Lớp 10 · Toán
Bài 21
Đường Tròn Trong Mặt Phẳng Tọa Độ
Phương trình đường tròn · Dạng chính tắc · Dạng khai triển · Tiếp tuyến
1
Phương trình đường tròn — Dạng chính tắc
▼
Định nghĩa đường tròn: Đường tròn tâm $I$, bán kính $R$ là tập hợp tất cả các điểm $M$ sao cho $IM = R$.
Định lí
Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$, điểm $M(x;\ y)$ nằm trên đường tròn $(C)$ tâm $I(a;\ b)$, bán kính $R$ khi và chỉ khi:
$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \quad (1)$
Phương trình $(1)$ được gọi là phương trình chính tắc của đường tròn $(C)$.
Hình 1: Đường tròn $(C)$ tâm $I(a;\ b)$, bán kính $R$ — điểm $M$ trên $(C)$ thoả $IM = R$
💡Cách đọc tâm và bán kính từ dạng chính tắc:
• Tâm: đổi dấu hai số trong ngoặc — $(x - a)^2$ → tâm $a$, $(y - b)^2$ → tâm $b$.
• Bán kính: $R = \sqrt{R^2}$ (số bên phải dấu $=$).
• Tâm: đổi dấu hai số trong ngoặc — $(x - a)^2$ → tâm $a$, $(y - b)^2$ → tâm $b$.
• Bán kính: $R = \sqrt{R^2}$ (số bên phải dấu $=$).
⚠️Cẩn thận với DẤU:
$(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 9$ phải hiểu là $(x - (-3))^2 + (y - 2)^2 = 3^2$.
→ Tâm $I(-3;\ 2)$ (KHÔNG phải $I(3;\ 2)$), bán kính $R = 3$.
$(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 9$ phải hiểu là $(x - (-3))^2 + (y - 2)^2 = 3^2$.
→ Tâm $I(-3;\ 2)$ (KHÔNG phải $I(3;\ 2)$), bán kính $R = 3$.
Ví dụ 1 — Tìm tâm và bán kính
Tìm tâm và bán kính của đường tròn $(C): (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16$.
→Viết lại: $(x - 2)^2 + (y - (-3))^2 = 4^2$.
→So với $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$: $a = 2$, $b = -3$, $R = 4$.
⟹Tâm $\mathbf{I(2;\ -3)}$, bán kính $\mathbf{R = 4}$.
Ví dụ 2 — Viết PT đường tròn khi biết tâm và bán kính
Viết phương trình đường tròn có tâm $J(2;\ -1)$ và bán kính $R = 8$.
→Áp dụng $(1)$ với $a = 2$, $b = -1$, $R = 8$:
→$(x - 2)^2 + (y - (-1))^2 = 8^2$
⟹$\mathbf{(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 64}$
2
Phương trình đường tròn — Dạng khai triển và cách nhận biết
▼
Khai triển dạng chính tắc $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, ta được:
Định lí
Phương trình đường tròn ở dạng khai triển (hay dạng tổng quát):
$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0 \quad (2)$
trong đó $c = a^2 + b^2 - R^2$.
Phương trình $(2)$ là phương trình của một đường tròn khi và chỉ khi $\boxed{a^2 + b^2 - c > 0}$. Khi đó:
• Tâm: $I(a;\ b)$
• Bán kính: $R = \sqrt{a^2 + b^2 - c}$
Phương trình $(2)$ là phương trình của một đường tròn khi và chỉ khi $\boxed{a^2 + b^2 - c > 0}$. Khi đó:
• Tâm: $I(a;\ b)$
• Bán kính: $R = \sqrt{a^2 + b^2 - c}$
So sánh hai dạng phương trình
Dạng chính tắc
$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$
Đọc tâm$I(a;\ b)$ — đổi dấu trong ngoặc
Đọc R$R = \sqrt{R^2}$ (vế phải)
Ưu điểmĐọc trực tiếp tâm, bán kính
Dạng khai triển
$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$
Đọc a, bHệ số của $x$ là $-2a$ → $a = -\dfrac{\text{hệ số } x}{2}$
Đọc R$R = \sqrt{a^2 + b^2 - c}$
Điều kiện$a^2 + b^2 - c > 0$
💡3 dấu hiệu nhận biết PT là đường tròn (dạng khai triển):
① Hệ số $x^2$ và $y^2$ bằng nhau (chia về cùng $1$).
② Không có số hạng $xy$.
③ Điều kiện $a^2 + b^2 - c > 0$.
① Hệ số $x^2$ và $y^2$ bằng nhau (chia về cùng $1$).
② Không có số hạng $xy$.
③ Điều kiện $a^2 + b^2 - c > 0$.
Ví dụ 3 — Đọc tâm, bán kính từ dạng khai triển
Tìm tâm và bán kính của đường tròn $x^2 + y^2 + 6x - 8y + 1 = 0$.
①Hệ số $x$: $-2a = 6 \Rightarrow a = -3$.
②Hệ số $y$: $-2b = -8 \Rightarrow b = 4$.
③Hệ số tự do: $c = 1$.
④Kiểm tra: $a^2 + b^2 - c = 9 + 16 - 1 = 24 > 0$ ✓
⑤Bán kính $R = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$.
⟹Tâm $\mathbf{I(-3;\ 4)}$, bán kính $\mathbf{R = 2\sqrt{6}}$.
Ví dụ 4 — Phân biệt PT có phải đường tròn không
Trong các phương trình sau, đâu KHÔNG phải là phương trình đường tròn?
a) $x^2 + y^2 + xy + 4x - 2 = 0$
b) $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 0$
c) $x^2 + y^2 + 6x - 8y + 1 = 0$
a)Có số hạng $xy$ → KHÔNG phải đường tròn.
b)$a = 1$, $b = 2$, $c = 5$. Kiểm tra: $a^2 + b^2 - c = 1 + 4 - 5 = 0$.
→ Tập hợp chỉ là 1 điểm $I(1;\ 2)$, KHÔNG phải đường tròn.
→ Tập hợp chỉ là 1 điểm $I(1;\ 2)$, KHÔNG phải đường tròn.
c)$a = -3$, $b = 4$, $c = 1$. $a^2 + b^2 - c = 24 > 0$ ✓
→ LÀ đường tròn, tâm $(-3;\ 4)$, $R = 2\sqrt{6}$.
→ LÀ đường tròn, tâm $(-3;\ 4)$, $R = 2\sqrt{6}$.
3
Cách viết phương trình đường tròn theo các dữ kiện
▼
Tuỳ theo dữ kiện đề bài, ta có 4 cách tiếp cận chính:
| Dữ kiện | Cách làm |
|---|---|
| Biết tâm $I(a;\ b)$ và bán kính $R$ | Viết trực tiếp: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ |
| Biết tâm $I$ và đi qua điểm $A$ | Tính $R = IA = \sqrt{(x_A - a)^2 + (y_A - b)^2}$, rồi viết PT. |
| Biết đường kính $AB$ | Tâm $I$ là trung điểm $AB$, $R = \dfrac{AB}{2}$. |
| Biết tâm $I$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$ | Bán kính $R = d(I,\ \Delta) = \dfrac{|a \cdot a_\Delta + b \cdot b_\Delta + c_\Delta|}{\sqrt{a_\Delta^2 + b_\Delta^2}}$ |
Ví dụ 5 — Biết tâm và bán kính (SGK 7.15a)
Viết PT đường tròn có tâm $I(-2;\ 5)$ và bán kính $R = 7$.
→Áp dụng trực tiếp: $(x - (-2))^2 + (y - 5)^2 = 7^2$
⟹$\mathbf{(x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 49}$
Ví dụ 6 — Biết tâm và đi qua một điểm (SGK 7.15b)
Viết PT đường tròn có tâm $I(1;\ -2)$ và đi qua điểm $A(-2;\ 2)$.
①Tính bán kính $R = IA$:
→$R = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
②Viết PT đường tròn với tâm $I(1;\ -2)$, $R = 5$:
⟹$\mathbf{(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25}$
Ví dụ 7 — Biết đường kính (SGK 7.15c)
Viết PT đường tròn có đường kính $AB$ với $A(-1;\ -3)$, $B(-3;\ 5)$.
①Tâm $I$ là trung điểm $AB$:
$I\left(\dfrac{-1 + (-3)}{2};\ \dfrac{-3 + 5}{2}\right) = I(-2;\ 1)$
$I\left(\dfrac{-1 + (-3)}{2};\ \dfrac{-3 + 5}{2}\right) = I(-2;\ 1)$
②Tính $AB$:
$AB = \sqrt{(-3 + 1)^2 + (5 + 3)^2} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68}$
$AB = \sqrt{(-3 + 1)^2 + (5 + 3)^2} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68}$
③Bán kính: $R = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{\sqrt{68}}{2} = \sqrt{17}$ (vì $R^2 = \dfrac{68}{4} = 17$).
⟹$\mathbf{(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 17}$
Ví dụ 8 — Biết tâm và tiếp xúc với đường thẳng (SGK 7.15d)
Viết PT đường tròn có tâm $I(1;\ 3)$ và tiếp xúc với $\Delta: x + 2y + 3 = 0$.
①Bán kính $R = d(I,\ \Delta)$:
→$R = \dfrac{|1 + 2 \cdot 3 + 3|}{\sqrt{1 + 4}} = \dfrac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5}$
②$R^2 = (2\sqrt{5})^2 = 20$.
⟹$\mathbf{(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 20}$
4
Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác
▼
Phương pháp
Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là đường tròn đi qua cả 3 đỉnh $A$, $B$, $C$. Tâm $I(x;\ y)$ cách đều ba đỉnh: $IA = IB = IC$.
Từ điều kiện $IA^2 = IB^2$ và $IB^2 = IC^2$, ta thu được hệ 2 phương trình bậc nhất (số hạng bậc hai triệt tiêu) → giải tìm $I$, sau đó tính $R = IA$.
Từ điều kiện $IA^2 = IB^2$ và $IB^2 = IC^2$, ta thu được hệ 2 phương trình bậc nhất (số hạng bậc hai triệt tiêu) → giải tìm $I$, sau đó tính $R = IA$.
💡Mẹo: Khi khai triển $IA^2 = IB^2$, các số hạng $x^2$ và $y^2$ ở hai vế triệt tiêu, chỉ còn lại phương trình bậc nhất theo $x, y$ — dễ giải hơn nhiều!
Quy trình 4 bước
Bước 1
Gọi $I(x;\ y)$
Lập $IA, IB, IC$
Gọi $I(x;\ y)$
Lập $IA, IB, IC$
→
Bước 2
$IA^2 = IB^2$
(PT bậc nhất)
$IA^2 = IB^2$
(PT bậc nhất)
→
Bước 3
$IB^2 = IC^2$
Giải hệ tìm $I$
$IB^2 = IC^2$
Giải hệ tìm $I$
→
Bước 4
$R = IA$
Viết PT
$R = IA$
Viết PT
Ví dụ 9 — Đường tròn ngoại tiếp tam giác (SGK 7.16)
Cho tam giác $ABC$ với $A(6;\ -2)$, $B(4;\ 2)$, $C(5;\ -5)$. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$.
①Gọi $I(x;\ y)$ là tâm. Ta có:
$IA^2 = (x - 6)^2 + (y + 2)^2$
$IB^2 = (x - 4)^2 + (y - 2)^2$
$IC^2 = (x - 5)^2 + (y + 5)^2$
$IA^2 = (x - 6)^2 + (y + 2)^2$
$IB^2 = (x - 4)^2 + (y - 2)^2$
$IC^2 = (x - 5)^2 + (y + 5)^2$
②Từ $IA^2 = IB^2$ — khai triển và rút gọn (các $x^2, y^2$ triệt tiêu):
$-12x + 4y + 40 = -8x - 4y + 20$
$\Leftrightarrow -4x + 8y + 20 = 0 \Leftrightarrow x = 2y + 5$ $(*)$
$-12x + 4y + 40 = -8x - 4y + 20$
$\Leftrightarrow -4x + 8y + 20 = 0 \Leftrightarrow x = 2y + 5$ $(*)$
③Từ $IB^2 = IC^2$ — tương tự:
$-8x - 4y + 20 = -10x + 10y + 50$
$\Leftrightarrow 2x - 14y - 30 = 0 \Leftrightarrow x = 7y + 15$ $(**)$
$-8x - 4y + 20 = -10x + 10y + 50$
$\Leftrightarrow 2x - 14y - 30 = 0 \Leftrightarrow x = 7y + 15$ $(**)$
④Từ $(*)$ và $(**)$: $2y + 5 = 7y + 15 \Rightarrow y = -2$, $x = 1$.
→ Tâm $I(1;\ -2)$.
→ Tâm $I(1;\ -2)$.
⑤Bán kính: $R = IA = \sqrt{(1 - 6)^2 + (-2 + 2)^2} = 5$.
⟹$\mathbf{(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 25}$
5
Phương trình tiếp tuyến và Bài toán quỹ đạo
▼
a) Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm
Định lí
Cho điểm $M(x_0;\ y_0)$ nằm trên đường tròn $(C): (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ tâm $I(a;\ b)$. Khi đó tiếp tuyến $\Delta$ của $(C)$ tại $M$ vuông góc với bán kính $IM$, nên nhận $\overrightarrow{MI} = (a - x_0;\ b - y_0)$ làm vectơ pháp tuyến.
Hình 2: Tiếp tuyến $\Delta$ tại $M$ vuông góc với bán kính $IM$ — VTPT của $\Delta$ là $\overrightarrow{MI}$
Công thức tiếp tuyến
$(a - x_0)(x - x_0) + (b - y_0)(y - y_0) = 0$
Quy trình 4 bước
Bước 1
Kiểm tra
$M \in (C)$?
Kiểm tra
$M \in (C)$?
→
Bước 2
Xác định
tâm $I(a;\ b)$
Xác định
tâm $I(a;\ b)$
→
Bước 3
VTPT $\overrightarrow{MI}$
$= (a-x_0;\ b-y_0)$
VTPT $\overrightarrow{MI}$
$= (a-x_0;\ b-y_0)$
→
Bước 4
Lập PTTQ
qua $M$
Lập PTTQ
qua $M$
Ví dụ 10 — Tiếp tuyến tại M trên đường tròn dạng khai triển (SGK 7.17)
Cho đường tròn $(C): x^2 + y^2 + 2x - 4y + 4 = 0$. Viết PT tiếp tuyến $d$ của $(C)$ tại $M(0;\ 2)$.
①Kiểm tra $M \in (C)$:
$0^2 + 2^2 + 2 \cdot 0 - 4 \cdot 2 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$ ✓
→ $M \in (C)$.
$0^2 + 2^2 + 2 \cdot 0 - 4 \cdot 2 + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$ ✓
→ $M \in (C)$.
②Tìm tâm: $-2a = 2 \Rightarrow a = -1$; $-2b = -4 \Rightarrow b = 2$.
→ Tâm $I(-1;\ 2)$.
→ Tâm $I(-1;\ 2)$.
③VTPT: $\overrightarrow{MI} = (-1 - 0;\ 2 - 2) = (-1;\ 0)$.
④PT tiếp tuyến qua $M(0;\ 2)$:
$-1(x - 0) + 0 \cdot (y - 2) = 0 \Leftrightarrow -x = 0$
$-1(x - 0) + 0 \cdot (y - 2) = 0 \Leftrightarrow -x = 0$
⟹$d: \mathbf{x = 0}$ (chính là trục $Oy$).
⚠️Lưu ý quan trọng: Phải kiểm tra $M$ có thuộc $(C)$ trước khi viết tiếp tuyến. Nếu $M \notin (C)$ thì công thức trên KHÔNG áp dụng được (lúc đó là bài toán "kẻ tiếp tuyến từ M ngoài đường tròn", không thuộc nội dung bài này).
b) Bài toán quỹ đạo chuyển động
Phương pháp
Khi vật thể chuyển động có toạ độ $(x;\ y)$ phụ thuộc tham số $t$ dạng $(x_0 + R\sin t°;\ y_0 + R\cos t°)$:
• Đặt $x - x_0 = R\sin t°$, $y - y_0 = R\cos t°$.
• Áp dụng $\sin^2 t° + \cos^2 t° = 1$:
$\quad (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.
→ Quỹ đạo là đường tròn (hoặc một phần) tâm $(x_0;\ y_0)$, bán kính $R$.
• Đặt $x - x_0 = R\sin t°$, $y - y_0 = R\cos t°$.
• Áp dụng $\sin^2 t° + \cos^2 t° = 1$:
$\quad (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$.
→ Quỹ đạo là đường tròn (hoặc một phần) tâm $(x_0;\ y_0)$, bán kính $R$.
Ví dụ 11 — Quỹ đạo chuyển động (SGK 7.18 đơn giản hoá)
Tại thời điểm $t$ ($0 \le t \le 180$), vật thể ở vị trí $(2 + \sin t°;\ 4 + \cos t°)$. Tìm quỹ đạo của vật.
→Đặt $x - 2 = \sin t°$, $y - 4 = \cos t°$.
→Bình phương và cộng: $(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = \sin^2 t° + \cos^2 t° = 1$.
⟹Quỹ đạo thuộc đường tròn $\mathbf{(x - 2)^2 + (y - 4)^2 = 1}$ — tâm $(2;\ 4)$, $R = 1$.
6
Mở rộng — Cát tuyến, dây cung & khoảng cách từ tâm
▼
Dạng "đường thẳng (cát tuyến) đi qua điểm $M$ cắt đường tròn tại $A, B$ với một ràng buộc độ dài (ví dụ $MA = 3MB$)" cần thêm các tính chất hình học của dây cung — không có trong phần phương trình đường tròn ở trên.
Tính chất dây cung — đường vuông góc từ tâm
Hạ $IH \perp \Delta$ tại $H$ ($H$ là chân đường vuông góc từ tâm $I$ xuống cát tuyến $\Delta$). Khi đó $H$ là trung điểm của dây $AB$, và $IH = d(I,\ \Delta)$.
$R^2 = IH^2 + HA^2 \;\Rightarrow\; \underbrace{HA = HB}_{\text{nửa dây}} = \sqrt{R^2 - IH^2}$
Hình: $H$ là trung điểm dây $AB$ ($IH \perp AB$). Thứ tự trên đường thẳng: $M$, $B$, $H$, $A$
Cát tuyến từ điểm $M$ nằm ngoài đường tròn
$M$ ngoài $(C)$, nằm trên $\Delta$. Đặt $t = HA = HB = \sqrt{R^2 - IH^2}$. Khi đó:
Tam giác $IHM$ vuông tại $H$: $\;MH^2 = IM^2 - IH^2$
$MA = MH + t \quad;\quad MB = MH - t$
Mẹo nhanh — phương tích của điểm $M$
$MA \cdot MB = MH^2 - t^2 = IM^2 - R^2$
Quy trình giải — 4 bước
Bước 1
$IM$ và $IH = d(I, \Delta)$
$IM$ và $IH = d(I, \Delta)$
→
Bước 2
$MH^2 = IM^2 - IH^2$
$MH^2 = IM^2 - IH^2$
→
Bước 3
Dùng tỉ lệ
$MA = k\,MB$ → tìm $t$
Dùng tỉ lệ
$MA = k\,MB$ → tìm $t$
→
Bước 4
$R^2 = IH^2 + t^2$
$R^2 = IH^2 + t^2$
Ví dụ — Cát tuyến với điều kiện tỉ lệ độ dài
Cho đường tròn $(C)$ tâm $I$, bán kính $R$ và điểm $M$ ngoài $(C)$ với $IM = 5$. Một cát tuyến qua $M$ cắt $(C)$ tại $A, B$ sao cho $MA = 2MB$, và $d(I,\ \Delta) = 4$. Tính $R$.
①$H$ là trung điểm $AB$, $IH = d(I,\ \Delta) = 4$.
②Tam giác $IHM$ vuông tại $H$: $MH^2 = IM^2 - IH^2 = 25 - 16 = 9 \Rightarrow MH = 3$.
③Đặt $t = HA = HB$. Vì $M$ ngoài đường tròn: $MA = MH + t = 3 + t$, $MB = MH - t = 3 - t$.
④$MA = 2MB \Leftrightarrow 3 + t = 2(3 - t) \Leftrightarrow 3t = 3 \Rightarrow t = 1$.
⑤$R^2 = IH^2 + t^2 = 16 + 1 = 17 \Rightarrow R = \sqrt{17}$.
✓Kiểm tra: $MB = 2$, $MA = 4 = 2 \cdot 2$; phương tích $MA \cdot MB = 8 = IM^2 - R^2 = 25 - 17$ ✓.
⚠️Điều kiện áp dụng: Công thức $MA = MH + t$, $MB = MH - t$ chỉ đúng khi $M$ nằm ngoài đường tròn (thứ tự $M, B, H, A$ trên đường thẳng). Nếu $M$ nằm trong đường tròn thì $M$ ở giữa $A, B$ và phải tách lại độ dài cho phù hợp.
✓Ghi nhớ:
• Hạ vuông góc từ tâm xuống cát tuyến → trung điểm dây; khoảng cách đó chính là $d(I, \Delta)$.
• $R^2 = d^2 + (\text{nửa dây})^2$ và $MH^2 = IM^2 - IH^2$ (tam giác vuông tại $H$).
• Ràng buộc tỉ lệ ($MA = k\,MB$) cho phương trình tìm nửa dây $t$, từ đó $R^2 = IH^2 + t^2$.
• Hạ vuông góc từ tâm xuống cát tuyến → trung điểm dây; khoảng cách đó chính là $d(I, \Delta)$.
• $R^2 = d^2 + (\text{nửa dây})^2$ và $MH^2 = IM^2 - IH^2$ (tam giác vuông tại $H$).
• Ràng buộc tỉ lệ ($MA = k\,MB$) cho phương trình tìm nửa dây $t$, từ đó $R^2 = IH^2 + t^2$.
7
Tổng kết
▼
Tóm tắt 2 dạng phương trình đường tròn
| Dạng | Công thức | Thông tin |
|---|---|---|
| Chính tắc | $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ | Tâm $I(a;\ b)$, bán kính $R$ |
| Khai triển | $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$ | Tâm $I(a;\ b)$, $R = \sqrt{a^2+b^2-c}$ (điều kiện $a^2 + b^2 - c > 0$) |
Tóm tắt 4 trường hợp viết PT đường tròn
| Dữ kiện | Cách làm |
|---|---|
| Biết tâm $I$, bán kính $R$ | Viết trực tiếp dạng chính tắc |
| Biết tâm $I$, đi qua $A$ | $R = IA$ |
| Biết đường kính $AB$ | $I = $ trung điểm $AB$, $R = \dfrac{AB}{2}$ |
| Biết tâm $I$, tiếp xúc $\Delta$ | $R = d(I,\ \Delta)$ |
| Đi qua 3 điểm $A, B, C$ | $IA^2 = IB^2 = IC^2$ → hệ 2 PT bậc nhất → tìm $I$, tính $R$ |
PT tiếp tuyến tại $M(x_0;\ y_0) \in (C)$
$(a - x_0)(x - x_0) + (b - y_0)(y - y_0) = 0$
✓Mẹo nhớ nhanh:
• Tâm: đổi dấu hai số trong ngoặc (chính tắc) hoặc lấy âm một nửa hệ số $x, y$ (khai triển).
• 3 điều kiện cho dạng khai triển: hệ số $x^2 = y^2$, không có $xy$, $a^2+b^2-c > 0$.
• Tiếp tuyến: VTPT là $\overrightarrow{MI}$ — đi từ $M$ tới $I$.
• Đường tròn ngoại tiếp: $IA^2 = IB^2$ → phương trình bậc nhất, KHÔNG bậc hai.
📚
Xem thêm bài viết chi tiết• Tâm: đổi dấu hai số trong ngoặc (chính tắc) hoặc lấy âm một nửa hệ số $x, y$ (khai triển).
• 3 điều kiện cho dạng khai triển: hệ số $x^2 = y^2$, không có $xy$, $a^2+b^2-c > 0$.
• Tiếp tuyến: VTPT là $\overrightarrow{MI}$ — đi từ $M$ tới $I$.
• Đường tròn ngoại tiếp: $IA^2 = IB^2$ → phương trình bậc nhất, KHÔNG bậc hai.
Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ — lý thuyết, các dạng bài tập →
1
—
Điểm: 0/25
⭕
Luyện tập Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ!
25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh