Lớp 10 · Toán
Bài 26
Biến Cố Và Định Nghĩa Cổ Điển Của Xác Suất
Phép thử · Không gian mẫu · Biến cố · Xác suất $P(E)$
1
Phép thử ngẫu nhiên & Không gian mẫu
▼
Phép thử ngẫu nhiên
Phép thử ngẫu nhiên (gọi tắt là phép thử) là một thí nghiệm hay một hành động mà kết quả của nó không thể biết được trước khi phép thử được thực hiện.
Không gian mẫu $\Omega$
Không gian mẫu của phép thử là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi thực hiện phép thử. Không gian mẫu được kí hiệu là $\Omega$.
⚠️Chú ý: Trong chương trình lớp 10, ta chỉ xét các phép thử mà không gian mẫu gồm hữu hạn kết quả.
Ví dụ 1 — Tung đồng xu
Tung một đồng xu cân đối $1$ lần và quan sát mặt xuất hiện.
→Phép thử: tung đồng xu $1$ lần.
→Đồng xu có thể ra mặt sấp ($S$) hoặc mặt ngửa ($N$).
⟹$\Omega = \{S; N\}$, có $n(\Omega) = \mathbf{2}$ phần tử.
Ví dụ 2 — Gieo xúc xắc
Gieo một con xúc xắc $6$ mặt cân đối $1$ lần và quan sát số chấm xuất hiện.
→Số chấm có thể là $1, 2, 3, 4, 5, 6$.
⟹$\Omega = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$, có $n(\Omega) = \mathbf{6}$ phần tử.
Ví dụ 3 — Chọn ngẫu nhiên một học sinh
Một tổ lớp 10A có $7$ học sinh: Hương, Hồng, Dung, Sơn, Tùng, Hoàng, Tiến. Giáo viên chọn ngẫu nhiên $1$ học sinh để kiểm tra vở bài tập.
⟹$\Omega = \{$Hương; Hồng; Dung; Sơn; Tùng; Hoàng; Tiến$\}$, có $n(\Omega) = \mathbf{7}$.
2
Biến cố — Tập con của không gian mẫu
▼
Biến cố
Mỗi biến cố là một tập con của không gian mẫu $\Omega$. Tập con này gồm tất cả các kết quả thuận lợi cho biến cố đó.
Hai biến cố đặc biệt:
| Loại biến cố | Mô tả |
|---|---|
| Biến cố chắc chắn | Là tập $\Omega$ — luôn xảy ra trong mọi phép thử. |
| Biến cố không thể | Là tập rỗng $\varnothing$ — không bao giờ xảy ra. |
Ví dụ 4 — Gieo xúc xắc
Gieo $1$ con xúc xắc cân đối. $\Omega = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$.
①Biến cố $A$: "Số chấm xuất hiện là số chẵn".
→$A = \{2; 4; 6\}$, là một tập con của $\Omega$.
②Biến cố $B$: "Số chấm xuất hiện lớn hơn $0$".
→$B = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\} = \Omega$ ⟶ biến cố chắc chắn.
③Biến cố $C$: "Số chấm xuất hiện là $7$".
→$C = \varnothing$ ⟶ biến cố không thể.
💡Cách tìm biến cố $E$ từ lời văn:
① Đọc kĩ lời mô tả biến cố.
② Liệt kê tất cả các kết quả trong $\Omega$ thoả mãn mô tả đó.
③ Tập hợp các kết quả thoả mãn chính là tập $E$.
① Đọc kĩ lời mô tả biến cố.
② Liệt kê tất cả các kết quả trong $\Omega$ thoả mãn mô tả đó.
③ Tập hợp các kết quả thoả mãn chính là tập $E$.
3
Biến cố đối $\overline{E}$
▼
Biến cố đối
Biến cố đối của biến cố $E$ là biến cố "$E$ không xảy ra", kí hiệu là $\overline{E}$.
$\overline{E} = C_\Omega E = \Omega \setminus E$
(tức là $\overline{E}$ là phần bù của $E$ trong $\Omega$).
$\overline{E}$ (phần xám) là phần còn lại của $\Omega$ ngoài $E$.
Ví dụ 5 — Tìm biến cố đối
Gieo $1$ con xúc xắc cân đối. $\Omega = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$.
→$M$: "Số chấm xuất hiện là số chẵn" → $M = \{2; 4; 6\}$.
→Biến cố đối $\overline{M}$: "Số chấm xuất hiện là số lẻ".
⟹$\overline{M} = \{1; 3; 5\}$ — phần bù của $M$ trong $\Omega$.
Ví dụ 6 — Cẩn thận với biến cố đối
Túi có bi xanh, đỏ, đen, trắng. Lấy ngẫu nhiên $1$ viên bi. Gọi $K$: "Bi lấy ra có màu xanh hoặc trắng".
→$\overline{K}$: "$K$ không xảy ra" = "Bi lấy ra không xanh và không trắng".
→Trong túi chỉ có $4$ màu, nên $\overline{K}$ = "Bi lấy ra có màu đỏ hoặc đen".
⚠️Biến cố "Bi lấy ra màu đen" KHÔNG phải là $\overline{K}$ (thiếu trường hợp bi đỏ).
⚠️Cách tìm biến cố đối:
• Phát biểu: thêm chữ "không" trước phát biểu của $E$.
• Quy tắc đổi liên kết:
$\quad$ "$A$ và $B$" → "không $A$ hoặc không $B$".
$\quad$ "$A$ hoặc $B$" → "không $A$ và không $B$".
• Phát biểu: thêm chữ "không" trước phát biểu của $E$.
• Quy tắc đổi liên kết:
$\quad$ "$A$ và $B$" → "không $A$ hoặc không $B$".
$\quad$ "$A$ hoặc $B$" → "không $A$ và không $B$".
4
Định nghĩa cổ điển của xác suất
▼
Kết quả đồng khả năng
Các kết quả có thể của phép thử $T$ gọi là đồng khả năng nếu chúng có khả năng xuất hiện như nhau.
Ví dụ: Tung đồng xu cân đối, gieo xúc xắc cân đối, rút thẻ ngẫu nhiên... ⟶ các kết quả đồng khả năng.
Công thức xác suất
$P(E) = \dfrac{n(E)}{n(\Omega)}$
trong đó:
•$n(\Omega)$: số phần tử của không gian mẫu (tổng số kết quả có thể).
•$n(E)$: số kết quả thuận lợi cho biến cố $E$.
💡Tính chất quan trọng:
• Với mọi biến cố $E$: $\mathbf{0 \leq P(E) \leq 1}$.
• Biến cố chắc chắn: $\mathbf{P(\Omega) = 1}$.
• Biến cố không thể: $\mathbf{P(\varnothing) = 0}$.
• Biến cố đối: $\mathbf{P(\overline{E}) = 1 - P(E)}$ — dùng để tính xác suất gián tiếp.
• Với mọi biến cố $E$: $\mathbf{0 \leq P(E) \leq 1}$.
• Biến cố chắc chắn: $\mathbf{P(\Omega) = 1}$.
• Biến cố không thể: $\mathbf{P(\varnothing) = 0}$.
• Biến cố đối: $\mathbf{P(\overline{E}) = 1 - P(E)}$ — dùng để tính xác suất gián tiếp.
Ví dụ 7 — Áp dụng công thức
Gieo $1$ con xúc xắc cân đối. Tính xác suất của biến cố $E$: "Số chấm xuất hiện là số chẵn".
①$\Omega = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$ → $n(\Omega) = 6$.
②$E = \{2; 4; 6\}$ → $n(E) = 3$.
③Xúc xắc cân đối ⟶ các kết quả đồng khả năng.
⟹$P(E) = \dfrac{n(E)}{n(\Omega)} = \dfrac{3}{6} = \mathbf{\dfrac{1}{2}}$.
1
Mô tả không gian mẫu $\Omega$, đếm $n(\Omega)$.
2
Liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố $E$, đếm $n(E)$.
3
Kiểm tra các kết quả là đồng khả năng (xúc xắc/đồng xu cân đối, rút ngẫu nhiên...).
4
Tính $P(E) = \dfrac{n(E)}{n(\Omega)}$ và rút gọn phân số.
5
Tính xác suất với các phép thử thông dụng
▼
① Tung đồng xu cân đối $n$ lần:
→Mỗi lần có $2$ kết quả ($S$ hoặc $N$) ⟶ $n(\Omega) = 2^n$.
→Liệt kê: ví dụ $n = 2$: $\Omega = \{SS; SN; NS; NN\}$, $n(\Omega) = 4$.
Ví dụ 8 — Tung $3$ đồng xu
Tung $1$ đồng xu cân đối liên tiếp $3$ lần. Tính xác suất có đúng $2$ lần xuất hiện mặt sấp.
①$\Omega = \{SSS; SSN; SNS; SNN; NSS; NSN; NNS; NNN\}$, $n(\Omega) = 8$.
②Biến cố $E$: "có đúng $2$ lần sấp" → $E = \{SSN; SNS; NSS\}$, $n(E) = 3$.
⟹$P(E) = \dfrac{3}{8}$.
② Gieo $2$ con xúc xắc cân đối — lập bảng:
Mỗi kết quả viết dưới dạng $(a; b)$ với $a, b \in \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$. Tổng cộng $n(\Omega) = 6 \cdot 6 = 36$ kết quả.
| Xx 2 \ Xx 1 | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ | $6$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $1$ | $(1,1)$ | $(1,2)$ | $(1,3)$ | $(1,4)$ | $(1,5)$ | $(1,6)$ |
| $2$ | $(2,1)$ | $(2,2)$ | $(2,3)$ | $(2,4)$ | $(2,5)$ | $(2,6)$ |
| $3$ | $(3,1)$ | $(3,2)$ | $(3,3)$ | $(3,4)$ | $(3,5)$ | $(3,6)$ |
| $4$ | $(4,1)$ | $(4,2)$ | $(4,3)$ | $(4,4)$ | $(4,5)$ | $(4,6)$ |
| $5$ | $(5,1)$ | $(5,2)$ | $(5,3)$ | $(5,4)$ | $(5,5)$ | $(5,6)$ |
| $6$ | $(6,1)$ | $(6,2)$ | $(6,3)$ | $(6,4)$ | $(6,5)$ | $(6,6)$ |
Các ô vàng minh hoạ biến cố "tổng = $7$" gồm $6$ kết quả.
Ví dụ 9 — Gieo $2$ xúc xắc
Hai bạn cùng gieo $1$ con xúc xắc cân đối. Tính xác suất tổng số chấm bằng $7$.
①$n(\Omega) = 36$.
②Tổng $= 7$: $(1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2); (6,1)$ → $n(E) = 6$.
⟹$P(E) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$.
③ Lấy bi / Rút thẻ:
→$n(\Omega) =$ tổng số bi (hoặc thẻ).
→$n(E) =$ số bi (thẻ) thoả điều kiện biến cố.
Ví dụ 10 — Lấy bi
Một túi có $5$ bi xanh và $4$ bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên $1$ viên bi. Tính xác suất lấy được bi đỏ.
①$n(\Omega) = 5 + 4 = 9$.
②$n(E) = 4$ (số bi đỏ).
⟹$P(E) = \dfrac{4}{9}$.
6
Nguyên lí xác suất bé · Sai lầm · Tổng kết
▼
Nguyên lí xác suất bé
Nếu một biến cố có xác suất rất bé thì trong một phép thử, biến cố đó sẽ không xảy ra.
Ví dụ: Xác suất một chiếc máy bay rơi rất bé (khoảng $0{,}00000027$). Mỗi hành khách đều tin rằng biến cố "Máy bay rơi" sẽ không xảy ra trong chuyến bay của mình ⟶ vẫn không ngần ngại đi máy bay.
⚠️Chú ý: Khái niệm "xác suất rất bé" phụ thuộc vào tình huống cụ thể. Ví dụ: xác suất lỗi điện thoại $0{,}001$ là rất bé, nhưng xác suất cháy nổ máy bay $0{,}001$ thì KHÔNG được coi là rất bé.
Sai lầm thường gặp:
| STT | Sai lầm | Đính chính |
|---|---|---|
| 1 | Nhầm biến cố đối: chỉ đổi một phần nội dung. | $\overline{E}$ là phủ định hoàn toàn của $E$. Phải lấy phần bù trong $\Omega$. |
| 2 | Áp dụng công thức khi các kết quả không đồng khả năng. | Phải kiểm tra trước. Xúc xắc/đồng xu/thẻ nếu cân đối, ngẫu nhiên thì các kết quả mới đồng khả năng. |
| 3 | Liệt kê thiếu hoặc thừa kết quả. | Dùng bảng (gieo $2$ xúc xắc), sơ đồ hình cây, hoặc quy tắc đếm để đảm bảo không bỏ sót. |
| 4 | Nhầm "hoặc" và "và". | "$A$ hoặc $B$" = ít nhất $1$ trong $2$. "$A$ và $B$" = cả $2$. Đối của "$A$ hoặc $B$" là "không $A$ và không $B$". |
| 5 | Quên công thức $P(\overline{E}) = 1 - P(E)$. | Khi tính $P(E)$ phức tạp, có thể tính $P(\overline{E})$ trước rồi lấy $1$ trừ đi. |
Bảng tổng kết các khái niệm:
| Khái niệm | Nội dung |
|---|---|
| Phép thử | Hành động/thí nghiệm có kết quả không biết trước. |
| Không gian mẫu $\Omega$ | Tập hợp tất cả các kết quả có thể. |
| Biến cố $E$ | Tập con của $\Omega$. |
| Biến cố đối $\overline{E}$ | "$E$ không xảy ra"; $\overline{E} = \Omega \setminus E$. |
| Biến cố chắc chắn / không thể | $\Omega$ / $\varnothing$. $P(\Omega) = 1$, $P(\varnothing) = 0$. |
| Xác suất $P(E)$ | $P(E) = \dfrac{n(E)}{n(\Omega)}$ (đồng khả năng). |
✓Tóm tắt Bài 26:
• Phép thử ngẫu nhiên: kết quả không biết trước.
• Không gian mẫu $\Omega$: tất cả các kết quả có thể.
• Biến cố $E$: tập con của $\Omega$ gồm các kết quả thuận lợi.
• Biến cố đối $\overline{E}$: phần bù của $E$ trong $\Omega$.
• Xác suất: $P(E) = \dfrac{n(E)}{n(\Omega)}$, với $0 \leq P(E) \leq 1$.
• Quan hệ với biến cố đối: $P(\overline{E}) = 1 - P(E)$.
• Nguyên lí xác suất bé: biến cố có xác suất rất bé sẽ không xảy ra trong một phép thử.
📚
Xem thêm bài viết chi tiết• Phép thử ngẫu nhiên: kết quả không biết trước.
• Không gian mẫu $\Omega$: tất cả các kết quả có thể.
• Biến cố $E$: tập con của $\Omega$ gồm các kết quả thuận lợi.
• Biến cố đối $\overline{E}$: phần bù của $E$ trong $\Omega$.
• Xác suất: $P(E) = \dfrac{n(E)}{n(\Omega)}$, với $0 \leq P(E) \leq 1$.
• Quan hệ với biến cố đối: $P(\overline{E}) = 1 - P(E)$.
• Nguyên lí xác suất bé: biến cố có xác suất rất bé sẽ không xảy ra trong một phép thử.
Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất — lý thuyết & bài tập Toán 10 →
1
—
Điểm: 0/25
🎲
Luyện tập Biến cố & Xác suất!
25 câu · 6 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh