Lớp 10 · Toán
Bài 10
Vectơ Trong Mặt Phẳng Toạ Độ
Toạ độ vectơ · Phép toán · Khoảng cách · Trung điểm · Trọng tâm
1
Toạ độ của vectơ
▼
Hệ trục toạ độ và vectơ đơn vị
Trên mặt phẳng, ta chọn hệ trục toạ độ $Oxy$ gồm hai trục $Ox$, $Oy$ vuông góc với nhau tại gốc $O$. Mỗi trục có một vectơ đơn vị (độ dài bằng $1$, hướng theo chiều dương trục):
Trục hoành $Ox$
Vectơ đơn vị $\vec{i}$
Toạ độ: $(1;\ 0)$
Toạ độ: $(1;\ 0)$
Trục tung $Oy$
Vectơ đơn vị $\vec{j}$
Toạ độ: $(0;\ 1)$
Toạ độ: $(0;\ 1)$
Hình 1: Hệ trục toạ độ $Oxy$ với hai vectơ đơn vị $\vec{i}$, $\vec{j}$ và một vectơ $\vec{u}$ trên mặt phẳng
Định nghĩa toạ độ vectơ
Với mỗi vectơ $\vec{u}$ trên mặt phẳng $Oxy$, có duy nhất cặp số $(x_0;\ y_0)$ sao cho:
$\vec{u} = x_0\vec{i} + y_0\vec{j}$
Khi đó ta viết $\vec{u} = (x_0;\ y_0)$. Số $x_0$ là hoành độ, $y_0$ là tung độ của $\vec{u}$.
Toạ độ các vectơ đặc biệt
| Vectơ | Biểu diễn theo $\vec{i}, \vec{j}$ | Toạ độ |
|---|---|---|
| $\vec{i}$ | $1\cdot\vec{i} + 0\cdot\vec{j}$ | $(1;\ 0)$ |
| $\vec{j}$ | $0\cdot\vec{i} + 1\cdot\vec{j}$ | $(0;\ 1)$ |
| $\vec{0}$ | $0\cdot\vec{i} + 0\cdot\vec{j}$ | $(0;\ 0)$ |
Hai vectơ bằng nhau
Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có cùng toạ độ:
$\vec{u}(x;\ y) = \vec{v}(x';\ y') \;\Leftrightarrow\; \begin{cases} x = x' \\ y = y' \end{cases}$
💡Cách đọc toạ độ: Khi thấy biểu thức $\vec{u} = a\vec{i} + b\vec{j}$, ta đọc luôn dấu: hoành độ là $a$, tung độ là $b$. Ví dụ: $\vec{u} = 3\vec{i} - 2\vec{j}$ thì $\vec{u} = (3;\ -2)$ — KHÔNG phải $(3;\ 2)$.
2
Phép toán vectơ theo toạ độ
▼
Cho hai vectơ $\vec{u} = (x;\ y)$ và $\vec{v} = (x';\ y')$ và số thực $k$. Khi đó các phép toán vectơ thực hiện theo từng thành phần:
| Phép toán | Công thức theo toạ độ |
|---|---|
| Tổng | $\vec{u} + \vec{v} = (x + x';\ y + y')$ |
| Hiệu | $\vec{u} - \vec{v} = (x - x';\ y - y')$ |
| Nhân với số | $k\vec{u} = (kx;\ ky)$ |
💡Quy tắc nhớ: Cộng/trừ vectơ $=$ cộng/trừ từng thành phần tương ứng. Nhân vectơ với số $k$ $=$ nhân $k$ vào cả hai thành phần.
Ví dụ 1 — Phép toán cơ bản
Cho $\vec{a} = (1;\ 2)$, $\vec{b} = \left(\dfrac{3}{2};\ 3\right)$. Tìm toạ độ $\vec{a} + \vec{b}$ và $\vec{a} - 2\vec{b}$.
→$\vec{a} + \vec{b} = \left(1 + \dfrac{3}{2};\ 2 + 3\right) = \left(\dfrac{5}{2};\ 5\right)$.
→Trước hết tính $2\vec{b} = \left(2 \cdot \dfrac{3}{2};\ 2 \cdot 3\right) = (3;\ 6)$.
→$\vec{a} - 2\vec{b} = (1 - 3;\ 2 - 6) = (-2;\ -4)$.
Điều kiện cùng phương theo toạ độ
Cùng phương qua toạ độ
Vectơ $\vec{v}(x';\ y')$ cùng phương với $\vec{u}(x;\ y) \neq \vec{0}$ khi và chỉ khi tồn tại số $k$ sao cho:
$x' = kx$ và $y' = ky$
Nếu $xy \ne 0$, điều này tương đương:
$\dfrac{x'}{x} = \dfrac{y'}{y}$
Mẹo nhanh — tích chéo
$\vec{u}(x;\ y)$ và $\vec{v}(x';\ y')$ cùng phương $\Leftrightarrow$ tích chéo bằng $0$:
$xy' - x'y = 0$
Mẹo này áp dụng được cho mọi trường hợp, kể cả khi có toạ độ bằng $0$.
3
Toạ độ điểm, vectơ giữa hai điểm và khoảng cách
▼
Toạ độ điểm và vectơ vị trí
Nếu điểm $M$ có toạ độ $(x;\ y)$ thì vectơ vị trí $\overrightarrow{OM}$ cũng có toạ độ $(x;\ y)$.
Hình 2: Điểm $M(x;\ y)$ với hình chiếu $P(x; 0)$ trên $Ox$ và $Q(0; y)$ trên $Oy$
Độ dài vectơ
Với vectơ $\vec{u} = (x;\ y)$, độ dài tính bằng:
$|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2}$
Vì sao có công thức này? Lấy $M(x;\ y)$ thì $\vec{u} = \overrightarrow{OM}$. Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông $OPM$ (vuông tại $P$):
$OM^2 = OP^2 + PM^2 = x^2 + y^2 \Rightarrow OM = \sqrt{x^2 + y^2}$.
Vectơ giữa hai điểm và khoảng cách
Toạ độ vectơ $\overrightarrow{MN}$
Với hai điểm $M(x_M;\ y_M)$ và $N(x_N;\ y_N)$:
$\overrightarrow{MN} = (x_N - x_M;\ y_N - y_M)$
Khoảng cách hai điểm:
$MN = |\overrightarrow{MN}| = \sqrt{(x_N - x_M)^2 + (y_N - y_M)^2}$
Hình 3: Vectơ $\overrightarrow{MN}$ giữa hai điểm $M$, $N$ trên mặt phẳng toạ độ
⚠️Cảnh báo nhầm lẫn: Toạ độ $\overrightarrow{MN}$ là điểm cuối trừ điểm đầu: $(x_N - x_M;\ y_N - y_M)$ — KHÔNG phải $(x_M - x_N;\ y_M - y_N)$. Lẫn lộn sẽ ra vectơ $\overrightarrow{NM}$ (ngược hướng).
Ví dụ 2 — Vectơ và khoảng cách
Cho $A(1;\ -2)$, $B(3;\ 2)$. Tìm $\overrightarrow{AB}$ và độ dài $AB$.
→$\overrightarrow{AB} = (3 - 1;\ 2 - (-2)) = (2;\ 4)$.
→$AB = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
4
Toạ độ trung điểm và trọng tâm
▼
Toạ độ trung điểm
Trung điểm $M$ của đoạn thẳng $AB$ với $A(x_A;\ y_A)$ và $B(x_B;\ y_B)$ có toạ độ:
$M\!\left(\dfrac{x_A + x_B}{2};\ \dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$
Toạ độ trọng tâm
Trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ có toạ độ:
$G\!\left(\dfrac{x_A + x_B + x_C}{3};\ \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$
Hình 4: Trung điểm $I$ của $AB$ và trọng tâm $G$ của $\triangle ABC$ trong mặt phẳng toạ độ
Mẹo nhớ — "Cộng tất cả rồi chia số đỉnh"
• Trung điểm (2 đỉnh): cộng toạ độ 2 đỉnh, chia 2.
• Trọng tâm (3 đỉnh): cộng toạ độ 3 đỉnh, chia 3.
Sai lầm thường gặp: chia cho $3$ khi tìm trung điểm — sai! Trung điểm chỉ chia $2$.
• Trọng tâm (3 đỉnh): cộng toạ độ 3 đỉnh, chia 3.
Sai lầm thường gặp: chia cho $3$ khi tìm trung điểm — sai! Trung điểm chỉ chia $2$.
Ví dụ 3 — Tìm trung điểm và trọng tâm
Cho $A(1;\ 3)$, $B(-2;\ 6)$, $C(5;\ 1)$. Tìm trung điểm $I$ của $AB$ và trọng tâm $G$ của $\triangle ABC$.
①Trung điểm $I$ của $AB$:
→$x_I = \dfrac{1 + (-2)}{2} = -\dfrac{1}{2}$, $y_I = \dfrac{3 + 6}{2} = \dfrac{9}{2}$.
→Vậy $I\!\left(-\dfrac{1}{2};\ \dfrac{9}{2}\right)$.
②Trọng tâm $G$ của $\triangle ABC$:
→$x_G = \dfrac{1 + (-2) + 5}{3} = \dfrac{4}{3}$, $y_G = \dfrac{3 + 6 + 1}{3} = \dfrac{10}{3}$.
→Vậy $G\!\left(\dfrac{4}{3};\ \dfrac{10}{3}\right)$.
5
Phương pháp giải các dạng toán
▼
Dạng 1 — Tính độ dài, khoảng cách, chứng minh tam giác đặc biệt
Tính các
cạnh
cạnh
→
So sánh
(cân, đều)
(cân, đều)
→
Pythagore
ngược (vuông)
ngược (vuông)
→Tam giác cân: 2 cạnh bằng nhau.
→Tam giác đều: 3 cạnh bằng nhau.
→Tam giác vuông tại $M$: $OM^2 + MN^2 = ON^2$ (định lí Pythagore ngược).
→Tam giác vuông cân: vuông và 2 cạnh góc vuông bằng nhau.
Dạng 2 — Ba điểm thẳng hàng / Hình bình hành
①3 điểm $A, B, C$ thẳng hàng $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương $\Leftrightarrow$ $x_{AB} \cdot y_{AC} - x_{AC} \cdot y_{AB} = 0$.
②$ABCD$ là hình bình hành $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ (hai cạnh đối song song và bằng nhau, cùng hướng).
③$OMNP$ là hình bình hành $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{MN}$ (theo thứ tự đỉnh quanh hbh).
⚠️Quan trọng: Với hbh $ABCD$, thứ tự đỉnh là $A \to B \to C \to D$ (đi quanh đa giác). Cặp vectơ đối là $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ (cùng hướng), KHÔNG phải $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ (ngược hướng).
Dạng 3 — Tìm điểm thoả mãn điều kiện
1
Đặt toạ độ ẩn cho điểm cần tìm: $D(x;\ y)$.
2
Áp dụng công thức (trung điểm, trọng tâm, đẳng thức vectơ).
3
Giải hệ phương trình tìm $(x; y)$.
Dạng 4 — Bài toán thực tế (chuyển động đều)
Công thức vị trí sau thời gian $t$
Vật xuất phát từ $A$, vận tốc $\vec{v}$, sau thời gian $t$ đến $B$:
$\overrightarrow{AB} = t \cdot \vec{v}$
$B(x_A + t \cdot v_x;\ y_A + t \cdot v_y)$
$\overrightarrow{AB} = t \cdot \vec{v}$
$B(x_A + t \cdot v_x;\ y_A + t \cdot v_y)$
Ví dụ 4 — Bài toán tàu thuỷ
Tàu khởi hành từ $A(1;\ 2)$ với vận tốc $\vec{v} = (3;\ 4)$ (km/giờ). Tìm vị trí tàu sau $1{,}5$ giờ.
→$\overrightarrow{AB} = 1{,}5 \cdot \vec{v} = 1{,}5 \cdot (3;\ 4) = (4{,}5;\ 6)$.
→$B(x_A + 4{,}5;\ y_A + 6) = (1 + 4{,}5;\ 2 + 6) = (5{,}5;\ 8)$.
6
Kĩ thuật đối xứng — cực tiểu tổng khoảng cách $MA + MB$
▼
Bài toán cực tiểu hoá tổng khoảng cách
Đây là dạng toán thực tế quen thuộc (đặt trạm bơm, trạm cấp nước bên bờ sông, điểm trung chuyển…): cho hai điểm và một đường thẳng, tìm một điểm trên đường thẳng để tổng khoảng cách tới hai điểm là nhỏ nhất.
Bài toán gốc
Cho hai điểm $A$, $B$ nằm cùng phía so với đường thẳng $d$. Tìm điểm $M \in d$ sao cho $MA + MB$ nhỏ nhất.
Hình: Lấy $A'$ đối xứng $A$ qua $d$; vì $MA = MA'$ nên $MA + MB$ nhỏ nhất khi $A'$, $M$, $B$ thẳng hàng
Ý tưởng then chốt: "duỗi thẳng" đường gấp khúc
①Lấy $A'$ đối xứng với $A$ qua $d$. Khi đó $d$ là trung trực của $AA'$ nên với mọi $M \in d$ ta luôn có $MA = MA'$.
②Suy ra $MA + MB = MA' + MB \geq A'B$ (bất đẳng thức tam giác).
③Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow$ $A'$, $M$, $B$ thẳng hàng, tức $M$ là giao điểm của đường thẳng $A'B$ với $d$.
Vì sao phải đối xứng?
Tổng $MA + MB$ là một đường gấp khúc $A \to M \to B$ nên khó so sánh trực tiếp. Thay $MA$ bằng $MA'$ (bằng đúng nó) biến nó thành đường gấp khúc $A' \to M \to B$ với $A'$ ở phía bên kia $d$; đường gấp khúc này ngắn nhất khi được duỗi thẳng thành đoạn $A'B$.
⚠️Phân biệt cùng phía / khác phía:
• $A$, $B$ cùng phía $d$: phải đối xứng một điểm qua $d$ rồi mới nối.
• $A$, $B$ khác phía $d$: không cần đối xứng — $M$ chính là giao điểm của $AB$ với $d$ (vì khi đó $MA + MB \geq AB$).
• $A$, $B$ cùng phía $d$: phải đối xứng một điểm qua $d$ rồi mới nối.
• $A$, $B$ khác phía $d$: không cần đối xứng — $M$ chính là giao điểm của $AB$ với $d$ (vì khi đó $MA + MB \geq AB$).
Trên hệ trục toạ độ
Đối xứng một điểm qua trục
Lấy đối xứng qua trục $Ox$ chỉ việc đổi dấu tung độ:
$A(x_A;\ y_A) \;\longrightarrow\; A'(x_A;\ -y_A)$
(Đối xứng qua $Oy$ thì đổi dấu hoành độ: $A(x_A;\ y_A) \to A'(-x_A;\ y_A)$.)
| Cách tìm $M$ trên $Ox$ | Nội dung |
|---|---|
| Tỉ số đồng dạng | $M$ chia $OP$ theo tỉ số $\dfrac{OM}{MP} = \dfrac{OA}{BP}$ ($O, P$ là chân vuông góc của $A, B$). Suy ra $OM$. |
| Phương trình đường thẳng | Viết phương trình đường thẳng $A'B$, cho $y = 0$ để tìm hoành độ giao điểm $M$. |
1
Dựng hệ trục: lấy đường thẳng $d$ làm trục $Ox$, gán toạ độ cho $A$, $B$.
2
Lấy $A'$ đối xứng $A$ qua $Ox$ (đổi dấu tung độ).
3
Tìm giao điểm của $A'B$ với $Ox$ (dùng tỉ số đồng dạng hoặc phương trình đường thẳng) → toạ độ $M$.
Ví dụ — Cực tiểu $MA + MB$ trên $Ox$
Cho $A(0;\ 3)$, $B(8;\ 5)$ cùng nằm phía trên $Ox$. Tìm $M(x;\ 0)$ trên $Ox$ để $MA + MB$ nhỏ nhất.
→Lấy $A'(0;\ -3)$ đối xứng $A$ qua $Ox$. Khi đó $MA + MB = MA' + MB \geq A'B$.
→Cách 1 (đồng dạng): $\dfrac{OM}{MP} = \dfrac{OA}{BP} = \dfrac{3}{5}$, mà $OM + MP = 8 \Rightarrow OM = 8 \cdot \dfrac{3}{8} = 3$.
→Cách 2 (ptđt): $A'B$ có hệ số góc $\dfrac{5-(-3)}{8-0} = 1$, phương trình $y = x - 3$; cho $y = 0 \Rightarrow x = 3$.
→Vậy $M(3;\ 0)$. (Chính là cách giải các câu vận dụng id26 – id28.)
✓Ghi nhớ: "Cùng phía → đối xứng một điểm; tổng nhỏ nhất khi ba điểm thẳng hàng." Giá trị nhỏ nhất luôn bằng $A'B = \sqrt{(x_B - x_{A'})^2 + (y_B - y_{A'})^2}$.
7
Tổng kết
▼
✓Tóm tắt Bài 10:
• Toạ độ vectơ: $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}$ thì $\vec{u} = (x;\ y)$. Vectơ đơn vị: $\vec{i}=(1;0)$, $\vec{j}=(0;1)$, $\vec{0}=(0;0)$.
• Phép toán: $\vec{u}\pm\vec{v} = (x\pm x';\ y\pm y')$; $k\vec{u} = (kx;\ ky)$.
• Cùng phương: $xy' - x'y = 0$ (tích chéo).
• Vectơ qua 2 điểm: $\overrightarrow{MN} = (x_N - x_M;\ y_N - y_M)$.
• Độ dài: $|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2}$, $MN = \sqrt{(x_N-x_M)^2 + (y_N-y_M)^2}$.
• Trung điểm: $M\!\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\ \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$ (chia $2$).
• Trọng tâm: $G\!\left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3};\ \dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$ (chia $3$).
📚
Xem thêm: Lý thuyết đầy đủ + Mẹo giải nhanh + Sai lầm thường gặp tại Edus.vn
• Toạ độ vectơ: $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j}$ thì $\vec{u} = (x;\ y)$. Vectơ đơn vị: $\vec{i}=(1;0)$, $\vec{j}=(0;1)$, $\vec{0}=(0;0)$.
• Phép toán: $\vec{u}\pm\vec{v} = (x\pm x';\ y\pm y')$; $k\vec{u} = (kx;\ ky)$.
• Cùng phương: $xy' - x'y = 0$ (tích chéo).
• Vectơ qua 2 điểm: $\overrightarrow{MN} = (x_N - x_M;\ y_N - y_M)$.
• Độ dài: $|\vec{u}| = \sqrt{x^2 + y^2}$, $MN = \sqrt{(x_N-x_M)^2 + (y_N-y_M)^2}$.
• Trung điểm: $M\!\left(\dfrac{x_A+x_B}{2};\ \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$ (chia $2$).
• Trọng tâm: $G\!\left(\dfrac{x_A+x_B+x_C}{3};\ \dfrac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$ (chia $3$).
1
—
Điểm: 0/25
📍
Luyện tập Vectơ trong mặt phẳng toạ độ!
25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh