Menu Học Tập

Bài tập Toán 10 Bài 23: Quy tắc đếm (25 bài tập)

Lớp 10 · Toán Bài 23

Quy Tắc Đếm

Quy tắc cộng · Sơ đồ hình cây · Quy tắc nhân

1
Quy tắc cộng và sơ đồ hình cây
▼

Đếm là một bài toán cổ xưa nhất của nhân loại. Trong khoa học và cuộc sống, ta cần đếm các đối tượng để giải quyết nhiều vấn đề khác nhau.

Quy tắc cộng
Giả sử một công việc có thể thực hiện theo một trong hai phương án khác nhau:
• Phương án một có $n_1$ cách thực hiện,
• Phương án hai có $n_2$ cách thực hiện (không trùng với bất kì cách thực hiện nào của phương án một).
Khi đó, số cách thực hiện công việc là:
$n_1 + n_2$ (cách)
⚠️Chú ý: Áp dụng quy tắc cộng khi các phương án rời nhau, không có cách thực hiện nào trùng giữa các phương án.

Sơ đồ hình cây là sơ đồ minh hoạ cách phân chia trường hợp, giúp việc đếm thuận tiện và không bỏ sót.

Ví dụ 1 — Sơ đồ hình cây

Một quán phục vụ ăn sáng có bán phở và bún. Phở có $2$ loại: phở bò, phở gà. Bún có $3$ loại: bún bò, bún cua, bún cá. Một khách hàng muốn chọn $1$ món để ăn sáng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Chọn món Phở Bún Phở bò Phở gà Bún bò Bún cua Bún cá
Sơ đồ hình cây minh hoạ các cách chọn món ăn sáng
→Phương án 1 (chọn phở): có $2$ cách.
→Phương án 2 (chọn bún): có $3$ cách.
→Hai phương án rời nhau (không thể vừa là phở vừa là bún).
⟹Áp dụng quy tắc cộng: số cách chọn $= 2 + 3 = \mathbf{5}$ (cách).
Ví dụ 2 — Khi các phương án CÓ giao nhau

Bộ cờ vua có $32$ quân: $16$ trắng, $16$ đen; $8$ tốt trắng và $8$ tốt đen ($16$ tốt). Bạn Nam lấy ra tất cả các quân trắng và tất cả các quân tốt. Hỏi Nam lấy bao nhiêu quân?

①Đếm các quân trắng: có $16$ quân.
②Đếm các quân tốt: có $16$ quân.
③Trong $16$ quân tốt có $8$ quân tốt trắng đã được đếm rồi.
⟹Số quân Nam lấy ra: $16 + 16 - 8 = \mathbf{24}$ (quân).
⚠️Lưu ý quan trọng: Nếu hai tập hợp $A$ và $B$ có phần chung ($A \cap B \neq \varnothing$) thì KHÔNG được áp dụng trực tiếp quy tắc cộng. Ta phải trừ phần đếm trùng: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.
2
Quy tắc nhân
▼
Quy tắc nhân
Giả sử một công việc phải hoàn thành qua hai công đoạn liên tiếp:
• Công đoạn một có $m_1$ cách thực hiện,
• Với mỗi cách thực hiện công đoạn một, có $m_2$ cách thực hiện công đoạn hai.
Khi đó, số cách thực hiện công việc là:
$m_1 \cdot m_2$ (cách)
⚠️Chú ý: Áp dụng quy tắc nhân cho công việc có nhiều công đoạn nối tiếp nhau, các công đoạn này độc lập với nhau (cách thực hiện công đoạn này không ảnh hưởng đến số cách của công đoạn kia).
Ví dụ 3 — Mua vé tàu

Người đi từ Hà Nội vào Vinh có thể chọn $1$ trong $3$ chuyến tàu (SE5, SE7, SE35). Trên mỗi tàu có $2$ loại vé ngồi (cứng, mềm). Hỏi có bao nhiêu loại vé để chọn?

Chọn chuyến tàu
$3$ cách
→
Chọn loại vé
$2$ cách
①Công đoạn 1 (chọn tàu): có $3$ cách.
②Công đoạn 2 (chọn loại vé): với mỗi tàu có $2$ cách.
⟹Áp dụng quy tắc nhân: $3 \cdot 2 = \mathbf{6}$ (cách).

Cách hai (dùng quy tắc cộng): Người đó có thể chọn SE5 ($2$ vé), SE7 ($2$ vé) hoặc SE35 ($2$ vé). Tổng: $2 + 2 + 2 = 6$ cách. ⟶ Cùng kết quả!

Ví dụ 4 — Gieo đồng xu nhiều lần

Gieo $1$ đồng xu $3$ lần liên tiếp, mỗi lần ghi sấp (S) hoặc ngửa (N). Hỏi có bao nhiêu khả năng?

→Gieo $3$ lần là $3$ công đoạn nối tiếp.
→Mỗi lần có $2$ khả năng (S hoặc N).
⟹Số khả năng: $2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3 = \mathbf{8}$ (khả năng).
3
Kết hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân
▼

Hầu hết các bài toán đếm thực tế phải áp dụng cả hai quy tắc. Cần phân biệt rõ:

Tình huốngCộng (HOẶC)Nhân (VÀ)
Khi nào dùng? Công việc chia thành các phương án rời nhau — chỉ cần thực hiện MỘT phương án để xong việc. Công việc gồm các công đoạn nối tiếp — phải thực hiện TẤT CẢ các công đoạn để xong việc.
Cách tính $n_1 + n_2 + \ldots$ $m_1 \cdot m_2 \cdot \ldots$
Từ khoá nhận biết HOẶC, "chọn $1$ trong các loại" VÀ, "qua các bước", "nhiều giai đoạn"
Ví dụ 5 — Thực đơn bữa tiệc

Để tổ chức bữa tiệc, người ta chọn thực đơn gồm $1$ món khai vị, $1$ món chính và $1$ món tráng miệng. Nhà hàng có:
• Khai vị: $2$ loại súp + $3$ loại sa lát.
• Món chính: $4$ loại thịt + $3$ loại cá + $3$ loại tôm.
• Tráng miệng: $5$ loại kem + $3$ loại bánh.
Hỏi có bao nhiêu thực đơn khác nhau?

Khai vị
$2 + 3$
→
Món chính
$4 + 3 + 3$
→
Tráng miệng
$5 + 3$
①Bên trong mỗi công đoạn dùng quy tắc cộng (chọn $1$ loại trong nhiều loại):
→Khai vị: $2 + 3 = 5$ cách.
→Món chính: $4 + 3 + 3 = 10$ cách.
→Tráng miệng: $5 + 3 = 8$ cách.
②Giữa các công đoạn dùng quy tắc nhân (phải chọn đủ $3$ món):
⟹Số thực đơn $= 5 \cdot 10 \cdot 8 = \mathbf{400}$ (cách).
Ví dụ 6 — Bài toán mật khẩu (mở đầu)

Mỗi mật khẩu là một dãy có từ $2$ tới $3$ kí tự, kí tự đầu là chữ cái thường tiếng Anh ($26$ chữ), các kí tự còn lại là chữ số ($0$–$9$). Có bao nhiêu mật khẩu có thể tạo?

①TH 1: Mật khẩu có $2$ kí tự.
→Kí tự 1 (chữ cái): $26$ cách. Kí tự 2 (số): $10$ cách.
→Theo quy tắc nhân: $26 \cdot 10 = 260$ (mật khẩu).
②TH 2: Mật khẩu có $3$ kí tự.
→Kí tự 1: $26$ cách. Kí tự 2: $10$ cách. Kí tự 3: $10$ cách.
→Theo quy tắc nhân: $26 \cdot 10 \cdot 10 = 2600$ (mật khẩu).
③Hai trường hợp rời nhau (mật khẩu chỉ có thể độ dài $2$ HOẶC $3$).
⟹Áp dụng quy tắc cộng: $260 + 2600 = \mathbf{2\,860}$ (mật khẩu).
4
Dạng lập số tự nhiên có nhiều chữ số
▼

Đây là dạng bài phổ biến nhất dùng quy tắc nhân (và cộng nếu cần). Một số lưu ý quan trọng khi lập số:

💡Mẹo giải:
• Chữ số hàng đầu (hàng nghìn, trăm,...) luôn $\neq 0$.
• Chọn chữ số bị ràng buộc trước: nếu yêu cầu chia hết cho $2$ ⟶ chọn hàng đơn vị trước; nếu yêu cầu chia hết cho $5$ ⟶ chọn hàng đơn vị trước (là $0$ hoặc $5$).
• Nếu các điều kiện phụ thuộc nhau (vừa khác nhau, vừa chia hết cho $5$,...) ⟶ phải chia trường hợp rồi cộng.
Ví dụ 7 — Số có $3$ chữ số (chữ số có thể trùng)

Có bao nhiêu số tự nhiên có $3$ chữ số?

Số có dạng $\overline{abc}$ với $a \neq 0$. Chọn lần lượt:

Hàng trăm $a$$9$ cách($1, 2, \ldots, 9$)
Hàng chục $b$$10$ cách($0, 1, \ldots, 9$)
Hàng đơn vị $c$$10$ cách($0, 1, \ldots, 9$)
⟹Số các số: $9 \cdot 10 \cdot 10 = \mathbf{900}$ (số).
Ví dụ 8 — Số có $3$ chữ số khác nhau

Có bao nhiêu số tự nhiên có $3$ chữ số đôi một khác nhau?

$a$ (chọn trước)$9$ cách($1$–$9$)
$b$ ($\neq a$)$9$ cách($10 - 1$ chữ số)
$c$ ($\neq a, b$)$8$ cách($10 - 2$ chữ số)
⟹Số các số: $9 \cdot 9 \cdot 8 = \mathbf{648}$ (số).
Ví dụ 9 — Số lẻ có $3$ chữ số khác nhau

Tìm số các số tự nhiên lẻ có $3$ chữ số đôi một khác nhau.

Số lẻ ⟶ hàng đơn vị $c$ phải lẻ ($1, 3, 5, 7, 9$). Đây là chữ số bị ràng buộc, ta chọn $c$ trước!

$c$ (lẻ, chọn trước)$5$ cách
$a$ ($\neq c, \neq 0$)$8$ cách($1$–$9$ trừ $c$)
$b$ ($\neq c, \neq a$)$8$ cách($10 - 2$ chữ số)
⟹Số các số: $5 \cdot 8 \cdot 8 = \mathbf{320}$ (số).
Ví dụ 10 — Số có $3$ chữ số khác nhau chia hết cho $5$

Yêu cầu vừa khác nhau, vừa chia hết cho $5$ ⟶ phải chia trường hợp theo $c$.

①TH 1: $c = 0$. $a$: $9$ cách (từ $1$–$9$). $b$: $8$ cách (trừ $a$ và $0$).
→Số TH 1 = $9 \cdot 8 = 72$ (số).
②TH 2: $c = 5$. $a$: $8$ cách ($1$–$9$ trừ $5$). $b$: $8$ cách ($0$–$9$ trừ $a$ và $5$).
→Số TH 2 = $8 \cdot 8 = 64$ (số).
⟹Tổng: $72 + 64 = \mathbf{136}$ (số).
5
Sai lầm thường gặp
▼
STTSai lầmĐính chính
1 Nhầm lẫn giữa quy tắc cộng và quy tắc nhân. Cộng: HOẶC (chọn $1$ phương án). Nhân: VÀ (thực hiện hết các công đoạn).
2 Áp dụng quy tắc cộng khi các phương án không rời nhau. Phải kiểm tra phương án không trùng. Nếu có giao, phải trừ phần đếm trùng: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.
3 Quên điều kiện $a \neq 0$ khi lập số có nhiều chữ số. Chữ số hàng đầu (hàng trăm, hàng nghìn,…) luôn phải khác $0$.
4 Không chọn chữ số bị ràng buộc trước, dẫn đến đếm sai. Nên chọn vị trí có ràng buộc trước (hàng đơn vị nếu chia hết cho $2, 5$; hàng đầu nếu $\neq 0$,…) rồi mới chọn các vị trí khác.
5 Không chia trường hợp khi cần thiết. Khi các ràng buộc phụ thuộc nhau (ví dụ: khác nhau + chia hết cho $5$), phải chia trường hợp rồi cộng kết quả.
6
Tổng kết
▼
Quy tắcKhi nào áp dụngCách tính
Quy tắc cộng Công việc chia thành các phương án rời nhau; thực hiện $1$ trong các phương án. $n_1 + n_2 + \ldots$
Quy tắc nhân Công việc gồm nhiều công đoạn nối tiếp; phải thực hiện tất cả các công đoạn. $m_1 \cdot m_2 \cdot \ldots$
Kết hợp Công việc phức tạp, vừa có phương án vừa có công đoạn. Dùng nhân trong mỗi phương án, cộng các phương án.
✓Tóm tắt Bài 23:
• Quy tắc cộng: $n_1 + n_2$ (các phương án rời nhau, dùng "HOẶC").
• Quy tắc nhân: $m_1 \cdot m_2$ (các công đoạn nối tiếp, dùng "VÀ").
• Sơ đồ hình cây: minh hoạ trực quan các trường hợp.
• Lập số: chọn chữ số bị ràng buộc trước, lưu ý $a \neq 0$, chia trường hợp khi cần.
• Bài toán thực tế thường kết hợp cả hai quy tắc.
📚 Xem thêm bài viết chi tiết
Quy tắc đếm — lý thuyết & các dạng bài tập Toán 10 →
1
—
Điểm: 0/25
🔢

Luyện tập Quy tắc đếm!

25 câu · 6 dạng từ dễ đến khó

💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh

Lý thuyết, Bài tập Bài 27: Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển ( 08/05 )

Bài tập Toán 10 Bài 26: Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất (25 bài tập) ( 08/05 )

Bài tập Toán 10 Bài 25: Nhị thức Newton (25 bài tập) ( 08/05 )

Bài tập Toán 10 Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp (25 bài tập) ( 08/05 )

Bài tập Toán 10 Bài 22: Ba đường conic (25 bài tập) ( 08/05 )