Lớp 10 · Toán
Bài 2
Tập Hợp & Các Phép Toán
Tập hợp · Tập con · Khoảng - Đoạn · Giao - Hợp - Hiệu - Phần bù
1
Tập hợp & cách viết
▼
📌 Tập hợp là gì?
Tập hợp là một nhóm các đối tượng có chung đặc điểm nào đó.
Mỗi đối tượng trong nhóm gọi là một phần tử.
Tập hợp thường kí hiệu bằng chữ in hoa: $A$, $B$, $S$, $T$,...
Mỗi đối tượng trong nhóm gọi là một phần tử.
Tập hợp thường kí hiệu bằng chữ in hoa: $A$, $B$, $S$, $T$,...
🔵 Hai cách mô tả tập hợp:
Cách 1 — Liệt kê phần tử
$A = \{1;\ 3;\ 5;\ 7\}$
Viết tất cả phần tử trong ngoặc nhọn $\{\ \}$, phân cách bằng dấu chấm phẩy.
Cách 2 — Tính chất đặc trưng
$A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ lẻ},\ x < 8\}$
Nêu điều kiện mà phần tử phải thoả mãn (sau dấu "$\mid$" hoặc "$:$").
Kí hiệu quan trọng
$a \in S$ — phần tử $a$ thuộc $S$
$a \notin S$ — phần tử $a$ không thuộc $S$
$n(S)$ — số phần tử của tập $S$
$a \notin S$ — phần tử $a$ không thuộc $S$
$n(S)$ — số phần tử của tập $S$
Ví dụ 1 — Liệt kê phần tử
Cho $D = \{n \in \mathbb{N} \mid n$ là số nguyên tố, $5 < n < 20\}$.
Viết $D$ bằng cách liệt kê và xét: $5, 12, 17, 18$ phần tử nào thuộc $D$?
Liệt kê các số nguyên tố từ 5 đến 20: $7, 11, 13, 17, 19$.
⟶$D = \{7;\ 11;\ 13;\ 17;\ 19\}$, $n(D) = 5$.
⟶$5 \notin D$ (vì $5$ không thoả $5 < n$); $12 \notin D$ (không nguyên tố); $17 \in D$; $18 \notin D$.
📌 Tập rỗng
Tập hợp không chứa phần tử nào được gọi là tập rỗng, kí hiệu $\varnothing$.
Ví dụ 2 — Nhận biết tập rỗng
Tập nghiệm thực của phương trình $x^2 + 1 = 0$ là tập rỗng vì $x^2 + 1 \geq 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$ → không có nghiệm.
💡Mẹo: Khi đề bài cho tập dạng tính chất đặc trưng, nên liệt kê hết phần tử trước rồi mới làm phép toán. Việc này giúp tránh sót phần tử và phát hiện tập rỗng kịp thời.
2
Tập hợp con & Hai tập bằng nhau
▼
📌 Tập hợp con
$T$ là tập con của $S$ nếu mọi phần tử của $T$ đều thuộc $S$.
Kí hiệu: $T \subset S$ (đọc: "$T$ là tập con của $S$")
Phủ định: $T \not\subset S$ (đọc: "$T$ không là tập con của $S$").
Kí hiệu: $T \subset S$ (đọc: "$T$ là tập con của $S$")
Phủ định: $T \not\subset S$ (đọc: "$T$ không là tập con của $S$").
🔵 Biểu đồ Ven minh hoạ $T \subset S$:
Quy ước quan trọng
$\varnothing \subset S$ với mọi tập hợp $S$
(Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.)
Ví dụ 3 — Xét tập con
Cho $S = \{2;\ 3;\ 5\}$. Tập nào sau đây là tập con của $S$?
$S_1 = \{3\}$, $S_2 = \{0;\ 2\}$, $S_3 = \{3;\ 5\}$
•$S_1 = \{3\}$: $3 \in S$ ✓ → $S_1 \subset S$.
•$S_2 = \{0;\ 2\}$: $0 \notin S$ ✗ → $S_2 \not\subset S$.
•$S_3 = \{3;\ 5\}$: $3, 5 \in S$ ✓ → $S_3 \subset S$.
📌 Hai tập hợp bằng nhau
$S = T$ khi và chỉ khi $S$ và $T$ có cùng các phần tử.
Tương đương với: $S \subset T$ và $T \subset S$.
Tương đương với: $S \subset T$ và $T \subset S$.
Ví dụ 4 — Hai tập bằng nhau
$C = \{n \in \mathbb{N} \mid n$ là bội chung của 2 và 3, $n < 30\}$
$D = \{n \in \mathbb{N} \mid n$ là bội của 6, $n < 30\}$
Bội chung của 2 và 3 chính là bội của BCNN(2,3) = 6.
⟶$C = \{0;\ 6;\ 12;\ 18;\ 24\} = D$.
⟹$C = D$.
⚠️Sai lầm thường gặp:
• SAI: $\{3\} \in \{2;\ 3;\ 5\}$
• ĐÚNG: $3 \in \{2;\ 3;\ 5\}$ (phần tử) hoặc $\{3\} \subset \{2;\ 3;\ 5\}$ (tập con).
$\{3\}$ là một tập hợp, phải dùng $\subset$, không dùng $\in$.
• SAI: $\{3\} \in \{2;\ 3;\ 5\}$
• ĐÚNG: $3 \in \{2;\ 3;\ 5\}$ (phần tử) hoặc $\{3\} \subset \{2;\ 3;\ 5\}$ (tập con).
$\{3\}$ là một tập hợp, phải dùng $\subset$, không dùng $\in$.
3
Tập hợp số & Khoảng - Đoạn - Nửa khoảng
▼
🔵 Bốn tập hợp số cơ bản:
| Tên | Kí hiệu | Phần tử |
|---|---|---|
| Số tự nhiên | $\mathbb{N}$ | $0;\ 1;\ 2;\ 3;\ 4;\ ...$ |
| Số nguyên | $\mathbb{Z}$ | $...;\ -2;\ -1;\ 0;\ 1;\ 2;\ ...$ |
| Số hữu tỉ | $\mathbb{Q}$ | Số viết được dạng $\dfrac{a}{b}$ ($a, b \in \mathbb{Z}, b \ne 0$) |
| Số thực | $\mathbb{R}$ | Hữu tỉ + vô tỉ ($\sqrt{2}, \pi,...$) |
Quan hệ bao hàm
$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$
Ví dụ 5 — Phần tử thuộc tập số nào
a)$3{,}274 \in \mathbb{Q}$ → ĐÚNG (số thập phân hữu hạn = phân số $\dfrac{3274}{1000}$).
b)$\sqrt{2} \in \mathbb{R}$ → ĐÚNG ($\sqrt{2}$ là số vô tỉ, vô tỉ thuộc $\mathbb{R}$).
c)$\dfrac{3}{4} \in \mathbb{Z}$ → SAI vì $\dfrac{3}{4} = 0{,}75$ không là số nguyên.
▸ Khoảng, đoạn, nửa khoảng (tập con của ℝ)
| Loại | Kí hiệu | Tập hợp |
|---|---|---|
| Khoảng | $(a;\ b)$ | $a < x < b$ |
| Đoạn | $[a;\ b]$ | $a \leq x \leq b$ |
| Nửa khoảng | $[a;\ b)$ | $a \leq x < b$ |
| Nửa khoảng | $(a;\ b]$ | $a < x \leq b$ |
| Khoảng vô hạn | $(a;\ +\infty)$ | $x > a$ |
| Khoảng vô hạn | $(-\infty;\ b)$ | $x < b$ |
| Nửa đường thẳng | $[a;\ +\infty)$ | $x \geq a$ |
| Nửa đường thẳng | $(-\infty;\ b]$ | $x \leq b$ |
📍 Quy tắc đầu mút
• Ngoặc vuông $[\ ]$: đầu mút đặc (lấy giá trị đó).
• Ngoặc tròn $(\ )$: đầu mút hở (không lấy giá trị đó).
• Với $+\infty$ và $-\infty$: luôn dùng ngoặc tròn (vô cực không phải số thực).
• Ngoặc tròn $(\ )$: đầu mút hở (không lấy giá trị đó).
• Với $+\infty$ và $-\infty$: luôn dùng ngoặc tròn (vô cực không phải số thực).
Ví dụ 6 — Viết dạng khoảng/đoạn
•$\{x \in \mathbb{R} \mid 2 \leq x \leq 7\} = [2;\ 7]$ (đoạn — hai đầu đặc).
•$\{x \in \mathbb{R} \mid x < 2\} = (-\infty;\ 2)$ (đầu phải hở vì $x < 2$).
•$\{x \in \mathbb{R} \mid x \geq -3\} = [-3;\ +\infty)$ (đầu trái đặc vì $x \geq -3$).
4
Giao & Hợp của hai tập hợp
▼
📌 Giao của hai tập hợp
Giao $S \cap T$ là tập gồm các phần tử thuộc đồng thời cả $S$ và $T$ (phần chung).
$S \cap T = \{x \mid x \in S \text{ và } x \in T\}$
Ví dụ 7 — Giao trên tập hữu hạn
$C = \{4;\ 7;\ 27\}$, $D = \{2;\ 4;\ 9;\ 27;\ 36\}$.
Tìm phần tử có ở cả 2 tập: $4$ ✓; $7$ chỉ ở $C$; $27$ ✓.
⟹$C \cap D = \{4;\ 27\}$.
Ví dụ 8 — Giao trên khoảng
$E = [1;\ +\infty)$, $F = (-\infty;\ 3]$.
$E$: các số thực $\geq 1$. $F$: các số thực $\leq 3$.
Phần chung: vừa $\geq 1$ vừa $\leq 3$ → $1 \leq x \leq 3$.
⟹$E \cap F = [1;\ 3]$.
📌 Hợp của hai tập hợp
Hợp $S \cup T$ là tập gồm các phần tử thuộc $S$ HOẶC thuộc $T$ (gộp lại, không lặp).
$S \cup T = \{x \mid x \in S \text{ hoặc } x \in T\}$
Ví dụ 9 — Hợp trên khoảng
$E = (-1;\ 2]$, $F = [0;\ 3]$.
$E$: từ $-1$ (hở) đến $2$ (đặc). $F$: từ $0$ (đặc) đến $3$ (đặc).
Hai khoảng chồng nhau từ $0$ đến $2$ → gộp lại được dải liên tục.
Đầu trái: $\min(-1; 0) = -1$, hở (vì $E$ hở tại $-1$).
Đầu phải: $\max(2; 3) = 3$, đặc (vì $F$ đặc tại $3$).
⟹$E \cup F = (-1;\ 3]$.
⚡ Mẹo nhanh tính giao/hợp khoảng
Giao $\cap$: đầu trái lấy lớn hơn, đầu phải lấy nhỏ hơn.
Hợp $\cup$: đầu trái lấy nhỏ hơn, đầu phải lấy lớn hơn.
Đặc/hở:
• Giao: đặc chỉ khi cả hai tập đều đặc tại đầu mút đó.
• Hợp: đặc nếu ít nhất một tập đặc tại đầu mút đó.
Hợp $\cup$: đầu trái lấy nhỏ hơn, đầu phải lấy lớn hơn.
Đặc/hở:
• Giao: đặc chỉ khi cả hai tập đều đặc tại đầu mút đó.
• Hợp: đặc nếu ít nhất một tập đặc tại đầu mút đó.
Công thức đếm phần tử
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
Trừ $n(A \cap B)$ vì phần tử chung đã được đếm 2 lần.
Ví dụ 10 — Bài toán đếm thực tế
Lớp 10A có 30 bạn thích Toán, 25 bạn thích Văn, trong đó 12 bạn thích cả hai môn. Hỏi tổng có bao nhiêu bạn thích ít nhất một trong hai môn?
Gọi $A$ = tập bạn thích Toán, $B$ = tập bạn thích Văn.
$n(A) = 30$, $n(B) = 25$, $n(A \cap B) = 12$.
⟶$n(A \cup B) = 30 + 25 - 12 = 43$.
⟹Có 43 bạn thích ít nhất một môn.
5
Hiệu & Phần bù
▼
📌 Hiệu của hai tập hợp
Hiệu $S \setminus T$ là tập gồm các phần tử thuộc $S$ nhưng KHÔNG thuộc $T$ (lấy $S$ rồi bỏ những phần tử nào có trong $T$).
$S \setminus T = \{x \mid x \in S \text{ và } x \notin T\}$
📌 Phần bù
Khi $T \subset S$, hiệu $S \setminus T$ còn gọi là phần bù của $T$ trong $S$, kí hiệu $C_S T$.
Lưu ý: $C_S S = \varnothing$ (bỏ hết $S$ khỏi $S$ thì rỗng).
Lưu ý: $C_S S = \varnothing$ (bỏ hết $S$ khỏi $S$ thì rỗng).
Ví dụ 11 — Hiệu của hai tập hợp
$D = \{-2;\ 3;\ 5;\ 6\}$, $E = \{2;\ 3;\ 5;\ 7\}$ (số nguyên tố $< 10$).
Tìm $D \setminus E$:
Lấy $D$ rồi bỏ phần tử nào có trong $E$:
•$-2 \notin E$ → giữ lại.
•$3 \in E$ → bỏ.
•$5 \in E$ → bỏ.
•$6 \notin E$ → giữ lại.
⟹$D \setminus E = \{-2;\ 6\}$.
Tương tự $E \setminus D$: giữ $\{2;\ 7\}$ (loại $3, 5$ vì có trong $D$).
⟹$E \setminus D = \{2;\ 7\}$.
Lưu ý: $D \setminus E \ne E \setminus D$ — hiệu KHÔNG có tính giao hoán.
Ví dụ 12 — Phần bù trên ℝ
a)$\mathbb{R} \setminus (-\infty;\ -2) = ?$
Bỏ các số $< -2$ khỏi $\mathbb{R}$ → còn lại các số $\geq -2$.
⟶$= [-2;\ +\infty)$.
b)$\mathbb{R} \setminus [-5;\ +\infty) = ?$
Bỏ các số $\geq -5$ khỏi $\mathbb{R}$ → còn lại các số $< -5$.
⟶$= (-\infty;\ -5)$.
⚡ Quy tắc lấy phần bù trong ℝ
Khi lấy phần bù trong $\mathbb{R}$, đầu mút đặc đổi thành hở và ngược lại.
Ví dụ: $\mathbb{R} \setminus [3;\ +\infty) = (-\infty;\ 3)$ (đặc $[3$ → hở $;3)$).
Ví dụ: $\mathbb{R} \setminus [3;\ +\infty) = (-\infty;\ 3)$ (đặc $[3$ → hở $;3)$).
6
Tổng kết
▼
✅Tổng kết Bài 2:
• Tập hợp mô tả bằng liệt kê hoặc tính chất đặc trưng.
• $T \subset S$: mọi phần tử của $T$ đều thuộc $S$.
• $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
• Giao $\cap$: phần chung. Hợp $\cup$: gộp lại. Hiệu $\setminus$: $A$ trừ $B$.
• $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.
• Khoảng/đoạn: $[\,]$ đặc, $(\,)$ hở, $\pm\infty$ luôn dùng $(\,)$.
📚
Xem thêm bài viết chi tiết• Tập hợp mô tả bằng liệt kê hoặc tính chất đặc trưng.
• $T \subset S$: mọi phần tử của $T$ đều thuộc $S$.
• $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
• Giao $\cap$: phần chung. Hợp $\cup$: gộp lại. Hiệu $\setminus$: $A$ trừ $B$.
• $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.
• Khoảng/đoạn: $[\,]$ đặc, $(\,)$ hở, $\pm\infty$ luôn dùng $(\,)$.
Tập hợp và các phép toán trên tập hợp — lý thuyết và bài tập →
1
—
Điểm: 0/25
🎯
Luyện tập Tập hợp nào!
25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh