Lý thuyết trọng tâm

1. Tốc độ thay đổi của một đại lượng

1.1. Khái niệm tốc độ thay đổi

Giả sử $y$ là một hàm số của $x$ và ta viết $y = f(x)$. Nếu $x$ thay đổi từ $x_1$ đến $x_2$ thì:

• Sự thay đổi của $x$: $\Delta x = x_2 – x_1$
• Sự thay đổi tương ứng của $y$: $\Delta y = f(x_2) – f(x_1)$

Tốc độ thay đổi trung bình của $y$ đối với $x$ trên đoạn $[x_1; x_2]$: $$\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{f(x_2) – f(x_1)}{x_2 – x_1}$$

Tốc độ thay đổi tức thời của $y$ đối với $x$ tại điểm $x = x_1$: $$\lim\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{x_2 \to x_1} \dfrac{f(x_2) – f(x_1)}{x_2 – x_1} = f'(x_1)$$

Ý nghĩa: Đạo hàm $f'(a)$ chính là tốc độ thay đổi tức thời của đại lượng $y = f(x)$ theo $x$ tại điểm $x = a$.

1.2. Các ứng dụng thực tiễn của đạo hàm

① Trong Vật lí:

• Nếu $s = s(t)$ là hàm vị trí của một vật chuyển động trên đường thẳng thì $v = s'(t)$ là vận tốc tức thời.
• Gia tốc tức thời: $a(t) = v'(t) = s”(t)$.

② Trong Hóa học: Nếu $C = C(t)$ là nồng độ chất tham gia phản ứng tại thời điểm $t$ thì $C'(t)$ là tốc độ phản ứng tức thời.

③ Trong Sinh học: Nếu $P = P(t)$ là số lượng cá thể trong một quần thể tại thời điểm $t$ thì $P'(t)$ biểu thị tốc độ tăng trưởng tức thời của quần thể.

④ Trong Kinh tế: Nếu $C = C(x)$ là hàm chi phí (tổng chi phí khi sản xuất $x$ đơn vị hàng hóa) thì $C'(x)$ được gọi là chi phí biên, xấp xỉ bằng chi phí sản xuất thêm một đơn vị hàng hóa tiếp theo (đơn vị thứ $x + 1$).

Ngoài ra:

• $p = p(x)$ là hàm cầu (giá bán mỗi đơn vị khi bán được $x$ đơn vị).
• $R(x) = x \cdot p(x)$ là hàm doanh thu, $R'(x)$ là doanh thu biên.
• $P(x) = R(x) – C(x)$ là hàm lợi nhuận, $P'(x)$ là lợi nhuận biên.

1.3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Khi bỏ qua sức cản không khí, độ cao (mét) của một vật được phóng thẳng đứng lên trên từ điểm cách mặt đất $3$ m với vận tốc ban đầu $19{,}6$ m/s được cho bởi: $$h(t) = 3 + 19{,}6t – 4{,}9t^2$$

a) Tìm vận tốc của vật sau $1$ giây.

b) Khi nào vật đạt độ cao lớn nhất và độ cao đó là bao nhiêu?

c) Khi nào vật chạm đất và vận tốc lúc chạm đất là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Theo ý nghĩa cơ học của đạo hàm, vận tốc của vật là: $$v(t) = h'(t) = 19{,}6 – 9{,}8t \ (\text{m/s})$$

Vận tốc sau $1$ giây: $v(1) = 19{,}6 – 9{,}8 = 9{,}8$ (m/s).

b) Vì $h(t)$ là hàm bậc hai với hệ số $a = -4{,}9 < 0$, nên $h(t)$ đạt giá trị lớn nhất tại: $$t = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{19{,}6}{2 \cdot (-4{,}9)} = 2 \ (\text{giây})$$

Độ cao lớn nhất: $h(2) = 3 + 19{,}6 \cdot 2 – 4{,}9 \cdot 4 = 3 + 39{,}2 – 19{,}6 = 22{,}6$ (m).

c) Vật chạm đất khi $h(t) = 0$: $$3 + 19{,}6t – 4{,}9t^2 = 0$$

Dùng công thức nghiệm: $t \approx 4{,}15$ (giây) (lấy nghiệm dương).

Vận tốc lúc chạm đất: $v(4{,}15) = 19{,}6 – 9{,}8 \cdot 4{,}15 \approx -21{,}07$ (m/s).

Vận tốc âm cho thấy vật đang chuyển động ngược chiều dương (tức đang rơi xuống).

Ví dụ 2. Giả sử chi phí $C(x)$ (nghìn đồng) để sản xuất $x$ đơn vị một loại hàng hóa là: $$C(x) = 25000 + 250x – 2x^2 + 0{,}1x^3$$

a) Tìm hàm chi phí biên.

b) Tính $C'(150)$ và giải thích ý nghĩa.

c) So sánh $C'(150)$ với chi phí sản xuất đơn vị thứ $151$.

Lời giải:

a) Hàm chi phí biên: $$C'(x) = 250 – 4x + 0{,}3x^2$$

b) Tính $C'(150)$: $$C'(150) = 250 – 4 \cdot 150 + 0{,}3 \cdot 150^2 = 250 – 600 + 6750 = 6400$$

Ý nghĩa: Chi phí biên tại $x = 150$ là $6400$ nghìn đồng, tức chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hóa tiếp theo (đơn vị thứ $151$) xấp xỉ $6400$ nghìn đồng.

c) Chi phí thực tế để sản xuất đơn vị thứ $151$: $$C(151) – C(150) \approx 6403{,}6 \ (\text{nghìn đồng})$$

Giá trị này xấp xỉ với chi phí biên $C'(150) = 6400$ đã tính ở câu b.

2. Một vài bài toán tối ưu hóa đơn giản

Một trong những ứng dụng phổ biến nhất của đạo hàm là giải các bài toán tối ưu hóa (tối đa/tối thiểu hóa diện tích, thể tích, lợi nhuận, chi phí, thời gian,…).

Khó khăn lớn nhất thường là bước chuyển bài toán thực tế thành bài toán toán học — tức thiết lập được hàm số cần tìm GTLN/GTNN.

Quy trình giải bài toán tối ưu hóa (3 bước)

Bước 1: Xác định đại lượng $Q$ cần làm cho giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất). Biểu diễn $Q$ qua các đại lượng khác trong bài toán.

Bước 2: Chọn một biến thích hợp, kí hiệu là $x$. Biểu diễn các đại lượng khác ở Bước 1 theo $x$, để đưa $Q$ thành hàm số một biến $Q = Q(x)$. Tìm tập xác định (điều kiện) của biến $x$.

Bước 3: Tìm GTLN (hoặc GTNN) của hàm số $Q(x)$ bằng các phương pháp đã học (lập bảng biến thiên, dùng đạo hàm) và kết luận.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 3. Một nhà sản xuất cần làm những hộp đựng hình trụ có thể tích $2$ lít. Tìm kích thước của hộp sao cho chi phí vật liệu (diện tích toàn phần) là nhỏ nhất.

Lời giải:

Bước 1 — Thiết lập hàm số:

Đổi $2$ lít $= 2000$ cm³.

Gọi $r$ (cm) là bán kính đáy, $h$ (cm) là chiều cao hình trụ.

Thể tích: $\pi r^2 h = 2000 \Rightarrow h = \dfrac{2000}{\pi r^2}$.

Diện tích toàn phần: $$S = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \dfrac{2000}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \dfrac{4000}{r}$$

Điều kiện: $r > 0$.

Bước 2 — Khảo sát:

$$S'(r) = 4\pi r – \dfrac{4000}{r^2} = \dfrac{4\pi r^3 – 4000}{r^2}$$

$S'(r) = 0 \Leftrightarrow 4\pi r^3 = 4000 \Leftrightarrow r^3 = \dfrac{1000}{\pi} \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{\dfrac{1000}{\pi}}$

Bảng biến thiên:

Bước 3 — Kết luận:

Bán kính đáy tối ưu: $r = \sqrt[3]{\dfrac{1000}{\pi}} \approx 6{,}83$ (cm).

Chiều cao tương ứng: $h = \dfrac{2000}{\pi r^2} = \dfrac{2000}{\pi \cdot \left(\dfrac{1000}{\pi}\right)^{2/3}} \approx 13{,}66$ (cm).

Nhận xét: Với thể tích $V$ không đổi, diện tích bề mặt hình trụ nhỏ nhất khi chiều cao bằng đường kính đáy ($h = 2r$).

Ví dụ 4. (Bài toán mở đầu) Một đội bóng đã thi đấu trong một sân vận động có sức chứa $55\,000$ khán giả. Với giá mỗi vé là $100$ nghìn đồng, số khán giả trung bình là $27\,000$ người. Qua thăm dò, mỗi khi giảm giá vé thêm $10$ nghìn đồng sẽ có thêm khoảng $3\,000$ khán giả. Hỏi ban tổ chức nên đặt giá vé là bao nhiêu để doanh thu lớn nhất?

Lời giải:

Bước 1 — Thiết lập hàm cầu:

Gọi $p$ (nghìn đồng) là giá một vé, $x$ là số khán giả mua vé.

Theo giả thiết, quan hệ giữa $p$ và $x$ là tuyến tính. Hàm cầu đi qua hai điểm:

• $(x_1; p_1) = (27\,000; 100)$
• $(x_2; p_2) = (30\,000; 90)$

Hệ số góc: $\dfrac{p_2 – p_1}{x_2 – x_1} = \dfrac{90 – 100}{30\,000 – 27\,000} = -\dfrac{1}{300}$

Phương trình: $p – 100 = -\dfrac{1}{300}(x – 27\,000) \Leftrightarrow x = -300p + 57\,000$.

Bước 2 — Hàm doanh thu:

$$R(p) = p \cdot x = p(-300p + 57\,000) = -300p^2 + 57\,000p$$

Bước 3 — Tìm giá trị cực đại:

$R'(p) = -600p + 57\,000$.

$R'(p) = 0 \Leftrightarrow p = 95$.

Bảng biến thiên:

Kết luận: Với giá vé $95$ nghìn đồng/vé, doanh thu lớn nhất là $2\,707\,500$ nghìn đồng.

Các dạng bài tập trọng tâm

Dạng 1: Bài toán chuyển động (vận tốc, gia tốc)

Phương pháp giải:

Với vật chuyển động trên trục thẳng có tọa độ $y = y(t)$ (hoặc $s = s(t)$):

• Vận tốc tức thời: $v(t) = y'(t)$.
• Gia tốc tức thời: $a(t) = v'(t) = y”(t)$.

Các trạng thái chuyển động:

• Vật chuyển động theo chiều dương ⟺ $v(t) > 0$.
• Vật chuyển động theo chiều âm ⟺ $v(t) < 0$.
• Vật tăng tốc ⟺ $v(t)$ tăng ⟺ $v'(t) > 0$ (hay $a(t) > 0$).
• Vật giảm tốc ⟺ $v(t)$ giảm ⟺ $v'(t) < 0$ (hay $a(t) < 0$).
• Quãng đường đi được trong khoảng $[t_1; t_2]$: tính tổng độ dịch chuyển có dấu (nếu vật đổi chiều, phải tách đoạn).

Bài 1. Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho tọa độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm $t$ (giây) là: $$y = t^3 – 12t + 3, \ t \geq 0$$

a) Tìm các hàm vận tốc và gia tốc.

b) Khi nào hạt chuyển động lên trên và khi nào hạt chuyển động xuống dưới?

c) Tìm quãng đường hạt đi được trong khoảng $0 \leq t \leq 3$.

d) Khi nào hạt tăng tốc? Khi nào hạt giảm tốc?

Lời giải chi tiết:

a) Hàm vận tốc và gia tốc:

Vận tốc: $v(t) = y'(t) = 3t^2 – 12$, với $t \geq 0$.

Gia tốc: $a(t) = v'(t) = y”(t) = 6t$, với $t \geq 0$.

b) Xét chiều chuyển động:

Hạt chuyển động lên trên khi $v(t) > 0$: $$3t^2 – 12 > 0 \Leftrightarrow t^2 > 4 \Leftrightarrow t > 2 \ (\text{do } t \geq 0)$$

Hạt chuyển động xuống dưới khi $v(t) < 0$: $$3t^2 – 12 < 0 \Leftrightarrow 0 \leq t < 2$$

c) Tính quãng đường trong $[0; 3]$:

Do hạt đổi chiều tại $t = 2$, ta phải tách thành hai đoạn:

• Trên $[0; 2]$: hạt chuyển động xuống dưới.
• Trên $[2; 3]$: hạt chuyển động lên trên.

Tính các giá trị tọa độ:

• $y(0) = 0 – 0 + 3 = 3$
• $y(2) = 8 – 24 + 3 = -13$
• $y(3) = 27 – 36 + 3 = -6$

Quãng đường đi trong $[0; 2]$: $|y(2) – y(0)| = |-13 – 3| = 16$ (m).

Quãng đường đi trong $[2; 3]$: $|y(3) – y(2)| = |-6 – (-13)| = 7$ (m).

Tổng quãng đường: $16 + 7 = 23$ (m).

Chú ý: Nếu chỉ tính $|y(3) – y(0)| = |-6 – 3| = 9$ thì đó là độ dịch chuyển, không phải quãng đường. Quãng đường luôn $\geq$ độ dịch chuyển.

d) Khi nào hạt tăng tốc, giảm tốc:

Hạt tăng tốc khi $v'(t) > 0$: $$6t > 0 \Leftrightarrow t > 0$$

Hạt giảm tốc khi $v'(t) < 0$: $6t < 0 \Leftrightarrow t < 0$ (không thỏa mãn $t \geq 0$).

Kết luận: Hạt luôn tăng tốc với mọi $t > 0$; hạt không bao giờ giảm tốc trên miền điều kiện.

Dạng 2: Bài toán chi phí biên

Phương pháp giải:

Với hàm chi phí $C(x)$ (chi phí sản xuất $x$ đơn vị hàng hóa):

• Hàm chi phí biên: $C'(x)$.
• $C'(x_0)$ xấp xỉ với chi phí sản xuất đơn vị thứ $x_0 + 1$, tức $C(x_0 + 1) – C(x_0)$.

Bài 1. Giả sử chi phí (tính bằng trăm nghìn đồng) để sản xuất $x$ đơn vị hàng hóa là: $$C(x) = 23000 + 50x – 0{,}5x^2 + 0{,}00175x^3$$

a) Tìm hàm chi phí biên.

b) Tính $C'(100)$ và giải thích ý nghĩa.

c) So sánh $C'(100)$ với chi phí sản xuất đơn vị thứ $101$.

Lời giải chi tiết:

a) Hàm chi phí biên:

Lấy đạo hàm $C(x)$ theo $x$: $$C'(x) = 50 – x + 0{,}00525x^2$$

Hay có thể viết dưới dạng phân số: $C'(x) = \dfrac{21}{4000}x^2 – x + 50$.

b) Tính $C'(100)$:

$$C'(100) = \dfrac{21}{4000} \cdot 100^2 – 100 + 50 = \dfrac{21 \cdot 10000}{4000} – 50 = 52{,}5 – 50 = 2{,}5$$

Vậy $C'(100) = 2{,}5$ (trăm nghìn đồng) $= 250\,000$ đồng.

Ý nghĩa: Chi phí biên tại $x = 100$ là $250\,000$ đồng, nghĩa là chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hóa tiếp theo (đơn vị thứ $101$) xấp xỉ $250\,000$ đồng.

c) So sánh với chi phí thực tế:

Tính $C(101)$ và $C(100)$:

• $C(100) = 23000 + 50 \cdot 100 – 0{,}5 \cdot 10000 + 0{,}00175 \cdot 10^6 = 23000 + 5000 – 5000 + 1750 = 24750$
• $C(101) = 23000 + 50 \cdot 101 – 0{,}5 \cdot 101^2 + 0{,}00175 \cdot 101^3$

Tính nhanh: $C(101) \approx 24752{,}52675$ (trăm nghìn đồng).

Chi phí sản xuất đơn vị thứ $101$: $$C(101) – C(100) \approx 24752{,}52675 – 24750 = 2{,}52675 \ (\text{trăm nghìn đồng})$$

Kết luận: Giá trị $2{,}52675$ xấp xỉ với $C'(100) = 2{,}5$, đúng như ý nghĩa của chi phí biên.

Dạng 3: Bài toán tối ưu — tối đa hóa doanh thu/lợi nhuận

Phương pháp giải:

Áp dụng quy trình 3 bước:

• Bước 1: Xác định đại lượng cần tối đa (doanh thu, lợi nhuận) và biểu diễn theo các đại lượng khác.
• Bước 2: Chọn biến $x$ thích hợp (thường là giá, số lần tăng/giảm giá, số sản phẩm). Đưa hàm mục tiêu về dạng $Q = Q(x)$ và xác định điều kiện.
• Bước 3: Khảo sát $Q(x)$, tìm cực trị, kết luận.

Bài 1. Người quản lí của một khu chung cư có $100$ căn hộ cho thuê nhận thấy rằng tất cả các căn hộ sẽ có người thuê nếu giá thuê là $8$ triệu đồng/tháng/căn. Khảo sát thị trường cho thấy trung bình cứ tăng giá thêm $100$ nghìn đồng thì sẽ có thêm một căn hộ bị bỏ trống. Người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là bao nhiêu để doanh thu lớn nhất?

Lời giải chi tiết:

Bước 1 — Đặt biến và thiết lập hàm số:

Gọi $x$ là số lần tăng giá ($0 < x < 100$, vì nếu $x \geq 100$ sẽ không còn căn hộ nào được thuê).

Sau $x$ lần tăng giá:

• Giá thuê mỗi căn hộ: $8\,000\,000 + 100\,000x$ (đồng)
• Số căn hộ được thuê: $100 – x$ (căn)

Doanh thu mỗi tháng: $$y(x) = (8\,000\,000 + 100\,000x)(100 – x)$$

Khai triển: $$y(x) = 800\,000\,000 – 8\,000\,000x + 10\,000\,000x – 100\,000x^2$$

$$= 800\,000\,000 + 2\,000\,000x – 100\,000x^2$$

Bước 2 — Khảo sát:

Đạo hàm: $$y'(x) = 2\,000\,000 – 200\,000x$$

$y'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 10$.

Bảng biến thiên trên $(0; 100)$:

Tính $y(10) = 800\,000\,000 + 2\,000\,000 \cdot 10 – 100\,000 \cdot 100 = 800\,000\,000 + 20\,000\,000 – 10\,000\,000 = 810\,000\,000$ (đồng).

Bước 3 — Kết luận:

Doanh thu lớn nhất khi $x = 10$ lần tăng giá.

Giá thuê mỗi căn hộ tối ưu: $$8\,000\,000 + 100\,000 \cdot 10 = 9\,000\,000 \ (\text{đồng}) = 9 \ \text{triệu đồng}$$

Vậy người quản lí nên đặt giá thuê mỗi căn hộ là $9$ triệu đồng/tháng. Khi đó doanh thu tối đa là $810$ triệu đồng/tháng (có $90$ căn được thuê).

Dạng 4: Khảo sát hàm cầu và biến đổi ngược

Phương pháp giải:

Với hàm cầu $p = p(x)$ cho trước, để khảo sát theo biến $p$ (tìm $x$ phụ thuộc $p$):

• Bước 1: Biến đổi công thức để rút $x$ theo $p$. Xác định tập xác định của $p$.
• Bước 2: Khảo sát hàm $x = x(p)$ theo sơ đồ 3 bước (tập xác định, sự biến thiên, vẽ đồ thị).
• Bước 3: Từ đồ thị, rút ra các ý nghĩa thực tiễn của bài toán kinh tế.

Bài 1. Giả sử hàm cầu đối với một loại hàng hóa được cho bởi công thức: $$p = \dfrac{354}{1 + 0{,}01x}, \ x \geq 0$$

trong đó $p$ là giá bán (nghìn đồng) của mỗi đơn vị sản phẩm và $x$ là số lượng đơn vị sản phẩm đã bán.

a) Tìm công thức tính $x$ như là hàm số của $p$. Tìm tập xác định của hàm số này. Tính số đơn vị sản phẩm đã bán khi giá bán mỗi đơn vị là $240$ nghìn đồng.

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $x = x(p)$. Từ đồ thị, cho biết:

• Số lượng sản phẩm bán được sẽ thay đổi thế nào khi giá bán $p$ tăng?
• Ý nghĩa thực tiễn của giới hạn $\lim\limits_{p \to 0^+} x(p)$.

Lời giải chi tiết:

a) Tìm $x$ theo $p$:

Biến đổi phương trình: $$p = \dfrac{354}{1 + 0{,}01x} \Leftrightarrow (1 + 0{,}01x) \cdot p = 354$$

$$\Leftrightarrow 0{,}01x = \dfrac{354}{p} – 1 \Leftrightarrow x = \dfrac{35400}{p} – 100$$

Tìm tập xác định của $x = x(p)$:

Vì $x \geq 0$ nên: $$\dfrac{35400}{p} – 100 \geq 0 \Leftrightarrow \dfrac{35400}{p} \geq 100 \Leftrightarrow p \leq 354$$

Kết hợp với $p > 0$ (giá dương), ta được: $D = (0; 354]$.

Tính số sản phẩm đã bán khi $p = 240$:

$$x = \dfrac{35400}{240} – 100 = 147{,}5 – 100 = 47{,}5$$

Vậy đã bán được khoảng $47{,}5$ đơn vị sản phẩm (hoặc làm tròn thành $47$ hoặc $48$ đơn vị).

b) Khảo sát hàm số $x = x(p) = \dfrac{35400}{p} – 100$

① Tập xác định: $D = (0; 354]$.

② Sự biến thiên:

Đạo hàm: $x'(p) = -\dfrac{35400}{p^2} < 0, \ \forall p \in D$.

⟹ Hàm số luôn nghịch biến trên $(0; 354]$. Không có cực trị.

Tiệm cận:

$$\lim\limits_{p \to 0^+} x = \lim\limits_{p \to 0^+} \left(\dfrac{35400}{p} – 100\right) = +\infty$$

⟹ Đường thẳng $p = 0$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Giá trị tại biên phải: $x(354) = \dfrac{35400}{354} – 100 = 100 – 100 = 0$.

Bảng biến thiên:

③ Đồ thị:

• Đồ thị cắt trục hoành tại $(354; 0)$.
• Đi qua các điểm đặc biệt: $(300; 18)$, $(200; 77)$, $(240; 47{,}5)$.
• Có tiệm cận đứng $p = 0$.

Ý nghĩa thực tiễn từ đồ thị:

• Khi $p$ tăng: Đồ thị đi xuống ⟹ số lượng sản phẩm bán được giảm. Đặc biệt, khi $p = 354$ nghìn đồng thì $x = 0$, tức không bán được sản phẩm nào.
• Ý nghĩa của $\lim\limits_{p \to 0^+} x(p) = +\infty$: Khi giá bán càng giảm về $0$ thì số lượng sản phẩm bán được càng tăng lên vô hạn. Điều này phản ánh quy luật kinh tế: giá càng thấp, lượng cầu càng lớn.

Sai lầm thường gặp

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh