1. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Xét vị trí tương đối qua hệ phương trình

Trên mặt phẳng toạ độ, xét hai đường thẳng:

$$\Delta_1\colon a_1x + b_1y + c_1 = 0 \quad \text{và} \quad \Delta_2\colon a_2x + b_2y + c_2 = 0.$$

Toạ độ giao điểm (nếu có) của $\Delta_1$ và $\Delta_2$ chính là nghiệm của hệ phương trình:

$$\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1 = 0 \\ a_2x + b_2y + c_2 = 0 \end{cases} \quad (*)$$

Từ đó:

• $\Delta_1$ cắt $\Delta_2$ tại $M(x_0;\ y_0)$ khi và chỉ khi hệ $(*)$ có nghiệm duy nhất $(x_0;\ y_0)$.
• $\Delta_1$ song song với $\Delta_2$ khi và chỉ khi hệ $(*)$ vô nghiệm.
• $\Delta_1$ trùng $\Delta_2$ khi và chỉ khi hệ $(*)$ có vô số nghiệm.

Xét vị trí tương đối qua vectơ chỉ phương hoặc pháp tuyến

Gọi $\vec{u}_1$, $\vec{u}_2$ là các vectơ chỉ phương và $\vec{n}_1$, $\vec{n}_2$ là các vectơ pháp tuyến tương ứng của $\Delta_1$, $\Delta_2$. Khi đó:

• $\Delta_1$ và $\Delta_2$ song song hoặc trùng nhau $\Leftrightarrow$ $\vec{u}_1$ và $\vec{u}_2$ cùng phương $\Leftrightarrow$ $\vec{n}_1$ và $\vec{n}_2$ cùng phương.
• $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau $\Leftrightarrow$ $\vec{u}_1$ và $\vec{u}_2$ không cùng phương $\Leftrightarrow$ $\vec{n}_1$ và $\vec{n}_2$ không cùng phương.

Nhận xét. Khi $\vec{n}_1$ và $\vec{n}_2$ cùng phương (tức song song hoặc trùng):

• Nếu hai đường thẳng có điểm chung thì chúng trùng nhau.
• Nếu tồn tại điểm thuộc $\Delta_1$ nhưng không thuộc $\Delta_2$ thì chúng song song.

Ví dụ 1 (SGK). Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng $\Delta\colon x – \sqrt{2},y + 4\sqrt{3} = 0$ và mỗi đường thẳng sau:

$\Delta_1\colon \sqrt{3},x – \sqrt{6},y + 12 = 0$; $\quad$ $\Delta_2\colon \sqrt{2},x – 2y = 0$.

Giải:

Ta có $x – \sqrt{2},y + 4\sqrt{3} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3}\left(x – \sqrt{2},y + 4\sqrt{3}\right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3},x – \sqrt{6},y + 12 = 0$.

Vậy $\Delta$ và $\Delta_1$ có cùng phương trình, tức chúng trùng nhau.

Hai đường thẳng $\Delta$ và $\Delta_2$ có hai vectơ pháp tuyến $\vec{n}(1;\ -\sqrt{2})$ và $\vec{n}_2(\sqrt{2};\ -2)$ cùng phương (vì $\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{-\sqrt{2}}{-2}$). Do đó chúng song song hoặc trùng nhau. Mặt khác, điểm $O(0;\ 0)$ thuộc $\Delta_2$ nhưng không thuộc $\Delta$ (vì $0 – 0 + 4\sqrt{3} \neq 0$).

Vậy $\Delta$ và $\Delta_2$ song song với nhau.

2. Góc giữa hai đường thẳng

Khái niệm

Khi hai đường thẳng cắt nhau, chúng tạo thành bốn góc. Số đo của góc không tù trong bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng.

Góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau được quy ước bằng $0°$.

Công thức tính góc

Cho hai đường thẳng $\Delta_1\colon a_1x + b_1y + c_1 = 0$ và $\Delta_2\colon a_2x + b_2y + c_2 = 0$, với các vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1(a_1;\ b_1)$ và $\vec{n}_2(a_2;\ b_2)$ tương ứng.

Góc $\varphi$ giữa hai đường thẳng được xác định bởi:

$$\cos\varphi = \left|\cos\left(\vec{n}_1,\ \vec{n}_2\right)\right| = \dfrac{\left|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2\right|}{\left|\vec{n}_1\right| \cdot \left|\vec{n}_2\right|} = \dfrac{|a_1 a_2 + b_1 b_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2};\cdot;\sqrt{a_2^2 + b_2^2}}$$

Chú ý.

• $\Delta_1 \perp \Delta_2 \Leftrightarrow \vec{n}_1 \perp \vec{n}_2 \Leftrightarrow a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0$.
• Nếu $\Delta_1$, $\Delta_2$ có các vectơ chỉ phương $\vec{u}_1$, $\vec{u}_2$ thì cũng có thể dùng: $\cos\varphi = \left|\cos\left(\vec{u}_1,\ \vec{u}_2\right)\right|$.

Ví dụ 2 (SGK). Tính góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1\colon \sqrt{3},x – y + 2 = 0$ và $\Delta_2\colon x – \sqrt{3},y – 2 = 0$.

Giải:

Vectơ pháp tuyến: $\vec{n}_1 = (\sqrt{3};\ -1)$, $\vec{n}_2 = (1;\ -\sqrt{3})$.

Gọi $\varphi$ là góc giữa $\Delta_1$ và $\Delta_2$:

$$\cos\varphi = \dfrac{|\sqrt{3} \cdot 1 + (-1)(-\sqrt{3})|}{\sqrt{3 + 1} \cdot \sqrt{1 + 3}} = \dfrac{|2\sqrt{3}|}{2 \cdot 2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

Vậy $\varphi = 30°$.

Ví dụ 3 (SGK). Tính góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1\colon x = 3$ và $\Delta_2\colon \begin{cases} x = 2 – t \\ y = 3 + t \end{cases}$.

Giải:

$\Delta_1$ có phương trình $x – 3 = 0$ nên có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1(1;\ 0)$.

$\Delta_2$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}_2(-1;\ 1)$ nên có vectơ pháp tuyến $\vec{n}_2(1;\ 1)$.

$$\cos\varphi = \dfrac{|1 \cdot 1 + 0 \cdot 1|}{\sqrt{1 + 0} \cdot \sqrt{1 + 1}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$$

Vậy $\varphi = 45°$.

3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Công thức

Cho điểm $M(x_0;\ y_0)$ và đường thẳng $\Delta\colon ax + by + c = 0$. Khoảng cách từ $M$ đến $\Delta$, kí hiệu $d(M,\ \Delta)$, được tính bởi:

$$d(M,\ \Delta) = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

Ví dụ 4 (SGK). Tính khoảng cách từ điểm $M(2;\ 4)$ đến đường thẳng $\Delta\colon 3x + 4y – 12 = 0$.

Giải:

$$d(M,\ \Delta) = \dfrac{|3 \cdot 2 + 4 \cdot 4 – 12|}{\sqrt{9 + 16}} = \dfrac{|6 + 16 – 12|}{5} = \dfrac{10}{5} = 2$$

Vậy khoảng cách từ $M$ đến $\Delta$ bằng $2$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1. Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Phương pháp:

• Cách 1 (Giải hệ phương trình): Lập hệ gồm phương trình hai đường thẳng, giải hệ rồi kết luận:
  • Hệ có nghiệm duy nhất → cắt nhau.
  • Hệ vô nghiệm → song song.
  • Hệ có vô số nghiệm → trùng nhau.
• Cách 2 (Dùng vectơ): So sánh vectơ pháp tuyến (hoặc chỉ phương):
  • $\vec{n}_1$, $\vec{n}_2$ không cùng phương → cắt nhau.
  • $\vec{n}_1$, $\vec{n}_2$ cùng phương → song song hoặc trùng nhau → kiểm tra thêm bằng cách thử một điểm.

Bài 7.7. Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng sau:

a) $\Delta_1\colon 3\sqrt{2},x + \sqrt{2},y – \sqrt{3} = 0$ và $\Delta_2\colon 6x + 2y – \sqrt{6} = 0$.

b) $d_1\colon x – \sqrt{3},y + 2 = 0$ và $d_2\colon \sqrt{3},x – 3y + 2 = 0$.

c) $m_1\colon x – 2y + 1 = 0$ và $m_2\colon 3x + y – 2 = 0$.

Lời giải chi tiết:

a) Nhân hai vế phương trình $\Delta_1$ với $\sqrt{2}$:

$$\sqrt{2}\left(3\sqrt{2},x + \sqrt{2},y – \sqrt{3}\right) = 0 \Leftrightarrow 6x + 2y – \sqrt{6} = 0$$

Đây chính là phương trình $\Delta_2$, nên hệ gồm hai phương trình tương đương có vô số nghiệm.

Vậy $\Delta_1$ và $\Delta_2$ trùng nhau.

b) Nhân hai vế phương trình $d_1$ với $\sqrt{3}$:

$$\sqrt{3}\left(x – \sqrt{3},y + 2\right) = 0 \Leftrightarrow \sqrt{3},x – 3y + 2\sqrt{3} = 0$$

So sánh với $d_2\colon \sqrt{3},x – 3y + 2 = 0$: hệ số $x$ và $y$ tỉ lệ nhưng hệ số tự do khác nhau ($2\sqrt{3} \neq 2$).

Xét hệ:

$$\begin{cases} \sqrt{3}\,x – 3y + 2\sqrt{3} = 0 \\ \sqrt{3}\,x – 3y + 2 = 0 \end{cases}$$

Trừ hai phương trình: $2\sqrt{3} – 2 = 0$ (vô lí).

Hệ vô nghiệm, nên $d_1$ song song với $d_2$.

c) Xét hệ phương trình:

$$\begin{cases} x – 2y + 1 = 0 \\ 3x + y – 2 = 0 \end{cases}$$

Từ phương trình (1): $x = 2y – 1$. Thay vào (2):

$$3(2y – 1) + y – 2 = 0 \Leftrightarrow 7y – 5 = 0 \Leftrightarrow y = \dfrac{5}{7}$$

Suy ra $x = 2 \cdot \dfrac{5}{7} – 1 = \dfrac{3}{7}$.

Hệ có nghiệm duy nhất $\left(\dfrac{3}{7};\ \dfrac{5}{7}\right)$, nên $m_1$ và $m_2$ cắt nhau tại điểm $\left(\dfrac{3}{7};\ \dfrac{5}{7}\right)$.

Dạng 2. Tính góc giữa hai đường thẳng

Phương pháp:

• Bước 1. Xác định vectơ pháp tuyến $\vec{n}_1(a_1;\ b_1)$, $\vec{n}_2(a_2;\ b_2)$ (hoặc vectơ chỉ phương) của hai đường thẳng.
  • Nếu đường thẳng dạng tổng quát $ax + by + c = 0$ thì $\vec{n} = (a;\ b)$.
  • Nếu đường thẳng dạng tham số $\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases}$ thì $\vec{u} = (a;\ b)$, suy ra $\vec{n} = (b;\ -a)$ (hoặc $(-b;\ a)$).
• Bước 2. Áp dụng công thức: $\cos\varphi = \dfrac{|a_1 a_2 + b_1 b_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2};\cdot;\sqrt{a_2^2 + b_2^2}}$.
• Bước 3. Suy ra $\varphi$.

Bài 7.8. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) $\Delta_1\colon \sqrt{3},x + y – 4 = 0$ và $\Delta_2\colon x + \sqrt{3},y + 3 = 0$.

b) $d_1\colon \begin{cases} x = -1 + 2t \\ y = 3 + 4t \end{cases}$ và $d_2\colon \begin{cases} x = 3 + s \\ y = 1 – 3s \end{cases}$ ($t$, $s$ là tham số).

Lời giải chi tiết:

a) Vectơ pháp tuyến: $\vec{n}_1 = (\sqrt{3};\ 1)$, $\vec{n}_2 = (1;\ \sqrt{3})$.

Gọi $\varphi$ là góc giữa $\Delta_1$ và $\Delta_2$:

$$\cos\varphi = \dfrac{|\sqrt{3} \cdot 1 + 1 \cdot \sqrt{3}|}{\sqrt{3 + 1} \cdot \sqrt{1 + 3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

Vậy $\varphi = 30°$.

b) Vectơ chỉ phương: $\vec{u}_1 = (2;\ 4)$, $\vec{u}_2 = (1;\ -3)$.

Gọi $\varphi$ là góc giữa $d_1$ và $d_2$:

$$\cos\varphi = \dfrac{|2 \cdot 1 + 4 \cdot (-3)|}{\sqrt{4 + 16} \cdot \sqrt{1 + 9}} = \dfrac{|2 – 12|}{\sqrt{20} \cdot \sqrt{10}} = \dfrac{10}{\sqrt{200}} = \dfrac{10}{10\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$$

Vậy $\varphi = 45°$.

Dạng 3. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng. Viết phương trình đường thẳng

Phương pháp:

• Tính khoảng cách: Đưa phương trình đường thẳng về dạng tổng quát $ax + by + c = 0$, rồi áp dụng $d(M,\ \Delta) = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.
• Viết phương trình đường thẳng song song: Đường thẳng song song với $\Delta$ có cùng vectơ pháp tuyến $\vec{n}$ với $\Delta$, viết phương trình đi qua điểm cho trước.
• Viết phương trình đường thẳng vuông góc: Đường thẳng vuông góc với $\Delta$ có vectơ chỉ phương chính là $\vec{n}$ của $\Delta$, suy ra vectơ pháp tuyến mới.

Bài 7.9. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, cho điểm $A(0;\ -2)$ và đường thẳng $\Delta\colon x + y – 4 = 0$.

a) Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $\Delta$.

b) Viết phương trình đường thẳng $a$ đi qua điểm $M(-1;\ 0)$ và song song với $\Delta$.

c) Viết phương trình đường thẳng $b$ đi qua điểm $N(0;\ 3)$ và vuông góc với $\Delta$.

Lời giải chi tiết:

a) Đường thẳng $\Delta\colon x + y – 4 = 0$ với $a = 1$, $b = 1$, $c = -4$.

$$d(A,\ \Delta) = \dfrac{|1 \cdot 0 + 1 \cdot (-2) – 4|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \dfrac{|-6|}{\sqrt{2}} = \dfrac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$$

Khoảng cách từ $A$ đến $\Delta$ bằng $3\sqrt{2}$.

b) Đường thẳng $a$ song song với $\Delta$ nên có cùng vectơ pháp tuyến $\vec{n}_a = \vec{n}_\Delta = (1;\ 1)$.

Phương trình $a$ đi qua $M(-1;\ 0)$:

$$1 \cdot (x + 1) + 1 \cdot (y – 0) = 0 \Leftrightarrow x + y + 1 = 0$$

c) Đường thẳng $b$ vuông góc với $\Delta$ nên vectơ chỉ phương của $b$ là $\vec{n}_\Delta = (1;\ 1)$.

Suy ra vectơ pháp tuyến của $b$: $\vec{n}_b = (1;\ -1)$.

Phương trình $b$ đi qua $N(0;\ 3)$:

$$1 \cdot (x – 0) + (-1)(y – 3) = 0 \Leftrightarrow x – y + 3 = 0$$

Bài 7.10. Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác $ABC$ có $A(1;\ 0)$, $B(3;\ 2)$ và $C(-2;\ -1)$.

a) Tính độ dài đường cao kẻ từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$.

b) Tính diện tích tam giác $ABC$.

Lời giải chi tiết:

a) Tìm phương trình đường thẳng $BC$.

$\vec{BC} = C – B = (-2 – 3;\ -1 – 2) = (-5;\ -3)$.

Vectơ pháp tuyến của $BC$: $\vec{n}_{BC} = (3;\ -5)$ (vuông góc với $\vec{BC}$ vì $(-5) \cdot 3 + (-3) \cdot (-5) = 0$ ✓).

Phương trình $BC$ đi qua $B(3;\ 2)$:

$$3(x – 3) – 5(y – 2) = 0 \Leftrightarrow 3x – 5y + 1 = 0$$

Đường cao $AH$ từ $A$ là khoảng cách từ $A(1;\ 0)$ đến $BC$:

$$AH = d(A,\ BC) = \dfrac{|3 \cdot 1 – 5 \cdot 0 + 1|}{\sqrt{9 + 25}} = \dfrac{4}{\sqrt{34}}$$

Vậy độ dài đường cao từ $A$ bằng $\dfrac{4}{\sqrt{34}} = \dfrac{4\sqrt{34}}{34} = \dfrac{2\sqrt{34}}{17}$.

b) Tính $BC$:

$$BC = \sqrt{(-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{34}$$

Diện tích tam giác $ABC$:

$$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AH \cdot BC = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{\sqrt{34}} \cdot \sqrt{34} = \dfrac{1}{2} \cdot 4 = 2$$

Vậy diện tích tam giác $ABC$ bằng $2$.

Dạng 4. Chứng minh điều kiện vuông góc qua hệ số góc

Phương pháp:

Hai đường thẳng có phương trình dạng $y = ax + b$ và $y = a’x + b’$ tương ứng có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (a;\ -1)$ và $\vec{n}’ = (a’;\ -1)$. Điều kiện vuông góc: $\vec{n} \cdot \vec{n}’ = 0$, tức $a \cdot a’ + 1 = 0$, hay $a \cdot a’ = -1$.

Bài 7.11. Chứng minh rằng hai đường thẳng $d\colon y = ax + b$ ($a \neq 0$) và $d’\colon y = a’x + b’$ ($a’ \neq 0$) vuông góc với nhau khi và chỉ khi $a \cdot a’ = -1$.

Lời giải chi tiết:

Viết lại hai đường thẳng ở dạng tổng quát:

$$d\colon ax – y + b = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{n}_d = (a;\ -1)$$

$$d’\colon a’x – y + b’ = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{n}_{d’} = (a’;\ -1)$$

Theo lí thuyết:

$$d \perp d’ \Leftrightarrow \vec{n}_d \perp \vec{n}_{d’} \Leftrightarrow \vec{n}_d \cdot \vec{n}_{d’} = 0$$

$$\Leftrightarrow a \cdot a’ + (-1)(-1) = 0 \Leftrightarrow a \cdot a’ + 1 = 0 \Leftrightarrow a \cdot a’ = -1$$

Điều phải chứng minh. $\square$

Dạng 5. Bài toán tổng hợp và thực tế

Phương pháp:

• Gắn hệ trục toạ độ phù hợp với bài toán.
• Xác định toạ độ các điểm, viết phương trình đường thẳng cần thiết.
• Sử dụng các công thức đã học (vị trí tương đối, góc, khoảng cách) để giải quyết yêu cầu.

Bài 7.12. Trong mặt phẳng toạ độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí $O(0;\ 0)$, $A(1;\ 0)$, $B(1;\ 3)$ nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị trí phát tín hiệu âm thanh.

Lời giải chi tiết:

Bước 1. Phân tích bài toán.

Gọi $J$ là vị trí phát tín hiệu. Vì ba thiết bị tại $O$, $A$, $B$ nhận tín hiệu cùng lúc, và âm thanh truyền với cùng tốc độ theo mọi hướng, nên $J$ cách đều ba điểm $O$, $A$, $B$:

$$JO = JA = JB$$

Do đó $J$ nằm trên giao của các đường trung trực của $OA$ và $AB$ (hoặc $OB$).

Bước 2. Tìm đường trung trực $d_1$ của $OA$.

Trung điểm $OA$: $M\left(\dfrac{1}{2};\ 0\right)$.

$\vec{OA} = (1;\ 0)$ là vectơ pháp tuyến của $d_1$.

Phương trình $d_1$ đi qua $M\left(\dfrac{1}{2};\ 0\right)$ với $\vec{n}_1 = (1;\ 0)$:

$$1 \cdot \left(x – \dfrac{1}{2}\right) + 0 \cdot y = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2}$$

Bước 3. Tìm đường trung trực $d_2$ của $AB$.

Trung điểm $AB$: $N\left(1;\ \dfrac{3}{2}\right)$.

$\vec{AB} = (0;\ 3)$ là vectơ pháp tuyến của $d_2$.

Phương trình $d_2$ đi qua $N\left(1;\ \dfrac{3}{2}\right)$ với $\vec{n}_2 = (0;\ 3)$:

$$0 \cdot (x – 1) + 3\left(y – \dfrac{3}{2}\right) = 0 \Leftrightarrow y = \dfrac{3}{2}$$

Bước 4. Tìm giao điểm.

$$\begin{cases} x = \dfrac{1}{2} \\ y = \dfrac{3}{2} \end{cases} \Rightarrow J\left(\dfrac{1}{2};\ \dfrac{3}{2}\right)$$

Kiểm tra: $JO = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{9}{4}} = \sqrt{\dfrac{10}{4}} = \dfrac{\sqrt{10}}{2}$.

$JA = \sqrt{\left(\dfrac{1}{2} – 1\right)^2 + \dfrac{9}{4}} = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{9}{4}} = \dfrac{\sqrt{10}}{2}$. ✓

$JB = \sqrt{\left(\dfrac{1}{2} – 1\right)^2 + \left(\dfrac{3}{2} – 3\right)^2} = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{9}{4}} = \dfrac{\sqrt{10}}{2}$. ✓

Vậy vị trí phát tín hiệu là $J\left(\dfrac{1}{2};\ \dfrac{3}{2}\right)$.

Sai lầm thường gặp

Tổng kết

Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:

Công thức góc giữa hai đường thẳng:

$$\cos\varphi = \dfrac{|a_1 a_2 + b_1 b_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2};\cdot;\sqrt{a_2^2 + b_2^2}}$$

Trường hợp đặc biệt: $\Delta_1 \perp \Delta_2 \Leftrightarrow a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0$.

Công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:

$$d(M,\ \Delta) = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$

Điều kiện vuông góc qua hệ số góc: $d\colon y = ax + b$ và $d’\colon y = a’x + b’$ vuông góc $\Leftrightarrow a \cdot a’ = -1$.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh