$. Với giá trị nào của $m$ thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau?

Lời giải chi tiết:

Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng:

$$\vec{n_1} = (1; -2; 2), \quad \vec{n_2} = (m; 1; -2)$$

Điều kiện để $(P) \perp (Q)$:

$$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \Leftrightarrow 1 \cdot m + (-2) \cdot 1 + 2 \cdot (-2) = 0$$

$$\Leftrightarrow m – 2 – 4 = 0 \Leftrightarrow m = 6$$

Vậy $m = 6$.

Bài 3. Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(\alpha): x + 2y – z – 1 = 0$ và $(\beta): 2x + 4y – mz – 2 = 0$. Tìm $m$ để hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ song song với nhau.

Lời giải chi tiết:

Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng:

$$\vec{n_1} = (1; 2; -1), \quad \vec{n_2} = (2; 4; -m)$$

Để $(\alpha) \parallel (\beta)$, cần có:

$$\dfrac{2}{1} = \dfrac{4}{2} = \dfrac{-m}{-1} \neq \dfrac{-2}{-1}$$

Tức là:

$$2 = 2 = m \neq 2$$

Từ $\dfrac{-m}{-1} = 2$ ta được $m = 2$. Nhưng điều kiện song song yêu cầu $m \neq 2$ — mâu thuẫn.

Thực chất, nếu $m = 2$ thì $\vec{n_2} = 2 \vec{n_1}$ và cả hệ số tự do cũng có $D_2 = -2 = 2 \cdot D_1$, tức hai mặt phẳng trùng nhau chứ không song song.

Vậy không có giá trị nào của $m$ để $(\alpha) \parallel (\beta)$.

Nhận xét: Bài này là một “bẫy” điển hình — nhiều bạn vội kết luận $m = 2$ mà không kiểm tra điều kiện cuối cùng về hệ số tự do.

Dạng 4: Lập phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách

Phương pháp giải:

Công thức nền tảng — khoảng cách từ điểm $M(x_M; y_M; z_M)$ đến mặt phẳng $(P): Ax + By + Cz + D = 0$:

$$d(M; (P)) = \dfrac{|Ax_M + By_M + Cz_M + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

① Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song $(P): Ax + By + Cz + D = 0$ và $(Q): Ax + By + Cz + D’ = 0$ (cùng VTPT):

$$d((P), (Q)) = \dfrac{|D – D’|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$

② Viết phương trình $(P) \parallel (Q)$ và cách điểm $M$ một khoảng $k$:

• Vì $(P) \parallel (Q)$, viết $(P): Ax + By + Cz + D’ = 0$ (giữ nguyên $A, B, C$, đổi $D$ thành $D’$).
• Áp dụng $d(M; (P)) = k$ để tìm $D’$.

③ Viết phương trình $(P) \parallel (Q)$ và cách $(Q)$ một khoảng $k$:

• Viết $(P): Ax + By + Cz + D’ = 0$.
• Lấy một điểm $M$ bất kỳ thuộc $(Q)$, áp dụng $d(M; (P)) = k$ để tìm $D’$.

④ Viết phương trình $(P)$ vuông góc với hai mặt phẳng $(\alpha), (\beta)$ cho trước và cách điểm $M$ một khoảng $k$:

• Tìm $\vec{n_P} = [\vec{n_\alpha}, \vec{n_\beta}] = (a; b; c)$.
• Phương trình $(P)$ có dạng $ax + by + cz + d = 0$. Dùng điều kiện $d(M; (P)) = k$ để tìm $d$.

⚠ Lưu ý: Khi giải các phương trình dạng $|X| = k$ để tìm tham số, nhớ xét cả hai trường hợp $X = k$ và $X = -k$ — thường sẽ cho hai mặt phẳng thỏa mãn.

Bài 1. Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $(P): x + 3z + 2 = 0$ và $(Q): x + 3z – 4 = 0$. Lập phương trình mặt phẳng song song và cách đều $(P), (Q)$.

Lời giải chi tiết:

Cách 1 — Dùng tập hợp điểm cách đều.

Điểm $M(x; y; z)$ cách đều $(P)$ và $(Q)$ khi và chỉ khi:

$$d(M; (P)) = d(M; (Q)) \Leftrightarrow \dfrac{|x + 3z + 2|}{\sqrt{1 + 9}} = \dfrac{|x + 3z – 4|}{\sqrt{1 + 9}}$$

$$\Leftrightarrow |x + 3z + 2| = |x + 3z – 4|$$

$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x + 3z + 2 = x + 3z – 4 \\ x + 3z + 2 = -(x + 3z – 4) \end{array}\right.$$

Trường hợp thứ nhất: $2 = -4$ — vô lý, loại.

Trường hợp thứ hai: $x + 3z + 2 = -x – 3z + 4 \Leftrightarrow 2x + 6z – 2 = 0 \Leftrightarrow x + 3z – 1 = 0$.

Kiểm tra: mặt phẳng $x + 3z – 1 = 0$ có cùng VTPT $(1; 0; 3)$ với $(P)$ và $(Q)$ nên song song với cả hai.

Cách 2 — Dùng trung điểm hệ số tự do.

Vì $(P) \parallel (Q)$ và mặt phẳng cần tìm song song, cách đều chúng nên hệ số tự do là trung bình cộng:

$$D = \dfrac{2 + (-4)}{2} = -1$$

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là $x + 3z – 1 = 0$.

Vậy mặt phẳng cần tìm là $x + 3z – 1 = 0$.

Bài 2. Trong không gian $Oxyz$, tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng $(P): x + 2y + 2z – 10 = 0$ và $(Q): x + 2y + 2z – 3 = 0$.

Lời giải chi tiết:

Hai mặt phẳng $(P), (Q)$ có cùng VTPT $\vec{n} = (1; 2; 2)$ nên song song với nhau (hệ số tự do khác nhau: $-10 \neq -3$).

Cách 1 — Dùng công thức trực tiếp:

$$d((P), (Q)) = \dfrac{|-10 – (-3)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \dfrac{|-7|}{\sqrt{9}} = \dfrac{7}{3}$$

Cách 2 — Chọn một điểm rồi tính khoảng cách:

Lấy $A(2; 1; 3) \in (P)$ (kiểm tra: $2 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 3 – 10 = 0$ ✓).

$$d((P), (Q)) = d(A, (Q)) = \dfrac{|2 + 2 \cdot 1 + 2 \cdot 3 – 3|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \dfrac{|7|}{3} = \dfrac{7}{3}$$

Vậy khoảng cách giữa $(P)$ và $(Q)$ bằng $\dfrac{7}{3}$.

Bài 3. Tìm trên trục $Oz$ điểm $M$ cách đều điểm $A(2; 3; 4)$ và mặt phẳng $(P): 2x + 3y + z – 17 = 0$.

Lời giải chi tiết:

Vì $M \in Oz$ nên $M$ có tọa độ dạng $M(0; 0; m)$.

Tính $MA$:

$$MA = \sqrt{(0-2)^2 + (0-3)^2 + (m-4)^2} = \sqrt{4 + 9 + (m-4)^2} = \sqrt{13 + (m-4)^2}$$

Tính $d(M; (P))$:

$$d(M; (P)) = \dfrac{|2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 + m – 17|}{\sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2}} = \dfrac{|m – 17|}{\sqrt{14}}$$

Điều kiện $M$ cách đều $A$ và $(P)$: $MA = d(M; (P))$, tức

$$\sqrt{13 + (m-4)^2} = \dfrac{|m – 17|}{\sqrt{14}}$$

Bình phương hai vế (cả hai vế đều không âm):

$$13 + (m-4)^2 = \dfrac{(m – 17)^2}{14}$$

Nhân cả hai vế với $14$:

$$14 \left[13 + (m-4)^2\right] = (m – 17)^2$$

$$182 + 14(m^2 – 8m + 16) = m^2 – 34m + 289$$

$$182 + 14m^2 – 112m + 224 = m^2 – 34m + 289$$

$$13m^2 – 78m + 117 = 0$$

Chia cả hai vế cho $13$:

$$m^2 – 6m + 9 = 0 \Leftrightarrow (m – 3)^2 = 0 \Leftrightarrow m = 3$$

Vậy $M(0; 0; 3)$.

Dạng 5: Toán thực tế

Phương pháp giải:

Các bài toán thực tế liên quan đến mặt phẳng thường xuất hiện trong các ngữ cảnh Vật lý (phản lực pháp tuyến, moment lực, mặt phẳng nằm ngang…). Để giải, cần:

• Bước 1: Mô hình hóa tình huống bằng hệ tọa độ $Oxyz$ — xác định các vectơ liên quan (lực, vị trí, pháp tuyến…).
• Bước 2: Áp dụng các khái niệm đã học: vectơ pháp tuyến, tích có hướng, khoảng cách…
• Bước 3: Diễn giải kết quả toán học trở lại ngữ cảnh thực tế.

Bài 1. Trên mặt bàn phẳng, đặt một vật. Khi đó, mặt bàn tác động lên vật phản lực pháp tuyến $\vec{n}$, giá của vectơ $\vec{n}$ vuông góc với mặt bàn. Nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì $\vec{n}$ có phương gì?

Lời giải chi tiết:

Mặt phẳng nằm ngang là mặt phẳng vuông góc với phương thẳng đứng (theo quy ước Vật lý).

Vì giá của $\vec{n}$ vuông góc với mặt bàn, mà mặt bàn nằm ngang, nên giá của $\vec{n}$ có phương thẳng đứng.

Kết luận: Nếu mặt bàn thuộc mặt phẳng nằm ngang thì $\vec{n}$ có phương thẳng đứng, vuông góc với mặt bàn.

Bài 2. Moment lực là một đại lượng Vật lí, thể hiện tác động gây ra sự quay quanh một điểm hoặc một trục của một vật thể. Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị đo là mét), nếu tác động vào cán mỏ lết tại vị trí $P$ một lực $\vec{F}$ để vặn con ốc ở vị trí $O$ thì moment lực $\vec{M}$ được tính bởi công thức $\vec{M} = [\vec{OP}, \vec{F}]$.

a) Cho $\vec{OP} = (x; y; z)$, $\vec{F} = (a; b; c)$. Tính $\vec{M}$.

b) Giải thích vì sao, nếu giữ nguyên lực tác động $\vec{F}$ trong khi thay vị trí đặt lực từ $P$ sang $P’$ sao cho $\vec{OP’} = 2\vec{OP}$ thì moment lực sẽ tăng lên gấp đôi. Từ đó, ta có thể rút ra điều gì để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc?

Lời giải chi tiết:

a) Áp dụng công thức tích có hướng:

$$\vec{M} = [\vec{OP}, \vec{F}] = \left(\begin{vmatrix} y & z \\ b & c \end{vmatrix}; \ \begin{vmatrix} z & x \\ c & a \end{vmatrix}; \ \begin{vmatrix} x & y \\ a & b \end{vmatrix}\right)$$

$$= (yc – bz; \ za – cx; \ bx – ay)$$

b) Vì $\vec{OP’} = 2\vec{OP}$ nên $\vec{OP’} = (2x; 2y; 2z)$.

Moment lực mới $\vec{M’}$ khi lực $\vec{F} = (a; b; c)$ được tác động tại $P’$:

$$\vec{M’} = [\vec{OP’}, \vec{F}] = \left(\begin{vmatrix} 2y & 2z \\ b & c \end{vmatrix}; \ \begin{vmatrix} 2z & 2x \\ c & a \end{vmatrix}; \ \begin{vmatrix} 2x & 2y \\ a & b \end{vmatrix}\right)$$

Tính từng định thức:

• $\begin{vmatrix} 2y & 2z \\ b & c \end{vmatrix} = 2yc – 2bz = 2(yc – bz)$
• $\begin{vmatrix} 2z & 2x \\ c & a \end{vmatrix} = 2za – 2cx = 2(za – cx)$
• $\begin{vmatrix} 2x & 2y \\ a & b \end{vmatrix} = 2xb – 2ya = 2(bx – ay)$

Do đó:

$$\vec{M’} = \big(2(yc – bz); \ 2(za – cx); \ 2(bx – ay)\big) = 2 \cdot (yc – bz; \ za – cx; \ bx – ay) = 2\vec{M}$$

Vậy $\vec{M’} = 2\vec{M}$, nghĩa là moment lực tăng lên gấp đôi khi vị trí đặt lực xa gấp đôi vị trí ban đầu (so với trục quay $O$).

Kết luận thực tế: Để đỡ tốn sức khi dùng mỏ lết vặn ốc, ta nên tác dụng lực ở vị trí xa trục quay (xa con ốc) nhất có thể — tức là cầm ở đầu xa của cán mỏ lết. Khi đó với cùng một lực, moment lực thu được sẽ lớn hơn, giúp vặn ốc dễ dàng hơn.

Đây chính là nguyên lý đòn bẩy: cánh tay đòn càng dài, moment lực càng lớn với cùng một lực tác dụng.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh