Lớp 10 · Toán
Bài 25
Nhị Thức Newton
Khai triển $(a+b)^4$ · Khai triển $(a+b)^5$
1
Khai triển $(a+b)^4$
▼
Ở lớp 8, ta đã biết các hằng đẳng thức:
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
Khi $n = 4$ hoặc $n = 5$, ta dùng tổ hợp $C_n^k$ để tính các hệ số trong khai triển.
Công thức khai triển $(a+b)^4$
$(a+b)^4 = C_4^0 a^4 + C_4^1 a^3 b + C_4^2 a^2 b^2 + C_4^3 a b^3 + C_4^4 b^4$
$\boxed{(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4}$
$\boxed{(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4}$
Bảng hệ số tổ hợp:
| Đơn thức | $a^4$ | $a^3 b$ | $a^2 b^2$ | $a b^3$ | $b^4$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Tổ hợp | $C_4^0$ | $C_4^1$ | $C_4^2$ | $C_4^3$ | $C_4^4$ |
| Hệ số | $1$ | $4$ | $6$ | $4$ | $1$ |
💡Quan sát quan trọng:
• Khai triển $(a+b)^4$ có $5$ số hạng (từ $a^4$ đến $b^4$).
• Tổng số mũ của $a$ và $b$ trong mỗi số hạng luôn bằng $4$ (gọi là bậc của khai triển).
• Hệ số đối xứng: $1, 4, 6, 4, 1$.
• Khai triển $(a+b)^4$ có $5$ số hạng (từ $a^4$ đến $b^4$).
• Tổng số mũ của $a$ và $b$ trong mỗi số hạng luôn bằng $4$ (gọi là bậc của khai triển).
• Hệ số đối xứng: $1, 4, 6, 4, 1$.
Ví dụ 1 — Khai triển $(2x+1)^4$
→Đặt $a = 2x$, $b = 1$ trong công thức $(a+b)^4$.
→$(2x+1)^4 = (2x)^4 + 4 \cdot (2x)^3 \cdot 1 + 6 \cdot (2x)^2 \cdot 1^2 + 4 \cdot (2x) \cdot 1^3 + 1^4$
→$= 16x^4 + 4 \cdot 8x^3 + 6 \cdot 4x^2 + 8x + 1$
⟹$\mathbf{(2x+1)^4 = 16x^4 + 32x^3 + 24x^2 + 8x + 1}$.
⚠️Chú ý khi $a$ là đơn thức: phải nâng cả hệ số lẫn biến lên luỹ thừa. Ví dụ: $(2x)^3 = 8x^3$, không phải $2x^3$; $(3x)^4 = 81x^4$, không phải $3x^4$.
2
Khai triển $(a+b)^5$
▼
Công thức khai triển $(a+b)^5$
$(a+b)^5 = C_5^0 a^5 + C_5^1 a^4 b + C_5^2 a^3 b^2 + C_5^3 a^2 b^3 + C_5^4 a b^4 + C_5^5 b^5$
$\boxed{(a+b)^5 = a^5 + 5a^4 b + 10a^3 b^2 + 10a^2 b^3 + 5a b^4 + b^5}$
$\boxed{(a+b)^5 = a^5 + 5a^4 b + 10a^3 b^2 + 10a^2 b^3 + 5a b^4 + b^5}$
Bảng hệ số tổ hợp:
| Đơn thức | $a^5$ | $a^4 b$ | $a^3 b^2$ | $a^2 b^3$ | $a b^4$ | $b^5$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Tổ hợp | $C_5^0$ | $C_5^1$ | $C_5^2$ | $C_5^3$ | $C_5^4$ | $C_5^5$ |
| Hệ số | $1$ | $5$ | $10$ | $10$ | $5$ | $1$ |
💡Quan sát quan trọng:
• Khai triển $(a+b)^5$ có $6$ số hạng.
• Tổng số mũ của $a$ và $b$ trong mỗi số hạng luôn bằng $5$.
• Hệ số đối xứng: $1, 5, 10, 10, 5, 1$.
• Khai triển $(a+b)^5$ có $6$ số hạng.
• Tổng số mũ của $a$ và $b$ trong mỗi số hạng luôn bằng $5$.
• Hệ số đối xứng: $1, 5, 10, 10, 5, 1$.
Bảng tổng hợp hệ số $(a+b)^n$ với $n = 1$ đến $n = 5$ — Tam giác Pascal:
$n = 1$:
$1$$1$
$n = 2$:
$1$$2$$1$
$n = 3$:
$1$$3$$3$$1$
$n = 4$:
$1$$4$$6$$4$$1$
$n = 5$:
$1$$5$$10$$10$$5$$1$
Ví dụ 2 — Khai triển $(x+3)^5$
→Đặt $a = x$, $b = 3$ trong công thức $(a+b)^5$.
→$(x+3)^5 = x^5 + 5 \cdot x^4 \cdot 3 + 10 \cdot x^3 \cdot 3^2 + 10 \cdot x^2 \cdot 3^3 + 5 \cdot x \cdot 3^4 + 3^5$
→$= x^5 + 15x^4 + 10 \cdot 9 x^3 + 10 \cdot 27 x^2 + 5 \cdot 81 x + 243$
⟹$\mathbf{(x+3)^5 = x^5 + 15x^4 + 90x^3 + 270x^2 + 405x + 243}$.
3
Khai triển $(a-b)^n$ và biểu thức phức tạp
▼
Khi nhị thức có dạng $(a - b)^n$, ta viết lại $(a - b)^n = \big(a + (-b)\big)^n$ rồi áp dụng công thức.
💡Quy luật dấu trong $(a-b)^n$:
• Số hạng có $b$ với số mũ chẵn ($b^0, b^2, b^4, \ldots$): mang dấu $+$.
• Số hạng có $b$ với số mũ lẻ ($b^1, b^3, b^5, \ldots$): mang dấu $-$.
• Số hạng có $b$ với số mũ chẵn ($b^0, b^2, b^4, \ldots$): mang dấu $+$.
• Số hạng có $b$ với số mũ lẻ ($b^1, b^3, b^5, \ldots$): mang dấu $-$.
Hệ thức $(a-b)^4$ và $(a-b)^5$
$(a-b)^4 = a^4 - 4a^3 b + 6a^2 b^2 - 4a b^3 + b^4$
$(a-b)^5 = a^5 - 5a^4 b + 10a^3 b^2 - 10a^2 b^3 + 5a b^4 - b^5$
$(a-b)^5 = a^5 - 5a^4 b + 10a^3 b^2 - 10a^2 b^3 + 5a b^4 - b^5$
Ví dụ 3 — Khai triển $(x-3)^4$
→Đặt $a = x$, $b = -3$ trong $(a+b)^4$:
→$(x-3)^4 = x^4 + 4 \cdot x^3 \cdot (-3) + 6 \cdot x^2 \cdot (-3)^2 + 4 \cdot x \cdot (-3)^3 + (-3)^4$
→$= x^4 - 12x^3 + 6 \cdot 9 x^2 - 4 \cdot 27 x + 81$
⟹$\mathbf{(x-3)^4 = x^4 - 12x^3 + 54x^2 - 108x + 81}$.
Ví dụ 4 — Khai triển $(3x-2y)^4$
→Đặt $a = 3x$, $b = -2y$:
→$(3x-2y)^4 = (3x)^4 + 4(3x)^3(-2y) + 6(3x)^2(-2y)^2 + 4(3x)(-2y)^3 + (-2y)^4$
→$= 81x^4 + 4 \cdot 27 x^3 \cdot (-2y) + 6 \cdot 9 x^2 \cdot 4y^2 + 4 \cdot 3x \cdot (-8y^3) + 16 y^4$
⟹$\mathbf{(3x-2y)^4 = 81x^4 - 216x^3 y + 216x^2 y^2 - 96xy^3 + 16y^4}$.
Ví dụ 5 — Khai triển $(x-2y)^5$
→Đặt $a = x$, $b = -2y$:
→$(x-2y)^5 = x^5 + 5 x^4(-2y) + 10 x^3(-2y)^2 + 10 x^2(-2y)^3 + 5 x(-2y)^4 + (-2y)^5$
→$= x^5 - 10 x^4 y + 10 \cdot 4 x^3 y^2 + 10 \cdot (-8) x^2 y^3 + 5 \cdot 16 x y^4 - 32 y^5$
⟹$\mathbf{(x-2y)^5 = x^5 - 10x^4 y + 40x^3 y^2 - 80x^2 y^3 + 80xy^4 - 32y^5}$.
4
Tìm hệ số của một số hạng cụ thể
▼
Trong nhiều bài toán, ta chỉ cần tìm hệ số của một số hạng mà không cần khai triển toàn bộ.
Số hạng tổng quát của $(a+b)^n$
Số hạng thứ $(k+1)$ trong khai triển có dạng:
$T_{k+1} = C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k \quad (k = 0, 1, 2, \ldots, n)$
1
Xác định $a$, $b$ và $n$ trong $(a+b)^n$.
2
Viết số hạng tổng quát: $C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k$.
3
Tìm $k$ sao cho luỹ thừa của $x$ (hoặc biến cần tìm) đạt giá trị mong muốn.
4
Tính hệ số tương ứng (lưu ý dấu nếu có).
Ví dụ 6 — Tìm hệ số của $x^4$ trong $(3x-1)^5$
①Đặt $a = 3x$, $b = -1$, $n = 5$.
②Số hạng tổng quát: $T_{k+1} = C_5^k \cdot (3x)^{5-k} \cdot (-1)^k$.
③Cần luỹ thừa của $x$ là $4$ ⟶ $5 - k = 4 \Rightarrow k = 1$.
④Số hạng chứa $x^4$:
$T_2 = C_5^1 \cdot (3x)^4 \cdot (-1)^1 = 5 \cdot 81 x^4 \cdot (-1) = -405 x^4$.
$T_2 = C_5^1 \cdot (3x)^4 \cdot (-1)^1 = 5 \cdot 81 x^4 \cdot (-1) = -405 x^4$.
⟹Hệ số của $x^4$ là $\mathbf{-405}$.
Ví dụ 7 — Tìm hệ số của $x^3$ trong $(2x+1)^4$
①Đặt $a = 2x$, $b = 1$, $n = 4$.
②$T_{k+1} = C_4^k \cdot (2x)^{4-k} \cdot 1^k$.
③Cần $x^3$ ⟶ $4 - k = 3 \Rightarrow k = 1$.
④$T_2 = C_4^1 \cdot (2x)^3 \cdot 1 = 4 \cdot 8 x^3 = 32 x^3$.
⟹Hệ số của $x^3$ là $\mathbf{32}$.
5
Biến đổi biểu thức · Tính gần đúng · Ứng dụng thực tế
▼
① Biến đổi $(a+b)^n \pm (a-b)^n$:
💡Quy luật quan trọng:
• Tổng $(a+b)^n + (a-b)^n$: chỉ còn các số hạng có $b$ với số mũ chẵn (lũy thừa lẻ triệt tiêu).
• Hiệu $(a+b)^n - (a-b)^n$: chỉ còn các số hạng có $b$ với số mũ lẻ (lũy thừa chẵn triệt tiêu).
• Tổng $(a+b)^n + (a-b)^n$: chỉ còn các số hạng có $b$ với số mũ chẵn (lũy thừa lẻ triệt tiêu).
• Hiệu $(a+b)^n - (a-b)^n$: chỉ còn các số hạng có $b$ với số mũ lẻ (lũy thừa chẵn triệt tiêu).
Ví dụ 8 — Tính $(x+5)^4 + (x-5)^4$
→$(x+5)^4 = x^4 + 20x^3 + 150x^2 + 500x + 625$.
→$(x-5)^4 = x^4 - 20x^3 + 150x^2 - 500x + 625$.
⟹Cộng: $\mathbf{(x+5)^4 + (x-5)^4 = 2x^4 + 300x^2 + 1\,250}$.
→Các số hạng $\pm 20x^3$ và $\pm 500x$ (số mũ lẻ của $5$) triệt tiêu.
② Tính gần đúng $(1+\varepsilon)^n$ khi $\varepsilon$ nhỏ:
Công thức gần đúng
Khi $\varepsilon$ rất nhỏ (gần $0$), ta lấy hai số hạng đầu của khai triển:
$(1 + \varepsilon)^n \approx 1 + n\varepsilon$
Ví dụ 9 — Tính gần đúng $1{,}02^5$
→$1{,}02^5 = (1 + 0{,}02)^5$.
→Lấy hai số hạng đầu: $(1 + 0{,}02)^5 \approx 1 + 5 \cdot 0{,}02 = 1{,}1$.
→Giá trị chính xác (máy tính): $1{,}02^5 \approx 1{,}10408$.
⟹Sai số tuyệt đối: $|1{,}10408 - 1{,}1| \approx 0{,}00408$ (rất nhỏ).
③ Bài toán dân số (lãi kép):
💡Số dân hiện tại $P_0$, tỉ lệ tăng hằng năm $r\%$, sau $n$ năm:
$P = P_0 \cdot \left(1 + \dfrac{r}{100}\right)^n$ (cùng đơn vị với $P_0$).
$P = P_0 \cdot \left(1 + \dfrac{r}{100}\right)^n$ (cùng đơn vị với $P_0$).
Ví dụ 10 — Số dân của tỉnh sau $5$ năm
Số dân của một tỉnh hiện tại là $800$ nghìn người. Tỉ lệ tăng dân số hằng năm là $r = 1{,}5\%$. Ước tính số dân sau $5$ năm (lấy hai số hạng đầu).
→$\dfrac{r}{100} = 0{,}015$.
→$P = 800 \cdot (1 + 0{,}015)^5 \approx 800 \cdot (1 + 5 \cdot 0{,}015)$
→$\approx 800 \cdot 1{,}075 = 860$.
⟹Sau $5$ năm, số dân tỉnh khoảng $\mathbf{860}$ nghìn người.
6
Sai lầm thường gặp & Tổng kết
▼
| STT | Sai lầm | Đính chính |
|---|---|---|
| 1 | Quên đổi dấu khi khai triển $(a-b)^n$. | Viết $(a-b)^n = \big(a + (-b)\big)^n$. Số hạng có $b$ với luỹ thừa lẻ mang dấu $-$; luỹ thừa chẵn mang dấu $+$. |
| 2 | Tính sai luỹ thừa khi $a$, $b$ là đơn thức. | $(2x)^3 = 8x^3$ (không phải $2x^3$); $(3x)^4 = 81x^4$. Phải nâng cả hệ số lẫn biến lên cùng luỹ thừa. |
| 3 | Nhầm hệ số tổ hợp. | $n = 4$: $1, 4, 6, 4, 1$. $n = 5$: $1, 5, 10, 10, 5, 1$. Hệ số luôn đối xứng. |
| 4 | Khi tính gần đúng, lấy quá nhiều số hạng. | Đề yêu cầu lấy hai số hạng đầu: $(1 + \varepsilon)^n \approx 1 + n\varepsilon$. Không cần các số hạng còn lại nếu $\varepsilon$ đủ nhỏ. |
| 5 | Quên rằng tổng số mũ luôn bằng $n$. | Trong $(a+b)^n$, mỗi số hạng $C_n^k a^{n-k} b^k$ có tổng số mũ $= n$. Dùng để kiểm tra: nếu một số hạng có tổng số mũ $\neq n$ thì SAI. |
Tóm tắt công thức:
$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3 b + 6a^2 b^2 + 4ab^3 + b^4$
$(a+b)^5 = a^5 + 5a^4 b + 10a^3 b^2 + 10a^2 b^3 + 5ab^4 + b^5$
$(1+\varepsilon)^n \approx 1 + n\varepsilon$ (khi $\varepsilon$ nhỏ)
$(a+b)^5 = a^5 + 5a^4 b + 10a^3 b^2 + 10a^2 b^3 + 5ab^4 + b^5$
$(1+\varepsilon)^n \approx 1 + n\varepsilon$ (khi $\varepsilon$ nhỏ)
✓Tóm tắt Bài 25:
• Khai triển $(a+b)^4$: $5$ số hạng, hệ số $1, 4, 6, 4, 1$.
• Khai triển $(a+b)^5$: $6$ số hạng, hệ số $1, 5, 10, 10, 5, 1$.
• $(a-b)^n$: số mũ lẻ của $b$ mang dấu $-$.
• Số hạng tổng quát $T_{k+1} = C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k$ — dùng để tìm hệ số cụ thể.
• Cộng/trừ $(a+b)^n \pm (a-b)^n$ ⟶ chỉ còn số hạng số mũ chẵn/lẻ.
• Tính gần đúng $(1+\varepsilon)^n \approx 1 + n\varepsilon$ — ứng dụng tính lãi kép, dân số.
📚
Xem thêm bài viết chi tiết• Khai triển $(a+b)^4$: $5$ số hạng, hệ số $1, 4, 6, 4, 1$.
• Khai triển $(a+b)^5$: $6$ số hạng, hệ số $1, 5, 10, 10, 5, 1$.
• $(a-b)^n$: số mũ lẻ của $b$ mang dấu $-$.
• Số hạng tổng quát $T_{k+1} = C_n^k \cdot a^{n-k} \cdot b^k$ — dùng để tìm hệ số cụ thể.
• Cộng/trừ $(a+b)^n \pm (a-b)^n$ ⟶ chỉ còn số hạng số mũ chẵn/lẻ.
• Tính gần đúng $(1+\varepsilon)^n \approx 1 + n\varepsilon$ — ứng dụng tính lãi kép, dân số.
Nhị thức Newton — lý thuyết & các dạng bài tập Toán 10 →
1
—
Điểm: 0/25
📐
Luyện tập Nhị thức Newton!
25 câu · 6 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh