1. Hoán vị

Định nghĩa

Một hoán vị của một tập hợp có $n$ phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự $n$ phần tử đó (với $n$ là một số tự nhiên, $n \geq 1$).

Công thức

Số các hoán vị của tập hợp có $n$ phần tử, kí hiệu là $P_n$, được tính bằng công thức:

$$P_n = n(n-1)(n-2) \cdots 2 \cdot 1 = n!$$

Chú ý. Kí hiệu $n(n-1)(n-2) \cdots 2 \cdot 1$ là $n!$ (đọc là $n$ giai thừa).

Chẳng hạn $P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.

Quy ước: $0! = 1$.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1 (SGK). Từ các chữ số 6, 7, 8 và 9 có thể lập được bao nhiêu số có bốn chữ số khác nhau?

Giải:

Mỗi cách sắp xếp bốn chữ số đã cho để lập thành một số có bốn chữ số khác nhau là một hoán vị của bốn chữ số đó.

Vậy số các số có bốn chữ số khác nhau có thể lập được là:

$$P_4 = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24$$

2. Chỉnh hợp

Định nghĩa

Một chỉnh hợp chập $k$ của $n$ là một cách sắp xếp có thứ tự $k$ phần tử từ một tập hợp $n$ phần tử (với $k, n$ là các số tự nhiên, $1 \leq k \leq n$).

Công thức

Số các chỉnh hợp chập $k$ của $n$, kí hiệu là $A_n^k$, được tính bằng công thức:

$$A_n^k = n(n-1) \cdots (n-k+1) \quad \text{hay} \quad A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!} \quad (1 \leq k \leq n)$$

Chú ý.

• Hoán vị sắp xếp tất cả các phần tử của tập hợp, còn chỉnh hợp chọn ra một số phần tử và sắp xếp chúng.
• Mỗi hoán vị của $n$ phần tử cũng chính là một chỉnh hợp chập $n$ của $n$ phần tử đó. Vì vậy $P_n = A_n^n$.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 2 (SGK). Một lớp có 30 học sinh, giáo viên cần chọn lần lượt 4 học sinh trồng bốn cây khác nhau để tham gia lễ phát động Tết trồng cây của trường. Hỏi giáo viên có bao nhiêu cách chọn?

Giải:

Mỗi cách chọn lần lượt 4 trong 30 học sinh để trồng bốn cây khác nhau là một chỉnh hợp chập 4 của 30.

Vậy số cách chọn là:

$$A_{30}^4 = 30 \cdot 29 \cdot 28 \cdot 27 = 657\,720 \text{ (cách)}$$

3. Tổ hợp

Định nghĩa

Một tổ hợp chập $k$ của $n$ là một cách chọn $k$ phần tử từ một tập hợp $n$ phần tử (với $k, n$ là các số tự nhiên, $0 \leq k \leq n$).

Công thức

Số các tổ hợp chập $k$ của $n$, kí hiệu là $C_n^k$, được tính bằng công thức:

$$C_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!,k!} \quad (0 \leq k \leq n)$$

Chú ý.

• $C_n^k = \dfrac{A_n^k}{k!}$.
• Chỉnh hợp và tổ hợp có điểm giống nhau là đều chọn một số phần tử trong một tập hợp, nhưng khác nhau ở chỗ: chỉnh hợp là chọn có xếp thứ tự, còn tổ hợp là chọn không xếp thứ tự.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 3 (SGK). Có 7 bạn học sinh muốn chơi cờ cá ngựa, nhưng mỗi ván chỉ có 4 người chơi. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 bạn chơi cờ cá ngựa?

Giải:

Mỗi cách chọn 4 bạn trong 7 bạn học sinh là một tổ hợp chập 4 của 7.

Vậy số cách chọn 4 bạn chơi cờ cá ngựa là:

$$C_7^4 = \dfrac{7!}{4!,3!} = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35 \text{ (cách)}$$

4. Ứng dụng hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp vào các bài toán đếm

Các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp liên quan mật thiết với nhau và là những khái niệm cốt lõi của các phép đếm. Rất nhiều bài toán đếm liên quan đến việc lựa chọn, việc sắp xếp, vì vậy các công thức tính $P_n$, $A_n^k$, $C_n^k$ sẽ được dùng rất nhiều.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 4 (SGK). Một lần anh Hưng đến Hà Nội và dự định từ Hà Nội tham quan Đền Hùng, Ninh Bình, Hạ Long, Đường Lâm và Bát Tràng, mỗi ngày đi tham quan một địa điểm rồi lại về Hà Nội.

a) Hỏi anh Hưng có thể xếp được bao nhiêu lịch trình đi tham quan tất cả các địa điểm (ở đây lịch trình tính cả thứ tự tham quan)?

b) Anh Hưng có việc đột xuất phải về sớm, nên anh chỉ có 3 ngày để đi tham quan 3 địa điểm. Hỏi anh Hưng có bao nhiêu cách xếp lịch trình đi tham quan?

Giải:

a) Anh Hưng đi tham quan 5 địa điểm, mỗi cách xếp lịch trình là một cách chọn có thứ tự của 5 địa điểm trên → đây là bài toán hoán vị.

Vậy số cách xếp lịch trình chính bằng số các hoán vị của 5 địa điểm:

$$P_5 = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \text{ (cách)}$$

b) Nếu anh Hưng chỉ có 3 ngày để đi tham quan 3 nơi, thì mỗi cách xếp lịch trình là một cách chọn có thứ tự 3 địa điểm từ 5 địa điểm → đây là bài toán chỉnh hợp chập 3 của 5.

Vậy số cách xếp lịch trình là:

$$A_5^3 = \dfrac{5!}{(5-3)!} = \dfrac{5!}{2!} = \dfrac{120}{2} = 60 \text{ (cách)}$$

Ví dụ 5 (SGK – Tình huống mở đầu). Giải bài toán về đội hình của Đội tuyển bóng đá quốc gia.

Giải:

Vì mỗi đội hình gồm có 1 thủ môn, 3 hậu vệ, 4 tiền vệ và 3 tiền đạo và đã biết trước vị trí thủ môn, nên để chọn đội hình ta cần thực hiện 3 công đoạn:

1. Chọn hậu vệ là chọn 3 trong số 7 hậu vệ: có $C_7^3 = 35$ (cách).
2. Chọn tiền vệ là chọn 4 trong số 8 tiền vệ: có $C_8^4 = 70$ (cách).
3. Chọn tiền đạo là chọn 3 trong số 5 tiền đạo: có $C_5^3 = 10$ (cách).

Vậy, theo quy tắc nhân, số các đội hình có thể có (khi đã biết vị trí thủ môn) là:

$$35 \cdot 70 \cdot 10 = 24\,500 \text{ (đội hình)}$$

5. Sử dụng máy tính cầm tay

Ta có thể dùng máy tính cầm tay để tính số các hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp.

Hoán vị – Tính $n!$:

Ấn số $n$, ấn phím SHIFT , sau đó ấn phím =. Kết quả sẽ hiển thị ở dòng kết quả.

Ví dụ: Tính $9!$. Ấn:  → Kết quả: $362\,880$.

Chỉnh hợp – Tính $A_n^k$:

Ấn số $n$, ấn phím SHIFT X, ấn số $k$, sau đó ấn phím =.

Ví dụ: Tính $A_{15}^2$. Ấn: 15 SHIFT X 2 = → Kết quả: $210$.

Tổ hợp – Tính $C_n^k$:

Ấn số $n$, ấn phím , ấn số $k$, sau đó ấn phím =.

Ví dụ: Tính $C_{20}^5$. Ấn:  → Kết quả: $15\,504$.

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1. Bài toán hoán vị

Phương pháp:

• Nhận dạng: Bài toán yêu cầu sắp xếp có thứ tự tất cả $n$ phần tử của một tập hợp.
• Áp dụng công thức: $P_n = n!$

Dấu hiệu nhận biết: Sắp xếp, xếp thứ tự, xếp thành hàng tất cả các phần tử.

Bài 8.6. Một hoạ sĩ cần trưng bày 10 bức tranh nghệ thuật khác nhau thành một hàng ngang. Hỏi có bao nhiêu cách để hoạ sĩ sắp xếp các bức tranh?

Lời giải chi tiết:

Có 10 bức tranh khác nhau cần sắp xếp tất cả thành một hàng ngang. Mỗi cách sắp xếp là một hoán vị của 10 bức tranh.

Số cách sắp xếp:

$$P_{10} = 10! = 3\,628\,800 \text{ (cách)}$$

Dạng 2. Bài toán chỉnh hợp

Phương pháp:

• Nhận dạng: Bài toán yêu cầu chọn ra $k$ phần tử từ $n$ phần tử và sắp xếp có thứ tự các phần tử được chọn.
• Áp dụng công thức: $A_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!}$

Dấu hiệu nhận biết: Chọn và sắp xếp, lập số có các chữ số khác nhau, chọn lần lượt vào các vị trí khác nhau.

Bài 8.7. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau?

Lời giải chi tiết:

Số tự nhiên có ba chữ số khác nhau có dạng $\overline{abc}$ với $a \neq 0$ và $a, b, c$ đôi một khác nhau, lấy từ tập ${0, 1, 2, 3, 4}$.

Bước 1. Chọn chữ số hàng trăm $a$: vì $a \neq 0$, nên $a \in {1, 2, 3, 4}$ → có 4 cách.

Bước 2. Chọn chữ số hàng chục và hàng đơn vị: sau khi chọn $a$, còn lại 4 chữ số. Cần chọn có thứ tự 2 chữ số từ 4 chữ số còn lại → đây là chỉnh hợp chập 2 của 4:

$$A_4^2 = 4 \cdot 3 = 12 \text{ (cách)}$$

Bước 3. Áp dụng quy tắc nhân:

$$\text{Số các số} = 4 \cdot 12 = 48 \text{ (số)}$$

Dạng 3. Bài toán tổ hợp

Phương pháp:

• Nhận dạng: Bài toán yêu cầu chọn ra $k$ phần tử từ $n$ phần tử mà không quan tâm thứ tự.
• Áp dụng công thức: $C_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)!,k!}$

Dấu hiệu nhận biết: Chọn nhóm, chọn tập hợp, chọn đội, lấy ra, không phân biệt thứ tự.

Bài 8.8. Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp gồm hai số nguyên dương nhỏ hơn 100? Có bao nhiêu cách chọn một tập hợp gồm ba số nguyên dương nhỏ hơn 100?

Lời giải chi tiết:

Các số nguyên dương nhỏ hơn 100 là: $1, 2, 3, \ldots, 99$ → có 99 số.

Chọn tập hợp (không phân biệt thứ tự) → dùng tổ hợp.

Số cách chọn một tập hợp gồm hai số nguyên dương nhỏ hơn 100:

$$C_{99}^2 = \dfrac{99!}{97! \cdot 2!} = \dfrac{99 \cdot 98}{2} = 4\,851 \text{ (cách)}$$

Số cách chọn một tập hợp gồm ba số nguyên dương nhỏ hơn 100:

$$C_{99}^3 = \dfrac{99!}{96! \cdot 3!} = \dfrac{99 \cdot 98 \cdot 97}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 156\,849 \text{ (cách)}$$

Bài 8.9. Bạn Hà có 5 viên bi xanh và 7 viên bi đỏ. Có bao nhiêu cách để Hà chọn ra đúng 2 viên bi khác màu?

Lời giải chi tiết:

Chọn 2 viên bi khác màu nghĩa là chọn 1 viên bi xanh và 1 viên bi đỏ. Ta chia thành 2 công đoạn:

Công đoạn 1. Chọn 1 viên bi xanh từ 5 viên bi xanh:

$$C_5^1 = 5 \text{ (cách)}$$

Công đoạn 2. Chọn 1 viên bi đỏ từ 7 viên bi đỏ:

$$C_7^1 = 7 \text{ (cách)}$$

Áp dụng quy tắc nhân:

$$\text{Số cách chọn} = 5 \cdot 7 = 35 \text{ (cách)}$$

Dạng 4. Kết hợp hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp vào bài toán đếm

Phương pháp:

• Phân tích bài toán thành các công đoạn hoặc các trường hợp.
• Ở mỗi công đoạn/trường hợp, xác định dùng hoán vị, chỉnh hợp hay tổ hợp:
  • Sắp xếp tất cả → hoán vị.
  • Chọn và sắp xếp → chỉnh hợp.
  • Chọn không cần thứ tự → tổ hợp.
• Kết hợp quy tắc nhân (giữa các công đoạn) và quy tắc cộng (giữa các trường hợp).

Bài 8.10. Một câu lạc bộ cờ vua có 10 bạn nam và 7 bạn nữ. Huấn luyện viên muốn chọn 4 bạn đi thi đấu cờ vua.

a) Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn nam?

b) Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn không phân biệt nam, nữ?

c) Có bao nhiêu cách chọn 4 bạn, trong đó có 2 bạn nam và 2 bạn nữ?

Lời giải chi tiết:

a) Chọn 4 bạn nam từ 10 bạn nam (không phân biệt thứ tự) → dùng tổ hợp:

$$C_{10}^4 = \dfrac{10!}{6! \cdot 4!} = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 210 \text{ (cách)}$$

b) Chọn 4 bạn từ tổng cộng $10 + 7 = 17$ bạn (không phân biệt nam, nữ):

$$C_{17}^4 = \dfrac{17!}{13! \cdot 4!} = \dfrac{17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 2\,380 \text{ (cách)}$$

c) Chọn 4 bạn gồm 2 nam và 2 nữ. Ta chia thành 2 công đoạn:

Công đoạn 1. Chọn 2 bạn nam từ 10 bạn nam:

$$C_{10}^2 = \dfrac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45 \text{ (cách)}$$

Công đoạn 2. Chọn 2 bạn nữ từ 7 bạn nữ:

$$C_7^2 = \dfrac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21 \text{ (cách)}$$

Áp dụng quy tắc nhân:

$$\text{Số cách chọn} = 45 \cdot 21 = 945 \text{ (cách)}$$

Bài 8.11. Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có bốn chữ số khác nhau?

Lời giải chi tiết:

Số tự nhiên có bốn chữ số khác nhau chia hết cho 5 có dạng $\overline{abcd}$ với $a \neq 0$, các chữ số đôi một khác nhau và $d \in {0, 5}$.

Ta chia thành hai trường hợp theo chữ số hàng đơn vị:

Trường hợp 1: Chữ số hàng đơn vị $d = 0$.

Còn lại cần chọn có thứ tự 3 chữ số từ 9 chữ số ${1, 2, 3, \ldots, 9}$ cho hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục (vì $a \neq 0$ và các chữ số khác nhau, đã loại chữ số 0):

$$A_9^3 = 9 \cdot 8 \cdot 7 = 504 \text{ (cách)}$$

Vậy trong trường hợp này có 504 số.

Trường hợp 2: Chữ số hàng đơn vị $d = 5$.

• Chọn chữ số hàng nghìn $a$: vì $a \neq 0$ và $a \neq 5$ (đã dùng cho $d$), nên $a \in {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}$ → có 8 cách.
• Chọn chữ số hàng trăm và hàng chục: sau khi chọn $a$ và $d = 5$, còn lại 8 chữ số (từ 0 đến 9, trừ $a$ và 5). Cần chọn có thứ tự 2 chữ số:

$$A_8^2 = 8 \cdot 7 = 56 \text{ (cách)}$$

Vậy trong trường hợp này có: $8 \cdot 56 = 448$ (số).

Hai trường hợp rời nhau. Áp dụng quy tắc cộng:

$$\text{Tổng số các số} = 504 + 448 = 952 \text{ (số)}$$

Sai lầm thường gặp

Tổng kết

Bảng so sánh hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Mối liên hệ

$$C_n^k = \dfrac{A_n^k}{k!} \qquad \text{và} \qquad P_n = A_n^n$$

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh