Lớp 10 · Toán
Bài 22
Ba Đường Conic
Elip · Hypebol · Parabol — Định nghĩa, phương trình chính tắc, ứng dụng
1
Đường Elip — Định nghĩa và phương trình chính tắc
▼
Ba đường conic — elip, hypebol, parabol — xuất hiện rất phổ biến trong tự nhiên và đời sống: quỹ đạo hành tinh, đài phun nước, ăng-ten vệ tinh, đèn pha ô tô...
a) Định nghĩa
Định nghĩa
Cho hai điểm cố định $F_1, F_2$ phân biệt với $F_1F_2 = 2c > 0$ và một số thực $a > c$.
Đường elip là tập hợp các điểm $M$ sao cho:
Đường elip là tập hợp các điểm $M$ sao cho:
$MF_1 + MF_2 = 2a$
• $F_1, F_2$ gọi là hai tiêu điểm.
• $F_1F_2 = 2c$ gọi là tiêu cự.
• Giá trị $2a$ là tổng khoảng cách từ một điểm bất kì trên elip đến hai tiêu điểm.
• $F_1F_2 = 2c$ gọi là tiêu cự.
• Giá trị $2a$ là tổng khoảng cách từ một điểm bất kì trên elip đến hai tiêu điểm.
Hình 1: Cách vẽ elip bằng sợi dây căng — đầu dây cố định tại $F_1$ và $F_2$, độ dài dây bằng $2a$
⚠️Tại sao phải có $a > c$?
Theo bất đẳng thức tam giác: $MF_1 + MF_2 > F_1F_2$, tức $2a > 2c$, nên $a > c$.
Theo bất đẳng thức tam giác: $MF_1 + MF_2 > F_1F_2$, tức $2a > 2c$, nên $a > c$.
b) Phương trình chính tắc
Phương trình
Chọn hệ trục $Oxy$ với $O$ là trung điểm $F_1F_2$, tia $Ox$ trùng tia $OF_2$. Khi đó $F_1(-c;\ 0)$, $F_2(c;\ 0)$. Phương trình chính tắc của elip:
$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1, \quad a > b > 0$
trong đó $b = \sqrt{a^2 - c^2}$ (hay $c = \sqrt{a^2 - b^2}$).
Đọc thông số từ phương trình $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ (với $a > b > 0$):
→Tiêu điểm: $F_1\left(-\sqrt{a^2 - b^2};\ 0\right)$, $F_2\left(\sqrt{a^2 - b^2};\ 0\right)$.
→Tiêu cự: $2c = 2\sqrt{a^2 - b^2}$.
→Tổng khoảng cách: $MF_1 + MF_2 = 2a$ với mọi $M$ trên elip.
Ví dụ 1 — Đọc tiêu điểm, tiêu cự (SGK)
Cho elip $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1$. Tìm tiêu điểm và tiêu cự.
→$a^2 = 25$, $b^2 = 16$. Tính $c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{25 - 16} = 3$.
⟹Tiêu điểm $F_1(-3;\ 0)$, $F_2(3;\ 0)$. Tiêu cự $2c = 6$. Tổng khoảng cách $2a = 10$.
2
Đường Hypebol — Định nghĩa và phương trình chính tắc
▼
a) Định nghĩa
Định nghĩa
Cho hai điểm cố định $F_1, F_2$ phân biệt với $F_1F_2 = 2c$ và một số thực dương $a < c$.
Đường hypebol là tập hợp các điểm $M$ sao cho:
Đường hypebol là tập hợp các điểm $M$ sao cho:
$|MF_1 - MF_2| = 2a$
• $F_1, F_2$: hai tiêu điểm.
• $F_1F_2 = 2c$: tiêu cự.
• Giá trị $2a$: trị tuyệt đối hiệu khoảng cách từ một điểm trên hypebol tới hai tiêu điểm.
• $F_1F_2 = 2c$: tiêu cự.
• Giá trị $2a$: trị tuyệt đối hiệu khoảng cách từ một điểm trên hypebol tới hai tiêu điểm.
Hình 2: Hypebol gồm hai nhánh — nhánh phải có $MF_1 - MF_2 = 2a$, nhánh trái có $MF_2 - MF_1 = 2a$
⚠️Tại sao phải có $a < c$?
Theo bất đẳng thức tam giác: $|MF_1 - MF_2| < F_1F_2$, tức $2a < 2c$, nên $a < c$.
Theo bất đẳng thức tam giác: $|MF_1 - MF_2| < F_1F_2$, tức $2a < 2c$, nên $a < c$.
💡Khác biệt elip ↔ hypebol:
• Elip: TỔNG khoảng cách $MF_1 + MF_2 = 2a$, có $a > c$.
• Hypebol: HIỆU (trị tuyệt đối) khoảng cách $|MF_1 - MF_2| = 2a$, có $a < c$.
• Elip: TỔNG khoảng cách $MF_1 + MF_2 = 2a$, có $a > c$.
• Hypebol: HIỆU (trị tuyệt đối) khoảng cách $|MF_1 - MF_2| = 2a$, có $a < c$.
b) Phương trình chính tắc
Phương trình
Phương trình chính tắc của hypebol:
$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1, \quad a, b > 0$
trong đó $b = \sqrt{c^2 - a^2}$ (hay $c = \sqrt{a^2 + b^2}$).
Đọc thông số từ phương trình $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$:
→Tiêu điểm: $F_1\left(-\sqrt{a^2 + b^2};\ 0\right)$, $F_2\left(\sqrt{a^2 + b^2};\ 0\right)$.
→Tiêu cự: $2c = 2\sqrt{a^2 + b^2}$.
→Hiệu (TTĐ) khoảng cách: $|MF_1 - MF_2| = 2a$.
⚠️ Khác biệt công thức tính $c$
Elip: $c = \sqrt{a^2 - b^2}$ (phép TRỪ)
Hypebol: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ (phép CỘNG)
Hypebol: $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ (phép CỘNG)
Ví dụ 2 — Đọc tiêu điểm, tiêu cự (SGK)
Cho hypebol $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$. Tìm tiêu điểm, tiêu cự.
→$a^2 = 9$, $b^2 = 16$. Tính $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
⟹Tiêu điểm $F_1(-5;\ 0)$, $F_2(5;\ 0)$. Tiêu cự $2c = 10$. Hiệu (TTĐ) khoảng cách $2a = 6$.
3
Đường Parabol — Định nghĩa và phương trình chính tắc
▼
a) Định nghĩa
Định nghĩa
Cho điểm $F$ cố định và đường thẳng $\Delta$ cố định không đi qua $F$.
Đường parabol là tập hợp các điểm $M$ cách đều $F$ và $\Delta$:
Đường parabol là tập hợp các điểm $M$ cách đều $F$ và $\Delta$:
$MF = d(M,\ \Delta)$
• $F$: tiêu điểm của parabol.
• $\Delta$: đường chuẩn của parabol.
• Khoảng cách từ $F$ đến $\Delta$ gọi là tham số tiêu $p$.
• $\Delta$: đường chuẩn của parabol.
• Khoảng cách từ $F$ đến $\Delta$ gọi là tham số tiêu $p$.
b) Phương trình chính tắc
Phương trình
Chọn hệ trục $Oxy$ với gốc $O$ là trung điểm của đoạn từ $F$ tới hình chiếu của $F$ lên $\Delta$, tia $Ox$ trùng tia $OF$. Khi đó phương trình chính tắc parabol:
$y^2 = 2px \quad (p > 0)$
Hình 3: Parabol $y^2 = 2px$ — tiêu điểm $F\left(\dfrac{p}{2};\ 0\right)$, đường chuẩn $\Delta: x = -\dfrac{p}{2}$
Đọc thông số từ $y^2 = 2px$:
→So sánh với $y^2 = 2px$: hệ số vế phải là $2p$. Suy ra $p = \dfrac{\text{hệ số vế phải}}{2}$.
→Tiêu điểm: $F\left(\dfrac{p}{2};\ 0\right)$.
→Đường chuẩn: $\Delta: x = -\dfrac{p}{2}$.
⚠️Cảnh báo nhầm lẫn:
$y^2 = 8x$ → $2p = 8 \Rightarrow p = 4 \Rightarrow F\left(\dfrac{p}{2};\ 0\right) = F(2;\ 0)$.
KHÔNG phải $F(8;\ 0)$ hay $F(4;\ 0)$ — phải chia $p$ cho $2$ thêm một lần nữa!
$y^2 = 8x$ → $2p = 8 \Rightarrow p = 4 \Rightarrow F\left(\dfrac{p}{2};\ 0\right) = F(2;\ 0)$.
KHÔNG phải $F(8;\ 0)$ hay $F(4;\ 0)$ — phải chia $p$ cho $2$ thêm một lần nữa!
💡Tính chất quan trọng: Với mọi điểm $M$ trên parabol, $MF = d(M,\ \Delta)$. Do $\Delta: x = -\dfrac{p}{2}$, ta có:
$d(M,\ \Delta) = \left|x_M + \dfrac{p}{2}\right| = x_M + \dfrac{p}{2}$ (vì $x_M \ge 0$).
→ Tính chất này giúp đổi bài toán "tính khoảng cách đến tiêu điểm" thành "khoảng cách đến đường chuẩn" và ngược lại.
$d(M,\ \Delta) = \left|x_M + \dfrac{p}{2}\right| = x_M + \dfrac{p}{2}$ (vì $x_M \ge 0$).
→ Tính chất này giúp đổi bài toán "tính khoảng cách đến tiêu điểm" thành "khoảng cách đến đường chuẩn" và ngược lại.
Ví dụ 3 — Đọc tiêu điểm, đường chuẩn (SGK)
Cho parabol $y^2 = x$. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn.
→$2p = 1 \Rightarrow p = \dfrac{1}{2}$.
⟹Tiêu điểm $F\left(\dfrac{1}{4};\ 0\right)$. Đường chuẩn $\Delta: x = -\dfrac{1}{4}$.
Ví dụ 4 — Tìm điểm trên parabol có $MF = 3$
Cho $(P): y^2 = x$. Tìm các điểm trên $(P)$ có khoảng cách đến tiêu điểm $F$ bằng $3$.
①Gọi $M(x_0;\ y_0) \in (P)$, tức $y_0^2 = x_0$.
②Theo tính chất: $MF = d(M,\ \Delta) = x_0 + \dfrac{1}{4}$ (vì $x_0 \ge 0$).
③$MF = 3 \Rightarrow x_0 + \dfrac{1}{4} = 3 \Rightarrow x_0 = \dfrac{11}{4}$.
④$y_0^2 = \dfrac{11}{4} \Rightarrow y_0 = \pm\dfrac{\sqrt{11}}{2}$.
⟹Hai điểm: $M_1\left(\dfrac{11}{4};\ \dfrac{\sqrt{11}}{2}\right)$ và $M_2\left(\dfrac{11}{4};\ -\dfrac{\sqrt{11}}{2}\right)$.
4
Cách lập phương trình chính tắc của ba đường conic
▼
a) Lập phương trình ELIP
Phương pháp
Đặt PT dạng $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ với $a > b > 0$.
Từ các dữ kiện, lập hệ phương trình theo $a^2, b^2$:
• Điểm $A(x_0;\ y_0)$ thuộc elip → $\dfrac{x_0^2}{a^2} + \dfrac{y_0^2}{b^2} = 1$.
• Tiêu điểm $F_2(c;\ 0)$ → $c^2 = a^2 - b^2$.
Từ các dữ kiện, lập hệ phương trình theo $a^2, b^2$:
• Điểm $A(x_0;\ y_0)$ thuộc elip → $\dfrac{x_0^2}{a^2} + \dfrac{y_0^2}{b^2} = 1$.
• Tiêu điểm $F_2(c;\ 0)$ → $c^2 = a^2 - b^2$.
Ví dụ 5 — Lập PT elip qua điểm và biết tiêu điểm (SGK 7.22)
Lập phương trình chính tắc của elip đi qua $A(5;\ 0)$ và có một tiêu điểm là $F_2(3;\ 0)$.
①Đặt PT elip: $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$.
②Thay $A(5;\ 0)$: $\dfrac{25}{a^2} + 0 = 1 \Rightarrow a^2 = 25$.
③$F_2(3;\ 0)$ là tiêu điểm → $c = 3 \Rightarrow b^2 = a^2 - c^2 = 25 - 9 = 16$.
⟹$\mathbf{\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1}$
b) Lập phương trình PARABOL
Phương pháp
Đặt PT dạng $y^2 = 2px$ với $p > 0$.
Thay toạ độ điểm thuộc parabol vào PT để tìm $2p$.
Thay toạ độ điểm thuộc parabol vào PT để tìm $2p$.
Ví dụ 6 — Lập PT parabol qua một điểm (SGK 7.23)
Lập phương trình chính tắc của parabol đi qua điểm $M(2;\ 4)$.
①Đặt PT parabol: $y^2 = 2px$.
②Thay $M(2;\ 4)$: $4^2 = 2p \cdot 2 \Rightarrow 16 = 4p \Rightarrow 2p = 8$.
⟹$\mathbf{y^2 = 8x}$
c) Lập phương trình HYPEBOL
Phương pháp
Đặt PT dạng $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ với $a, b > 0$.
Lập hệ từ các dữ kiện:
• Điểm thuộc hypebol.
• Tiêu điểm $F_2(c;\ 0)$ → $c^2 = a^2 + b^2$.
• Hiệu (TTĐ) khoảng cách $2a$.
Lập hệ từ các dữ kiện:
• Điểm thuộc hypebol.
• Tiêu điểm $F_2(c;\ 0)$ → $c^2 = a^2 + b^2$.
• Hiệu (TTĐ) khoảng cách $2a$.
Ví dụ 7 — Lập PT hypebol biết hiệu khoảng cách và tiêu cự
Lập PT chính tắc hypebol biết tiêu cự bằng $10$ và $|MF_1 - MF_2| = 6$.
①$2c = 10 \Rightarrow c = 5$. $|MF_1 - MF_2| = 2a = 6 \Rightarrow a = 3$.
②$b^2 = c^2 - a^2 = 25 - 9 = 16$.
⟹$\mathbf{\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1}$
5
Bài toán thực tế và ứng dụng của ba đường conic
▼
a) Tính chất phản xạ (quang học)
Tính chất quang học
• Elip: Tia sáng đi từ một tiêu điểm, gặp gương elip lõm sẽ phản xạ qua tiêu điểm còn lại.
• Hypebol: Tương tự — tia sáng từ một tiêu điểm phản xạ theo hướng đi qua tiêu điểm còn lại.
• Parabol: Tia sáng từ tiêu điểm gặp parabol phản xạ thành chùm song song với trục đối xứng. Ngược lại, tia tới song song với trục sẽ hội tụ tại tiêu điểm.
• Hypebol: Tương tự — tia sáng từ một tiêu điểm phản xạ theo hướng đi qua tiêu điểm còn lại.
• Parabol: Tia sáng từ tiêu điểm gặp parabol phản xạ thành chùm song song với trục đối xứng. Ngược lại, tia tới song song với trục sẽ hội tụ tại tiêu điểm.
Hình 4: Tính chất phản xạ parabol — tia từ tiêu điểm $F$ phản xạ song song với trục, ứng dụng trong đèn pha và ăng-ten
b) Một số ứng dụng quan trọng
🪐
Quỹ đạo hành tinhHành tinh quay quanh Mặt Trời theo quỹ đạo elip, Mặt Trời ở 1 tiêu điểm (định luật Kepler).
📡
Ăng-ten vệ tinhChảo parabol hội tụ tín hiệu vệ tinh về tiêu điểm — nơi đặt đầu thu.
💡
Đèn pha ô tôMặt phản xạ parabol phát chùm tia sáng song song, chiếu xa.
⛲
Đài phun nướcTia nước bắn ra có quỹ đạo dạng parabol.
🔭
Kính thiên vănGương parabol hoặc hypebol hội tụ ánh sáng từ thiên thể.
🏥
Tán sỏi thậnGương elip: sóng từ 1 tiêu điểm phản xạ hội tụ tại tiêu điểm còn lại — chính là vị trí sỏi.
c) Cách giải bài toán thực tế
Bước 1
Gắn hệ trục
$Oxy$ phù hợp
Gắn hệ trục
$Oxy$ phù hợp
→
Bước 2
Xác định
toạ độ điểm
Xác định
toạ độ điểm
→
Bước 3
Lập PT
chính tắc
Lập PT
chính tắc
Ví dụ 8 — Khúc cua hình parabol (theo SGK 7.25, đơn giản hoá)
Khúc cua đường có dạng parabol. Đầu cua là $A$, cuối cua là $B$ với $AB = 400$ m. Đỉnh parabol cách đường thẳng $AB$ một khoảng $20$ m và cách đều $A, B$. Lập PT chính tắc của parabol (đơn vị: 1 m).
①Chọn hệ trục: đỉnh parabol tại $O(0;\ 0)$, trục $Ox$ vuông góc với $AB$ và hướng về phía $AB$.
②Đỉnh cách $AB$ là $20$ m và cách đều $A, B$ → $A, B$ đối xứng qua $Ox$.
③Toạ độ: $A(20;\ -200)$, $B(20;\ 200)$ (vì $AB = 400 \Rightarrow $ mỗi điểm cách $Ox$ là $200$ m).
④PT parabol $y^2 = 2px$. Thay $A(20;\ -200)$:
$(-200)^2 = 2p \cdot 20 \Rightarrow 40000 = 40p \Rightarrow 2p = 2000$.
$(-200)^2 = 2p \cdot 20 \Rightarrow 40000 = 40p \Rightarrow 2p = 2000$.
⟹$\mathbf{y^2 = 2000x}$
Ví dụ 9 — Phát tín hiệu từ 2 trạm (theo SGK 7.24)
Hai trạm $A, B$ cách nhau $300$ km, cùng phát tín hiệu với vận tốc $292{,}000$ km/s. Tàu thuỷ thu tín hiệu, độ lệch thời gian là $0{,}0005$ s. Tìm PT hypebol mà tàu thuộc.
①Chọn $O$ là trung điểm $AB$ → $A(-150;\ 0)$, $B(150;\ 0)$, $c = 150$.
②Hiệu khoảng cách: $|MA - MB| = 0{,}0005 \times 292{,}000 = 146$ km → $2a = 146 \Rightarrow a = 73$.
③$b^2 = c^2 - a^2 = 22500 - 5329 = 17171$.
⟹$\mathbf{\dfrac{x^2}{5329} - \dfrac{y^2}{17171} = 1}$
6
Tổng kết
▼
So sánh nhanh 3 đường conic
ELIP
$\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
($a > b > 0$)
($a > b > 0$)
$MF_1 + MF_2 = 2a$
$c = \sqrt{a^2 - b^2}$
$c = \sqrt{a^2 - b^2}$
HYPEBOL
$\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$
($a, b > 0$)
($a, b > 0$)
$|MF_1 - MF_2| = 2a$
$c = \sqrt{a^2 + b^2}$
$c = \sqrt{a^2 + b^2}$
PARABOL
$y^2 = 2px$
($p > 0$)
($p > 0$)
$MF = d(M,\ \Delta)$
$F\left(\dfrac{p}{2};\ 0\right)$
$F\left(\dfrac{p}{2};\ 0\right)$
Bảng tổng hợp
| Đường conic | Định nghĩa | Tiêu điểm | Tiêu cự |
|---|---|---|---|
| ELIP | $MF_1 + MF_2 = 2a$ ($a > c$) |
$F_{1,2}(\pm\sqrt{a^2-b^2};\ 0)$ | $2\sqrt{a^2-b^2}$ |
| HYPEBOL | $|MF_1 - MF_2| = 2a$ ($a < c$) |
$F_{1,2}(\pm\sqrt{a^2+b^2};\ 0)$ | $2\sqrt{a^2+b^2}$ |
| PARABOL | $MF = d(M,\ \Delta)$ | $F\left(\dfrac{p}{2};\ 0\right)$ | — |
✓Mẹo nhớ nhanh:
• Elip TRỪ, Hypebol CỘNG: $c^2 = a^2 \mp b^2$ (elip dấu trừ, hypebol dấu cộng).
• Tiêu điểm parabol: $F\left(\dfrac{p}{2};\ 0\right)$ — chia $p$ cho $2$ (chứ không phải $p$ trực tiếp).
• Đường chuẩn parabol: $x = -\dfrac{p}{2}$ (đối xứng với tiêu điểm qua $Oy$).
• Bài thực tế: Luôn chọn hệ trục sao cho 2 tiêu điểm (hoặc đỉnh parabol) nằm trên trục $Ox$, gốc $O$ ở giữa.
📚
Xem thêm bài viết chi tiết• Elip TRỪ, Hypebol CỘNG: $c^2 = a^2 \mp b^2$ (elip dấu trừ, hypebol dấu cộng).
• Tiêu điểm parabol: $F\left(\dfrac{p}{2};\ 0\right)$ — chia $p$ cho $2$ (chứ không phải $p$ trực tiếp).
• Đường chuẩn parabol: $x = -\dfrac{p}{2}$ (đối xứng với tiêu điểm qua $Oy$).
• Bài thực tế: Luôn chọn hệ trục sao cho 2 tiêu điểm (hoặc đỉnh parabol) nằm trên trục $Ox$, gốc $O$ ở giữa.
Ba đường conic — Elip, Hypebol, Parabol — lý thuyết và bài tập →
1
—
Điểm: 0/25
🌀
Luyện tập Ba đường conic!
25 câu · Elip, Hypebol, Parabol
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh