Lớp 10 · Toán
Bài 4
Hệ Bất Phương Trình Bậc Nhất Hai Ẩn
Định nghĩa · Miền nghiệm · Bài toán tối ưu max/min
1
Định nghĩa hệ Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
▼
Định nghĩa
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
$\begin{cases} a_1 x + b_1 y \leq c_1 \\ a_2 x + b_2 y \leq c_2 \\ \cdots \end{cases}$
Nghiệm của hệ
Cặp số $(x_0;\ y_0)$ là nghiệm của hệ khi nó đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình trong hệ.
Cách kiểm tra một cặp số có là nghiệm của hệ không?
①Thay $x = x_0$, $y = y_0$ vào từng bất phương trình của hệ.
②Nếu tất cả các BPT đều thoả → cặp đó LÀ nghiệm của hệ.
③Nếu có ít nhất một BPT không thoả → cặp đó KHÔNG là nghiệm.
Ví dụ 1 — Kiểm tra nghiệm của hệ
Cho hệ bất phương trình:
$\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 150 \end{cases}$
Kiểm tra cặp $(x;\ y) = (40;\ 60)$ có là nghiệm không?
→Thay $x = 40$, $y = 60$ vào từng BPT:
•BPT 1: $40 \geq 0$ ✓
•BPT 2: $60 \geq 0$ ✓
•BPT 3: $40 + 60 = 100 \leq 150$ ✓
⟹Cả 3 BPT đều thoả → $(40;\ 60)$ LÀ nghiệm của hệ.
Phân biệt: hệ nào LÀ / KHÔNG LÀ hệ BPT bậc nhất hai ẩn?
✓
$\begin{cases} x < 0 \\ y \geq 0 \end{cases}$ — viết lại $\begin{cases} 1 \cdot x + 0 \cdot y < 0 \\ 0 \cdot x + 1 \cdot y \geq 0 \end{cases}$ — cả hai BPT đều bậc nhất 2 ẩn.
✓
$\begin{cases} -2x + y < 3^2 \\ 4^2 x + 3y < 1 \end{cases}$ — $3^2 = 9$, $4^2 = 16$ là hằng số, ẩn vẫn ở bậc 1.
✗
$\begin{cases} x + y^2 < 0 \\ y - x > 1 \end{cases}$ — BPT đầu chứa $y^2$ (bậc hai) → cả hệ không phải bậc nhất 2 ẩn.
✗
$\begin{cases} x + y + z < 0 \\ y < 0 \end{cases}$ — có 3 ẩn ($x, y, z$) → không phải hệ BPT bậc nhất hai ẩn.
⚠️Quy tắc kiểm tra: Hệ là hệ BPT bậc nhất hai ẩn khi và chỉ khi TẤT CẢ các BPT trong hệ đều là BPT bậc nhất hai ẩn (chỉ chứa $x$, $y$ ở bậc 1, không có $x^2, y^2, xy, z, ...$). Chỉ cần một BPT không thoả → cả hệ không phải.
2
Biểu diễn miền nghiệm của hệ
▼
Khái niệm miền nghiệm
Tập hợp các điểm có toạ độ là nghiệm của hệ BPT bậc nhất hai ẩn được gọi là miền nghiệm của hệ.
Miền nghiệm của hệ chính là giao các miền nghiệm của các BPT trong hệ.
Miền nghiệm của hệ chính là giao các miền nghiệm của các BPT trong hệ.
Phương pháp xác định miền nghiệm — 2 bước
Bước 1
Vẽ miền của
từng BPT
(gạch bỏ phần
không thuộc)
Vẽ miền của
từng BPT
(gạch bỏ phần
không thuộc)
→
Bước 2
Miền KHÔNG
BỊ GẠCH
= miền nghiệm
của hệ
Miền KHÔNG
BỊ GẠCH
= miền nghiệm
của hệ
Bước 1 — Vẽ miền nghiệm từng BPT
→Vẽ đường thẳng $d_i: a_i x + b_i y = c_i$ cho mỗi BPT.
→Chọn điểm thử $M_0 \notin d_i$, thay vào để xác định nửa mặt phẳng nghiệm.
→Gạch bỏ nửa mặt phẳng KHÔNG phải miền nghiệm của BPT đó.
Bước 2 — Tìm miền nghiệm của hệ
→Sau khi gạch bỏ phần không thuộc miền nghiệm cho TẤT CẢ các BPT, phần không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ.
Quy ước nét liền / nét đứt cho từng BPT
•BPT có dấu $\leq$ hoặc $\geq$ → vẽ đường bờ nét liền (bờ THUỘC miền nghiệm).
•BPT có dấu $<$ hoặc $>$ → vẽ đường bờ nét đứt (bờ KHÔNG thuộc miền nghiệm).
Lưu ý: Trong cùng 1 hệ, có thể có BPT vẽ nét liền, BPT khác vẽ nét đứt.
Hình 1: Miền nghiệm của hệ $\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 150 \end{cases}$ là miền tam giác $OAB$ với $A(150;0)$, $B(0;150)$ (kể cả các cạnh)
⚡ Lưu ý quan trọng
Nếu hệ trên thay BPT $x + y \leq 150$ bằng $x + y < 150$ thì miền nghiệm là tam giác $OAB$ bỏ đi cạnh $AB$ (vì cạnh $AB$ nằm trên đường $x + y = 150$ — không thoả $<$).
3
Ví dụ chi tiết biểu diễn miền nghiệm
▼
Ví dụ 2 — Biểu diễn miền nghiệm hệ 3 BPT
Biểu diễn miền nghiệm của hệ:
$\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ 2x + y \leq 4 \end{cases}$
Bước 1 — Vẽ miền nghiệm từng BPT:
①BPT $x \geq 0$: Bờ là trục $Oy$ (phương trình $x = 0$). Vẽ nét liền ($\geq$).
Thử $(1; 0)$: $1 \geq 0$ ✓ → miền nghiệm chứa $(1; 0)$, tức nửa mặt phẳng bên phải trục $Oy$.
②BPT $y \geq 0$: Bờ là trục $Ox$ (phương trình $y = 0$). Vẽ nét liền.
Thử $(0; 1)$: $1 \geq 0$ ✓ → miền nghiệm là nửa mặt phẳng bên trên trục $Ox$.
③BPT $2x + y \leq 4$: Vẽ đường $d: 2x + y = 4$ qua $(2;0)$ và $(0;4)$, nét liền.
Thử $O(0;0)$: $0 \leq 4$ ✓ → miền nghiệm chứa $O$.
Bước 2 — Miền nghiệm của hệ:
⟹Giao của 3 miền trên là tam giác $OAB$ với $O(0;0)$, $A(2;0)$, $B(0;4)$, kể cả các cạnh.
Hình 2: Miền nghiệm là tam giác $OAB$ với $A(2;0)$, $B(0;4)$ (phần tô đậm, kể cả các cạnh)
Ví dụ 3 — Hệ có cả nét liền và nét đứt
Biểu diễn miền nghiệm của hệ:
$\begin{cases} x \geq 0 \\ x + y > 5 \\ x - y < 0 \end{cases}$
①$x \geq 0$: bờ trục $Oy$, nét liền. Thử $(1; 0)$ ✓ → miền chứa $(1; 0)$.
②$x + y > 5$: bờ $d: x + y = 5$ qua $(5; 0)$ và $(0; 5)$, nét đứt ($>$).
Thử $O(0;0)$: $0 > 5$ → SAI ✗ → miền nghiệm KHÔNG chứa $O$.
③$x - y < 0$: bờ $d': x - y = 0$ qua $O$, nét đứt.
Vì $d'$ qua $O$, chọn $(1; 0)$: $1 - 0 = 1 > 0$ → SAI → miền KHÔNG chứa $(1; 0)$.
⟹Miền nghiệm là phần thoả mãn cả 3 BPT, KHÔNG kể các đường nét đứt.
4
Tìm toạ độ đỉnh của miền đa giác
▼
Để giải bài toán tối ưu (tìm max/min), ta cần tìm toạ độ các đỉnh của miền đa giác nghiệm. Mỗi đỉnh là giao điểm của hai đường bờ.
Cách tìm toạ độ giao điểm 2 đường thẳng
→Giao điểm $(x; y)$ là nghiệm của hệ phương trình tạo bởi 2 đường thẳng:
$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$
→Giải bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số.
Ví dụ 4 — Tìm giao điểm 2 đường thẳng
Tìm toạ độ giao điểm của 2 đường thẳng $x + y = 100$ và $2x + y = 120$.
Cách 1 — Phép trừ vế theo vế:
$(2x + y) - (x + y) = 120 - 100$
$\Rightarrow x = 20$
Thay $x = 20$ vào $x + y = 100$: $20 + y = 100 \Rightarrow y = 80$.
$\Rightarrow x = 20$
Thay $x = 20$ vào $x + y = 100$: $20 + y = 100 \Rightarrow y = 80$.
Cách 2 — Phương pháp thế:
Từ $x + y = 100 \Rightarrow y = 100 - x$.
Thay vào $2x + y = 120$: $2x + (100 - x) = 120$
$\Rightarrow x = 20$, $y = 100 - 20 = 80$.
Thay vào $2x + y = 120$: $2x + (100 - x) = 120$
$\Rightarrow x = 20$, $y = 100 - 20 = 80$.
⟹Giao điểm: $\mathbf{(20;\ 80)}$.
💡Mẹo nhanh: Giao của một đường thẳng với trục $Ox$ (cho $y = 0$) hoặc trục $Oy$ (cho $x = 0$) là dễ tính nhất. Các đỉnh nằm trên trục thường có dạng $(p; 0)$ hoặc $(0; q)$.
5
Bài toán tối ưu — Tìm max/min của F(x; y)
▼
⚡ Tính chất then chốt
Giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của biểu thức
$$F(x;\ y) = ax + by$$
khi $(x;\ y)$ thuộc miền đa giác nghiệm của hệ BPT, sẽ đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó.
$$F(x;\ y) = ax + by$$
khi $(x;\ y)$ thuộc miền đa giác nghiệm của hệ BPT, sẽ đạt được tại một trong các đỉnh của đa giác đó.
Phương pháp giải bài toán tối ưu — 3 bước
1
Lập hệ BPT từ điều kiện bài toán → xác định miền nghiệm (miền đa giác) → tìm toạ độ các đỉnh.
2
Tính giá trị $F(x;\ y) = ax + by$ tại mỗi đỉnh của đa giác.
3
So sánh các giá trị → kết luận giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) đạt tại đỉnh nào.
Ví dụ 5 — Bài toán kinh doanh điều hoà
Một cửa hàng kinh doanh 2 loại điều hoà:
• Loại hai chiều: giá $20$ triệu/máy, lợi nhuận $3{,}5$ triệu/máy.
• Loại một chiều: giá $10$ triệu/máy, lợi nhuận $2$ triệu/máy.
Vốn không quá $1{,}2$ tỉ đồng. Nhu cầu thị trường không quá $100$ máy. Tìm số máy mỗi loại để lợi nhuận lớn nhất.
Lời giải:
Bước 1 — Lập hệ BPT và tìm đỉnh:
→Gọi $x$ = số máy 2 chiều, $y$ = số máy 1 chiều ($x, y \geq 0$).
→Vốn: $20x + 10y \leq 1\,200 \Leftrightarrow 2x + y \leq 120$.
→Nhu cầu: $x + y \leq 100$.
Hệ: $\begin{cases} x \geq 0 \\ y \geq 0 \\ x + y \leq 100 \\ 2x + y \leq 120 \end{cases}$
Hình 3: Miền nghiệm là tứ giác $OABC$ với $O(0;0)$, $A(0;100)$, $B(20;80)$, $C(60;0)$
Toạ độ các đỉnh:
•$O(0; 0)$ — gốc toạ độ.
•$A(0; 100)$ — giao của $x = 0$ và $x + y = 100$.
•$C(60; 0)$ — giao của $y = 0$ và $2x + y = 120$ (cho $y = 0 \Rightarrow x = 60$).
•$B$ — giao của $x + y = 100$ và $2x + y = 120$.
Trừ vế: $(2x + y) - (x + y) = 120 - 100 \Rightarrow x = 20 \Rightarrow y = 80$. Vậy $B(20; 80)$.
Bước 2 — Tính $F(x; y) = 3{,}5x + 2y$ tại 4 đỉnh:
| Đỉnh | $F(x;\ y) = 3{,}5x + 2y$ |
|---|---|
| $O(0;\ 0)$ | $0$ |
| $A(0;\ 100)$ | $200$ |
| $B(20;\ 80)$ | $70 + 160 = 230$ ← Lớn nhất |
| $C(60;\ 0)$ | $210$ |
Bước 3 — Kết luận:
⟹$F$ lớn nhất bằng $230$ triệu đồng tại $B(20; 80)$.
⟹Cửa hàng cần nhập $20$ máy 2 chiều và $80$ máy 1 chiều.
⚠️Sai lầm thường gặp: Thử vài điểm trong miền rồi kết luận max/min. SAI! Tính chất then chốt: max/min của $F = ax + by$ trên miền đa giác đạt tại đỉnh — chỉ cần tính tại các đỉnh là đủ.
6
Tổng kết
▼
✓Tóm tắt Bài 4:
• Hệ BPT bậc nhất 2 ẩn: gồm $\geq 2$ BPT, mỗi BPT có dạng $ax + by \leq c$ (hoặc $\geq, <, >$).
• Nghiệm của hệ: cặp $(x_0; y_0)$ thoả mãn tất cả các BPT.
• Miền nghiệm = giao các miền nghiệm của từng BPT.
• Cách biểu diễn: vẽ miền từng BPT (gạch bỏ phần ngoài) → miền không bị gạch là miền hệ.
• Bài toán tối ưu: $F = ax + by$ đạt max/min tại đỉnh đa giác. Tính $F$ tại từng đỉnh rồi so sánh.
• Tìm toạ độ đỉnh: giải hệ 2 phương trình bậc nhất bằng phép thế hoặc cộng đại số.
📚
Xem thêm bài viết chi tiết• Hệ BPT bậc nhất 2 ẩn: gồm $\geq 2$ BPT, mỗi BPT có dạng $ax + by \leq c$ (hoặc $\geq, <, >$).
• Nghiệm của hệ: cặp $(x_0; y_0)$ thoả mãn tất cả các BPT.
• Miền nghiệm = giao các miền nghiệm của từng BPT.
• Cách biểu diễn: vẽ miền từng BPT (gạch bỏ phần ngoài) → miền không bị gạch là miền hệ.
• Bài toán tối ưu: $F = ax + by$ đạt max/min tại đỉnh đa giác. Tính $F$ tại từng đỉnh rồi so sánh.
• Tìm toạ độ đỉnh: giải hệ 2 phương trình bậc nhất bằng phép thế hoặc cộng đại số.
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn — lý thuyết, các dạng bài tập →
1
—
Điểm: 0/25
📊
Luyện tập Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn!
25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh