I. Lý thuyết trọng tâm

1. Hệ nhị phân và biểu diễn số nguyên

a) Hệ nhị phân là gì?

Trong hệ thập phân quen thuộc, mỗi số được biểu diễn bằng tổng các lũy thừa của 10. Ví dụ: $513 = 5 \times 10^2 + 1 \times 10^1 + 3 \times 10^0$.

Tương tự, ta có thể dùng cơ số 2 để biểu diễn số, gọi là hệ nhị phân (hệ đếm cơ số 2). Hệ nhị phân có các đặc điểm:

• Chỉ sử dụng hai chữ số: 0 và 1 (gọi là các chữ số nhị phân hay bit).
• Mọi số đều có thể biểu diễn bằng một dãy các chữ số 0 và 1.
• Chữ số ở mỗi hàng có giá trị gấp 2 lần chính nó ở hàng liền kề bên phải. Chữ số 1 ở vị trí thứ $k$ (tính từ phải sang trái, bắt đầu từ 0) mang giá trị $2^k$.

Ví dụ: Số 19 trong hệ nhị phân:

$$19 = 1 \times 2^4 + 0 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0$$

Vậy $19_{10} = 10011_2$.

Khi cần phân biệt số thuộc hệ đếm nào, ta viết cơ số làm chỉ số dưới: $19_{10}$ (thập phân), $10011_2$ (nhị phân).

b) Đổi số nguyên dương từ thập phân sang nhị phân

Phương pháp chia liên tiếp cho 2: Chia số cần đổi cho 2, ghi lại số dư; lấy thương tiếp tục chia cho 2; lặp lại đến khi thương bằng 0. Viết các số dư theo chiều từ dưới lên ta được số nhị phân.

Ví dụ minh họa: Đổi $19_{10}$ sang nhị phân:

Viết dư từ dưới lên: $19_{10} = 10011_2$

c) Đổi số từ nhị phân sang thập phân

Tính tổng giá trị của từng bit nhân với lũy thừa tương ứng:

$$d_k d_{k-1} \ldots d_1 d_0 ;(\text{hệ 2}) = d_k \times 2^k + d_{k-1} \times 2^{k-1} + \ldots + d_1 \times 2^1 + d_0 \times 2^0$$

Ví dụ: $1101_2 = 1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13_{10}$

Mẹo nhanh: Ghi sẵn dãy lũy thừa của 2 từ phải sang trái: …, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1. Sau đó chỉ cộng các giá trị tương ứng với bit 1.

d) Biểu diễn số nguyên trong bộ nhớ máy tính

Số nguyên không dấu (số dương): Đổi sang nhị phân rồi đưa vào bộ nhớ. Tùy theo giá trị lớn hay nhỏ mà cần 1 byte, 2 byte hay nhiều hơn. Nếu chưa đủ bit thì bổ sung các bit 0 vào phía bên trái.

Số nguyên có dấu: Dành bit tận cùng bên trái làm bit dấu — bit 0 nghĩa là dương (+), bit 1 nghĩa là âm (−). Có ba cách mã hóa phổ biến: mã thuận (mã dấu–lượng), mã bù 1 (mã đảo) và mã bù 2.

Ví dụ với 1 byte:

Số dương có mã giống nhau ở cả ba cách. Chỉ số âm mới khác biệt.

2. Các phép tính số học trong hệ nhị phân

Máy tính biểu diễn số trên hệ nhị phân, nên cũng cần thực hiện các phép tính trực tiếp trên hệ nhị phân. Đây chính là ứng dụng quan trọng nhất của hệ nhị phân trong tin học.

a) Bảng cộng và nhân cơ bản

Lưu ý quan trọng: Trong nhị phân, $1 + 1 = 10$ (không phải 2, vì hệ nhị phân không có chữ số 2). Nếu cộng hai bit 1 mà còn nhớ 1 từ hàng trước: $1 + 1 + 1 = 11$ (ghi 1, nhớ 1).

b) Phép cộng hai số nhị phân

Thực hiện từ phải sang trái, giống hệt phép cộng trong hệ thập phân, chỉ khác ở quy tắc “nhớ” dựa trên bảng cộng nhị phân.

Ví dụ SGK: $11011_2 + 11010_2$

    1 1 0 1 1
  + 1 1 0 1 0
  -----------
  1 1 0 1 0 1

Kiểm tra: $11011_2 = 27$, $11010_2 = 26$, $110101_2 = 53$ → $27 + 26 = 53$ ✓

c) Phép nhân hai số nhị phân

Thực hiện giống phép nhân thập phân: nhân thừa số thứ nhất lần lượt với từng chữ số của thừa số thứ hai (từ phải sang trái), đặt kết quả lệch dần sang trái, rồi cộng tất cả lại.

Ví dụ SGK: $1101_2 \times 101_2$

        1 1 0 1
      ×   1 0 1
      ---------
        1 1 0 1    (× 1)
      0 0 0 0      (× 0, dịch trái 1)
    1 1 0 1        (× 1, dịch trái 2)
    ---------------
    1 0 0 0 0 0 1

Kiểm tra: $1101_2 = 13$, $101_2 = 5$, $1000001_2 = 65$ → $13 \times 5 = 65$ ✓

d) Quy trình tính toán trên máy tính

Mọi phép tính trên máy tính đều theo 3 bước:

$$\boxed{\text{Bước 1: Mã hóa}} \rightarrow \boxed{\text{Bước 2: Tính trong hệ nhị phân}} \rightarrow \boxed{\text{Bước 3: Giải mã kết quả}}$$

• Bước 1 – Mã hóa dữ liệu: Đổi các toán hạng từ hệ thập phân sang hệ nhị phân.
• Bước 2 – Thực hiện phép tính: Cộng/nhân trực tiếp trong hệ nhị phân.
• Bước 3 – Giải mã kết quả: Đổi kết quả từ hệ nhị phân sang hệ thập phân.

II. Phương pháp giải các dạng bài tập

Dạng 1: Đổi số giữa hệ thập phân và hệ nhị phân

1a. Đổi thập phân → nhị phân

Phương pháp: Chia liên tiếp cho 2, ghi dư, viết dư từ dưới lên.

Bài tập mẫu (SGK – Câu hỏi mục 1, bài 1b): Đổi $155_{10}$ sang hệ nhị phân.

Viết dư từ dưới lên: $155_{10} = 10011011_2$

1b. Đổi nhị phân → thập phân

Phương pháp: Ghi dãy lũy thừa $2^0, 2^1, 2^2, \ldots$ dưới từng bit (từ phải sang trái), cộng các giá trị ứng với bit 1.

Bài tập mẫu (SGK – Câu hỏi mục 1, bài 2a): Đổi $110011_2$ sang hệ thập phân.

$$110011_2 = 32 + 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 51_{10}$$

Dạng 2: Cộng và nhân hai số trong hệ nhị phân

2a. Phép cộng nhị phân

Phương pháp:

• Viết hai số thẳng hàng (căn phải), cộng từ phải sang trái.
• Áp dụng bảng cộng: $0+0=0$; $0+1=1$; $1+0=1$; $1+1=10$ (ghi 0 nhớ 1).
• Nếu $1+1$ mà có thêm nhớ 1 → $1+1+1=11$ (ghi 1 nhớ 1).

Bài tập mẫu (SGK – Câu hỏi mục 2): Tính $101101_2 + 11001_2$

    1 0 1 1 0 1
  +   0 1 1 0 0 1
  ----------------

Cộng từng cột (phải → trái):

$$101101_2 + 11001_2 = 1000110_2$$

Kiểm tra: $45 + 25 = 70$; $1000110_2 = 64 + 4 + 2 = 70$ ✓

2b. Phép nhân nhị phân

Phương pháp:

• Nhân thừa số thứ nhất lần lượt với từng bit của thừa số thứ hai (từ phải sang trái).
• Nếu bit đang xét = 1 → chép lại thừa số thứ nhất (dịch trái tương ứng).
• Nếu bit đang xét = 0 → viết toàn 0 (dịch trái tương ứng).
• Cộng tất cả các tích trung gian lại.

Bài tập mẫu (SGK – Câu hỏi mục 2): Tính $100111_2 \times 1011_2$

          1 0 0 1 1 1
        ×       1 0 1 1
        ----------------
          1 0 0 1 1 1      (× 1)
        1 0 0 1 1 1        (× 1, dịch trái 1)
      0 0 0 0 0 0          (× 0, dịch trái 2)
    1 0 0 1 1 1            (× 1, dịch trái 3)
    -----------------------
    1 1 0 1 0 1 1 0 1

Kiểm tra: $100111_2 = 39$, $1011_2 = 11$, $39 \times 11 = 429$; $110101101_2 = 256 + 128 + 32 + 8 + 4 + 1 = 429$ ✓

Dạng 3: Thực hiện phép tính theo quy trình 3 bước (mã hóa → tính → giải mã)

Phương pháp:

• Bước 1: Đổi tất cả các toán hạng từ thập phân sang nhị phân (dùng phương pháp chia liên tiếp cho 2).
• Bước 2: Thực hiện phép tính (cộng hoặc nhân) trực tiếp trên hệ nhị phân.
• Bước 3: Đổi kết quả từ nhị phân về thập phân (tính tổng lũy thừa) để kiểm tra.

Bài tập mẫu 1 (SGK – Luyện tập, bài 1a): Tính $125 + 17$ theo quy trình 3 bước.

Bước 1 – Mã hóa:

$125_{10}$: chia liên tiếp cho 2 → $1111101_2$

$17_{10}$: chia liên tiếp cho 2 → $10001_2$

Bước 2 – Cộng trong hệ nhị phân:

    1 1 1 1 1 0 1
  +   0 0 1 0 0 0 1
  ------------------
    1 0 0 0 1 1 1 0

Bước 3 – Giải mã:

$10001110_2 = 128 + 8 + 4 + 2 = 142_{10}$

Kiểm tra: $125 + 17 = 142$ ✓

Bài tập mẫu 2 (SGK – Luyện tập, bài 2a): Tính $15 \times 6$ theo quy trình 3 bước.

Bước 1 – Mã hóa:

$15_{10} = 1111_2$

$6_{10} = 110_2$

Bước 2 – Nhân trong hệ nhị phân:

        1 1 1 1
      ×     1 1 0
      -----------
        0 0 0 0      (× 0)
      1 1 1 1        (× 1, dịch trái 1)
    1 1 1 1          (× 1, dịch trái 2)
    -----------------
    1 0 1 1 0 1 0

Bước 3 – Giải mã:

$1011010_2 = 64 + 16 + 8 + 2 = 90_{10}$

Kiểm tra: $15 \times 6 = 90$ ✓

III. Sơ đồ tư duy

1. Hệ nhị phân

• 1.1. Chỉ dùng 2 chữ số: 0 và 1
• 1.2. Giá trị vị trí: bit thứ $k$ (từ phải, bắt đầu 0) mang giá trị $2^k$
• 1.3. Kí hiệu: chỉ số dưới phân biệt hệ đếm ($19_{10}$, $10011_2$)

2. Đổi cơ số

• 2.1. Thập phân → Nhị phân: chia liên tiếp cho 2, viết dư từ dưới lên
• 2.2. Nhị phân → Thập phân: tính tổng $d_k \times 2^k + \ldots + d_0 \times 2^0$

3. Biểu diễn số nguyên trong máy tính

• 3.1. Số nguyên không dấu: đổi sang nhị phân, thêm bit 0 bên trái cho đủ byte
• 3.2. Số nguyên có dấu: bit trái nhất = bit dấu (0: dương, 1: âm)
  • Mã thuận, mã bù 1, mã bù 2

4. Phép tính số học nhị phân

• 4.1. Bảng cộng: $1 + 1 = 10$ (ghi 0 nhớ 1)
• 4.2. Phép cộng: thực hiện từ phải sang trái, có nhớ
• 4.3. Phép nhân: nhân từng bit, dịch trái, rồi cộng lại
• 4.4. Quy trình máy tính: Mã hóa → Tính nhị phân → Giải mã

IV. Sai lầm thường gặp

Thầy Phạm Thành Danh

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Tin Học THPT

Trình độ: Cử nhân Sư phạm Tin học, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 8+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Thuận Hóa