Lớp 10 · Toán
Bài 5
Giá Trị Lượng Giác Của Một Góc Từ 0° Đến 180°
Định nghĩa · Hệ thức cơ bản · Góc bù nhau · Góc phụ nhau
1
Định nghĩa giá trị lượng giác trên nửa đường tròn đơn vị
▼
Nửa đường tròn đơn vị là nửa đường tròn tâm $O$, bán kính $R = 1$, nằm phía trên trục hoành (kể cả hai điểm $A(1; 0)$ và $B(-1; 0)$).
Cho góc $\alpha$ với $0° \leq \alpha \leq 180°$. Có duy nhất một điểm $M(x_0; y_0)$ trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM} = \alpha$.
Hình 1: Nửa đường tròn đơn vị — điểm $M(x_0; y_0)$ ứng với góc $\widehat{xOM} = \alpha$
Định nghĩa
Với mỗi góc $\alpha$ ($0° \leq \alpha \leq 180°$), gọi $M(x_0; y_0)$ là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM} = \alpha$. Khi đó:
$\sin\alpha = y_0$ (tung độ)
$\cos\alpha = x_0$ (hoành độ)
$\tan\alpha = \dfrac{y_0}{x_0} = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ ($\alpha \neq 90°$)
$\cot\alpha = \dfrac{x_0}{y_0} = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ ($\alpha \neq 0°, 180°$)
$\cos\alpha = x_0$ (hoành độ)
$\tan\alpha = \dfrac{y_0}{x_0} = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ ($\alpha \neq 90°$)
$\cot\alpha = \dfrac{x_0}{y_0} = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ ($\alpha \neq 0°, 180°$)
Điều kiện xác định
• $\sin\alpha$, $\cos\alpha$: luôn xác định với mọi $\alpha \in [0°; 180°]$.
• $\tan\alpha$ không xác định khi $\alpha = 90°$ (vì $\cos 90° = 0$).
• $\cot\alpha$ không xác định khi $\alpha = 0°$ hoặc $\alpha = 180°$ (vì $\sin 0° = \sin 180° = 0$).
• $\tan\alpha$ không xác định khi $\alpha = 90°$ (vì $\cos 90° = 0$).
• $\cot\alpha$ không xác định khi $\alpha = 0°$ hoặc $\alpha = 180°$ (vì $\sin 0° = \sin 180° = 0$).
Hệ thức cơ bản:
$\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ ;
$\cot\alpha = \dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$
$\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$ ($\alpha \notin \{0°; 90°; 180°\}$)
$\tan\alpha \cdot \cot\alpha = 1$ ($\alpha \notin \{0°; 90°; 180°\}$)
Ví dụ 1 — Tính giá trị lượng giác của góc $135°$
Hình 2: Điểm $M$ ứng với góc $135°$ — tam giác $OMN$ vuông cân tại $N$
①Vì $\widehat{xOM} = 135°$ nên $\widehat{MON} = 180° - 135° = 45°$.
②Tam giác $OMN$ vuông cân tại $N$, cạnh huyền $OM = 1$:
$ON = OP = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
③$M$ nằm bên trái trục $Oy$ (vì góc $> 90°$) → $x_0 < 0$:
$M\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2};\ \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$.
④Theo định nghĩa:
$\sin 135° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\cos 135° = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan 135° = \cot 135° = -1$.
2
Bảng giá trị lượng giác các góc đặc biệt
▼
Cần học thuộc bảng giá trị lượng giác của các góc: $0°$, $30°$, $45°$, $60°$, $90°$, $180°$.
| $\alpha$ | $0°$ | $30°$ | $45°$ | $60°$ | $90°$ | $180°$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $\sin\alpha$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | $0$ |
| $\cos\alpha$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $-1$ |
| $\tan\alpha$ | $0$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | $||$ | $0$ |
| $\cot\alpha$ | $||$ | $\sqrt{3}$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | $0$ | $||$ |
$||$ : giá trị không xác định.
Dấu của các giá trị lượng giác (góc $\alpha$ từ $0°$ đến $180°$)
| $0° < \alpha < 90°$ (góc nhọn) |
$\alpha = 90°$ | $90° < \alpha < 180°$ (góc tù) |
|
|---|---|---|---|
| $\sin\alpha$ | $> 0$ | $= 1$ | $> 0$ |
| $\cos\alpha$ | $> 0$ | $= 0$ | $< 0$ |
| $\tan\alpha$ | $> 0$ | KXĐ | $< 0$ |
| $\cot\alpha$ | $> 0$ | $= 0$ | $< 0$ |
Mẹo nhớ về dấu
• $\sin\alpha$ luôn ≥ 0 trên $[0°; 180°]$ (vì tung độ $y_0 \geq 0$ trên nửa đường tròn đơn vị).
• $\cos\alpha$ đổi dấu tại $\alpha = 90°$: dương khi nhọn, âm khi tù.
• $\tan\alpha$, $\cot\alpha$ cùng dấu với $\cos\alpha$ (vì $\sin > 0$): dương khi nhọn, âm khi tù.
• $\cos\alpha$ đổi dấu tại $\alpha = 90°$: dương khi nhọn, âm khi tù.
• $\tan\alpha$, $\cot\alpha$ cùng dấu với $\cos\alpha$ (vì $\sin > 0$): dương khi nhọn, âm khi tù.
Kí hiệu cần phân biệt
$\sin^2\alpha$ KHÁC $\sin 2\alpha$
• $\sin^2\alpha = (\sin\alpha)^2$ — bình phương của $\sin\alpha$.
• $\sin 2\alpha$ — sin của góc $2\alpha$ (gấp đôi $\alpha$).
Tương tự với $\cos^2\alpha$, $\tan^2\alpha$, $\cot^2\alpha$.
• $\sin 2\alpha$ — sin của góc $2\alpha$ (gấp đôi $\alpha$).
Tương tự với $\cos^2\alpha$, $\tan^2\alpha$, $\cot^2\alpha$.
3
Hai góc bù nhau & Bảng giá trị góc tù
▼
Hai góc bù nhau
Hai góc $\alpha$ và $180° - \alpha$ được gọi là hai góc bù nhau (tổng bằng $180°$).
Trên nửa đường tròn đơn vị, hai điểm $M(x_0; y_0)$ ứng với $\alpha$ và $M'(-x_0; y_0)$ ứng với $180° - \alpha$ đối xứng nhau qua trục $Oy$.
Hình 3: $M$ và $M'$ đối xứng qua $Oy$ — cùng tung độ, hoành độ đối nhau
Công thức góc bù nhau
$\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha$
$\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha$
$\tan(180° - \alpha) = -\tan\alpha$ ($\alpha \neq 90°$)
$\cot(180° - \alpha) = -\cot\alpha$ ($0° < \alpha < 180°$)
$\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha$
$\tan(180° - \alpha) = -\tan\alpha$ ($\alpha \neq 90°$)
$\cot(180° - \alpha) = -\cot\alpha$ ($0° < \alpha < 180°$)
SIN — bằng nhau
$\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha$
COS, TAN, COT — đối nhau
$\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha$
(tương tự cho tan, cot)
(tương tự cho tan, cot)
Quy tắc nhớ
Hai góc BÙ NHAU: SIN bằng nhau — COS, TAN, COT đối nhau.
Bảng giá trị lượng giác các góc tù đặc biệt
Áp dụng công thức góc bù: $120° = 180° - 60°$, $135° = 180° - 45°$, $150° = 180° - 30°$.
| $\alpha$ | $120°$ | $135°$ | $150°$ |
|---|---|---|---|
| $\sin\alpha$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ |
| $\cos\alpha$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ |
| $\tan\alpha$ | $-\sqrt{3}$ | $-1$ | $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ |
| $\cot\alpha$ | $-\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | $-1$ | $-\sqrt{3}$ |
4
Hai góc phụ nhau (nhắc lại)
▼
Hai góc phụ nhau
Hai góc $\alpha$ và $90° - \alpha$ được gọi là hai góc phụ nhau (tổng bằng $90°$).
$\sin(90° - \alpha) = \cos\alpha$
$\cos(90° - \alpha) = \sin\alpha$
$\tan(90° - \alpha) = \cot\alpha$
$\cot(90° - \alpha) = \tan\alpha$
$\cos(90° - \alpha) = \sin\alpha$
$\tan(90° - \alpha) = \cot\alpha$
$\cot(90° - \alpha) = \tan\alpha$
Quy tắc nhớ
Hai góc PHỤ NHAU: sin góc này = cos góc kia; tan góc này = cot góc kia.
(Mẹo nhớ: "phụ" → đổi tên hàm "đối ứng" — sin ↔ cos, tan ↔ cot.)
(Mẹo nhớ: "phụ" → đổi tên hàm "đối ứng" — sin ↔ cos, tan ↔ cot.)
Ví dụ 2 — Vận dụng góc phụ nhau
•$\sin 70° = \cos 20°$ (vì $70° + 20° = 90°$).
•$\tan 30° = \cot 60°$ (vì $30° + 60° = 90°$).
•$\cos 40° = \sin 50°$.
Phân biệt: Góc bù vs Góc phụ
GÓC BÙ ($\alpha + \beta = 180°$)
$\sin\alpha = \sin\beta$
$\cos\alpha = -\cos\beta$
$\tan\alpha = -\tan\beta$
$\cos\alpha = -\cos\beta$
$\tan\alpha = -\tan\beta$
GÓC PHỤ ($\alpha + \beta = 90°$)
$\sin\alpha = \cos\beta$
$\tan\alpha = \cot\beta$
$\tan\alpha = \cot\beta$
5
Phương pháp giải các dạng bài
▼
Dạng A — Tính giá trị biểu thức lượng giác
1
Thay giá trị lượng giác của từng góc đặc biệt từ Bảng giá trị đã học.
2
Với góc tù: dùng công thức góc bù nhau để đổi về góc nhọn nếu cần.
3
Thực hiện phép tính số học → kết quả.
Ví dụ 3 — Tính $\cos 60° \cdot \sin 30° + \cos^2 30°$
→Thay: $\cos 60° = \dfrac{1}{2}$, $\sin 30° = \dfrac{1}{2}$, $\cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
→$= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} + \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = \mathbf{1}$.
Dạng B — Đơn giản biểu thức lượng giác
1
Áp dụng công thức góc bù nhau để đưa các góc về cùng dạng.
2
Rút gọn các hạng tử đối nhau (triệt tiêu) hoặc bằng nhau (gộp lại).
Ví dụ 4 — Đơn giản $\sin 100° + \sin 80° + \cos 16° + \cos 164°$
→$\sin 100° = \sin(180° - 80°) = \sin 80°$.
→$\cos 164° = \cos(180° - 16°) = -\cos 16°$.
→$= \sin 80° + \sin 80° + \cos 16° - \cos 16° = \mathbf{2\sin 80°}$.
Dạng C — Tính biểu thức khi biết $\tan\alpha$ (hoặc $\cot\alpha$)
1
Chia cả tử và mẫu của biểu thức cho $\cos\alpha$ (hoặc $\sin\alpha$) để đưa về dạng chỉ chứa $\tan\alpha$ (hoặc $\cot\alpha$).
2
Thay giá trị đã cho rồi tính.
Ví dụ 5 — Cho $\tan\alpha = 3$. Tính $P = \dfrac{2\sin\alpha - 3\cos\alpha}{3\sin\alpha + 2\cos\alpha}$
→Vì $\tan\alpha = 3$ xác định nên $\cos\alpha \neq 0$. Chia cả tử và mẫu cho $\cos\alpha$:
→$P = \dfrac{2\tan\alpha - 3}{3\tan\alpha + 2}$
→Thay $\tan\alpha = 3$: $P = \dfrac{2 \cdot 3 - 3}{3 \cdot 3 + 2} = \dfrac{3}{11}$.
Dạng D — Chứng minh hệ thức cơ bản
Ba hệ thức quan trọng
$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
$1 + \tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$ ($\alpha \neq 90°$)
$1 + \cot^2\alpha = \dfrac{1}{\sin^2\alpha}$ ($0° < \alpha < 180°$)
$1 + \tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$ ($\alpha \neq 90°$)
$1 + \cot^2\alpha = \dfrac{1}{\sin^2\alpha}$ ($0° < \alpha < 180°$)
Chứng minh $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$
→$M(x_0; y_0)$ nằm trên đường tròn đơn vị (bán kính 1) nên $x_0^2 + y_0^2 = 1$.
→Mà $\sin\alpha = y_0$, $\cos\alpha = x_0$ (theo định nghĩa).
→Suy ra $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = y_0^2 + x_0^2 = 1$. $\square$
Chứng minh $1 + \tan^2\alpha = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$ ($\alpha \neq 90°$)
→Từ $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$, chia hai vế cho $\cos^2\alpha$ ($\cos\alpha \neq 0$):
→$\dfrac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} + 1 = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$, tức $\tan^2\alpha + 1 = \dfrac{1}{\cos^2\alpha}$. $\square$
Tương tự, chia cho $\sin^2\alpha$ → được $1 + \cot^2\alpha = \dfrac{1}{\sin^2\alpha}$.
6
Tổng kết
▼
✓Tóm tắt Bài 5:
• Định nghĩa: trên nửa đường tròn đơn vị với $M(x_0; y_0)$ ứng góc $\alpha$ → $\sin\alpha = y_0$, $\cos\alpha = x_0$.
• Hệ thức: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$; $\tan\alpha = \sin\alpha/\cos\alpha$; $\cot\alpha = \cos\alpha/\sin\alpha$.
• Góc bù ($\alpha + \beta = 180°$): sin bằng, cos/tan/cot đối nhau.
• Góc phụ ($\alpha + \beta = 90°$): sin ↔ cos; tan ↔ cot.
• Dấu: $\sin\alpha \geq 0$ luôn; $\cos\alpha, \tan\alpha, \cot\alpha < 0$ khi $\alpha$ tù.
• Mẹo: Biết $\tan\alpha$, tính biểu thức kiểu $\dfrac{a\sin + b\cos}{c\sin + d\cos}$ → chia cả tử và mẫu cho $\cos\alpha$.
📚
Xem thêm bài viết chi tiết• Định nghĩa: trên nửa đường tròn đơn vị với $M(x_0; y_0)$ ứng góc $\alpha$ → $\sin\alpha = y_0$, $\cos\alpha = x_0$.
• Hệ thức: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$; $\tan\alpha = \sin\alpha/\cos\alpha$; $\cot\alpha = \cos\alpha/\sin\alpha$.
• Góc bù ($\alpha + \beta = 180°$): sin bằng, cos/tan/cot đối nhau.
• Góc phụ ($\alpha + \beta = 90°$): sin ↔ cos; tan ↔ cot.
• Dấu: $\sin\alpha \geq 0$ luôn; $\cos\alpha, \tan\alpha, \cot\alpha < 0$ khi $\alpha$ tù.
• Mẹo: Biết $\tan\alpha$, tính biểu thức kiểu $\dfrac{a\sin + b\cos}{c\sin + d\cos}$ → chia cả tử và mẫu cho $\cos\alpha$.
Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° — lý thuyết, bài tập →
1
—
Điểm: 0/25
📐
Luyện tập Giá trị lượng giác của một góc!
25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh