Menu Học Tập

Bài tập Toán 10 Bài 1: Mệnh đề (25 bài tập)

Lớp 10 · Toán Bài 1

Mệnh Đề

Mệnh đề · Phủ định · Kéo theo · Tương đương · Lượng từ ∀, ∃

1
Mệnh đề & Mệnh đề chứa biến
▼
📌 Định nghĩa Mệnh đề
Mệnh đề là một câu khẳng định mà ta có thể xác định được nó đúng hay sai.

Mỗi mệnh đề chỉ mang đúng một trong hai giá trị: đúng hoặc sai (không thể đồng thời cả hai).
Thường kí hiệu mệnh đề bằng các chữ cái in hoa: $P$, $Q$, $R$,...

🔵 Những câu KHÔNG phải mệnh đề:

Không Câu hỏi: "Bạn học trường nào?"
Không Câu cảm thán: "Hôm nay trời thật đẹp!"
Không Câu cầu khiến: "Hãy giữ trật tự trong giờ học."

🔵 Những câu LÀ mệnh đề:

Đúng "$5 + 3 = 8$" → mệnh đề đúng.
Sai "$2$ là số lẻ" → mệnh đề sai.
Ví dụ 1 — Câu nào là mệnh đề?

Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề?

a)"Phương trình $x^2 - 3x + 2 = 0$ có nghiệm nguyên." → là mệnh đề ĐÚNG ($x=1$, $x=2$ là nghiệm nguyên).
b)"$5 < 7 - 3$." → tính: $7 - 3 = 4$, mà $5 < 4$ sai → là mệnh đề SAI.
c)"Có bao nhiêu góc trong tam giác?" → câu hỏi → KHÔNG phải mệnh đề.
d)"Đẹp quá!" → cảm thán → KHÔNG phải mệnh đề.
📌 Mệnh đề chứa biến
Câu chứa biến số (như $n$, $x$,...) mà khi thay biến bằng giá trị cụ thể thì trở thành mệnh đề được gọi là mệnh đề chứa biến.
Ví dụ 2 — Mệnh đề chứa biến

Xét câu: "$n$ chia hết cho $2$" với $n \in \mathbb{N}$.

• Khi $n = 6$: "$6$ chia hết cho $2$" → mệnh đề ĐÚNG.
• Khi $n = 7$: "$7$ chia hết cho $2$" → mệnh đề SAI.
💡Mẹo nhận biết: Nếu câu vừa nghe xong mà đã có thể nói "đúng" hoặc "sai" → là mệnh đề. Nếu câu đó là hỏi, cảm thán, ra lệnh, hoặc chứa biến chưa rõ → KHÔNG phải mệnh đề.
2
Mệnh đề phủ định
▼
📌 Mệnh đề phủ định
Mệnh đề phủ định của $P$ là mệnh đề nói ngược lại với $P$, kí hiệu $\overline{P}$.

Cách lập: Thêm (hoặc bớt) từ "không" hoặc "không phải" trước vị ngữ của $P$.
⚖️ Quy tắc đúng/sai
$P$ đúng ⟶ $\overline{P}$ sai
$P$ sai ⟶ $\overline{P}$ đúng
Ví dụ 3 — Lập mệnh đề phủ định

$P$: "$15$ là số chính phương."

Phân tích: $15$ không là bình phương của số nguyên nào → $P$ SAI.
⟶$\overline{P}$: "$15$ không phải là số chính phương." → ĐÚNG.

$Q$: "$\sqrt{2}$ là số hữu tỉ."

$\sqrt{2}$ là số vô tỉ → $Q$ SAI.
⟶$\overline{Q}$: "$\sqrt{2}$ không phải là số hữu tỉ." → ĐÚNG.
⚠️Cẩn thận khi phủ định bất đẳng thức:
• Phủ định của "$=$" là "$\neq$" (KHÔNG phải dấu khác)
• Phủ định của "$>$" là "$\leq$" (KHÔNG phải "$<$")
• Phủ định của "$\geq$" là "$<$" (KHÔNG phải "$\leq$")
• Phủ định của "chia hết" là "không chia hết"
3
Mệnh đề kéo theo & Mệnh đề đảo
▼
📌 Mệnh đề kéo theo
Cho hai mệnh đề $P$ và $Q$. Mệnh đề "Nếu $P$ thì $Q$" được gọi là mệnh đề kéo theo, kí hiệu $P \Rightarrow Q$.
$P$
⟹
$Q$
Đọc là: "Nếu $P$ thì $Q$" hoặc "$P$ kéo theo $Q$"

🔵 Tính đúng/sai của $P \Rightarrow Q$:

$P \Rightarrow Q$ chỉ SAI khi $P$ đúng nhưng $Q$ sai. Còn lại đều đúng.

$P$$Q$$P \Rightarrow Q$
ĐĐĐ
ĐSS
SĐĐ
SSĐ
💡Mẹo kiểm tra: Khi xét $P \Rightarrow Q$ đúng hay sai, ta chỉ cần xét trường hợp $P$ đúng:
• Nếu $Q$ cũng đúng → $P \Rightarrow Q$ đúng.
• Nếu $Q$ sai → $P \Rightarrow Q$ sai.
Ví dụ 4 — Mệnh đề kéo theo

Xét: "Nếu tam giác ABC đều thì tam giác ABC cân."

→$P$: "Tam giác ABC đều"
→$Q$: "Tam giác ABC cân"
Nếu tam giác ABC đều (3 cạnh bằng nhau) thì hiển nhiên 2 cạnh bằng nhau → là tam giác cân.
⟹$P \Rightarrow Q$ đúng.
📌 Mệnh đề đảo
Mệnh đề $Q \Rightarrow P$ được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề $P \Rightarrow Q$ (đổi vị trí $P$ và $Q$).

⚠️ Quan trọng: Mệnh đề đảo của mệnh đề đúng KHÔNG nhất thiết đúng!
Ví dụ 5 — Mệnh đề đảo

Tiếp ví dụ 4: $P \Rightarrow Q$ là "Tam giác đều ⟹ tam giác cân" (ĐÚNG).

⟶Mệnh đề đảo $Q \Rightarrow P$: "Nếu tam giác ABC cân thì tam giác ABC đều."
Kiểm tra: tam giác cân chỉ cần 2 cạnh bằng — chưa chắc 3 cạnh bằng. Phản ví dụ: tam giác có 2 cạnh bằng 3 cm, cạnh thứ 3 dài 5 cm là tam giác cân nhưng KHÔNG đều.
⟹Mệnh đề đảo SAI.
📌Liên hệ định lí: Trong toán học, định lí thường có dạng $P \Rightarrow Q$.
• $P$ là điều kiện ĐỦ để có $Q$ (đủ đứng trước mũi tên).
• $Q$ là điều kiện CẦN để có $P$ (cần đứng sau mũi tên).
4
Mệnh đề tương đương
▼
📌 Mệnh đề tương đương
Khi cả hai mệnh đề $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ đều đúng, ta nói $P$ và $Q$ là hai mệnh đề tương đương, kí hiệu $P \Leftrightarrow Q$.

Đọc là: "$P$ khi và chỉ khi $Q$" hoặc "$P$ nếu và chỉ nếu $Q$".
⚖️ Quy tắc
$P \Leftrightarrow Q$ đúng ⟺ cả hai $P \Rightarrow Q$ và $Q \Rightarrow P$ đều đúng

🔵 Các bước kiểm tra $P \Leftrightarrow Q$:

Kiểm tra
$P \Rightarrow Q$
→
Kiểm tra
$Q \Rightarrow P$
→
Cả hai đúng
⟹ $P \Leftrightarrow Q$
Ví dụ 6 — Mệnh đề tương đương

Cho hai mệnh đề:

$P$: "Tam giác ABC vuông tại $A$"

$Q$: "$BC^2 = AB^2 + AC^2$"

Kiểm tra $P \Rightarrow Q$: định lí Pythagore — đúng. ✓
Kiểm tra $Q \Rightarrow P$: định lí Pythagore đảo — đúng. ✓
⟶$P \Leftrightarrow Q$: "Tam giác ABC vuông tại $A$ khi và chỉ khi $BC^2 = AB^2 + AC^2$." → ĐÚNG.
📌Khi $P \Leftrightarrow Q$ đúng: ta nói "$P$ là điều kiện cần và đủ để có $Q$" (hoặc ngược lại).
5
Mệnh đề chứa kí hiệu ∀, ∃
▼
📌 Hai kí hiệu quan trọng
• $\forall$ đọc là "với mọi" (mọi phần tử đều thoả mãn).
• $\exists$ đọc là "tồn tại" (có ít nhất một phần tử thoả mãn).

🔵 Mệnh đề chứa $\forall$:

Cấu trúc
$\forall x \in X,\ P(x)$
Đọc: "Với mọi $x$ thuộc $X$, $P(x)$ đúng."
Đúng $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geq 0$ — bình phương luôn không âm.
Sai $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 > 0$ — sai vì $x = 0$ thì $x^2 = 0$ (không > 0).

🔵 Mệnh đề chứa $\exists$:

Cấu trúc
$\exists x \in X,\ P(x)$
Đọc: "Tồn tại $x$ thuộc $X$ sao cho $P(x)$ đúng."
Đúng $\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 = 4$ — chọn $x = 2$ (hoặc $x = -2$).
Sai $\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 = -1$ — bình phương không thể âm.
💡Cách kiểm tra đúng/sai:
• Mệnh đề $\forall$ đúng: phải đúng với mọi $x$. Muốn chứng minh sai, chỉ cần tìm một phản ví dụ.
• Mệnh đề $\exists$ đúng: chỉ cần tìm một $x$ thoả mãn. Muốn chứng minh sai, phải chỉ ra không có $x$ nào thoả mãn.

▸ Phủ định mệnh đề chứa ∀, ∃

Mệnh đề gốcMệnh đề phủ định
$\forall x \in X,\ P(x)$$\exists x \in X,\ \overline{P(x)}$
$\exists x \in X,\ P(x)$$\forall x \in X,\ \overline{P(x)}$
$\forall$ ⟷ $\exists$ và $P(x)$ → $\overline{P(x)}$

Quy tắc 2 bước: đổi $\forall \leftrightarrow \exists$ và phủ định tính chất bên trong.

Ví dụ 7 — Phủ định mệnh đề chứa ∃

Cho $P:\ "\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 + 1 = 0"$. Phủ định và xét đúng/sai.

Bước 1: Đổi $\exists \to \forall$.
Bước 2: Phủ định "$=$" thành "$\neq$".
⟶$\overline{P}:\ \forall x \in \mathbb{R},\ x^2 + 1 \neq 0$
Vì $x^2 \geq 0$ nên $x^2 + 1 \geq 1 > 0$, suy ra $x^2 + 1 \neq 0$ với mọi $x$.
⟹$\overline{P}$ ĐÚNG ⟹ $P$ SAI.
Ví dụ 8 — Phủ định mệnh đề chứa ∀

Cho $Q:\ "\forall n \in \mathbb{N},\ n + 1 > n"$. Phủ định.

Đổi $\forall \to \exists$ và phủ định "$>$" thành "$\leq$".
⟶$\overline{Q}:\ \exists n \in \mathbb{N},\ n + 1 \leq n$
6
Tổng kết
▼
✅Tổng kết Bài 1:
• Mệnh đề = câu khẳng định có giá trị Đ hoặc S.
• $\overline{P}$ trái ngược $P$.
• $P \Rightarrow Q$ chỉ sai khi $P$ Đ, $Q$ S.
• $P \Leftrightarrow Q$ đúng khi cả hai chiều đúng.
• Phủ định $\forall \leftrightarrow \exists$ kèm phủ định tính chất.
📚 Xem thêm bài viết chi tiết
Mệnh đề — lý thuyết, phương pháp giải các dạng bài tập →
1
—
Điểm: 0/25
📜

Luyện tập Mệnh đề nào!

25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó

💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh

Lý thuyết, Bài tập Bài 27: Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển ( 08/05 )

Bài tập Toán 10 Bài 26: Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất (25 bài tập) ( 08/05 )

Bài tập Toán 10 Bài 25: Nhị thức Newton (25 bài tập) ( 08/05 )

Bài tập Toán 10 Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp (25 bài tập) ( 08/05 )

Bài tập Toán 10 Bài 23: Quy tắc đếm (25 bài tập) ( 08/05 )