Lớp 10 · Toán
Bài 15
Hàm Số
Khái niệm · Tập xác định · Tập giá trị · Đồ thị · Đồng biến, nghịch biến
1
Khái niệm hàm số
▼
Trong thực tế, ta thường gặp các đại lượng phụ thuộc vào nhau: quãng đường phụ thuộc vào thời gian, tiền điện phụ thuộc vào lượng điện tiêu thụ,... Mối quan hệ phụ thuộc này dẫn đến khái niệm hàm số.
Định nghĩa
Giả sử có đại lượng $y$ phụ thuộc vào đại lượng thay đổi $x$, trong đó $x$ nhận giá trị thuộc tập hợp số $D$.
Nếu với mỗi giá trị của $x$ thuộc tập $D$ có MỘT VÀ CHỈ MỘT giá trị tương ứng của $y$ thuộc $\mathbb{R}$, thì ta có một hàm số.
Nếu với mỗi giá trị của $x$ thuộc tập $D$ có MỘT VÀ CHỈ MỘT giá trị tương ứng của $y$ thuộc $\mathbb{R}$, thì ta có một hàm số.
$y = f(x)$
Các thành phần quan trọng
•$x$ — biến số (đầu vào).
•$y$ — hàm số của $x$ (đầu ra), viết là $y = f(x)$ hoặc $g(x)$,...
•Tập xác định $D$ — tập tất cả các giá trị mà $x$ có thể nhận.
•Tập giá trị — tập tất cả các giá trị mà $y$ nhận được.
⚠️Điều kiện CỐT LÕI: mỗi giá trị $x$ chỉ tương ứng với DUY NHẤT MỘT giá trị $y$. Nếu một $x$ ứng với 2 hoặc nhiều giá trị $y$ → KHÔNG phải hàm số.
Ví dụ — Kiểm tra "có là hàm số"
✓
$y = 2x + 1$: với mỗi $x$ → cho duy nhất một $y$ → là hàm số.
✓
$y = x^2$: với mỗi $x$ → cho duy nhất một $y$ → là hàm số.
✗
$y^2 = x$ (tức $y = \pm\sqrt{x}$): khi $x = 4$ thì $y = 2$ hoặc $y = -2$ — một $x$ cho 2 giá trị $y$ → KHÔNG là hàm số.
Hàm số có thể được cho bằng nhiều cách
①Bằng bảng — liệt kê các cặp $(x;\ y)$.
②Bằng biểu đồ — đồ thị, biểu đồ cột,...
③Bằng công thức — viết $y = f(x)$.
④Mô tả bằng lời — diễn đạt quy tắc bằng ngôn ngữ tự nhiên.
Ví dụ 1 — Hàm số cho bằng bảng
Bảng nồng độ bụi PM 2.5 trong không khí theo thời gian:
| Giờ | $0$ | $4$ | $8$ | $12$ | $16$ |
|---|---|---|---|---|---|
| PM 2.5 | $74{,}27$ | $64{,}58$ | $57{,}9$ | $69{,}07$ | $81{,}78$ |
→Tập xác định: $D = \{0;\ 4;\ 8;\ 12;\ 16\}$.
→Tập giá trị: $\{74{,}27;\ 64{,}58;\ 57{,}9;\ 69{,}07;\ 81{,}78\}$.
2
Tập xác định khi hàm số cho bằng công thức
▼
Quy ước
Khi cho hàm số bằng công thức $y = f(x)$ mà không chỉ rõ tập xác định, ta quy ước:
$D = \{x \in \mathbb{R} \mid f(x) \text{ có nghĩa}\}$
Bảng điều kiện theo dạng biểu thức
| Dạng biểu thức | Điều kiện có nghĩa |
|---|---|
| Đa thức $y = P(x)$ |
Luôn có nghĩa với mọi $x$ $\Rightarrow D = \mathbb{R}$ |
| Phân thức $y = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ |
Mẫu số khác 0: $Q(x) \ne 0$ |
| Căn thức $y = \sqrt{P(x)}$ |
Biểu thức dưới căn không âm: $P(x) \geq 0$ |
| Nhiều điều kiện |
Lấy GIAO các tập điều kiện |
💡Quy trình tìm tập xác định:
① Đọc kỹ biểu thức $f(x)$, xác định các thành phần (phân thức, căn thức,...).
② Viết điều kiện cho từng thành phần.
③ Giải các điều kiện, sau đó lấy giao nếu có nhiều điều kiện.
④ Kết luận tập xác định $D$.
① Đọc kỹ biểu thức $f(x)$, xác định các thành phần (phân thức, căn thức,...).
② Viết điều kiện cho từng thành phần.
③ Giải các điều kiện, sau đó lấy giao nếu có nhiều điều kiện.
④ Kết luận tập xác định $D$.
Ví dụ 2 — Hàm đa thức
Tìm tập xác định của $y = 2x^3 + 3x + 1$.
→Đa thức $2x^3 + 3x + 1$ có nghĩa với mọi số thực $x$.
⟹$D = \mathbb{R}$.
Ví dụ 3 — Hàm căn thức
Tìm tập xác định của $y = \sqrt{2x - 4}$.
→Điều kiện: $2x - 4 \geq 0$.
→Giải: $2x \geq 4 \Leftrightarrow x \geq 2$.
⟹$D = [2;\ +\infty)$.
Ví dụ 4 — Hàm phân thức
Tìm tập xác định của $y = \dfrac{1}{x - 1}$.
→Điều kiện: $x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1$.
⟹$D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
Ví dụ 5 — Hàm có nhiều căn thức
Tìm tập xác định của $y = \sqrt{x + 1} + \sqrt{1 - x}$.
→Điều kiện 1: $x + 1 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq -1$.
→Điều kiện 2: $1 - x \geq 0 \Leftrightarrow x \leq 1$.
→Lấy giao: $-1 \leq x \leq 1$.
⟹$D = [-1;\ 1]$.
3
Đồ thị của hàm số
▼
Định nghĩa
Đồ thị của hàm số $y = f(x)$ xác định trên tập $D$ là tập hợp tất cả các điểm $M(x;\ f(x))$ trên mặt phẳng toạ độ với $x \in D$.
Hình 1: Đồ thị hàm số $y = \dfrac{1}{2}x^2$ — parabol có đỉnh tại gốc toạ độ
Tập giá trị qua đồ thị
Tập giá trị là tập tất cả các giá trị $y$ mà hàm số có thể nhận được, tức là "hình chiếu" của đồ thị lên trục $Oy$.
Ví dụ 6 — Tiền điện theo lượng tiêu thụ
Tiền điện ở mức tiêu thụ $0$ đến $50$ kWh được tính theo công thức:
$y = 1{,}678x$ với $0 \leq x \leq 50$
→Tập xác định: $D = [0;\ 50]$.
→Vì $0 \leq x \leq 50$ nên $0 \leq y \leq 1{,}678 \cdot 50 = 83{,}9$.
→Tập giá trị: $[0;\ 83{,}9]$.
→Đồ thị là một đoạn thẳng đi qua $(0;\ 0)$ và $(50;\ 83{,}9)$.
4
Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
▼
Định nghĩa
Hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a;\ b)$.
• Đồng biến (tăng): $\forall x_1, x_2 \in (a;\ b),$
$\quad x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$
• Nghịch biến (giảm): $\forall x_1, x_2 \in (a;\ b),$
$\quad x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$
$\quad x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$
• Nghịch biến (giảm): $\forall x_1, x_2 \in (a;\ b),$
$\quad x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$
Nhận biết qua đồ thị
Đồng biến ↗
Đồ thị "đi LÊN" từ trái sang phải.
$x \uparrow \Rightarrow y \uparrow$
Nghịch biến ↘
Đồ thị "đi XUỐNG" từ trái sang phải.
$x \uparrow \Rightarrow y \downarrow$
Tính chất hai hàm số quen thuộc
Hàm số bậc nhất $y = ax + b$ ($a \ne 0$)
• $a > 0$ → đồng biến trên $\mathbb{R}$
• $a < 0$ → nghịch biến trên $\mathbb{R}$
• $a < 0$ → nghịch biến trên $\mathbb{R}$
Hàm số $y = ax^2$ ($a \ne 0$)
• $a > 0$ → nghịch biến trên $(-\infty;\ 0)$, đồng biến trên $(0;\ +\infty)$
• $a < 0$ → đồng biến trên $(-\infty;\ 0)$, nghịch biến trên $(0;\ +\infty)$
• $a < 0$ → đồng biến trên $(-\infty;\ 0)$, nghịch biến trên $(0;\ +\infty)$
Hình 2: Đồ thị $y = x^2$ — nghịch biến trên $(-\infty;\ 0)$, đồng biến trên $(0;\ +\infty)$
Ví dụ 7 — Xét đồng biến / nghịch biến
Xét hàm số $y = x^2$ trên các khoảng:
①Trên $(-\infty;\ 0)$: chọn $x_1 = -3$, $x_2 = -1$ ($x_1 < x_2$).
$f(x_1) = (-3)^2 = 9$, $f(x_2) = (-1)^2 = 1$. So sánh: $9 > 1$ tức $f(x_1) > f(x_2)$.
⟹Hàm số nghịch biến trên $(-\infty;\ 0)$.
②Trên $(0;\ +\infty)$: chọn $x_3 = 1$, $x_4 = 3$ ($x_3 < x_4$).
$f(x_3) = 1$, $f(x_4) = 9$. So sánh: $1 < 9$ tức $f(x_3) < f(x_4)$.
⟹Hàm số đồng biến trên $(0;\ +\infty)$.
5
Phương pháp giải các dạng toán
▼
Dạng 1 — Nhận biết hàm số
1
Từ hệ thức giữa $x$ và $y$, biểu diễn $y$ theo $x$.
2
Kiểm tra: với mỗi $x$ có đúng MỘT giá trị $y$ không?
3
Một $x$ → một $y$: là hàm số. Một $x$ → nhiều $y$: không là hàm số.
Dạng 2 — Tìm tập xác định
1
Phân tích biểu thức: có chứa phân thức? căn thức?
2
Viết điều kiện cho từng phần: mẫu $\ne 0$, biểu thức dưới căn $\geq 0$.
3
Giải các điều kiện, lấy GIAO nếu có nhiều điều kiện.
4
Kết luận tập xác định $D$ theo dạng khoảng/đoạn/tập hợp.
Dạng 3 — Tìm tập giá trị
Một số trường hợp thường gặp
• $y = ax + b$ ($a \ne 0$, $D = \mathbb{R}$) → tập giá trị $= \mathbb{R}$
• $y = ax^2$ với $a > 0$ → tập giá trị $= [0;\ +\infty)$
• $y = ax^2$ với $a < 0$ → tập giá trị $= (-\infty;\ 0]$
• $y = ax^2$ với $a > 0$ → tập giá trị $= [0;\ +\infty)$
• $y = ax^2$ với $a < 0$ → tập giá trị $= (-\infty;\ 0]$
Dạng 4 — Xét đồng biến / nghịch biến
1
Quan sát đồ thị: "đi lên" → đồng biến; "đi xuống" → nghịch biến.
2
Hàm $y = ax + b$: dấu của $a$ quyết định ($a > 0$ đồng biến, $a < 0$ nghịch biến).
3
Hàm $y = ax^2$: dùng công thức ở Card 4.
Dạng 5 — Bài toán thực tế
1
Xác định biến số $x$ và hàm số $y$, kèm điều kiện của $x$.
2
Viết công thức $y = f(x)$. Nếu quy tắc thay đổi theo từng khoảng, viết hàm số theo từng khoảng.
3
Tính giá trị tại các điểm cụ thể, nêu ý nghĩa thực tế.
Mẫu hàm theo từng khoảng:
$T(x) = \begin{cases} f_1(x) & \text{nếu } x \in D_1 \\ f_2(x) & \text{nếu } x \in D_2 \end{cases}$
$T(x) = \begin{cases} f_1(x) & \text{nếu } x \in D_1 \\ f_2(x) & \text{nếu } x \in D_2 \end{cases}$
⚠️Sai lầm thường gặp:
• Cho rằng $y^2 = x$ là hàm số (sai — vì $y = \pm\sqrt{x}$, một $x$ cho 2 giá trị $y$).
• Nhầm tập xác định với tập giá trị.
• Quên điều kiện mẫu $\ne 0$ hoặc dưới căn $\geq 0$.
• Quên lấy GIAO khi có nhiều điều kiện.
• Nhầm chiều đồng biến/nghịch biến của $y = ax^2$.
• Cho rằng $y^2 = x$ là hàm số (sai — vì $y = \pm\sqrt{x}$, một $x$ cho 2 giá trị $y$).
• Nhầm tập xác định với tập giá trị.
• Quên điều kiện mẫu $\ne 0$ hoặc dưới căn $\geq 0$.
• Quên lấy GIAO khi có nhiều điều kiện.
• Nhầm chiều đồng biến/nghịch biến của $y = ax^2$.
6
Tổng kết
▼
✓Tóm tắt Bài 15:
• Hàm số $y = f(x)$: mỗi $x \in D$ có DUY NHẤT một $y$.
• Tập xác định $D$: đa thức → $\mathbb{R}$; phân thức → mẫu $\ne 0$; căn thức → dưới căn $\geq 0$; nhiều điều kiện → lấy GIAO.
• Tập giá trị: tập tất cả $y$ mà hàm số nhận được.
• Đồ thị: tập điểm $M(x;\ f(x))$ với $x \in D$.
• Đồng biến: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ — đồ thị "đi lên".
• Nghịch biến: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$ — đồ thị "đi xuống".
• Hàm $y = ax + b$: $a > 0$ đồng biến; $a < 0$ nghịch biến.
• Hàm $y = ax^2$: $a > 0$ — nghịch biến trên $(-\infty;0)$, đồng biến trên $(0;+\infty)$.
📚
Xem thêm bài viết chi tiết• Hàm số $y = f(x)$: mỗi $x \in D$ có DUY NHẤT một $y$.
• Tập xác định $D$: đa thức → $\mathbb{R}$; phân thức → mẫu $\ne 0$; căn thức → dưới căn $\geq 0$; nhiều điều kiện → lấy GIAO.
• Tập giá trị: tập tất cả $y$ mà hàm số nhận được.
• Đồ thị: tập điểm $M(x;\ f(x))$ với $x \in D$.
• Đồng biến: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$ — đồ thị "đi lên".
• Nghịch biến: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$ — đồ thị "đi xuống".
• Hàm $y = ax + b$: $a > 0$ đồng biến; $a < 0$ nghịch biến.
• Hàm $y = ax^2$: $a > 0$ — nghịch biến trên $(-\infty;0)$, đồng biến trên $(0;+\infty)$.
Hàm số — lý thuyết, các dạng bài tập Toán 10 →
1
—
Điểm: 0/25
📈
Luyện tập về Hàm số!
25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh