Trong bài này, chúng ta sẽ giải các phương trình chứa căn thức thường gặp có hai dạng:

$$\sqrt{ax^2 + bx + c} = \sqrt{dx^2 + ex + f} \qquad \text{và} \qquad \sqrt{ax^2 + bx + c} = dx + e$$

1. Phương trình dạng $\sqrt{ax^2 + bx + c} = \sqrt{dx^2 + ex + f}$

Phương pháp giải

Để giải phương trình $\sqrt{ax^2 + bx + c} = \sqrt{dx^2 + ex + f}$, ta thực hiện như sau:

• Bước 1. Bình phương hai vế của phương trình để khử căn và giải phương trình nhận được.
• Bước 2. Thử lại các giá trị $x$ tìm được ở bước 1 có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.

Lưu ý. Bước thử lại là bắt buộc vì khi bình phương hai vế, ta có thể sinh ra nghiệm ngoại lai (nghiệm không thoả mãn phương trình ban đầu). Cụ thể, cần kiểm tra biểu thức dưới các dấu căn có không âm hay không.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1 (SGK). Giải phương trình $\sqrt{2x^2 – 4x – 2} = \sqrt{x^2 – x – 2}$.

Giải:

Bước 1. Bình phương hai vế:

$$2x^2 – 4x – 2 = x^2 – x – 2$$

Thu gọn: $x^2 – 3x = 0 \Leftrightarrow x(x – 3) = 0$.

Tìm được $x = 0$ hoặc $x = 3$.

Bước 2. Thử lại:

• Với $x = 0$: Vế trái $= \sqrt{0 – 0 – 2} = \sqrt{-2}$ → không xác định. ✗
• Với $x = 3$: Vế trái $= \sqrt{18 – 12 – 2} = \sqrt{4} = 2$. Vế phải $= \sqrt{9 – 3 – 2} = \sqrt{4} = 2$. ✓

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 3$.

2. Phương trình dạng $\sqrt{ax^2 + bx + c} = dx + e$

Phương pháp giải

Để giải phương trình $\sqrt{ax^2 + bx + c} = dx + e$, ta thực hiện như sau:

• Bước 1. Bình phương hai vế và giải phương trình nhận được.
• Bước 2. Thử lại các giá trị $x$ tìm được ở bước 1 có thoả mãn phương trình đã cho hay không và kết luận nghiệm.

Mẹo loại nhanh. Vế trái $\sqrt{ax^2 + bx + c} \geq 0$, nên nếu vế phải $dx + e < 0$ thì giá trị $x$ đó chắc chắn không phải nghiệm, không cần thay vào kiểm tra.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 2 (SGK). Giải phương trình $\sqrt{2x^2 – 5x – 9} = x – 1$.

Giải:

Bước 1. Bình phương hai vế:

$$2x^2 – 5x – 9 = (x – 1)^2 = x^2 – 2x + 1$$

Thu gọn: $x^2 – 3x – 10 = 0$.

Tìm được $x = -2$ hoặc $x = 5$.

Bước 2. Thử lại:

• Với $x = -2$: Vế phải $= -2 – 1 = -3 < 0$, trong khi vế trái $\geq 0$. → Loại ngay. ✗
• Với $x = 5$: Vế trái $= \sqrt{50 – 25 – 9} = \sqrt{16} = 4$. Vế phải $= 5 – 1 = 4$. ✓

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 5$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1. Giải phương trình $\sqrt{ax^2 + bx + c} = \sqrt{dx^2 + ex + f}$

Phương pháp:

• Bước 1. Bình phương hai vế: $ax^2 + bx + c = dx^2 + ex + f$.
• Bước 2. Chuyển vế, thu gọn thành phương trình bậc hai (hoặc bậc nhất) và giải.
• Bước 3. Thử lại từng nghiệm vào phương trình ban đầu: thay $x$ vào cả hai biểu thức dưới dấu căn, kiểm tra chúng đều $\geq 0$ và hai vế bằng nhau.

Bài 6.20. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{3x^2 – 4x – 1} = \sqrt{2x^2 – 4x + 3}$

b) $\sqrt{x^2 + 2x – 3} = \sqrt{-2x^2 + 5}$

c) $\sqrt{2x^2 + 3x – 3} = \sqrt{-x^2 – x + 1}$

d) $\sqrt{-x^2 + 5x – 4} = \sqrt{-2x^2 + 4x + 2}$

Lời giải chi tiết:

a) $\sqrt{3x^2 – 4x – 1} = \sqrt{2x^2 – 4x + 3}$

Bước 1. Bình phương hai vế:

$$3x^2 – 4x – 1 = 2x^2 – 4x + 3$$

$$x^2 = 4$$

$$x = 2 \quad \text{hoặc} \quad x = -2$$

Bước 2. Thử lại:

• Với $x = 2$:Vế trái $= \sqrt{12 – 8 – 1} = \sqrt{3}$.Vế phải $= \sqrt{8 – 8 + 3} = \sqrt{3}$. ✓
• Với $x = -2$:Vế trái $= \sqrt{12 + 8 – 1} = \sqrt{19}$.Vế phải $= \sqrt{8 + 8 + 3} = \sqrt{19}$. ✓

Vậy phương trình có hai nghiệm $x = 2$ và $x = -2$.

b) $\sqrt{x^2 + 2x – 3} = \sqrt{-2x^2 + 5}$

Bước 1. Bình phương hai vế:

$$x^2 + 2x – 3 = -2x^2 + 5$$

$$3x^2 + 2x – 8 = 0$$

Tính $\Delta = 4 + 96 = 100$, $\sqrt{\Delta} = 10$.

$$x = \dfrac{-2 + 10}{6} = \dfrac{4}{3} \quad \text{hoặc} \quad x = \dfrac{-2 – 10}{6} = -2$$

Bước 2. Thử lại:

• Với $x = \dfrac{4}{3}$:$x^2 + 2x – 3 = \dfrac{16}{9} + \dfrac{8}{3} – 3 = \dfrac{16 + 24 – 27}{9} = \dfrac{13}{9} > 0$ ✓$-2x^2 + 5 = -\dfrac{32}{9} + 5 = \dfrac{-32 + 45}{9} = \dfrac{13}{9} > 0$ ✓Hai vế đều bằng $\sqrt{\dfrac{13}{9}} = \dfrac{\sqrt{13}}{3}$. ✓
• Với $x = -2$:$x^2 + 2x – 3 = 4 – 4 – 3 = -3 < 0$ → không xác định. ✗

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{4}{3}$.

c) $\sqrt{2x^2 + 3x – 3} = \sqrt{-x^2 – x + 1}$

Bước 1. Bình phương hai vế:

$$2x^2 + 3x – 3 = -x^2 – x + 1$$

$$3x^2 + 4x – 4 = 0$$

Tính $\Delta = 16 + 48 = 64$, $\sqrt{\Delta} = 8$.

$$x = \dfrac{-4 + 8}{6} = \dfrac{2}{3} \quad \text{hoặc} \quad x = \dfrac{-4 – 8}{6} = -2$$

Bước 2. Thử lại:

• Với $x = \dfrac{2}{3}$:$2 \cdot \dfrac{4}{9} + 3 \cdot \dfrac{2}{3} – 3 = \dfrac{8}{9} + 2 – 3 = \dfrac{8}{9} – 1 = -\dfrac{1}{9} < 0$ → không xác định. ✗
• Với $x = -2$:$2 \cdot 4 + 3 \cdot (-2) – 3 = 8 – 6 – 3 = -1 < 0$ → không xác định. ✗

Vậy phương trình vô nghiệm.

d) $\sqrt{-x^2 + 5x – 4} = \sqrt{-2x^2 + 4x + 2}$

Bước 1. Bình phương hai vế:

$$-x^2 + 5x – 4 = -2x^2 + 4x + 2$$

$$x^2 + x – 6 = 0$$

$$(x + 3)(x – 2) = 0$$

$$x = -3 \quad \text{hoặc} \quad x = 2$$

Bước 2. Thử lại:

• Với $x = -3$:$-9 – 15 – 4 = -28 < 0$ → không xác định. ✗
• Với $x = 2$:Vế trái: $-4 + 10 – 4 = 2 \geq 0$. $\sqrt{2}$. ✓Vế phải: $-8 + 8 + 2 = 2 \geq 0$. $\sqrt{2}$. ✓Hai vế đều bằng $\sqrt{2}$. ✓

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 2$.

Dạng 2. Giải phương trình $\sqrt{ax^2 + bx + c} = dx + e$

Phương pháp:

• Bước 1. Bình phương hai vế: $ax^2 + bx + c = (dx + e)^2$.
• Bước 2. Khai triển, thu gọn thành phương trình bậc hai và giải.
• Bước 3. Thử lại: kiểm tra vế phải $dx + e \geq 0$ (nếu vế phải âm, loại ngay), rồi kiểm tra biểu thức dưới dấu căn $\geq 0$ và hai vế bằng nhau.

Bài 6.21. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{6x^2 + 13x + 13} = 2x + 4$

b) $\sqrt{2x^2 + 5x + 3} = -3 – x$

c) $\sqrt{3x^2 – 17x + 23} = x – 3$

d) $\sqrt{-x^2 + 2x + 4} = x – 2$

Lời giải chi tiết:

a) $\sqrt{6x^2 + 13x + 13} = 2x + 4$

Bước 1. Điều kiện: $2x + 4 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -2$.

Bình phương hai vế:

$$6x^2 + 13x + 13 = (2x + 4)^2 = 4x^2 + 16x + 16$$

$$2x^2 – 3x – 3 = 0$$

Tính $\Delta = 9 + 24 = 33$.

$$x = \dfrac{3 + \sqrt{33}}{4} \quad \text{hoặc} \quad x = \dfrac{3 – \sqrt{33}}{4}$$

Bước 2. Thử lại:

Ta có $\sqrt{33} \approx 5{,}74$ nên:

$x_1 = \dfrac{3 + \sqrt{33}}{4} \approx 2{,}19 > -2$ ✓

$x_2 = \dfrac{3 – \sqrt{33}}{4} \approx -0{,}69 > -2$ ✓

Cả hai nghiệm đều thoả mãn $2x + 4 > 0$.

Kiểm tra: Tam thức $6x^2 + 13x + 13$ có $\Delta_{tt} = 169 – 312 = -143 < 0$ và $a = 6 > 0$, nên luôn dương. Vậy biểu thức dưới căn luôn xác định.

Do phép bình phương hai vế là tương đương khi cả hai vế không âm (vế trái $\geq 0$ vì là căn, vế phải $\geq 0$ đã kiểm tra), nên cả hai nghiệm đều thoả mãn.

Vậy phương trình có hai nghiệm $x = \dfrac{3 + \sqrt{33}}{4}$ và $x = \dfrac{3 – \sqrt{33}}{4}$.

b) $\sqrt{2x^2 + 5x + 3} = -3 – x$

Bước 1. Điều kiện: $-3 – x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq -3$.

Bình phương hai vế:

$$2x^2 + 5x + 3 = (-3 – x)^2 = x^2 + 6x + 9$$

$$x^2 – x – 6 = 0$$

$$(x – 3)(x + 2) = 0$$

$$x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = -2$$

Bước 2. Thử lại:

• $x = 3$: không thoả mãn $x \leq -3$. ✗
• $x = -2$: không thoả mãn $x \leq -3$ (vì $-2 > -3$). ✗

Cả hai nghiệm đều không thoả mãn điều kiện vế phải không âm.

Vậy phương trình vô nghiệm.

c) $\sqrt{3x^2 – 17x + 23} = x – 3$

Bước 1. Điều kiện: $x – 3 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 3$.

Bình phương hai vế:

$$3x^2 – 17x + 23 = (x – 3)^2 = x^2 – 6x + 9$$

$$2x^2 – 11x + 14 = 0$$

Tính $\Delta = 121 – 112 = 9$, $\sqrt{\Delta} = 3$.

$$x = \dfrac{11 + 3}{4} = \dfrac{7}{2} \quad \text{hoặc} \quad x = \dfrac{11 – 3}{4} = 2$$

Bước 2. Thử lại:

• $x = 2$: không thoả mãn $x \geq 3$ (vì $2 < 3$). ✗
• $x = \dfrac{7}{2} = 3{,}5$: thoả mãn $x \geq 3$. ✓Kiểm tra: Vế trái $= \sqrt{3 \cdot \dfrac{49}{4} – 17 \cdot \dfrac{7}{2} + 23} = \sqrt{\dfrac{147}{4} – \dfrac{119}{2} + 23} = \sqrt{\dfrac{147 – 238 + 92}{4}} = \sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2}$.Vế phải $= \dfrac{7}{2} – 3 = \dfrac{1}{2}$. ✓

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = \dfrac{7}{2}$.

d) $\sqrt{-x^2 + 2x + 4} = x – 2$

Bước 1. Điều kiện: $x – 2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 2$.

Bình phương hai vế:

$$-x^2 + 2x + 4 = (x – 2)^2 = x^2 – 4x + 4$$

$$-x^2 + 2x + 4 – x^2 + 4x – 4 = 0$$

$$-2x^2 + 6x = 0$$

$$2x(x – 3) = 0$$

$$x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 3$$

Bước 2. Thử lại:

• $x = 0$: không thoả mãn $x \geq 2$. ✗
• $x = 3$: thoả mãn $x \geq 2$. ✓Kiểm tra: Vế trái $= \sqrt{-9 + 6 + 4} = \sqrt{1} = 1$. Vế phải $= 3 – 2 = 1$. ✓

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x = 3$.

Dạng 3. Bài toán thực tế quy về phương trình chứa căn thức

Phương pháp:

• Bước 1. Đọc đề, gọi ẩn $x$, xác định điều kiện của $x$.
• Bước 2. Dựa vào dữ kiện bài toán, thiết lập phương trình chứa căn thức (thường liên quan đến định lí Pythagore, công thức khoảng cách,…).
• Bước 3. Giải phương trình bằng cách bình phương hai vế, thu gọn về phương trình bậc hai.
• Bước 4. Thử lại và kết hợp điều kiện thực tế để kết luận.

Bài 6.22. Cho tứ giác $ABCD$ có $AB \perp CD$, $AB = 2$, $BC = 13$, $CD = 8$, $DA = 5$. Gọi $H$ là giao điểm của $AB$ và $CD$ và đặt $x = AH$. Hãy thiết lập một phương trình để tính độ dài $x$, từ đó tính diện tích tứ giác $ABCD$.

Lời giải chi tiết:

Bước 1. Xác định các đoạn thẳng.

Vì $AB \perp CD$ và $H$ là giao điểm, ta có $\angle AHD = 90°$.

Đặt $AH = x$ ($x > 0$). Khi đó $HB = AH + AB = x + 2$.

Bước 2. Tính $HD$ từ tam giác vuông $HAD$.

Trong tam giác vuông $HAD$ ($\angle H = 90°$):

$$HD^2 + AH^2 = DA^2 \Rightarrow HD^2 = 25 – x^2 \Rightarrow HD = \sqrt{25 – x^2}$$

(điều kiện: $x < 5$)

Bước 3. Tính $HC$.

$$HC = HD + DC = \sqrt{25 – x^2} + 8$$

Bước 4. Thiết lập phương trình từ tam giác vuông $HBC$.

Trong tam giác vuông $HBC$ ($\angle H = 90°$):

$$HB^2 + HC^2 = BC^2$$

$$(x + 2)^2 + \left(\sqrt{25 – x^2} + 8\right)^2 = 13^2$$

Khai triển:

$$x^2 + 4x + 4 + (25 – x^2) + 16\sqrt{25 – x^2} + 64 = 169$$

$$4x + 93 + 16\sqrt{25 – x^2} = 169$$

$$16\sqrt{25 – x^2} = 76 – 4x$$

$$4\sqrt{25 – x^2} = 19 – x$$

Đây là phương trình dạng $\sqrt{ax^2 + bx + c} = dx + e$.

Bước 5. Giải phương trình.

Điều kiện: $19 – x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 19$ (thoả mãn vì $x < 5$).

Bình phương hai vế:

$$16(25 – x^2) = (19 – x)^2$$

$$400 – 16x^2 = 361 – 38x + x^2$$

$$17x^2 – 38x – 39 = 0$$

Tính $\Delta = 38^2 + 4 \cdot 17 \cdot 39 = 1444 + 2652 = 4096$, $\sqrt{\Delta} = 64$.

$$x = \dfrac{38 + 64}{34} = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = \dfrac{38 – 64}{34} = -\dfrac{26}{34} < 0 \text{ (loại)}$$

Bước 6. Kiểm tra: $x = 3$.

$4\sqrt{25 – 9} = 4\sqrt{16} = 16$ và $19 – 3 = 16$. ✓

Vậy $AH = x = 3$.

Bước 7. Tính diện tích tứ giác $ABCD$.

Từ $x = 3$: $HD = \sqrt{25 – 9} = 4$, $HB = 3 + 2 = 5$, $HC = 4 + 8 = 12$.

Diện tích tứ giác $ABCD$ bằng tổng diện tích hai tam giác vuông $HAD$ và $HBC$ (do $H$ nằm ngoài đoạn $AB$, tứ giác được chia thành các tam giác có đáy trên hai đường vuông góc):

$$S_{ABCD} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle BCD}$$

Với toạ độ $H(0;0)$, $A(0;-3)$, $B(0;-5)$, $D(4;0)$, $C(12;0)$:

$$S_{\triangle ABD} = \dfrac{1}{2} |x_A(y_B – y_D) + x_B(y_D – y_A) + x_D(y_A – y_B)|$$

$$= \dfrac{1}{2}|0 \cdot (-5) + 0 \cdot 3 + 4 \cdot 2| = \dfrac{1}{2} \cdot 8 = 4$$

$$S_{\triangle BCD} = \dfrac{1}{2}|x_B(y_C – y_D) + x_C(y_D – y_B) + x_D(y_B – y_C)|$$

$$= \dfrac{1}{2}|0 + 12 \cdot 5 + 4 \cdot (-5)| = \dfrac{1}{2} \cdot 40 = 20$$

$$S_{ABCD} = 4 + 20 = 24$$

Kết luận: $AH = 3$ và diện tích tứ giác $ABCD = 24$.

Bài 6.23. Hằng ngày bạn Hùng đều đón bạn Minh đi học tại một vị trí trên lề đường thẳng đến trường. Minh đứng tại vị trí $A$ cách lề đường 50 m. Khi nhìn thấy Hùng đạp xe đến địa điểm $B$, cách mình 200 m thì Minh bắt đầu đi bộ ra lề đường. Vận tốc đi bộ của Minh là 5 km/h, vận tốc xe đạp của Hùng là 15 km/h. Hãy xác định vị trí $C$ trên lề đường để hai bạn gặp nhau mà không bạn nào phải chờ (làm tròn đến hàng phần mười).

Lời giải chi tiết:

Bước 1. Mô hình hoá bài toán.

Gọi $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $A$ xuống lề đường. Ta có $AH = 50$ m.

Giả sử $C$ là vị trí mà Hùng và Minh gặp nhau trên lề đường. Đặt $CH = x$ ($x > 0$).

Khi đó: $CA = \sqrt{x^2 + 50^2}$.

Bước 2. Tính $BH$ và $BC$.

Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác $ABH$ vuông tại $H$:

$$AB^2 = AH^2 + BH^2$$

$$200^2 = 50^2 + BH^2$$

$$BH^2 = 40000 – 2500 = 37500$$

$$BH = 50\sqrt{15}$$

Suy ra $BC = BH – CH = 50\sqrt{15} – x$.

Bước 3. Lập phương trình.

Để hai người gặp nhau mà không phải chờ người kia thì thời gian Hùng đạp xe bằng thời gian Minh đi bộ:

$$\dfrac{CA}{5} = \dfrac{BC}{15}$$

$$\dfrac{\sqrt{x^2 + 50^2}}{5} = \dfrac{50\sqrt{15} – x}{15}$$

$$3\sqrt{x^2 + 50^2} = 50\sqrt{15} – x$$

Bước 4. Giải phương trình.

Bình phương hai vế:

$$9(x^2 + 2500) = (50\sqrt{15} – x)^2$$

$$9x^2 + 22500 = 37500 – 100\sqrt{15},x + x^2$$

$$8x^2 + 100\sqrt{15},x – 15000 = 0$$

Tính $\Delta$:

$$\Delta = (100\sqrt{15})^2 + 4 \cdot 8 \cdot 15000 = 150000 + 480000 = 630000$$

$$\sqrt{\Delta} = 100\sqrt{63} = 300\sqrt{7}$$

$$x = \dfrac{-100\sqrt{15} + 300\sqrt{7}}{16} \approx 25{,}4 \quad \text{hoặc} \quad x = \dfrac{-100\sqrt{15} – 300\sqrt{7}}{16} < 0 \text{ (loại)}$$

Thử lại: $x \approx 25{,}4$ cho vế phải $50\sqrt{15} – 25{,}4 \approx 168{,}2 > 0$ ✓.

Kết luận: Vị trí hai bạn gặp nhau tại điểm $C$ cách điểm $H$ khoảng 25,4 m.

Sai lầm thường gặp

Tổng kết

Hai dạng phương trình chứa căn thức quy về bậc hai:

Quy trình chung:

Ghi nhớ: Bước thử lại là không thể bỏ qua vì phép bình phương hai vế có thể tạo ra nghiệm ngoại lai.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh