Menu Học Tập

Bài tập Toán 10 Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai (25 bài tập)

Lớp 10 · Toán Bài 17

Dấu Của Tam Thức Bậc Hai

Định lí về dấu · Bảng xét dấu · Bất phương trình bậc hai · Tham số $m$

1
Khái niệm tam thức bậc hai
▼
Định nghĩa
Tam thức bậc hai (đối với $x$) là biểu thức có dạng:
$f(x) = ax^2 + bx + c$
trong đó $a$, $b$, $c$ là các số thực cho trước, với $a \ne 0$; được gọi là các hệ số của tam thức.
⚠️Phân biệt với phương trình:
• Tam thức bậc hai là một biểu thức $f(x) = ax^2 + bx + c$.
• Phương trình bậc hai là $ax^2 + bx + c = 0$.
Nghiệm của phương trình bậc hai cũng được gọi là nghiệm của tam thức.

Biệt thức

$\Delta = b^2 - 4ac$

(Khi $b = 2b'$ chẵn, có thể dùng biệt thức thu gọn $\Delta' = b'^2 - ac$)

Ví dụ — Nhận biết tam thức bậc hai

Là tam thức bậc hai:

✓$0{,}5x^2$ — với $a = 0{,}5$, $b = 0$, $c = 0$.
✓$1 - x^2$ — với $a = -1$, $b = 0$, $c = 1$.
✓$x^2 + x + 1$ — với $a = 1$, $b = 1$, $c = 1$.
✓$(1 - x)(2x + 1) = -2x^2 + x + 1$ — sau khai triển.

KHÔNG phải tam thức bậc hai:

✗$3x + 2\sqrt{x} + 1$ — chứa $\sqrt{x}$, không có dạng $ax^2 + bx + c$.
✗$-5x^4 + 3x^2 + 4$ — chứa $x^4$ (bậc bốn).
✗$\dfrac{1}{x^2} + \dfrac{2}{x} + 3$ — biến là $\dfrac{1}{x}$, không phải $x$.
2
Định lí về dấu của tam thức bậc hai
▼

Dấu của tam thức $f(x) = ax^2 + bx + c$ phụ thuộc dấu của hệ số $a$ và dấu của biệt thức $\Delta$. Cụ thể có 3 trường hợp:

TH1 $\Delta < 0$ — Phương trình $f(x) = 0$ vô nghiệm
$f(x)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
• $a > 0$ → $f(x) > 0$ với mọi $x$.
• $a < 0$ → $f(x) < 0$ với mọi $x$.
TH2 $\Delta = 0$ — Phương trình có nghiệm kép $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$
$f(x)$ cùng dấu với $a$ với mọi $x \ne x_0$, và $f(x_0) = 0$.
• $a > 0$ → $f(x) > 0$ với mọi $x \ne x_0$.
• $a < 0$ → $f(x) < 0$ với mọi $x \ne x_0$.
TH3 $\Delta > 0$ — Phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_1 < x_2$
Công thức nghiệm:
$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
Hai nghiệm cụ thể (lấy $x_1$ là nghiệm nhỏ hơn, $x_2$ là nghiệm lớn hơn):
• Khi $a > 0$: $x_1 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$, $x_2 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$
• Khi $a < 0$: $x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$, $x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$
(Vì khi $a < 0$, mẫu âm làm đảo thứ tự — luôn so sánh hai nghiệm để xác định nghiệm nào nhỏ hơn.)
Dấu của $f(x)$ — quy tắc "Trong trái, ngoài cùng":
• $f(x)$ cùng dấu $a$ khi $x \in (-\infty;\ x_1) \cup (x_2;\ +\infty)$
(NGOÀI khoảng hai nghiệm).
• $f(x)$ trái dấu $a$ khi $x \in (x_1;\ x_2)$
(TRONG khoảng hai nghiệm).
💡Mẹo lấy $x_1$ và $x_2$:
① Tính cả hai nghiệm bằng công thức $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.
② So sánh giá trị hai nghiệm vừa tính → nghiệm nhỏ hơn ghi là $x_1$, nghiệm lớn hơn ghi là $x_2$.
③ Đừng máy móc gán $x_1$ cho dấu $-$ và $x_2$ cho dấu $+$ — điều này chỉ đúng khi $a > 0$. Cách an toàn: luôn so sánh hai số rồi mới đặt tên.
⭐ Quy tắc nhớ
"TRONG trái, NGOÀI cùng"
(Khi $\Delta > 0$): trong khoảng 2 nghiệm thì $f(x)$ trái dấu $a$; ngoài khoảng 2 nghiệm thì $f(x)$ cùng dấu $a$.
Đồ thị minh hoạ 3 trường hợp dấu của tam thức bậc hai theo dấu Δ
Hình 1: Mối liên hệ giữa đồ thị parabol và dấu của tam thức $f(x)$ — 3 trường hợp $\Delta$
💡Mẹo trực quan: $f(x) > 0$ nghĩa là đồ thị nằm TRÊN trục $Ox$; $f(x) < 0$ nghĩa là đồ thị nằm DƯỚI trục $Ox$; $f(x) = 0$ nghĩa là đồ thị chạm trục $Ox$.
3
Cách lập bảng xét dấu — Ví dụ chi tiết
▼

Quy trình xét dấu tam thức bậc hai

Bước 1 — Xác định $a$, $b$, $c$ và tính $\Delta$
$\Delta = b^2 - 4ac$ (hoặc $\Delta'$ nếu $b$ chẵn).
Bước 2 — Xét dấu $\Delta$, xác định nghiệm
• $\Delta < 0$: vô nghiệm — $f(x)$ cùng dấu $a$ với mọi $x$.
• $\Delta = 0$: nghiệm kép $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$.
• $\Delta > 0$: hai nghiệm phân biệt $x_1 < x_2$.
Bước 3 — Lập bảng xét dấu (khi có nghiệm)
Áp dụng quy tắc "trong trái, ngoài cùng" so với hệ số $a$. Đặt số $0$ tại các nghiệm.
Ví dụ 1 — Trường hợp $\Delta < 0$

Xét dấu tam thức $f(x) = x^2 + x + 1$.

→$a = 1 > 0$, $\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$.
→Vì $\Delta < 0$ → $f(x)$ cùng dấu $a$.
⟹$f(x) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Ví dụ 2 — Trường hợp $\Delta = 0$

Xét dấu tam thức $f(x) = -\dfrac{3}{2}x^2 + 9x - \dfrac{27}{2}$.

→$a = -\dfrac{3}{2} < 0$.
→$\Delta = 9^2 - 4 \cdot \left(-\dfrac{3}{2}\right) \cdot \left(-\dfrac{27}{2}\right) = 81 - 81 = 0$.
→Nghiệm kép: $x_0 = -\dfrac{9}{2 \cdot (-\frac{3}{2})} = 3$.
⟹$f(x) < 0$ với mọi $x \ne 3$, $f(3) = 0$.
Ví dụ 3 — Trường hợp $\Delta > 0$ (lập bảng)

Xét dấu tam thức $f(x) = 2x^2 + 6x - 8$.

①$a = 2 > 0$, $b = 6$, $c = -8$.
②$\Delta' = 3^2 - 2 \cdot (-8) = 9 + 16 = 25 > 0$.
③Tính 2 nghiệm bằng công thức $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$:
$\Delta = 100$, $\sqrt{\Delta} = 10$.
$x = \dfrac{-6 \pm 10}{2 \cdot 2} = \dfrac{-6 \pm 10}{4}$.
Nghiệm 1: $\dfrac{-6 - 10}{4} = -4$.   Nghiệm 2: $\dfrac{-6 + 10}{4} = 1$.
So sánh: $-4 < 1$ → đặt $x_1 = -4$, $x_2 = 1$.
④$a > 0$ + "trong trái, ngoài cùng" → trong là dấu $-$, ngoài là dấu $+$.

Bảng xét dấu:

$x$ $-\infty$ $-4$ $1$ $+\infty$
$f(x)$ $+$ $0$ $-$ $0$ $+$
⟹$f(x) > 0$ khi $x \in (-\infty;\ -4) \cup (1;\ +\infty)$.
⟹$f(x) < 0$ khi $x \in (-4;\ 1)$.
⟹$f(x) = 0$ khi $x = -4$ hoặc $x = 1$.
4
Bất phương trình bậc hai
▼
Định nghĩa
Bất phương trình bậc hai ẩn $x$ là bất phương trình có dạng:
$ax^2 + bx + c > 0$  (hoặc $\geq, <, \leq$)
trong đó $a \ne 0$. Số $x_0$ là nghiệm nếu thay vào bất đẳng thức được kết quả đúng.

Cách giải bất phương trình bậc hai

Để giải bất phương trình bậc hai, ta xét dấu tam thức $ax^2 + bx + c$, từ bảng xét dấu suy ra tập nghiệm.

Quy tắc đọc tập nghiệm từ bảng xét dấu
• $f(x) > 0$ → chọn các khoảng có dấu $+$.
• $f(x) \geq 0$ → chọn các khoảng có dấu $+$, KỂ CẢ các điểm $f = 0$ (dùng ngoặc vuông).
• $f(x) < 0$ → chọn các khoảng có dấu $-$.
• $f(x) \leq 0$ → chọn các khoảng có dấu $-$, KỂ CẢ các điểm $f = 0$.
⚠️Phân biệt dấu ngoặc:
• Dấu $\leq$ hoặc $\geq$: dùng ngoặc vuông $[$ hoặc $]$ tại nghiệm (nghiệm thuộc tập nghiệm).
• Dấu $<$ hoặc $>$: dùng ngoặc tròn $($ hoặc $)$ tại nghiệm (nghiệm KHÔNG thuộc tập nghiệm).
Ví dụ 4 — Bất phương trình vô nghiệm

Giải $3x^2 + x + 5 \leq 0$.

→$a = 3 > 0$, $\Delta = 1 - 60 = -59 < 0$.
→Vì $\Delta < 0$, $a > 0$ → $f(x) > 0$ với mọi $x$.
→Bất phương trình $f(x) \leq 0$ không có nghiệm nào thoả.
⟹Tập nghiệm: $S = \varnothing$ (vô nghiệm).
Ví dụ 5 — Bất phương trình có nghiệm là khoảng

Giải bất phương trình $-x^2 + 2x + 1 > 0$.

Bước 1 — Xác định hệ số và tính biệt thức:

→Đặt $f(x) = -x^2 + 2x + 1$. Các hệ số: $a = -1$, $b = 2$, $c = 1$. Nhận thấy $a = -1 < 0$.
→Vì $b = 2$ là số chẵn, ta dùng biệt thức thu gọn $\Delta'$ cho gọn. Đặt $b' = \dfrac{b}{2} = 1$.
→$\Delta' = (b')^2 - ac = 1^2 - (-1) \cdot 1 = 1 + 1 = 2 > 0$.
→$\Delta' > 0$ → tam thức có 2 nghiệm phân biệt.

Bước 2 — Tính hai nghiệm bằng công thức nghiệm thu gọn:

→Công thức: $x = \dfrac{-b' \pm \sqrt{\Delta'}}{a}$.
→Thay $b' = 1$, $\sqrt{\Delta'} = \sqrt{2}$, $a = -1$: $\quad x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{2}}{-1}$.
Nghiệm 1: $\dfrac{-1 - \sqrt{2}}{-1} = 1 + \sqrt{2}$ (tử và mẫu đều âm → kết quả dương).
Nghiệm 2: $\dfrac{-1 + \sqrt{2}}{-1} = 1 - \sqrt{2}$ (đổi dấu tử số khi chia cho $-1$).
→So sánh: vì $\sqrt{2} > 0$ nên $1 - \sqrt{2} < 1 + \sqrt{2}$. Đặt $x_1 = 1 - \sqrt{2}$, $x_2 = 1 + \sqrt{2}$.

Bước 3 — Lập bảng xét dấu:

→$a < 0$ → áp dụng "trong trái, ngoài cùng": ngoài khoảng 2 nghiệm là dấu $-$, trong khoảng là dấu $+$.
$x$ $-\infty$ $1 - \sqrt{2}$ $1 + \sqrt{2}$ $+\infty$
$f(x)$ $-$ $0$ $+$ $0$ $-$

Bước 4 — Đọc tập nghiệm:

→Bất phương trình yêu cầu $f(x) > 0$ → chọn khoảng có dấu $+$ (giữa hai nghiệm).
→Dấu $>$ (chặt) → không kể hai nghiệm (dùng ngoặc tròn).
⟹Tập nghiệm: $S = \left(1 - \sqrt{2};\ 1 + \sqrt{2}\right)$.
5
Phương pháp giải các dạng toán
▼

Dạng 1 — Xét dấu tam thức bậc hai

1
Xác định $a$, $b$, $c$. Tính $\Delta = b^2 - 4ac$.
2
Xét dấu $\Delta$ → kết luận theo định lí (3 trường hợp).
3
Khi $\Delta > 0$: tìm 2 nghiệm, lập bảng xét dấu theo "trong trái, ngoài cùng".

Dạng 2 — Giải bất phương trình bậc hai

1
Đưa BPT về dạng chuẩn $ax^2 + bx + c \, \square \, 0$ (với $\square$ là $>, \geq, <, \leq$).
2
Xét dấu tam thức $f(x) = ax^2 + bx + c$ (như Dạng 1).
3
Đọc tập nghiệm từ bảng xét dấu, chú ý dấu ngoặc tròn/vuông.

Dạng 3 — Tham số $m$ để tam thức luôn dương/âm

Điều kiện kép — phải có CẢ HAI
• $f(x) > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ ⟺ $\begin{cases} a > 0 \\ \Delta < 0 \end{cases}$
• $f(x) < 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ ⟺ $\begin{cases} a < 0 \\ \Delta < 0 \end{cases}$
⚠️Lưu ý quan trọng: Phải kiểm tra CẢ HAI điều kiện $a$ và $\Delta$. Nếu $a$ phụ thuộc tham số $m$ (ví dụ $a = m$), phải xét dấu $a$ theo $m$ trước khi kết luận.

Dạng 4 — Bài toán thực tế

1
Lập biểu thức bậc hai từ dữ kiện đề bài.
2
Chuyển yêu cầu thành bất phương trình bậc hai.
3
Giải BPT bằng cách xét dấu tam thức.
4
Kết hợp điều kiện thực tế (ví dụ $t \geq 0$, $0 \leq x \leq 4$,...) để chọn nghiệm phù hợp.
⚠️Sai lầm thường gặp:
• Khi $\Delta > 0$, nhầm dấu trong/ngoài khoảng 2 nghiệm.
• Khi $\Delta < 0$, kết luận luôn $f(x) > 0$ mà quên xét dấu $a$.
• Quên phân biệt dấu ngoặc tròn $($ và vuông $[$.
• Khi tìm $m$, chỉ xét $\Delta < 0$ mà quên kiểm tra dấu $a$.
• Quên kết hợp điều kiện thực tế trong bài toán ứng dụng.
6
Tổng kết
▼

Bảng tóm tắt định lí về dấu tam thức bậc hai

Dấu $\Delta$Dấu của $f(x)$
$\Delta < 0$ $f(x)$ cùng dấu với $a$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
$\Delta = 0$ $f(x)$ cùng dấu với $a$ với mọi $x \ne -\dfrac{b}{2a}$;
$f\left(-\dfrac{b}{2a}\right) = 0$.
$\Delta > 0$
(2 nghiệm $x_1 < x_2$)		 "Trong trái, ngoài cùng":
• Cùng dấu $a$ khi $x < x_1$ hoặc $x > x_2$.
• Trái dấu $a$ khi $x_1 < x < x_2$.
✓Tóm tắt Bài 17:
• Tam thức bậc hai: $f(x) = ax^2 + bx + c$ ($a \ne 0$), $\Delta = b^2 - 4ac$.
• Định lí dấu: phụ thuộc dấu $a$ và $\Delta$ — nhớ "Trong trái, ngoài cùng" khi $\Delta > 0$.
• Giải BPT bậc hai: xét dấu tam thức → đọc tập nghiệm.
• Tham số $m$ để $f(x) > 0$ mọi $x$: $a > 0$ VÀ $\Delta < 0$ (cả hai điều kiện).
• Tham số $m$ để $f(x) < 0$ mọi $x$: $a < 0$ VÀ $\Delta < 0$.
• Bài toán thực tế: luôn nhớ kết hợp điều kiện thực tế khi kết luận.
📚 Xem thêm bài viết chi tiết
Dấu của tam thức bậc hai — lý thuyết, các dạng bài tập →
1
—
Điểm: 0/25
🔢

Luyện tập về Dấu của tam thức bậc hai!

25 câu · 4 dạng từ dễ đến khó

💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh

Lý thuyết, Bài tập Bài 27: Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển ( 08/05 )

Bài tập Toán 10 Bài 26: Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất (25 bài tập) ( 08/05 )

Bài tập Toán 10 Bài 25: Nhị thức Newton (25 bài tập) ( 08/05 )

Bài tập Toán 10 Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp (25 bài tập) ( 08/05 )

Bài tập Toán 10 Bài 23: Quy tắc đếm (25 bài tập) ( 08/05 )