Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ
Góc giữa 2 vectơ · Định nghĩa · Biểu thức toạ độ · Tính chất
Phạm vi giá trị
Các trường hợp đặc biệt
| Quan hệ giữa $\vec{u}$ và $\vec{v}$ | Góc $(\vec{u}, \vec{v})$ |
|---|---|
| Cùng hướng | $0°$ |
| Vuông góc ($\vec{u} \perp \vec{v}$) | $90°$ |
| Ngược hướng | $180°$ |
Quy ước với vectơ-không
Góc giữa $\vec{u}$ và $\vec{0}$ có thể nhận một giá trị tuỳ ý từ $0°$ đến $180°$ (vì $\vec{0}$ không có hướng xác định).
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ với $\widehat{B} = 30°$. Tính các góc:
Xuất phát từ Vật lí — công của một lực
Trong Vật lí, nếu lực $\vec{F}$ tác động vào vật chuyển động thẳng từ $M$ tới $N$, thì công của lực được tính:
Toán học gọi giá trị $A$ (không kể đơn vị) là tích vô hướng của hai vectơ $\vec{F}$ và $\overrightarrow{MN}$.
Dấu của tích vô hướng theo góc
Bình phương vô hướng
$\vec{u} \cdot \vec{u}$ được viết tắt là $\vec{u}^2$ và gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\vec{u}$.
Bảng giá trị cosin đặc biệt
| Góc | $0°$ | $30°$ | $45°$ | $60°$ | $90°$ | $120°$ | $135°$ | $150°$ | $180°$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $\cos$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $-1$ |
Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Tính $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BD}$.
Đường chéo hình vuông: $AC = BD = a\sqrt{2}$.
$x_1 x_2 + y_1 y_2$ Lưu ý: nhân tương ứng theo từng thành phần rồi cộng lại (KHÔNG tạo cặp $(x_1 x_2;\ y_1 y_2)$ thành vectơ).
Hệ quả từ biểu thức toạ độ
| Hệ quả | Công thức |
|---|---|
| Vuông góc | $\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$ |
| Bình phương vô hướng | $\vec{u}^2 = x_1^2 + y_1^2$ |
| Cosin góc | $\cos(\vec{u}, \vec{v}) = \dfrac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$ |
a) Cho $\vec{u} = (2;\ -3)$ và $\vec{v} = (5;\ 3)$. Tính $\vec{u} \cdot \vec{v}$.
b) Tính $\vec{i} \cdot \vec{j}$.
Với ba vectơ $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$ và mọi số thực $k$, tích vô hướng có các tính chất:
| Tính chất | Công thức |
|---|---|
| Giao hoán | $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$ |
| Phân phối với tổng vectơ | $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$ |
| Phân phối với hiệu vectơ | $\vec{u} \cdot (\vec{v} - \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} - \vec{u} \cdot \vec{w}$ |
| Nhân với số | $(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v}) = \vec{u} \cdot (k\vec{v})$ |
Hằng đẳng thức tích vô hướng
Áp dụng các tính chất trên, ta chứng minh được các hằng đẳng thức tương tự bình phương số:
$(\vec{u} - \vec{v})^2 = \vec{u}^2 - 2\vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{v}^2$
Cho $|\vec{u}| = 3$, $|\vec{v}| = 4$, $(\vec{u}, \vec{v}) = 60°$. Tính $|\vec{u} + \vec{v}|$.
Dạng 1 — Tính góc giữa hai vectơ qua toạ độ
$\vec{u} \cdot \vec{v}$
$|\vec{u}|, |\vec{v}|$
Dạng 2 — Tìm tham số để hai vectơ vuông góc
Dạng 3 — Giải tam giác và tìm trực tâm
Dạng 4 — Điều kiện $\vec{u} \cdot \vec{v} = \pm |\vec{u}||\vec{v}|$
• Góc giữa 2 vectơ: đưa về chung gốc, $0° \leq (\vec{u},\vec{v}) \leq 180°$. Cùng hướng → $0°$, ngược hướng → $180°$, vuông góc → $90°$.
• Tích vô hướng (định nghĩa): $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos(\vec{u},\vec{v})$ — kết quả là SỐ.
• Theo toạ độ: $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2$ với $\vec{u}=(x_1;y_1)$, $\vec{v}=(x_2;y_2)$.
• Vuông góc: $\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \Leftrightarrow x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$.
• Bình phương vô hướng: $\vec{u}^2 = |\vec{u}|^2 = x_1^2 + y_1^2$.
• Cosin góc: $\cos(\vec{u},\vec{v}) = \dfrac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{\sqrt{x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt{x_2^2 + y_2^2}}$.
• Tính chất: giao hoán, phân phối, $(k\vec{u})\cdot\vec{v} = k(\vec{u}\cdot\vec{v})$.
• Hằng đẳng thức: $(\vec{u}\pm\vec{v})^2 = \vec{u}^2 \pm 2\vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{v}^2$.
Luyện tập Tích vô hướng của hai vectơ!
25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
Tuyệt vời!
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh