1. Khái niệm hàm số bậc hai

Trong bài toán rào vườn ở tình huống mở đầu, bác Việt có một tấm lưới hình chữ nhật dài 20 m và muốn rào chắn ba mặt áp bên bờ tường thành một mảnh đất hình chữ nhật để trồng rau. Gọi $x$ mét ($0 < x < 10$) là khoảng cách từ điểm cắm cọc đến bờ tường, ta tính được diện tích mảnh đất:

$$S(x) = x \cdot (20 – 2x) = -2x^2 + 20x$$

Đây là một hàm số cho bởi công thức và gọi là một hàm số bậc hai của biến số $x$.

Tổng quát, ta có:

Hàm số bậc hai là hàm số cho bởi công thức:

$$y = ax^2 + bx + c,$$

trong đó $x$ là biến số, $a$, $b$, $c$ là các hằng số và $a \neq 0$.

Tập xác định của hàm số bậc hai là $\mathbb{R}$.

Nhận xét. Hàm số $y = ax^2$ ($a \neq 0$) đã học ở lớp 9 là một trường hợp đặc biệt của hàm số bậc hai với $b = c = 0$.

Ví dụ 1. Xét hàm số bậc hai $y = -2x^2 + 20x$. Bảng giá trị:

Luyện tập 1. Cho hàm số $y = (x – 1)(2 – 3x)$.

a) Khai triển: $y = (x – 1)(2 – 3x) = 2x – 3x^2 – 2 + 3x = -3x^2 + 5x – 2$.

Đây là hàm số bậc hai với $a = -3$, $b = 5$, $c = -2$.

b) Bảng giá trị:

Vận dụng 1. Một viên bi rơi tự do từ độ cao 19,6 m. Độ cao $h$ (mét) phụ thuộc vào thời gian $t$ (giây) theo công thức $h = 19{,}6 – 4{,}9t^2$, $t \geq 0$.

a) Viên bi chạm đất khi $h = 0$:

$19{,}6 – 4{,}9t^2 = 0 \Leftrightarrow t^2 = 4 \Leftrightarrow t = 2$ (vì $t \geq 0$).

Vậy sau 2 giây viên bi chạm đất.

b) Tập xác định: Vì $t \geq 0$ và $h \geq 0$ nên $19{,}6 – 4{,}9t^2 \geq 0 \Leftrightarrow t \leq 2$. Do đó tập xác định là $D = [0;\ 2]$.

Tập giá trị: Khi $t = 0$: $h = 19{,}6$ (lớn nhất). Khi $t = 2$: $h = 0$ (nhỏ nhất). Tập giá trị là $[0;\ 19{,}6]$.

2. Đồ thị của hàm số bậc hai

Ở lớp 9, ta đã biết dạng đồ thị của hàm số $y = ax^2$ ($a \neq 0$): parabol có đỉnh tại gốc toạ độ $O$, quay bề lõm lên trên nếu $a > 0$, quay bề lõm xuống dưới nếu $a < 0$. Bây giờ ta tìm hiểu đồ thị của hàm số bậc hai tổng quát $y = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$).

Dạng chính tắc

Ta có thể viết hàm số bậc hai dưới dạng:

$$y = ax^2 + bx + c = a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 – \dfrac{\Delta}{4a}, \quad \text{với } \Delta = b^2 – 4ac.$$

Đỉnh và trục đối xứng

Đồ thị hàm số $y = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$) là một đường parabol có:

• Đỉnh là điểm $I\left(-\dfrac{b}{2a};\ -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$.
• Trục đối xứng là đường thẳng $x = -\dfrac{b}{2a}$.
• Nếu $a > 0$: parabol quay bề lõm lên trên, điểm $I$ là điểm thấp nhất trên đồ thị.
• Nếu $a < 0$: parabol quay bề lõm xuống dưới, điểm $I$ là điểm cao nhất trên đồ thị.

Các bước vẽ parabol $y = ax^2 + bx + c$

Bước 1. Xác định toạ độ đỉnh $I\left(-\dfrac{b}{2a};\ -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$.

Bước 2. Xác định trục đối xứng $x = -\dfrac{b}{2a}$.

Bước 3. Xác định toạ độ các giao điểm của parabol với trục tung, trục hoành (nếu có) và một vài điểm đặc biệt trên parabol.

Bước 4. Vẽ parabol.

Ví dụ 2. Vẽ parabol $y = -2x^2 – 2x + 4$ và tìm khoảng đồng biến, nghịch biến, giá trị lớn nhất.

Giải:

a) Ta có $a = -2 < 0$ nên parabol quay bề lõm xuống dưới.

• $\Delta = (-2)^2 – 4 \cdot (-2) \cdot 4 = 4 + 32 = 36$.
• Đỉnh: $I\left(-\dfrac{-2}{2 \cdot (-2)};\ -\dfrac{36}{4 \cdot (-2)}\right) = I\left(-\dfrac{1}{2};\ \dfrac{9}{2}\right)$.
• Trục đối xứng: $x = -\dfrac{1}{2}$.
• Giao điểm với trục $Oy$: cho $x = 0$ thì $y = 4$, được điểm $A(0;\ 4)$.
• Giao điểm với trục $Ox$: giải $-2x^2 – 2x + 4 = 0 \Leftrightarrow x^2 + x – 2 = 0 \Leftrightarrow (x – 1)(x + 2) = 0$, suy ra $x = 1$ hoặc $x = -2$.
• Để vẽ chính xác hơn, lấy thêm điểm đối xứng với $A$ qua trục đối xứng là $B(-1;\ 4)$.

b) Từ đồ thị ta thấy:

• Hàm số $y = -2x^2 – 2x + 4$ đồng biến trên khoảng $\left(-\infty;\ -\dfrac{1}{2}\right)$, nghịch biến trên khoảng $\left(-\dfrac{1}{2};\ +\infty\right)$.
• Giá trị lớn nhất của hàm số là $y = \dfrac{9}{2}$, khi $x = -\dfrac{1}{2}$.

Tính chất đồng biến, nghịch biến

Từ đồ thị hàm số $y = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$), ta suy ra:

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1. Vẽ parabol và xét tính đồng biến, nghịch biến

Phương pháp:

• Bước 1. Xác định hệ số $a$, $b$, $c$ và tính $\Delta = b^2 – 4ac$.
• Bước 2. Tìm toạ độ đỉnh $I\left(-\dfrac{b}{2a};\ -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$ và trục đối xứng $x = -\dfrac{b}{2a}$.
• Bước 3. Tìm giao điểm với trục $Oy$ (cho $x = 0$) và trục $Ox$ (giải $ax^2 + bx + c = 0$, nếu có nghiệm).
• Bước 4. Vẽ parabol dựa trên các yếu tố trên. Bề lõm quay lên nếu $a > 0$, quay xuống nếu $a < 0$.
• Bước 5. Xét tính đồng biến, nghịch biến: hàm số đổi chiều biến thiên tại $x = -\dfrac{b}{2a}$.

Bài 6.7. Vẽ các đường parabol sau:

a) $y = x^2 – 3x + 2$

b) $y = -2x^2 + 2x + 3$

c) $y = x^2 + 2x + 1$

d) $y = -x^2 + x – 1$

Lời giải chi tiết:

a) $y = x^2 – 3x + 2$ với $a = 1 > 0$, $b = -3$, $c = 2$.

$\Delta = (-3)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 – 8 = 1$.

• Toạ độ đỉnh: $I\left(\dfrac{3}{2};\ -\dfrac{1}{4}\right)$.
• Trục đối xứng: $x = \dfrac{3}{2}$.
• Giao điểm với $Oy$: $(0;\ 2)$.
• Giao điểm với $Ox$: $x^2 – 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow (x – 1)(x – 2) = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 2$. Hai giao điểm: $(1;\ 0)$ và $(2;\ 0)$.

Parabol quay bề lõm lên trên (vì $a = 1 > 0$).

b) $y = -2x^2 + 2x + 3$ với $a = -2 < 0$, $b = 2$, $c = 3$.

$\Delta = 2^2 – 4 \cdot (-2) \cdot 3 = 4 + 24 = 28$.

• Toạ độ đỉnh: $I\left(\dfrac{1}{2};\ \dfrac{7}{2}\right)$.
• Trục đối xứng: $x = \dfrac{1}{2}$.
• Giao điểm với $Oy$: $(0;\ 3)$.
• Giao điểm với $Ox$: $-2x^2 + 2x + 3 = 0$. Nghiệm: $x = \dfrac{-2 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot (-2)} = \dfrac{1 \pm \sqrt{7}}{2}$. Hai giao điểm: $\left(\dfrac{1 – \sqrt{7}}{2};\ 0\right)$ và $\left(\dfrac{1 + \sqrt{7}}{2};\ 0\right)$.

Parabol quay bề lõm xuống dưới (vì $a = -2 < 0$).

c) $y = x^2 + 2x + 1$ với $a = 1 > 0$, $b = 2$, $c = 1$.

$\Delta = 2^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 – 4 = 0$.

• Toạ độ đỉnh: $I(-1;\ 0)$.
• Trục đối xứng: $x = -1$.
• Giao điểm với $Oy$: $(0;\ 1)$.
• Giao điểm với $Ox$: $x^2 + 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow (x + 1)^2 = 0 \Leftrightarrow x = -1$. Đồ thị tiếp xúc với trục $Ox$ tại điểm $(-1;\ 0)$.

Parabol quay bề lõm lên trên (vì $a = 1 > 0$).

d) $y = -x^2 + x – 1$ với $a = -1 < 0$, $b = 1$, $c = -1$.

$\Delta = 1^2 – 4 \cdot (-1) \cdot (-1) = 1 – 4 = -3 < 0$.

• Toạ độ đỉnh: $I\left(\dfrac{1}{2};\ -\dfrac{3}{4}\right)$.
• Trục đối xứng: $x = \dfrac{1}{2}$.
• Giao điểm với $Oy$: $(0;\ -1)$.
• Giao điểm với $Ox$: $\Delta < 0$ nên phương trình $-x^2 + x – 1 = 0$ vô nghiệm. Đồ thị không cắt trục $Ox$.

Parabol quay bề lõm xuống dưới (vì $a = -1 < 0$). Toàn bộ đồ thị nằm phía dưới trục hoành.

Bài 6.8. Từ các parabol đã vẽ ở Bài tập 6.7, hãy cho biết khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến của mỗi hàm số bậc hai tương ứng.

Lời giải chi tiết:

a) $y = x^2 – 3x + 2$ ($a = 1 > 0$, đỉnh tại $x = \dfrac{3}{2}$):

• Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty;\ \dfrac{3}{2}\right)$.
• Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(\dfrac{3}{2};\ +\infty\right)$.

b) $y = -2x^2 + 2x + 3$ ($a = -2 < 0$, đỉnh tại $x = \dfrac{1}{2}$):

• Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty;\ \dfrac{1}{2}\right)$.
• Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(\dfrac{1}{2};\ +\infty\right)$.

c) $y = x^2 + 2x + 1$ ($a = 1 > 0$, đỉnh tại $x = -1$):

• Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty;\ -1)$.
• Hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;\ +\infty)$.

d) $y = -x^2 + x – 1$ ($a = -1 < 0$, đỉnh tại $x = \dfrac{1}{2}$):

• Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(-\infty;\ \dfrac{1}{2}\right)$.
• Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(\dfrac{1}{2};\ +\infty\right)$.

Dạng 2. Xác định parabol khi biết một số điều kiện

Phương pháp:

• Viết dạng tổng quát của parabol theo đề bài (ví dụ $y = ax^2 + bx + 1$, hoặc $y = ax^2 + bx + c$, hoặc dạng đỉnh $y = a(x – h)^2 + k$).
• Thay toạ độ các điểm mà parabol đi qua vào phương trình để lập hệ phương trình.
• Sử dụng các điều kiện bổ sung: trục đối xứng $x = -\dfrac{b}{2a}$, toạ độ đỉnh $I\left(-\dfrac{b}{2a};\ -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$, tung độ đỉnh $= -\dfrac{\Delta}{4a}$.
• Giải hệ phương trình để tìm các hệ số.

Bài 6.9. Xác định parabol $y = ax^2 + bx + 1$, trong mỗi trường hợp sau:

a) Đi qua hai điểm $A(1;\ 0)$ và $B(2;\ 4)$.

b) Đi qua điểm $A(1;\ 0)$ và có trục đối xứng $x = 1$.

c) Có đỉnh $I(1;\ 2)$.

d) Đi qua điểm $C(-1;\ 1)$ và có tung độ đỉnh bằng $-0{,}25$.

Lời giải chi tiết:

a) Thay toạ độ điểm $A(1;\ 0)$ và $B(2;\ 4)$ vào $y = ax^2 + bx + 1$:

$$\begin{cases} 0 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + 1 \\ 4 = a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a + b = -1 \\ 4a + 2b = 3 \end{cases}$$

Từ phương trình đầu: $b = -1 – a$. Thay vào phương trình sau:

$4a + 2(-1 – a) = 3 \Leftrightarrow 2a – 2 = 3 \Leftrightarrow a = \dfrac{5}{2}$.

Suy ra $b = -1 – \dfrac{5}{2} = -\dfrac{7}{2}$.

Vậy parabol: $y = \dfrac{5}{2}x^2 – \dfrac{7}{2}x + 1$.

b) Parabol có trục đối xứng $x = 1$, tức $-\dfrac{b}{2a} = 1 \Leftrightarrow b = -2a$.

Thay toạ độ $A(1;\ 0)$ vào: $0 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + 1 \Leftrightarrow a + b = -1$.

Hệ phương trình:

$$\begin{cases} a + b = -1 \\ b = -2a \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a – 2a = -1 \\ b = -2a \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 1 \\ b = -2 \end{cases}$$

Vậy parabol: $y = x^2 – 2x + 1$.

c) Parabol có đỉnh $I(1;\ 2)$, tức $-\dfrac{b}{2a} = 1$ và $-\dfrac{\Delta}{4a} = 2$.

Từ $-\dfrac{b}{2a} = 1 \Rightarrow b = -2a$.

Thay toạ độ đỉnh $I(1;\ 2)$ vào: $2 = a \cdot 1^2 + b \cdot 1 + 1 \Leftrightarrow a + b = 1$.

Hệ phương trình:

$$\begin{cases} a + b = 1 \\ b = -2a \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a – 2a = 1 \\ b = -2a \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = -1 \\ b = 2 \end{cases}$$

Vậy parabol: $y = -x^2 + 2x + 1$.

d) Thay toạ độ $C(-1;\ 1)$ vào: $1 = a \cdot (-1)^2 + b \cdot (-1) + 1 \Leftrightarrow a – b = 0 \Leftrightarrow a = b$.

Tung độ đỉnh bằng $-0{,}25$, tức $-\dfrac{\Delta}{4a} = -0{,}25$.

Ta có $\Delta = b^2 – 4ac = b^2 – 4a$, nên:

$$-\dfrac{b^2 – 4a}{4a} = -0{,}25 \Leftrightarrow \dfrac{b^2 – 4a}{4a} = 0{,}25 \Leftrightarrow b^2 – 4a = a \Leftrightarrow b^2 = 5a$$

Vì $a = b$, thay vào: $a^2 = 5a \Leftrightarrow a(a – 5) = 0$.

Vì $a \neq 0$ nên $a = 5$, suy ra $b = 5$.

Vậy parabol: $y = 5x^2 + 5x + 1$.

Bài 6.10. Xác định parabol $y = ax^2 + bx + c$, biết rằng parabol đó đi qua điểm $A(8;\ 0)$ và có đỉnh là $I(6;\ -12)$.

Lời giải chi tiết:

Cách 1: Vì parabol có đỉnh $I(6;\ -12)$, ta viết dưới dạng đỉnh:

$$y = a(x – 6)^2 + (-12) = a(x – 6)^2 – 12$$

Parabol đi qua $A(8;\ 0)$:

$$0 = a(8 – 6)^2 – 12 \Leftrightarrow 4a = 12 \Leftrightarrow a = 3$$

Vậy: $y = 3(x – 6)^2 – 12 = 3(x^2 – 12x + 36) – 12 = 3x^2 – 36x + 108 – 12$.

$$y = 3x^2 – 36x + 96$$

Cách 2: Từ đỉnh $I(6;\ -12)$: $-\dfrac{b}{2a} = 6 \Rightarrow b = -12a$.

Thay toạ độ $I(6;\ -12)$ vào: $-12 = 36a + 6b + c$.

Thay toạ độ $A(8;\ 0)$ vào: $0 = 64a + 8b + c$.

Hệ phương trình:

$$\begin{cases} 12a + b = 0 \\ 36a + 6b + c = -12 \\ 64a + 8b + c = 0 \end{cases}$$

Từ phương trình (1): $b = -12a$. Thay vào (2) và (3):

$(2): 36a + 6(-12a) + c = -12 \Leftrightarrow -36a + c = -12$.

$(3): 64a + 8(-12a) + c = 0 \Leftrightarrow -32a + c = 0 \Leftrightarrow c = 32a$.

Thay $c = 32a$ vào: $-36a + 32a = -12 \Leftrightarrow -4a = -12 \Leftrightarrow a = 3$.

Suy ra $b = -36$, $c = 96$.

Vậy parabol: $y = 3x^2 – 36x + 96$.

Dạng 3. Xác định dấu của hệ số $a$ và biệt thức $\Delta$

Phương pháp:

• Dấu của $a$: Xác định bề lõm của parabol. Parabol quay bề lõm lên trên → $a > 0$. Parabol quay bề lõm xuống dưới → $a < 0$.
• Dấu của $\Delta$: Xác định vị trí của parabol so với trục hoành.
  • Parabol cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt → $\Delta > 0$.
  • Parabol tiếp xúc trục hoành (cắt tại đúng một điểm) → $\Delta = 0$.
  • Parabol không cắt trục hoành → $\Delta < 0$.

Bài 6.11. Gọi $(P)$ là đồ thị hàm số bậc hai $y = ax^2 + bx + c$. Hãy xác định dấu của hệ số $a$ và biệt thức $\Delta$, trong mỗi trường hợp sau:

a) $(P)$ nằm hoàn toàn phía trên trục hoành.

b) $(P)$ nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành.

c) $(P)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và có đỉnh nằm phía dưới trục hoành.

d) $(P)$ tiếp xúc với trục hoành và nằm phía trên trục hoành.

Lời giải chi tiết:

a) $(P)$ nằm hoàn toàn phía trên trục hoành:

• Parabol phải quay bề lõm lên trên để toàn bộ nằm phía trên → $a > 0$.
• Parabol không cắt trục hoành → $\Delta < 0$.

b) $(P)$ nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành:

• Parabol phải quay bề lõm xuống dưới để toàn bộ nằm phía dưới → $a < 0$.
• Parabol không cắt trục hoành → $\Delta < 0$.

c) $(P)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và có đỉnh nằm phía dưới trục hoành:

• Đỉnh nằm phía dưới trục hoành, parabol quay lên mới cắt được trục hoành tại hai điểm → $a > 0$.
• Cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt → $\Delta > 0$.

d) $(P)$ tiếp xúc với trục hoành và nằm phía trên trục hoành:

• Parabol nằm phía trên trục hoành, quay bề lõm lên trên → $a > 0$.
• Tiếp xúc trục hoành (chạm tại đúng một điểm) → $\Delta = 0$.

Dạng 4. Bài toán thực tế về hàm số bậc hai

Phương pháp:

• Bước 1. Xác định biến số $x$ và hàm số $y$ (hoặc $S$, $h$,…), cùng điều kiện của $x$.
• Bước 2. Thiết lập công thức hàm số bậc hai từ dữ kiện bài toán.
• Bước 3. Sử dụng tính chất của hàm số bậc hai (giá trị lớn nhất, nhỏ nhất tại đỉnh) để giải quyết yêu cầu.
  • Nếu $a > 0$: hàm số đạt giá trị nhỏ nhất $-\dfrac{\Delta}{4a}$ tại $x = -\dfrac{b}{2a}$.
  • Nếu $a < 0$: hàm số đạt giá trị lớn nhất $-\dfrac{\Delta}{4a}$ tại $x = -\dfrac{b}{2a}$.

Bài 6.12. Hai bạn An và Bình trao đổi: cổng Trường Đại học Bách khoa Hà Nội có dạng một parabol, khoảng cách giữa hai chân cổng là 8 m và chiều cao của cổng tính từ một điểm trên mặt đất cách chân cổng 0,5 m là 2,93 m. An tính ra chiều cao của cổng parabol đó là 12 m. Hãy tính chiều cao thực sự của cổng.

Lời giải chi tiết:

Chọn hệ trục toạ độ $Oxy$ sao cho một chân cổng đặt tại gốc toạ độ $O(0;\ 0)$, chân còn lại đặt trên tia $Ox$. Khi đó cổng parabol là một phần của đồ thị hàm số dạng $y = ax^2 + bx$ (vì parabol đi qua gốc toạ độ nên $c = 0$).

Khoảng cách giữa hai chân cổng bằng 8 m, suy ra $A(8;\ 0) \in (P)$.

Chiều cao từ điểm cách chân cổng 0,5 m là 2,93 m, suy ra $B(0{,}5;\ 2{,}93) \in (P)$.

Thay toạ độ của $A$ và $B$ vào $y = ax^2 + bx$:

$$\begin{cases} 0 = 64a + 8b \\ 2{,}93 = 0{,}25a + 0{,}5b \end{cases}$$

Từ phương trình (1): $b = -8a$. Thay vào (2):

$2{,}93 = 0{,}25a + 0{,}5 \cdot (-8a) = 0{,}25a – 4a = -3{,}75a$

$a = -\dfrac{2{,}93}{3{,}75} = -\dfrac{293}{375}$

$b = -8 \cdot \left(-\dfrac{293}{375}\right) = \dfrac{2344}{375}$

Hàm số: $y = -\dfrac{293}{375}x^2 + \dfrac{2344}{375}x$.

Toạ độ đỉnh: $x_I = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{\frac{2344}{375}}{2 \cdot \left(-\frac{293}{375}\right)} = \dfrac{2344}{2 \cdot 293} = 4$.

$y_I = -\dfrac{293}{375} \cdot 16 + \dfrac{2344}{375} \cdot 4 = \dfrac{-4688 + 9376}{375} = \dfrac{4688}{375} \approx 12{,}5$ (m).

Vậy chiều cao của cổng là $\dfrac{4688}{375} \approx 12{,}5$ m. Kết quả của An (12 m) gần chính xác nhưng không hoàn toàn đúng.

Bài 6.13. Bác Hùng dùng 40 m lưới thép gai rào thành một mảnh vườn hình chữ nhật để trồng rau.

a) Tính diện tích mảnh vườn hình chữ nhật rào được theo chiều rộng $x$ (mét) của nó.

b) Tìm kích thước của mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích lớn nhất mà bác Hùng có thể rào được.

Lời giải chi tiết:

a) Nửa chu vi của hình chữ nhật là $\dfrac{40}{2} = 20$ (m).

Chiều rộng là $x$ (m), với $0 < x < 20$. Chiều dài là $20 – x$ (m).

Diện tích mảnh vườn:

$$S(x) = x(20 – x) = -x^2 + 20x \quad (m^2)$$

b) Ta có $S(x) = -x^2 + 20x$ với $a = -1 < 0$.

Biến đổi: $S(x) = -x^2 + 20x = -(x^2 – 20x + 100) + 100 = -(x – 10)^2 + 100 \leq 100$.

Dấu “$=$” xảy ra khi $x = 10$.

Khi $x = 10$: chiều dài $= 20 – 10 = 10$ (m).

Vậy mảnh vườn có diện tích lớn nhất ($100\ m^2$) khi nó có kích thước $10 \times 10$ m (hình vuông).

Bài 6.14. Quỹ đạo của một vật được ném lên từ gốc $O$ trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ là một parabol có phương trình $y = \dfrac{-3}{1000}x^2 + x$, trong đó $x$ (mét) là khoảng cách theo phương ngang, $y$ (mét) là độ cao của vật so với mặt đất.

a) Tìm độ cao lớn nhất của vật trong quá trình bay.

b) Tính khoảng cách từ điểm chạm đất sau khi bay của vật đến gốc $O$ (tầm xa của quỹ đạo).

Lời giải chi tiết:

a) Hàm số $y = \dfrac{-3}{1000}x^2 + x$ với $a = \dfrac{-3}{1000} < 0$, $b = 1$, $c = 0$.

$\Delta = 1^2 – 4 \cdot \dfrac{-3}{1000} \cdot 0 = 1$.

Hoành độ đỉnh: $x_I = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{1}{2 \cdot \frac{-3}{1000}} = \dfrac{1000}{6} = \dfrac{500}{3}$.

Độ cao lớn nhất:

$$y_I = \dfrac{-3}{1000} \cdot \left(\dfrac{500}{3}\right)^2 + \dfrac{500}{3} = \dfrac{-3}{1000} \cdot \dfrac{250000}{9} + \dfrac{500}{3} = -\dfrac{250}{3} + \dfrac{500}{3} = \dfrac{250}{3} \approx 83{,}3 \text{ (m)}$$

Vậy độ cao lớn nhất của vật là $\dfrac{250}{3} \approx 83{,}3$ m.

b) Vật chạm đất khi $y = 0$:

$$\dfrac{-3}{1000}x^2 + x = 0 \Leftrightarrow x\left(\dfrac{-3}{1000}x + 1\right) = 0$$

$$\Leftrightarrow x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = \dfrac{1000}{3} \approx 333{,}3$$

Vì $x = 0$ là điểm ném, nên điểm chạm đất có hoành độ $x = \dfrac{1000}{3}$.

Vậy tầm xa của quỹ đạo là $\dfrac{1000}{3} \approx 333{,}3$ m.

Sai lầm thường gặp

Tổng kết

Hàm số bậc hai: $y = ax^2 + bx + c$ ($a \neq 0$), tập xác định $D = \mathbb{R}$.

Đồ thị: Parabol có đỉnh $I\left(-\dfrac{b}{2a};\ -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$, trục đối xứng $x = -\dfrac{b}{2a}$, với $\Delta = b^2 – 4ac$.

Các bước vẽ parabol: Xác định đỉnh → trục đối xứng → giao điểm với các trục → vẽ đường cong.

Dạng đỉnh: $y = a(x – h)^2 + k$, trong đó $I(h;\ k)$ là đỉnh parabol. Dạng này rất hữu ích khi xác định parabol từ toạ độ đỉnh.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh