Lớp 10 · Toán
Bài 18
Phương Trình Quy Về Phương Trình Bậc Hai
Phương trình chứa căn thức · Bình phương hai vế · Nghiệm ngoại lai
1
Hai dạng phương trình chứa căn thức thường gặp
▼
Trong bài này, ta học cách giải hai dạng phương trình chứa căn thức quy về phương trình bậc hai. Đây là những dạng cơ bản và thường gặp:
Dạng 1
Hai vế đều là căn thức:
$\sqrt{ax^2 + bx + c} = \sqrt{dx^2 + ex + f}$
Dạng 2
Một vế căn thức, vế kia là biểu thức bậc nhất:
$\sqrt{ax^2 + bx + c} = dx + e$
Ý tưởng chung
→Bình phương hai vế để khử dấu căn, đưa về phương trình bậc hai.
→Giải phương trình bậc hai nhận được.
→Thử lại từng nghiệm vào phương trình ban đầu để loại nghiệm ngoại lai.
⚠️ Quan trọng — Nghiệm ngoại lai
Phép bình phương hai vế có thể sinh ra nghiệm ngoại lai — đó là nghiệm thoả mãn phương trình sau khi bình phương nhưng KHÔNG thoả phương trình ban đầu.
Ví dụ: $x = -3$ không thoả $\sqrt{x^2} = x$ (vì vế trái $= 3$, vế phải $= -3$), nhưng sau khi bình phương thì $x^2 = x^2$ luôn đúng — sinh ra nghiệm "giả".
Vì vậy, bước thử lại là BẮT BUỘC.
Ví dụ: $x = -3$ không thoả $\sqrt{x^2} = x$ (vì vế trái $= 3$, vế phải $= -3$), nhưng sau khi bình phương thì $x^2 = x^2$ luôn đúng — sinh ra nghiệm "giả".
Vì vậy, bước thử lại là BẮT BUỘC.
2
Dạng 1: $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$
▼
Phương pháp giải
Bước 1 — Bình phương hai vế
$ax^2 + bx + c = dx^2 + ex + f$
Bước 2 — Thu gọn và giải phương trình
Chuyển vế, đưa về phương trình bậc hai (hoặc bậc nhất nếu hệ số $x^2$ triệt tiêu) rồi giải.
Bước 3 — Thử lại
Với mỗi nghiệm $x$ tìm được, thay vào cả hai biểu thức dưới dấu căn:
• Nếu một trong hai biểu thức $< 0$ → căn không xác định → LOẠI.
• Nếu cả hai $\geq 0$ và bằng nhau → NHẬN.
• Nếu một trong hai biểu thức $< 0$ → căn không xác định → LOẠI.
• Nếu cả hai $\geq 0$ và bằng nhau → NHẬN.
💡Mẹo: Sau khi bình phương, nếu hai vế cho ra giá trị bằng nhau (như câu (a) ở Ví dụ dưới) thì chỉ cần kiểm tra biểu thức dưới căn $\geq 0$ là đủ.
Ví dụ 1 — Có nghiệm ngoại lai
Giải phương trình $\sqrt{2x^2 - 4x - 2} = \sqrt{x^2 - x - 2}$.
①Bình phương hai vế:
$2x^2 - 4x - 2 = x^2 - x - 2$
$\Leftrightarrow x^2 - 3x = 0 \Leftrightarrow x(x - 3) = 0$
$\Rightarrow x = 0$ hoặc $x = 3$.
②Thử lại:
• $x = 0$: $x^2 - x - 2 = 0 - 0 - 2 = -2 < 0$ → căn KHÔNG xác định → LOẠI. ✗
• $x = 3$: vế trái $= \sqrt{18 - 12 - 2} = \sqrt{4} = 2$; vế phải $= \sqrt{9 - 3 - 2} = \sqrt{4} = 2$. → NHẬN. ✓
⟹Nghiệm: $x = 3$.
3
Dạng 2: $\sqrt{f(x)} = dx + e$
▼
Đây là dạng khó hơn Dạng 1 vì cần kiểm tra thêm điều kiện vế phải.
Tính chất quan trọng
Vế trái $\sqrt{ax^2 + bx + c}$ luôn $\geq 0$ (vì là một căn bậc hai).
Do đó vế phải cũng phải $\geq 0$:
Do đó vế phải cũng phải $\geq 0$:
$dx + e \geq 0$
Phương pháp giải
Bước 1 — Bình phương hai vế
$ax^2 + bx + c = (dx + e)^2$
Khai triển: $(dx + e)^2 = d^2 x^2 + 2de \cdot x + e^2$.
Khai triển: $(dx + e)^2 = d^2 x^2 + 2de \cdot x + e^2$.
Bước 2 — Thu gọn và giải
Đưa về phương trình bậc hai và giải.
Bước 3 — Thử lại
Với mỗi nghiệm $x$ tìm được:
• Kiểm tra trước: $dx + e \geq 0$ → nếu $< 0$ thì LOẠI NGAY (mẹo loại nhanh).
• Kiểm tra biểu thức dưới căn $\geq 0$.
• Thay vào và xác nhận hai vế bằng nhau → NHẬN.
• Kiểm tra trước: $dx + e \geq 0$ → nếu $< 0$ thì LOẠI NGAY (mẹo loại nhanh).
• Kiểm tra biểu thức dưới căn $\geq 0$.
• Thay vào và xác nhận hai vế bằng nhau → NHẬN.
⚠️Mẹo loại nhanh: Trước khi thay nghiệm vào căn để tính, hãy kiểm tra $dx + e$ tại nghiệm đó. Nếu $dx + e < 0$ thì LOẠI ngay, không cần tốn công thay vào căn.
Ví dụ 2 — Áp dụng mẹo loại nhanh
Giải phương trình $\sqrt{2x^2 - 5x - 9} = x - 1$.
①Điều kiện vế phải: $x - 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1$.
②Bình phương hai vế:
$2x^2 - 5x - 9 = (x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1$
$\Leftrightarrow x^2 - 3x - 10 = 0 \Leftrightarrow (x - 5)(x + 2) = 0$
$\Rightarrow x = 5$ hoặc $x = -2$.
③Thử lại:
• $x = -2$: $x - 1 = -3 < 0$ → LOẠI ngay. ✗
• $x = 5$: vế trái $= \sqrt{50 - 25 - 9} = \sqrt{16} = 4$; vế phải $= 4$. → NHẬN. ✓
⟹Nghiệm: $x = 5$.
⚠️ Sai lầm cần tránh
Khai triển $(dx + e)^2$ sai dấu: nhớ rằng $(dx + e)^2 = d^2 x^2 + 2de \cdot x + e^2$ — đặc biệt khi $d$ hoặc $e$ âm, phải cẩn thận với dấu của $2de$.
Ví dụ: $(2x - 4)^2 = 4x^2 - 16x + 16$ (không phải $4x^2 + 16x + 16$).
Ví dụ: $(2x - 4)^2 = 4x^2 - 16x + 16$ (không phải $4x^2 + 16x + 16$).
4
Bài toán thực tế
▼
Phương trình chứa căn xuất hiện tự nhiên trong các bài toán thực tế liên quan đến khoảng cách (định lí Pythagore: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$), chuyển động (thời gian = quãng đường / vận tốc),...
Quy trình giải bài toán thực tế
1
Đọc đề, gọi ẩn $x$, xác định điều kiện thực tế của $x$ ($x > 0$, $x < $ số nào đó,...).
2
Dựa trên dữ kiện, lập phương trình chứa căn (thường dùng định lí Pythagore: $\sqrt{a^2 + b^2}$ cho khoảng cách).
3
Giải phương trình bằng cách bình phương hai vế.
4
Thử lại nghiệm với điều kiện căn và điều kiện thực tế. Loại nghiệm không phù hợp.
Ví dụ 3 — Bài toán Pythagore
Một thanh trượt có chiều dài $13$ m. Đầu trên của thanh tựa vào tường thẳng đứng, đầu dưới đặt trên mặt đất cách chân tường $x$ m. Biết khoảng cách từ đỉnh thanh đến mặt đất nhỏ hơn $2x$ một đoạn $1$ m. Tìm $x$.
①Điều kiện: $x > 0$ và đỉnh cao $> 0$ → $2x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 0{,}5$.
②Theo Pythagore: chiều cao đỉnh $= \sqrt{13^2 - x^2} = \sqrt{169 - x^2}$.
③Theo đề: $\sqrt{169 - x^2} = 2x - 1$.
④Bình phương: $169 - x^2 = 4x^2 - 4x + 1 \Leftrightarrow 5x^2 - 4x - 168 = 0$.
$\Delta' = 4 + 5 \cdot 168 = 844$. $\sqrt{\Delta'} = 2\sqrt{211}$.
$x = \dfrac{2 \pm 2\sqrt{211}}{5}$ → 2 nghiệm: $x_1 \approx 6{,}2$ và $x_2 \approx -5{,}4$.
⑤Thử lại: $x_2 < 0$ → LOẠI; $x_1 \approx 6{,}2$ thoả $x > 0{,}5$ → NHẬN.
⟹$x \approx 6{,}2$ m.
5
Phương pháp giải các dạng toán
▼
Dạng 1 — $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$
1
Bình phương hai vế: $f(x) = g(x)$.
2
Thu gọn về phương trình bậc hai (hoặc bậc nhất). Giải.
3
Thử lại từng nghiệm: cả hai $f(x)$ và $g(x)$ phải $\geq 0$.
Dạng 2 — $\sqrt{f(x)} = dx + e$
1
Ghi nhớ điều kiện $dx + e \geq 0$ (sẽ dùng ở bước thử lại).
2
Bình phương hai vế: $f(x) = (dx + e)^2$. Khai triển cẩn thận.
3
Thu gọn về phương trình bậc hai. Giải.
4
Thử lại: kiểm tra $dx + e \geq 0$ trước; nếu sai → loại ngay. Sau đó thay vào để xác nhận.
Dạng 3 — Bài toán thực tế
1
Đặt ẩn, ghi điều kiện thực tế.
2
Lập phương trình chứa căn từ định lí Pythagore / công thức khoảng cách / công thức chuyển động.
3
Giải bằng phương pháp bình phương hai vế.
4
Loại nghiệm theo điều kiện thực tế (như $x > 0$, $x$ trong khoảng nào đó).
⚠️Sai lầm thường gặp:
• Bình phương xong kết luận luôn mà không thử lại → bỏ sót nghiệm ngoại lai.
• Quên kiểm tra biểu thức dưới căn $\geq 0$.
• Quên kiểm tra $dx + e \geq 0$ ở Dạng 2.
• Khai triển $(dx + e)^2$ sai dấu — luôn nhớ $(dx + e)^2 = d^2 x^2 + 2de \cdot x + e^2$.
• Trong bài toán thực tế, quên loại nghiệm không phù hợp điều kiện đề bài.
• Bình phương xong kết luận luôn mà không thử lại → bỏ sót nghiệm ngoại lai.
• Quên kiểm tra biểu thức dưới căn $\geq 0$.
• Quên kiểm tra $dx + e \geq 0$ ở Dạng 2.
• Khai triển $(dx + e)^2$ sai dấu — luôn nhớ $(dx + e)^2 = d^2 x^2 + 2de \cdot x + e^2$.
• Trong bài toán thực tế, quên loại nghiệm không phù hợp điều kiện đề bài.
6
Tổng kết
▼
Bảng so sánh hai dạng phương trình
| Dạng | Phương trình | Bước thử lại |
|---|---|---|
| 1 | $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ | Kiểm tra $f(x) \geq 0$ và $g(x) \geq 0$ tại nghiệm |
| 2 | $\sqrt{f(x)} = dx + e$ | Kiểm tra $dx + e \geq 0$ (loại nhanh), rồi $f(x) \geq 0$ |
✓Tóm tắt Bài 18:
• Phương pháp chung: bình phương hai vế → giải phương trình bậc hai → THỬ LẠI.
• Bước thử lại là BẮT BUỘC vì bình phương có thể sinh nghiệm ngoại lai.
• Dạng 1: kiểm tra cả hai biểu thức dưới căn $\geq 0$ tại nghiệm.
• Dạng 2: kiểm tra $dx + e \geq 0$ trước (mẹo loại nhanh).
• Khai triển $(dx + e)^2$: $d^2 x^2 + 2de \cdot x + e^2$ — cẩn thận với dấu.
• Bài toán thực tế: dùng Pythagore hoặc công thức khoảng cách; nhớ loại nghiệm theo điều kiện thực tế.
📚
Xem thêm bài viết chi tiết• Phương pháp chung: bình phương hai vế → giải phương trình bậc hai → THỬ LẠI.
• Bước thử lại là BẮT BUỘC vì bình phương có thể sinh nghiệm ngoại lai.
• Dạng 1: kiểm tra cả hai biểu thức dưới căn $\geq 0$ tại nghiệm.
• Dạng 2: kiểm tra $dx + e \geq 0$ trước (mẹo loại nhanh).
• Khai triển $(dx + e)^2$: $d^2 x^2 + 2de \cdot x + e^2$ — cẩn thận với dấu.
• Bài toán thực tế: dùng Pythagore hoặc công thức khoảng cách; nhớ loại nghiệm theo điều kiện thực tế.
Phương trình quy về phương trình bậc hai — lý thuyết, bài tập →
1
—
Điểm: 0/25
√
Luyện tập về Phương trình quy về bậc hai!
25 câu · 3 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh