Lớp 10 · Toán
Bài 3
Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
Định nghĩa · Nghiệm · Miền nghiệm · Biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ
1
Định nghĩa Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
▼
Định nghĩa
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x$, $y$ có dạng tổng quát:
$ax + by \leq c$
(hoặc $ax + by \geq c$, $ax + by < c$, $ax + by > c$)
(hoặc $ax + by \geq c$, $ax + by < c$, $ax + by > c$)
trong đó $a$, $b$, $c$ là các số thực cho trước, $a$ và $b$ KHÔNG đồng thời bằng $0$; $x$, $y$ là các ẩn số.
Nhận biết bất phương trình bậc nhất hai ẩn
✓
$2x + 3y < 1$ — đúng dạng $ax + by < c$ với $a = 2$, $b = 3$, $c = 1$.
✓
$4x + y \leq 0$ — đúng dạng với $c = 0$ (đường $d$ đi qua gốc toạ độ).
✗
$2x^2 + 3y < 1$ — chứa $x^2$ (bậc hai) → KHÔNG phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
✗
$xy + y \geq 2$ — chứa tích $xy$ → KHÔNG phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
⚠️Lưu ý: Biểu thức như $2^2 x + y \leq 0$ vẫn là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì $2^2 = 4$ là hằng số. Chỉ khi biến $x$ hoặc $y$ có bậc $\geq 2$ (như $x^2$, $y^2$, $xy$) thì mới không phải.
2
Nghiệm của Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
▼
Khái niệm nghiệm
Cặp số $(x_0;\ y_0)$ được gọi là một nghiệm của bất phương trình $ax + by \leq c$ nếu khi thay $x = x_0$, $y = y_0$ vào, ta được bất đẳng thức đúng:
$ax_0 + by_0 \leq c$ (đúng)
💡Tính chất quan trọng: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.
Ví dụ 1 — Kiểm tra nghiệm
Cho bất phương trình $x + 2y > 5$. Cặp số nào sau đây là nghiệm?
a) $(x;\ y) = (3;\ 4)$
→Thay $x = 3$, $y = 4$ vào vế trái: $3 + 2 \cdot 4 = 3 + 8 = 11$.
→So sánh với vế phải: $11 > 5$ ✓ (đúng).
⟹Cặp $(3;\ 4)$ LÀ nghiệm.
b) $(x;\ y) = (0;\ -1)$
→Thay $x = 0$, $y = -1$: $0 + 2 \cdot (-1) = -2$.
→So sánh: $-2 > 5$ ✗ (sai).
⟹Cặp $(0;\ -1)$ KHÔNG phải nghiệm.
⚠️Cách kiểm tra: Thay toạ độ vào vế trái bất phương trình, tính ra một số. So sánh số đó với vế phải theo dấu của bất phương trình. Nếu đúng → là nghiệm; nếu sai → không phải nghiệm.
3
Miền nghiệm và cách biểu diễn
▼
Định nghĩa miền nghiệm
Trên mặt phẳng toạ độ $Oxy$, tập hợp tất cả các điểm có toạ độ là nghiệm của bất phương trình $ax + by \leq c$ được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.
Tính chất chia nửa mặt phẳng
Đường thẳng $d: ax + by = c$ chia mặt phẳng toạ độ thành hai nửa:
•Một nửa (không kể bờ $d$) gồm các điểm thoả $ax + by > c$.
•Nửa còn lại (không kể bờ $d$) gồm các điểm thoả $ax + by < c$.
•Bờ $d$ gồm các điểm thoả $ax + by = c$.
Hình 1: Đường thẳng $d: 2x - y = 4$ chia mặt phẳng thành hai nửa
Cách biểu diễn miền nghiệm — 2 bước
Bước 1
Vẽ đường $d$:
$ax + by = c$
Vẽ đường $d$:
$ax + by = c$
→
Bước 2
Thử điểm $M_0 \notin d$
và xác định miền
Thử điểm $M_0 \notin d$
và xác định miền
Bước 1 — Vẽ đường thẳng $d: ax + by = c$
→Tìm giao của $d$ với trục $Ox$: cho $y = 0$, tìm $x$.
→Tìm giao của $d$ với trục $Oy$: cho $x = 0$, tìm $y$.
→Vẽ đường thẳng đi qua hai giao điểm này.
Quy ước nét liền / nét đứt
Nét liền
Bất phương trình có dấu $\leq$ hoặc $\geq$ → đường bờ thuộc miền nghiệm.
Nét đứt
Bất phương trình có dấu $<$ hoặc $>$ → đường bờ KHÔNG thuộc miền nghiệm.
Bước 2 — Chọn điểm thử $M_0(x_0;\ y_0)$ không thuộc $d$
→Tính $ax_0 + by_0$ rồi so sánh với $c$.
①Nếu $M_0$ thoả mãn bất phương trình → miền nghiệm là nửa chứa $M_0$.
②Nếu $M_0$ không thoả → miền nghiệm là nửa không chứa $M_0$.
Mẹo chọn điểm thử
| Trường hợp | Điểm thử nên chọn |
|---|---|
| $c \neq 0$ | $O(0;\ 0)$ — gốc toạ độ |
| $c = 0$ (đường $d$ qua $O$) | $(1;\ 0)$ hoặc $(0;\ 1)$ |
💡Vì sao chọn $O(0;\ 0)$ khi $c \neq 0$? Vì thay $x = y = 0$ vào vế trái rất nhanh: $a \cdot 0 + b \cdot 0 = 0$. So sánh $0$ với $c$ tức thì biết miền nào.
▸ Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn
Khi đường thẳng $d$ cắt trục $Ox$ tại $(p;\ 0)$ và cắt trục $Oy$ tại $(0;\ q)$ (với $p, q \ne 0$), phương trình của $d$ có dạng:
$\dfrac{x}{p} + \dfrac{y}{q} = 1$
Đây là phương trình theo đoạn chắn. Để đưa về dạng $ax + by = c$, ta nhân hai vế với $pq$.
Ví dụ — Viết phương trình $d$
Đường thẳng $d$ đi qua $(3;\ 0)$ và $(0;\ 2)$.
→Áp dụng đoạn chắn với $p = 3$, $q = 2$: $\dfrac{x}{3} + \dfrac{y}{2} = 1$
→Nhân hai vế với $6$: $2x + 3y = 6$.
⟹Phương trình $d$: $\mathbf{2x + 3y = 6}$.
⚠️Trường hợp đặc biệt: Nếu $d$ đi qua gốc $O$ (tức $c = 0$), không dùng được đoạn chắn. Khi đó cần biết thêm 1 điểm khác $O$ trên $d$ để xác định phương trình $d: y = kx$ (với $k$ là hệ số góc), rồi đưa về dạng $ax + by = 0$.
4
Ví dụ biểu diễn miền nghiệm
▼
Ví dụ 2 — Trường hợp $c \ne 0$, dấu $\geq$
Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $x + y \geq 100$.
①Vẽ đường thẳng $d: x + y = 100$.
Giao $Ox$: cho $y = 0$ → $x = 100$, được điểm $(100;\ 0)$.
Giao $Oy$: cho $x = 0$ → $y = 100$, được điểm $(0;\ 100)$.
Vì dấu $\geq$ → vẽ nét liền.
②Chọn điểm thử $O(0;\ 0)$ (vì $c = 100 \ne 0$).
Thay vào vế trái: $0 + 0 = 0$.
So sánh: $0 \geq 100$ → SAI ✗
⟹Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$ không chứa $O$ (kể cả đường $d$).
Hình 2: Miền nghiệm $x + y \geq 100$ (phần được tô đậm, kể cả đường $d$)
Ví dụ 3 — Trường hợp $c = 0$, dấu $\leq$
Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $5x - 7y \leq 0$.
①Vẽ đường thẳng $d: 5x - 7y = 0$.
Đường thẳng đi qua gốc $O(0;\ 0)$ (vì $c = 0$).
Tìm thêm 1 điểm: cho $x = 7$ → $5 \cdot 7 - 7y = 0$ → $y = 5$, được điểm $(7;\ 5)$.
Vì dấu $\leq$ → vẽ nét liền.
②Vì $d$ qua $O$ nên KHÔNG dùng $O$ làm điểm thử. Chọn $M_0(0;\ 1)$.
Thay vào vế trái: $5 \cdot 0 - 7 \cdot 1 = -7$.
So sánh: $-7 \leq 0$ → ĐÚNG ✓
⟹Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa $M_0(0;\ 1)$ (kể cả đường $d$).
Hình 3: Miền nghiệm $5x - 7y \leq 0$ (phần được tô đậm, kể cả đường $d$)
5
Ứng dụng vào bài toán thực tế
▼
Quy trình giải bài toán thực tế
1
Gọi ẩn: xác định rõ $x$ và $y$ là gì, kèm điều kiện ($x \geq 0$, $y \geq 0$, $x \in \mathbb{N}$,...).
2
Lập biểu thức: tổng tiền/chi phí/khối lượng theo $x$ và $y$.
3
Viết bất phương trình theo yêu cầu đề: "không quá", "ít nhất", "tối thiểu",...
4
Thu gọn bất phương trình rồi biểu diễn miền nghiệm theo 2 bước ở Card 3.
Ví dụ 4 — Bài toán rạp chiếu phim
Một rạp chiếu phim bán hai loại vé: vé loại 1 giá $50$ nghìn đồng, vé loại 2 giá $100$ nghìn đồng. Để không bù lỗ, tổng tiền vé phải đạt tối thiểu $20$ triệu đồng. Hỏi khi nào rạp phải bù lỗ?
Lời giải:
①Gọi $x$ = số vé loại 1, $y$ = số vé loại 2 ($x, y \in \mathbb{N}$).
②Tổng tiền vé: $50x + 100y$ (nghìn đồng).
③Rạp bù lỗ ⟺ tổng tiền $<$ $20$ triệu = $20\,000$ nghìn đồng:
$50x + 100y < 20\,000$
④Chia hai vế cho $50$: $x + 2y < 400$.
⟹Rạp phải bù lỗ khi $(x;\ y)$ thoả $x + 2y < 400$ (với $x, y \geq 0$).
Hình 4: Miền bù lỗ là tam giác $OAB$ với $A(0;\ 200)$, $B(400;\ 0)$, không kể cạnh $AB$
Kiểm tra một số trường hợp:
•$150$ vé loại 1, $150$ vé loại 2: $150 + 2 \cdot 150 = 450 > 400$ → có lãi.
•$200$ vé loại 1, $100$ vé loại 2: $200 + 2 \cdot 100 = 400$ → hoà vốn.
•$100$ vé loại 1, $100$ vé loại 2: $100 + 2 \cdot 100 = 300 < 400$ → bù lỗ.
⚠️Cẩn thận với ngữ cảnh: Trong bài toán thực tế, các đại lượng (số vé, số km, số giờ,...) luôn không âm. Vì vậy miền nghiệm thực tế chỉ nằm trong góc phần tư thứ nhất ($x \geq 0$, $y \geq 0$).
6
Tổng kết
▼
✓Tóm tắt Bài 3:
• BPT bậc nhất hai ẩn: $ax + by \leq c$ ($a, b$ không đồng thời $0$).
• Nghiệm: cặp $(x_0; y_0)$ thoả mãn — luôn có vô số nghiệm.
• Miền nghiệm: tập điểm trên mặt phẳng có toạ độ là nghiệm.
• Đường $d: ax + by = c$ chia mặt phẳng thành 2 nửa.
• 2 bước biểu diễn: ① vẽ $d$ (nét liền $\leq, \geq$ / nét đứt $<, >$); ② thử $M_0 \notin d$.
• Mẹo: $c \ne 0$ chọn $O(0;0)$; $c = 0$ chọn $(1;0)$ hoặc $(0;1)$.
📚
Xem thêm bài viết chi tiết• BPT bậc nhất hai ẩn: $ax + by \leq c$ ($a, b$ không đồng thời $0$).
• Nghiệm: cặp $(x_0; y_0)$ thoả mãn — luôn có vô số nghiệm.
• Miền nghiệm: tập điểm trên mặt phẳng có toạ độ là nghiệm.
• Đường $d: ax + by = c$ chia mặt phẳng thành 2 nửa.
• 2 bước biểu diễn: ① vẽ $d$ (nét liền $\leq, \geq$ / nét đứt $<, >$); ② thử $M_0 \notin d$.
• Mẹo: $c \ne 0$ chọn $O(0;0)$; $c = 0$ chọn $(1;0)$ hoặc $(0;1)$.
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn — lý thuyết, các dạng bài tập →
1
—
Điểm: 0/25
📐
Luyện tập Bất phương trình bậc nhất hai ẩn!
25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh