Đường thẳng là một tập hợp điểm, được xác định bởi tính chất đặc trưng của các điểm thuộc đường thẳng đó. Ta có thể đại số hoá đường thẳng bằng cách thể hiện tính chất đặc trưng đó bởi điều kiện đại số đối với toạ độ của các điểm tương ứng.

1. Phương trình tổng quát của đường thẳng

Vectơ pháp tuyến

Vectơ $\vec{n} \neq \vec{0}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ nếu giá của nó vuông góc với $\Delta$.

Nhận xét.

• Nếu $\vec{n}$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ thì $k\vec{n}$ ($k \neq 0$) cũng là vectơ pháp tuyến của $\Delta$.
• Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó.

Ví dụ 1 (SGK). Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác có ba đỉnh là $A(3;\ 1)$, $B(4;\ 0)$, $C(5;\ 3)$. Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ và một vectơ pháp tuyến của đường cao kẻ từ $A$ của tam giác $ABC$.

Giải:

Đường trung trực của đoạn thẳng $AB$ vuông góc với $AB$ nên có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{AB}(1;\ -1)$.

Đường cao kẻ từ $A$ của tam giác $ABC$ vuông góc với $BC$ nên có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{BC}(1;\ 3)$.

Phương trình tổng quát

Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(x_0;\ y_0)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}(a;\ b)$. Điểm $M(x;\ y)$ thuộc $\Delta$ khi và chỉ khi:

$$a(x – x_0) + b(y – y_0) = 0 \qquad (1)$$

Nếu đặt $c = -ax_0 – by_0$, thì $(1)$ được viết dưới dạng:

$$\boxed{ax + by + c = 0}$$

và được gọi là phương trình tổng quát của $\Delta$.

Trong mặt phẳng toạ độ, mọi đường thẳng đều có phương trình tổng quát dạng $ax + by + c = 0$ với $a$ và $b$ không đồng thời bằng $0$. Ngược lại, mỗi phương trình dạng $ax + by + c = 0$ với $a$ và $b$ không đồng thời bằng $0$, đều là phương trình của một đường thẳng, nhận $\vec{n}(a;\ b)$ là một vectơ pháp tuyến.

Ví dụ 2 (SGK). Trong mặt phẳng toạ độ, lập phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(2;\ 1)$ và nhận $\vec{n}(3;\ 4)$ là một vectơ pháp tuyến.

Giải:

Đường thẳng $\Delta$ có phương trình là:

$$3(x – 2) + 4(y – 1) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad 3x + 4y – 10 = 0$$

Ví dụ 3 (SGK). Lập phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(0;\ b)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}(a;\ -1)$. Chỉ ra mối liên hệ giữa đường thẳng $\Delta$ với đồ thị hàm số $y = ax + b$.

Giải:

Đường thẳng $\Delta$ có phương trình là:

$$a(x – 0) – 1(y – b) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad ax – y + b = 0$$

Đường thẳng $\Delta$ là tập hợp những điểm $M(x;\ y)$ thoả mãn $ax – y + b = 0$, hay $y = ax + b$.

Do đó, đường thẳng $\Delta: ax – y + b = 0$ chính là đồ thị của hàm số $y = ax + b$.

Nhận xét. Trong mặt phẳng toạ độ, cho đường thẳng $\Delta: ax + by + c = 0$.

• Nếu $b = 0$ thì phương trình có thể đưa về dạng $x = m$ (với $m = -\dfrac{c}{a}$) và $\Delta$ vuông góc với $Ox$.
• Nếu $b \neq 0$ thì phương trình có thể đưa về dạng $y = nx + p$ (với $n = -\dfrac{a}{b}$, $p = -\dfrac{c}{b}$).

2. Phương trình tham số của đường thẳng

Vectơ chỉ phương

Vectơ $\vec{u} \neq \vec{0}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ nếu giá của nó song song hoặc trùng với $\Delta$.

Nhận xét.

• Nếu $\vec{u}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ thì $k\vec{u}$ ($k \neq 0$) cũng là vectơ chỉ phương của $\Delta$.
• Đường thẳng hoàn toàn xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của nó.
• Vectơ $\vec{n}(a;\ b)$ vuông góc với các vectơ $\vec{u}(-b;\ a)$ và $\vec{v}(b;\ -a)$, nên nếu $\vec{n}$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta$ thì $\vec{u}$, $\vec{v}$ là hai vectơ chỉ phương của đường thẳng đó và ngược lại.

Mối liên hệ giữa vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương:

Ví dụ 4 (SGK). Trong mặt phẳng toạ độ, cho $A(3;\ 2)$, $B(1;\ -4)$. Hãy chỉ ra hai vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$.

Giải:

Đường thẳng $AB$ nhận $\overrightarrow{AB} = (-2;\ -6)$ là một vectơ chỉ phương.

Lấy $\vec{u} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} = (1;\ 3)$, khi đó $\vec{u}$ cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$.

Phương trình tham số

Cho đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(x_0;\ y_0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}(a;\ b)$. Khi đó điểm $M(x;\ y)$ thuộc đường thẳng $\Delta$ khi và chỉ khi tồn tại số thực $t$ sao cho $\overrightarrow{AM} = t\vec{u}$, hay:

$$\boxed{\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases}} \qquad (2)$$

Hệ $(2)$ được gọi là phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ ($t$ là tham số).

Ví dụ 5 (SGK). Lập phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $A(2;\ -3)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}(4;\ -1)$.

Giải:

Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là:

$$\begin{cases} x = 2 + 4t \\ y = -3 – t \end{cases}$$

Ví dụ 6 (SGK). Lập phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm $A(2;\ 3)$ và $B(1;\ 5)$.

Giải:

Đường thẳng $AB$ đi qua $A(2;\ 3)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB} = (1 – 2;\ 5 – 3) = (-1;\ 2)$, do đó có phương trình tham số là:

$$\begin{cases} x = 2 – t \\ y = 3 + 2t \end{cases}$$

Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng

Phương pháp:

• Xác định một điểm $A(x_0;\ y_0)$ thuộc đường thẳng.
• Xác định vectơ pháp tuyến $\vec{n}(a;\ b)$ của đường thẳng.
• Áp dụng công thức: $a(x – x_0) + b(y – y_0) = 0$.

Lưu ý: Nếu đề cho vectơ chỉ phương $\vec{u}(u_1;\ u_2)$ thì suy ra vectơ pháp tuyến $\vec{n}(u_2;\ -u_1)$.

Dạng 2. Lập phương trình tham số của đường thẳng

Phương pháp:

• Xác định một điểm $A(x_0;\ y_0)$ thuộc đường thẳng.
• Xác định vectơ chỉ phương $\vec{u}(a;\ b)$ của đường thẳng.
• Áp dụng công thức: $\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases}$

Lưu ý: Nếu đề cho vectơ pháp tuyến $\vec{n}(a;\ b)$ thì suy ra vectơ chỉ phương $\vec{u}(-b;\ a)$.

Nếu đề cho đường thẳng song song với $d: Ax + By + C = 0$, thì đường thẳng cần tìm có cùng vectơ chỉ phương (hoặc cùng vectơ pháp tuyến) với $d$.

Dạng 3. Chuyển đổi giữa phương trình tổng quát và phương trình tham số

Phương pháp:

Từ phương trình tham số → tổng quát:

• Từ vectơ chỉ phương $\vec{u}(a;\ b)$ suy ra vectơ pháp tuyến $\vec{n}(b;\ -a)$.
• Lấy một điểm thuộc đường thẳng (cho $t = 0$).
• Lập phương trình tổng quát.

Từ phương trình tổng quát → tham số:

• Từ $\vec{n}(a;\ b)$ suy ra $\vec{u}(-b;\ a)$.
• Tìm một điểm thuộc đường thẳng.
• Lập phương trình tham số.

Dạng 4. Lập phương trình đường cao, đường trung tuyến của tam giác

Phương pháp:

Đường cao từ đỉnh $A$ của tam giác $ABC$:

• Đường cao $AH$ vuông góc với $BC$, nên $\vec{n}_{AH} = \overrightarrow{BC}$.
• Lập phương trình tổng quát đi qua $A$ với vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{BC}$.

Đường trung tuyến từ đỉnh $B$:

• Tìm trung điểm $M$ của cạnh $AC$: $M\left(\dfrac{x_A + x_C}{2};\ \dfrac{y_A + y_C}{2}\right)$.
• Tính $\overrightarrow{BM}$ làm vectơ chỉ phương.
• Lập phương trình tham số hoặc tổng quát.

Dạng 5. Chứng minh phương trình đoạn chắn và bài toán thực tế

Phương pháp:

• Với phương trình đoạn chắn: tìm vectơ chỉ phương từ hai điểm, suy ra vectơ pháp tuyến, lập phương trình tổng quát rồi biến đổi.
• Với bài toán thực tế: dùng phương trình tham số để tính thời gian, vị trí.

Bài tập và lời giải chi tiết

Bài 7.1. Trong mặt phẳng toạ độ, cho $\vec{n} = (2;\ 1)$, $\vec{v} = (3;\ 2)$, $A(1;\ 3)$, $B(-2;\ 1)$.

a) Lập phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta_1$ đi qua $A$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n}$.

b) Lập phương trình tham số của đường thẳng $\Delta_2$ đi qua $B$ và có vectơ chỉ phương $\vec{v}$.

c) Lập phương trình tham số của đường thẳng $AB$.

Lời giải chi tiết:

a) Đường thẳng $\Delta_1$ đi qua $A(1;\ 3)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (2;\ 1)$.

Áp dụng công thức $(1)$:

$$2(x – 1) + 1(y – 3) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad 2x + y – 5 = 0$$

b) Đường thẳng $\Delta_2$ đi qua $B(-2;\ 1)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{v} = (3;\ 2)$.

Áp dụng công thức $(2)$:

$$\begin{cases} x = -2 + 3t \\ y = 1 + 2t \end{cases}$$

c) Tính vectơ chỉ phương: $\overrightarrow{AB} = (-2 – 1;\ 1 – 3) = (-3;\ -2)$.

Đường thẳng $AB$ đi qua $A(1;\ 3)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB} = (-3;\ -2)$.

$$\begin{cases} x = 1 – 3t \\ y = 3 – 2t \end{cases}$$

Bài 7.2. Lập phương trình tổng quát của các trục toạ độ.

Lời giải chi tiết:

Trục $Ox$: đi qua gốc toạ độ $O(0;\ 0)$.

Trục $Ox$ có phương ngang, nhận $\vec{j} = (0;\ 1)$ là vectơ pháp tuyến (vì $Ox \perp Oy$).

$$0(x – 0) + 1(y – 0) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad y = 0$$

Trục $Oy$: đi qua gốc toạ độ $O(0;\ 0)$.

Trục $Oy$ có phương dọc, nhận $\vec{i} = (1;\ 0)$ là vectơ pháp tuyến.

$$1(x – 0) + 0(y – 0) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad x = 0$$

Bài 7.3. Cho hai đường thẳng $\Delta_1: \begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 + 5t \end{cases}$ và $\Delta_2: 2x + 3y – 5 = 0$

a) Lập phương trình tổng quát của $\Delta_1$.

b) Lập phương trình tham số của $\Delta_2$.

Lời giải chi tiết:

a) Từ phương trình tham số của $\Delta_1$, ta có:

• Vectơ chỉ phương: $\vec{u}_{\Delta_1} = (2;\ 5)$.
• Suy ra vectơ pháp tuyến: $\vec{n}_{\Delta_1} = (5;\ -2)$.
• Khi $t = 0$: điểm $M(1;\ 3) \in \Delta_1$.

Phương trình tổng quát của $\Delta_1$:

$$5(x – 1) – 2(y – 3) = 0 \quad \Leftrightarrow \quad 5x – 2y + 1 = 0$$

b) Từ phương trình tổng quát $\Delta_2: 2x + 3y – 5 = 0$, ta có:

• Vectơ pháp tuyến: $\vec{n}_{\Delta_2} = (2;\ 3)$.
• Suy ra vectơ chỉ phương: $\vec{u}_{\Delta_2} = (3;\ -2)$.

Tìm một điểm thuộc $\Delta_2$: cho $x = 1$ thì $2 \cdot 1 + 3y – 5 = 0 \Rightarrow y = 1$. Vậy $M(1;\ 1) \in \Delta_2$.

Phương trình tham số của $\Delta_2$:

$$\begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = 1 – 2t \end{cases}$$

Bài 7.4. Trong mặt phẳng toạ độ, cho tam giác $ABC$ có $A(1;\ 2)$, $B(3;\ 0)$ và $C(-2;\ -1)$.

a) Lập phương trình đường cao kẻ từ $A$.

b) Lập phương trình đường trung tuyến kẻ từ $B$.

Lời giải chi tiết:

a) Đường cao $AH$ kẻ từ $A$ vuông góc với $BC$.

Tính $\overrightarrow{BC} = (-2 – 3;\ -1 – 0) = (-5;\ -1)$.

Đường cao $AH$ nhận $\vec{n}_{AH} = \overrightarrow{BC} = (-5;\ -1)$ là vectơ pháp tuyến và đi qua $A(1;\ 2)$.

Phương trình tổng quát:

$$-5(x – 1) – 1(y – 2) = 0$$

$$-5x + 5 – y + 2 = 0$$

$$\Leftrightarrow \quad 5x + y – 7 = 0$$

b) Gọi $M$ là trung điểm của $AC$.

$$M\left(\dfrac{1 + (-2)}{2};\ \dfrac{2 + (-1)}{2}\right) = M\left(-\dfrac{1}{2};\ \dfrac{1}{2}\right)$$

Tính $\overrightarrow{BM} = \left(-\dfrac{1}{2} – 3;\ \dfrac{1}{2} – 0\right) = \left(-\dfrac{7}{2};\ \dfrac{1}{2}\right)$.

Lấy $\vec{u}_{BM} = 2\overrightarrow{BM} = (-7;\ 1)$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường trung tuyến $BM$ đi qua $B(3;\ 0)$:

$$\begin{cases} x = 3 – 7t \\ y = t \end{cases}$$

Bài 7.5. (Phương trình đoạn chắn) Chứng minh rằng đường thẳng đi qua hai điểm $A(a;\ 0)$, $B(0;\ b)$ với $ab \neq 0$ có phương trình là:

$$\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$$

Lời giải chi tiết:

Gọi $d$ là đường thẳng qua hai điểm $A(a;\ 0)$ và $B(0;\ b)$.

Bước 1. Tìm vectơ chỉ phương:

$$\vec{u}_d = \overrightarrow{AB} = (0 – a;\ b – 0) = (-a;\ b)$$

Bước 2. Suy ra vectơ pháp tuyến:

$$\vec{n}_d = (b;\ a)$$

Bước 3. Lập phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A(a;\ 0)$ với $\vec{n}_d = (b;\ a)$:

$$b(x – a) + a(y – 0) = 0$$

$$bx – ab + ay = 0$$

$$bx + ay = ab$$

Bước 4. Chia hai vế cho $ab \neq 0$:

$$\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1 \qquad \text{(đpcm)}$$

Bài 7.6. Theo Google Maps, sân bay Nội Bài có vĩ độ 21,2° Bắc, kinh độ 105,8° Đông, sân bay Đà Nẵng có vĩ độ 16,1° Bắc, kinh độ 108,2° Đông. Một máy bay bay từ sân bay Nội Bài đến sân bay Đà Nẵng. Tại thời điểm $t$ giờ, tính từ lúc xuất phát, máy bay ở vị trí có vĩ độ $x°$ Bắc, kinh độ $y°$ Đông được tính theo công thức:

$$\begin{cases} x = 21{,}2 – \dfrac{153}{40}\,t \\[6pt] y = 105{,}8 + \dfrac{9}{5}\,t \end{cases}$$

a) Hỏi chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất mấy giờ?

b) Tại thời điểm 1 giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đã bay qua vĩ tuyến 17 (17° Bắc) chưa?

Lời giải chi tiết:

a) Máy bay đến sân bay Đà Nẵng khi vĩ độ $x = 16{,}1$ và kinh độ $y = 108{,}2$.

Từ phương trình $x$:

$$16{,}1 = 21{,}2 – \dfrac{153}{40},t \quad \Rightarrow \quad \dfrac{153}{40},t = 21{,}2 – 16{,}1 = 5{,}1$$

$$t = \dfrac{5{,}1 \times 40}{153} = \dfrac{204}{153} = \dfrac{4}{3} \text{ (giờ)}$$

Kiểm tra với phương trình $y$:

$$y = 105{,}8 + \dfrac{9}{5} \cdot \dfrac{4}{3} = 105{,}8 + \dfrac{12}{5} = 105{,}8 + 2{,}4 = 108{,}2 \quad \checkmark$$

Vậy chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất $\dfrac{4}{3}$ giờ (tức 1 giờ 20 phút).

b) Tại thời điểm $t = 1$ giờ:

$$x = 21{,}2 – \dfrac{153}{40} \cdot 1 = 21{,}2 – 3{,}825 = 17{,}375 \text{ (° Bắc)}$$

Vì $17{,}375 > 17$ nên tại thời điểm 1 giờ sau khi cất cánh, máy bay ở vĩ độ 17,375° Bắc, tức máy bay chưa bay qua vĩ tuyến 17.

Sai lầm thường gặp

Tổng kết

Phương trình tổng quát: $ax + by + c = 0$ ($a$, $b$ không đồng thời bằng $0$).

Phương trình tham số: $\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases}$ ($t$ là tham số).

Cách lập phương trình đường thẳng:

Phương trình đoạn chắn: Đường thẳng qua $A(a;\ 0)$ và $B(0;\ b)$ ($ab \neq 0$) có phương trình $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$.

Mối liên hệ: Đồ thị hàm số $y = ax + b$ chính là đường thẳng $ax – y + b = 0$ với $\vec{n}(a;\ -1)$.

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh