Các Số Đặc Trưng Đo Độ Phân Tán
Khoảng biến thiên · Khoảng tứ phân vị · Phương sai · Độ lệch chuẩn
Điểm kiểm tra môn Toán của hai tổ:
Để khắc phục hạn chế của khoảng biến thiên, ta dùng khoảng tứ phân vị — tập trung vào $50\%$ số liệu chính giữa.
Số ghế trống tại một rạp chiếu phim trong $9$ ngày:
$22;\ 20;\ 15;\ 18;\ 19;\ 13;\ 7;\ 8;\ 11$.
Để dùng thông tin của TẤT CẢ các giá trị, ta dùng phương sai và độ lệch chuẩn.
$s^2 = \dfrac{(x_1 - \bar{x})^2 + (x_2 - \bar{x})^2 + \ldots + (x_n - \bar{x})^2}{n}$
Quy trình tính phương sai — 4 bước
Tính $\bar{x}$
Tính độ lệch
$x_i - \bar{x}$
Bình phương
độ lệch
$s^2 = \dfrac{\text{tổng}}{n}$
Sĩ số $5$ lớp khối $10$: $43;\ 45;\ 46;\ 41;\ 40$. Tính phương sai và độ lệch chuẩn.
| $x_i$ | $x_i - \bar{x}$ | $(x_i - \bar{x})^2$ |
|---|---|---|
| $43$ | $0$ | $0$ |
| $45$ | $2$ | $4$ |
| $46$ | $3$ | $9$ |
| $41$ | $-2$ | $4$ |
| $40$ | $-3$ | $9$ |
| Tổng | — | $26$ |
Khi biến đổi mẫu số liệu $x_1, x_2, \ldots, x_n$, các số đo độ phân tán $R, \Delta_Q, s$ có tính chất:
Giải thích vì sao
Mẫu ban đầu có $R = 6$, $\Delta_Q = 3$, $s = 2$. Mẫu mới được tạo bằng cách:
Trong mẫu số liệu, đôi khi có những giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ so với đa số (có thể do nhầm lẫn hoặc sai sót). Đây là giá trị bất thường.
Biểu đồ hộp & Ngưỡng giá trị bất thường
Quy trình phát hiện — 4 bước
Tìm $Q_1, Q_3$
$\Delta_Q = Q_3 - Q_1$
Tính 2 ngưỡng
So sánh từng
giá trị
Hàm lượng Natri (mg) trong $20$ loại ngũ cốc, sau khi sắp xếp đã có $Q_1 = 135$ và $Q_3 = 205$.
Khi một giá trị lặp lại nhiều lần, số liệu thường được cho dưới dạng bảng tần số: các giá trị $x_1, x_2, \ldots, x_k$ với tần số tương ứng $m_1, m_2, \ldots, m_k$. Khi đó các công thức được viết lại theo dạng có trọng số (nhân với tần số).
$s^2 = \dfrac{\sum m_i x_i^2}{n} - \bar{x}^2$
Quy trình tính — 4 bước
$n = \sum m_i$
và $\bar{x}$
Độ lệch
$x_i - \bar{x}$
$m_i(x_i - \bar{x})^2$
$s^2 = \dfrac{\text{tổng}}{n}$, $s = \sqrt{s^2}$
Cho bảng tần số với các giá trị $10;\ 20;\ 30$ và tần số $2;\ 1;\ 2$. Tính $\bar{x}$, $s^2$, $s$.
| $x_i$ | $m_i$ | $x_i - \bar{x}$ | $(x_i - \bar{x})^2$ | $m_i(x_i - \bar{x})^2$ |
|---|---|---|---|---|
| $10$ | $2$ | $-10$ | $100$ | $200$ |
| $20$ | $1$ | $0$ | $0$ | $0$ |
| $30$ | $2$ | $10$ | $100$ | $200$ |
| Tổng | $5$ | — | — | $400$ |
Bảng so sánh các số đặc trưng đo độ phân tán
| Số đặc trưng | Công thức | Đặc điểm |
|---|---|---|
| Khoảng biến thiên $R$ | $x_{\max} - x_{\min}$ | Đơn giản; chỉ dùng $2$ giá trị cực trị; dễ bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường |
| Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$ | $Q_3 - Q_1$ | Dùng $50\%$ số liệu chính giữa; ít bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường |
| Phương sai $s^2$ | $\dfrac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}$ | Dùng tất cả giá trị; đo TB bình phương các độ lệch |
| Độ lệch chuẩn $s$ | $\sqrt{s^2}$ | Cùng đơn vị với dữ liệu; thường dùng nhất |
• Khoảng biến thiên: $R = x_{\max} - x_{\min}$.
• Khoảng tứ phân vị: $\Delta_Q = Q_3 - Q_1$.
• Phương sai: $s^2 = \dfrac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}$. Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt{s^2}$.
• Tính chất biến đổi: nhân $k > 0$ → tất cả nhân $k$; cộng $c$ → không đổi.
• Phát hiện bất thường: $x > Q_3 + 1{,}5\Delta_Q$ hoặc $x < Q_1 - 1{,}5\Delta_Q$.
• Tất cả số đo độ phân tán đều $\geq 0$.
Các số đặc trưng đo độ phân tán — lý thuyết & các dạng bài tập →
Luyện tập Số đặc trưng đo độ phân tán!
25 câu · 6 dạng từ dễ đến khó
Tuyệt vời!
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh