1. Số trung bình và trung vị

a. Số trung bình

Số trung bình (số trung bình cộng) của mẫu số liệu $x_1, x_2, \ldots, x_n$, kí hiệu là $\bar{x}$, được tính bằng công thức:

$$\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$$

Chú ý. Trong trường hợp mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số thì số trung bình được tính theo công thức:

$$\bar{x} = \dfrac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + \ldots + m_k x_k}{n}$$

trong đó $m_i$ là tần số của giá trị $x_i$ và $n = m_1 + m_2 + \ldots + m_k$.

Ví dụ 1. Thống kê số cuốn sách mỗi bạn trong lớp đã đọc trong năm 2021, An thu được kết quả:

Hỏi trong năm 2021, trung bình mỗi bạn trong lớp đọc bao nhiêu cuốn sách?

Lời giải:

Số bạn trong lớp là $n = 3 + 5 + 15 + 10 + 7 = 40$.

$$\bar{x} = \dfrac{3 \cdot 1 + 5 \cdot 2 + 15 \cdot 3 + 10 \cdot 4 + 7 \cdot 5}{40} = \dfrac{3 + 10 + 45 + 40 + 35}{40} = \dfrac{133}{40} = 3{,}325 \text{ (cuốn)}$$

Ý nghĩa. Số trung bình là giá trị trung bình cộng của các số trong mẫu số liệu, nó cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu.

b. Trung vị

Trong trường hợp mẫu số liệu có giá trị bất thường (rất lớn hoặc rất bé so với đa số các giá trị khác), người ta không dùng số trung bình mà dùng trung vị để đo xu thế trung tâm.

Để tìm trung vị (kí hiệu là $M_e$) của một mẫu số liệu, ta thực hiện:

• Bước 1: Sắp xếp các giá trị trong mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.
• Bước 2: Nếu số giá trị của mẫu là số lẻ thì giá trị chính giữa là trung vị. Nếu là số chẵn thì trung vị là trung bình cộng của hai giá trị chính giữa.

Ví dụ 2. Một công ty nhỏ gồm 1 giám đốc và 5 nhân viên, thu nhập hằng tháng của giám đốc là 20 triệu đồng, của mỗi nhân viên là 4 triệu đồng. Tìm trung vị.

Lời giải:

Sắp xếp theo thứ tự không giảm: $4;\ 4;\ 4;\ 4;\ 4;\ 20$.

Có $6$ giá trị (số chẵn), hai giá trị chính giữa đều bằng $4$.

$M_e = \dfrac{4 + 4}{2} = 4$ (triệu đồng).

Lương giám đốc ($20$ triệu) là giá trị bất thường. Nếu thay lương giám đốc thành $30$, $40$, $50$,… triệu đồng thì trung vị vẫn không đổi, trong khi số trung bình sẽ thay đổi.

Ý nghĩa. Trung vị không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường, trong khi số trung bình bị ảnh hưởng. Vì vậy, khi mẫu số liệu có giá trị bất thường, người ta thường dùng trung vị làm đại diện.

2. Tứ phân vị

Để tìm các tứ phân vị của mẫu số liệu có $n$ giá trị, ta làm như sau:

• Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.
• Bước 2: Tìm trung vị. Giá trị này là $Q_2$.
• Bước 3: Tìm trung vị của nửa số liệu bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu $n$ lẻ). Giá trị này là $Q_1$.
• Bước 4: Tìm trung vị của nửa số liệu bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu $n$ lẻ). Giá trị này là $Q_3$.

$Q_1$, $Q_2$, $Q_3$ được gọi là các tứ phân vị của mẫu số liệu.

Chú ý. $Q_1$ được gọi là tứ phân vị thứ nhất hay tứ phân vị dưới; $Q_3$ được gọi là tứ phân vị thứ ba hay tứ phân vị trên.

Ý nghĩa. Các điểm $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$ chia mẫu số liệu đã sắp xếp thành bốn phần, mỗi phần chứa khoảng $25%$ giá trị.

Ví dụ 3. Hàm lượng Natri (đơn vị miligam) trong 100 g một số loại ngũ cốc được cho:

$0;\ 340;\ 70;\ 140;\ 200;\ 180;\ 210;\ 150;\ 100;\ 130;\ 140;\ 180;\ 190;\ 160;\ 290;\ 50;\ 220;\ 180;\ 200;\ 210$.

Tìm các tứ phân vị.

Lời giải:

Sắp xếp ($n = 20$):

$0;\ 50;\ 70;\ 100;\ 130;\ 140;\ 140;\ 150;\ 160;\ 180;\ 180;\ 180;\ 190;\ 200;\ 200;\ 210;\ 210;\ 220;\ 290;\ 340$.

$n = 20$ (chẵn) nên $Q_2 = \dfrac{180 + 180}{2} = 180$.

Nửa bên trái ($10$ giá trị): $0;\ 50;\ 70;\ 100;\ 130;\ 140;\ 140;\ 150;\ 160;\ 180$.

$Q_1 = \dfrac{130 + 140}{2} = 135$.

Nửa bên phải ($10$ giá trị): $180;\ 180;\ 190;\ 200;\ 200;\ 210;\ 210;\ 220;\ 290;\ 340$.

$Q_3 = \dfrac{200 + 210}{2} = 205$.

Khoảng cách từ $Q_1$ đến $Q_2$ là $45$, từ $Q_2$ đến $Q_3$ là $25$. Điều này cho thấy mẫu số liệu tập trung với mật độ cao ở bên phải $Q_2$ và mật độ thấp ở bên trái $Q_2$.

3. Mốt

Mốt của mẫu số liệu là giá trị xuất hiện với tần số lớn nhất.

Ý nghĩa. Có thể dùng mốt để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu khi mẫu số liệu có nhiều giá trị trùng nhau.

Ví dụ 4. Thời gian truy cập Internet (đơn vị giờ) trong một ngày của một số học sinh lớp 10:

$0;\ 0;\ 1;\ 1;\ 1;\ 3;\ 4;\ 4;\ 5;\ 6$.

Tìm mốt cho mẫu số liệu này.

Lời giải:

Giá trị $1$ xuất hiện $3$ lần (nhiều nhất) nên mốt là $\mathbf{1}$.

Nhận xét:

• Mốt có thể không là duy nhất. Chẳng hạn, mẫu $8;\ 7;\ 10;\ 9;\ 7;\ 5;\ 7;\ 8;\ 8$ có hai mốt là $7$ và $8$ (đều xuất hiện $3$ lần).
• Khi các giá trị xuất hiện với tần số như nhau thì mẫu số liệu không có mốt.
• Mốt còn được định nghĩa cho mẫu dữ liệu định tính (dữ liệu không phải là số).

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1. Tính đầy đủ bốn số đặc trưng: trung bình, trung vị, mốt, tứ phân vị

Phương pháp:

• Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm.
• Bước 2: Tính $\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$.
• Bước 3: Tìm $M_e$ (trung vị) — giá trị chính giữa (n lẻ) hoặc trung bình hai giá trị chính giữa (n chẵn).
• Bước 4: Tìm $Q_1$ (trung vị nửa trái), $Q_3$ (trung vị nửa phải).
• Bước 5: Tìm mốt — giá trị có tần số lớn nhất.

Ví dụ (Bài 5.7 SGK). Tìm số trung bình, trung vị, mốt và tứ phân vị của mỗi mẫu số liệu sau:

a) Số điểm mà 5 vận động viên bóng rổ ghi được trong một trận đấu: $9;\ 8;\ 15;\ 8;\ 20$.

Lời giải chi tiết:

Sắp xếp: $8;\ 8;\ 9;\ 15;\ 20$ ($n = 5$, lẻ).

Số trung bình: $\bar{x} = \dfrac{8 + 8 + 9 + 15 + 20}{5} = \dfrac{60}{5} = 12$.

Trung vị: $M_e = 9$ (giá trị chính giữa, vị trí thứ $3$).

Nửa trái (không gồm $M_e$): $8;\ 8$ → $Q_1 = \dfrac{8 + 8}{2} = 8$.

Nửa phải (không gồm $M_e$): $15;\ 20$ → $Q_3 = \dfrac{15 + 20}{2} = 17{,}5$.

Mốt: $8$ (xuất hiện $2$ lần, nhiều nhất).

Đáp án: $\bar{x} = 12$; $M_e = 9$; $Q_1 = 8$; $Q_3 = 17{,}5$; Mốt $= 8$.

b) Giá của một số loại giày (đơn vị nghìn đồng): $350;\ 300;\ 650;\ 300;\ 450;\ 500;\ 300;\ 250$.

Lời giải chi tiết:

Sắp xếp: $250;\ 300;\ 300;\ 300;\ 350;\ 450;\ 500;\ 650$ ($n = 8$, chẵn).

Số trung bình: $\bar{x} = \dfrac{250 + 300 + 300 + 300 + 350 + 450 + 500 + 650}{8} = \dfrac{3\,100}{8} = 387{,}5$.

Trung vị: $M_e = \dfrac{300 + 350}{2} = 325$.

Nửa trái: $250;\ 300;\ 300;\ 300$ → $Q_1 = \dfrac{300 + 300}{2} = 300$.

Nửa phải: $350;\ 450;\ 500;\ 650$ → $Q_3 = \dfrac{450 + 500}{2} = 475$.

Mốt: $300$ (xuất hiện $3$ lần, nhiều nhất).

Đáp án: $\bar{x} = 387{,}5$; $M_e = 325$; $Q_1 = 300$; $Q_3 = 475$; Mốt $= 300$.

c) Số kênh được chiếu của một số hãng truyền hình cáp: $36;\ 38;\ 33;\ 34;\ 32;\ 30;\ 34;\ 35$.

Lời giải chi tiết:

Sắp xếp: $30;\ 32;\ 33;\ 34;\ 34;\ 35;\ 36;\ 38$ ($n = 8$, chẵn).

Số trung bình: $\bar{x} = \dfrac{30 + 32 + 33 + 34 + 34 + 35 + 36 + 38}{8} = \dfrac{272}{8} = 34$.

Trung vị: $M_e = \dfrac{34 + 34}{2} = 34$.

Nửa trái: $30;\ 32;\ 33;\ 34$ → $Q_1 = \dfrac{32 + 33}{2} = 32{,}5$.

Nửa phải: $34;\ 35;\ 36;\ 38$ → $Q_3 = \dfrac{35 + 36}{2} = 35{,}5$.

Mốt: $34$ (xuất hiện $2$ lần, nhiều nhất).

Đáp án: $\bar{x} = 34$; $M_e = 34$; $Q_1 = 32{,}5$; $Q_3 = 35{,}5$; Mốt $= 34$.

Dạng 2. Chọn số đặc trưng phù hợp cho mẫu số liệu

Phương pháp:

• Nếu mẫu số liệu không có giá trị bất thường → dùng số trung bình.
• Nếu mẫu số liệu có giá trị bất thường (rất lớn hoặc rất bé so với đa số) → dùng trung vị.
• Nếu mẫu số liệu có nhiều giá trị trùng nhau → có thể dùng mốt.

Ví dụ (Bài 5.8 SGK). Hãy chọn số đặc trưng đo xu thế trung tâm phù hợp và tính giá trị:

a) Số mặt trăng đã biết của các hành tinh: $0;\ 0;\ 1;\ 2;\ 63;\ 34;\ 27;\ 13$.

Lời giải chi tiết:

Nên dùng số trung bình vì không có giá trị nào quá bất thường so với cấu trúc dữ liệu (các hành tinh khí khổng lồ tự nhiên có nhiều mặt trăng hơn).

$\bar{x} = \dfrac{0 + 0 + 1 + 2 + 63 + 34 + 27 + 13}{8} = \dfrac{140}{8} = 17{,}5$.

b) Số đường chuyền thành công trong một trận đấu: $32;\ 24;\ 20;\ 14;\ 23$.

Lời giải chi tiết:

Nên dùng số trung bình vì không có giá trị bất thường.

$\bar{x} = \dfrac{32 + 24 + 20 + 14 + 23}{5} = \dfrac{113}{5} = 22{,}6$.

c) Chỉ số IQ của một nhóm học sinh: $80;\ 102;\ 83;\ 103;\ 108;\ 94;\ 110;\ 106;\ 104;\ 100$.

Lời giải chi tiết:

Nên dùng số trung bình vì không có giá trị bất thường (giá trị $80$ thấp hơn một chút nhưng không quá xa).

$\bar{x} = \dfrac{80 + 102 + 83 + 103 + 108 + 94 + 110 + 106 + 104 + 100}{10} = \dfrac{990}{10} = 99$.

(Giáo án ghi: Số trung bình = 75. Tuy nhiên, kiểm tra lại tổng: $80+102+83+103+108+94+110+106+104+100 = 990$, chia $10$ được $99$.)

d) Các sai số trong một phép đo: $10;\ 15;\ 18;\ 15;\ 14;\ 13;\ 42;\ 15;\ 12;\ 14;\ 42$.

Lời giải chi tiết:

Nên dùng trung vị vì đa số các sai số là gần nhau, riêng giá trị $42$ xuất hiện $2$ lần và lớn hơn hẳn các giá trị khác — đây là giá trị bất thường.

Sắp xếp ($n = 11$, lẻ): $10;\ 12;\ 13;\ 14;\ 14;\ 15;\ 15;\ 15;\ 18;\ 42;\ 42$.

$M_e = 15$ (giá trị chính giữa, vị trí thứ $6$).

Dạng 3. Tứ phân vị đặc biệt — giải thích khi $Q_1$ trùng $Q_2$

Phương pháp:

• Tính các số đặc trưng bình thường.
• Khi nhiều giá trị trong mẫu bằng nhau (đặc biệt bằng trung vị), $Q_1$ có thể trùng $Q_2$.
• Giải thích: nửa dãy số liệu nhỏ nhất đều bằng nhau nên trung vị của nửa đó cũng bằng chính giá trị đó.

Ví dụ (Bài 5.9 SGK). Số lượng học sinh giỏi Quốc gia năm học 2018–2019 của 10 trường THPT:

$0;\ 0;\ 4;\ 0;\ 0;\ 0;\ 10;\ 0;\ 6;\ 0$.

a) Tìm số trung bình, mốt, các tứ phân vị.

b) Giải thích tại sao tứ phân vị thứ nhất và trung vị trùng nhau.

Lời giải chi tiết:

a) Sắp xếp ($n = 10$): $0;\ 0;\ 0;\ 0;\ 0;\ 0;\ 0;\ 4;\ 6;\ 10$.

Số trung bình: $\bar{x} = \dfrac{0 \times 7 + 4 + 6 + 10}{10} = \dfrac{20}{10} = 2$.

Trung vị: $M_e = Q_2 = \dfrac{0 + 0}{2} = 0$ (hai giá trị chính giữa ở vị trí $5$ và $6$).

Nửa trái: $0;\ 0;\ 0;\ 0;\ 0$ → $Q_1 = 0$ (giá trị chính giữa).

Nửa phải: $0;\ 0;\ 4;\ 6;\ 10$ → $Q_3 = 4$ (giá trị chính giữa).

Mốt: $0$ (xuất hiện $7$ lần, nhiều nhất).

Đáp án: $\bar{x} = 2$; $M_e = 0$; $Q_1 = 0$; $Q_3 = 4$; Mốt $= 0$.

b) $Q_1 = Q_2 = 0$ vì nửa dãy số liệu nhỏ nhất đều bằng nhau và bằng $0$, nên trung vị của nửa đó cũng bằng $0$.

Dạng 4. Phân tích ảnh hưởng khi thêm/bỏ giá trị bất thường

Phương pháp:

• Tính các số đặc trưng khi có và không có giá trị bất thường.
• So sánh: trung bình thay đổi nhiều, trung vị thay đổi ít, mốt có thể không đổi.

Ví dụ (Bài 5.10 SGK). Số chỗ ngồi của một số sân vận động:

Các giá trị trung bình, trung vị, mốt bị ảnh hưởng thế nào nếu bỏ đi số liệu của Sân vận động Mỹ Đình?

Lời giải chi tiết:

Khi có Mỹ Đình ($n = 5$):

Sắp xếp: $20\,120;\ 20\,120;\ 21\,315;\ 23\,405;\ 37\,546$.

$\bar{x} = \dfrac{20\,120 + 20\,120 + 21\,315 + 23\,405 + 37\,546}{5} = \dfrac{122\,506}{5} = 24\,501{,}2$.

$M_e = 21\,315$ (giá trị chính giữa).

Mốt $= 20\,120$ (xuất hiện $2$ lần).

Khi bỏ Mỹ Đình ($n = 4$):

Sắp xếp: $20\,120;\ 20\,120;\ 21\,315;\ 23\,405$.

$\bar{x} = \dfrac{20\,120 + 20\,120 + 21\,315 + 23\,405}{4} = \dfrac{84\,960}{4} = 21\,240$.

$M_e = \dfrac{20\,120 + 21\,315}{2} = 20\,717{,}5$.

Mốt $= 20\,120$ (xuất hiện $2$ lần).

Kết luận: Mốt không đổi. Số trung bình giảm (từ $24\,501{,}2$ xuống $21\,240$). Trung vị giảm (từ $21\,315$ xuống $20\,717{,}5$). Giá trị $37\,546$ của Mỹ Đình là giá trị bất thường, ảnh hưởng mạnh nhất đến số trung bình.

Sai lầm thường gặp

Tổng kết

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh