Lớp 10 · Toán
Bài 6
Hệ Thức Lượng Trong Tam Giác
Định lí côsin · Định lí sin · Diện tích · Giải tam giác
1
Định lí côsin
▼
Quy ước kí hiệu trong tam giác $ABC$
•$A$, $B$, $C$: số đo các góc tại đỉnh tương ứng.
•$a = BC$, $b = CA$, $c = AB$: độ dài các cạnh đối diện đỉnh $A$, $B$, $C$.
•$p = \dfrac{a+b+c}{2}$: nửa chu vi.
•$S$: diện tích; $R$, $r$: bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp.
Định lí côsin
Trong tam giác $ABC$ bất kì:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$
$b^2 = c^2 + a^2 - 2ca\cos B$
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$
$b^2 = c^2 + a^2 - 2ca\cos B$
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$
Hình 1: Tam giác $ABC$ — biết hai cạnh và góc xen giữa
💡Liên hệ với định lí Pythagore: Khi $A = 90°$ thì $\cos A = 0$, công thức trở thành $a^2 = b^2 + c^2$ — đó chính là định lí Pythagore. Vậy Pythagore là trường hợp đặc biệt của định lí côsin khi tam giác vuông.
Hệ quả — tính cosin góc theo ba cạnh
$\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
$\cos B = \dfrac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}$
$\cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
$\cos B = \dfrac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}$
$\cos C = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
⚠️Lưu ý dấu của $\cos$:
• Nếu $\cos A > 0$ thì $A$ là góc nhọn ($A < 90°$).
• Nếu $\cos A = 0$ thì $A = 90°$ (góc vuông).
• Nếu $\cos A < 0$ thì $A$ là góc tù ($90° < A < 180°$).
• Nếu $\cos A > 0$ thì $A$ là góc nhọn ($A < 90°$).
• Nếu $\cos A = 0$ thì $A = 90°$ (góc vuông).
• Nếu $\cos A < 0$ thì $A$ là góc tù ($90° < A < 180°$).
Ví dụ — Tính cạnh khi biết hai cạnh và góc xen giữa
Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 120°$, $AB = 5$, $AC = 8$. Tính độ dài cạnh $BC$.
→Áp dụng định lí côsin với góc $A$ xen giữa hai cạnh $b = AC = 8$ và $c = AB = 5$:
→$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$
→$= 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 120°$
→$= 25 + 64 - 80 \cdot \left(-\dfrac{1}{2}\right) = 89 + 40 = 129$
⟹$BC = \sqrt{129}$
2
Định lí sin
▼
Định lí sin
Trong tam giác $ABC$ bất kì với $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp:
$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$
Hình 2: Tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O;\ R)$ — minh hoạ định lí sin
Các dạng biến đổi thường dùng
Tính cạnh khi biết góc đối và $R$
$a = 2R\sin A$ ; $b = 2R\sin B$ ; $c = 2R\sin C$
Tính sin góc khi biết cạnh đối và $R$
$\sin A = \dfrac{a}{2R}$ ; $\sin B = \dfrac{b}{2R}$ ; $\sin C = \dfrac{c}{2R}$
⚠️Tính chất quan trọng: Với mọi $\alpha$ thoả $0° < \alpha < 180°$, ta có:
$\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha$(hai góc bù nhau có sin bằng nhau). Ví dụ: $\sin 130° = \sin 50°$, $\sin 150° = \sin 30° = \dfrac{1}{2}$.
$\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha$(hai góc bù nhau có sin bằng nhau). Ví dụ: $\sin 130° = \sin 50°$, $\sin 150° = \sin 30° = \dfrac{1}{2}$.
Ví dụ — Áp dụng định lí sin
Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{A} = 135°$, $\widehat{C} = 15°$, $b = 12$. Tính số đo góc $B$, các cạnh $a$, $c$ và bán kính $R$.
①Tính góc $B$: $\widehat{B} = 180° - 135° - 15° = 30°$.
②Áp dụng định lí sin với cạnh $b = 12$ đối góc $B = 30°$:
→$2R = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{12}{\sin 30°} = \dfrac{12}{0{,}5} = 24$ ⟹ $R = 12$.
③Tính $a = 2R \cdot \sin A = 24 \cdot \sin 135° = 24 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2}$.
④Tính $c = 2R \cdot \sin C = 24 \cdot \sin 15° \approx 6{,}21$.
3
Các công thức tính diện tích tam giác
▼
Bốn công thức diện tích quan trọng
$S = \dfrac{1}{2}bc\sin A$
Biết 2 cạnh + góc xen giữa
$S = \dfrac{abc}{4R}$
Biết 3 cạnh + bán kính ngoại tiếp $R$
$S = pr$
Biết nửa chu vi $p$ + bán kính nội tiếp $r$
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
Biết 3 cạnh — công thức Heron
Công thức 1 — Hai cạnh và sin góc xen giữa
$S = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2}ca\sin B = \dfrac{1}{2}ab\sin C$
⚠️Lưu ý chọn đúng góc: Trong $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A$, góc $A$ phải là góc xen giữa hai cạnh $b$ và $c$. Tương tự với các công thức còn lại.
Công thức 2 — Hệ thức với $R$ và $r$
→Từ $\sin A = \dfrac{a}{2R}$ thay vào $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A$, suy ra: $S = \dfrac{abc}{4R}$.
→Đường tròn nội tiếp tam giác cách đều ba cạnh $\Rightarrow$ $S = pr$ với $p$ là nửa chu vi.
Công thức 3 — Heron (chỉ cần ba cạnh)
$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$
với $p = \dfrac{a+b+c}{2}$
với $p = \dfrac{a+b+c}{2}$
Ví dụ — Tính diện tích bằng nhiều cách
Cho tam giác $ABC$ có $a = 13$, $b = 14$, $c = 15$.
a) Tính $\sin A$. b) Tính diện tích $S$.
a) Tính $\sin A$:
→Áp dụng hệ quả định lí côsin: $\cos A = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \dfrac{14^2 + 15^2 - 13^2}{2 \cdot 14 \cdot 15}$
→$= \dfrac{196 + 225 - 169}{420} = \dfrac{252}{420} = 0{,}6$
→$\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - 0{,}36} = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8$
b) Tính diện tích — hai cách:
①Cách 1 — dùng $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A$:
→$S = \dfrac{1}{2} \cdot 14 \cdot 15 \cdot 0{,}8 = 84$
②Cách 2 — dùng Heron:
→$p = \dfrac{13+14+15}{2} = 21$
→$S = \sqrt{21 \cdot (21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{7056} = 84$ ✓
⟹$S = 84$ (hai cách cho cùng kết quả).
4
Giải tam giác — chọn công cụ
▼
Khái niệm
Giải tam giác là việc tính độ dài các cạnh và số đo các góc còn lại khi biết một số yếu tố ban đầu của tam giác.
Ba trường hợp cơ bản và cách chọn định lí
| Dữ kiện đã biết | Định lí sử dụng |
|---|---|
| 2 cạnh + góc xen giữa | Định lí côsin để tính cạnh đối |
| Ba cạnh | Hệ quả định lí côsin để tính các góc |
| 1 cạnh + 2 góc kề | Định lí sin để tính các cạnh còn lại |
| 2 cạnh + góc đối diện | Định lí sin để tính góc đối cạnh kia |
💡Bước chung khi biết hai góc: Áp dụng tổng ba góc trong tam giác $A + B + C = 180°$ để tính góc còn lại.
Ví dụ 1 — Biết một cạnh và hai góc kề
Giải tam giác $ABC$, biết $c = 14$, $\widehat{A} = 60°$, $\widehat{B} = 40°$.
①$\widehat{C} = 180° - 60° - 40° = 80°$.
②Áp dụng định lí sin: $\dfrac{a}{\sin 60°} = \dfrac{b}{\sin 40°} = \dfrac{14}{\sin 80°}$
③$a = \dfrac{14 \cdot \sin 60°}{\sin 80°} \approx 12{,}31$
④$b = \dfrac{14 \cdot \sin 40°}{\sin 80°} \approx 9{,}14$
Ví dụ 2 — Biết ba cạnh: tính góc, diện tích, $r$
Cho tam giác $ABC$ có $a = 6$, $b = 5$, $c = 8$. Tính $\cos A$, diện tích $S$ và bán kính nội tiếp $r$.
①$\cos A = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \dfrac{25+64-36}{2 \cdot 5 \cdot 8} = \dfrac{53}{80} = 0{,}6625$
②$\sin A = \sqrt{1 - 0{,}6625^2} \approx 0{,}749$
③$S = \dfrac{1}{2}bc\sin A \approx \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot 0{,}749 \approx 14{,}98$
④$p = \dfrac{6+5+8}{2} = 9{,}5$
⑤Từ $S = pr$ ⟹ $r = \dfrac{S}{p} \approx \dfrac{14{,}98}{9{,}5} \approx 1{,}577$
5
Bài toán thực tế — đo đạc và hướng địa lí
▼
Quy trình giải bài toán thực tế
Vẽ hình
theo dữ kiện
theo dữ kiện
→
Xác định
cạnh & góc
cạnh & góc
→
Chọn định lí
(sin / côsin)
(sin / côsin)
→
Tính &
kết luận
kết luận
Quy ước hướng địa lí
•Hướng $S\alpha°E$: tạo với hướng nam một góc $\alpha°$, lệch về phía đông.
•Tương tự: $S\alpha°W$, $N\alpha°E$, $N\alpha°W$.
•Hướng nam thuần (không lệch): $S0°E$ hoặc $S0°W$.
Hình 3: Quy ước biểu diễn hướng — góc tạo với phương Bắc/Nam
Ví dụ — Đo chiều cao toà nhà
Trên nóc một toà nhà có cột ăng-ten cao $5$ m. Từ vị trí quan sát $A$ cao $7$ m so với mặt đất, có thể nhìn thấy đỉnh $B$ và chân $C$ của cột ăng-ten với các góc tương ứng là $50°$ và $40°$ so với phương ngang. Tính chiều cao toà nhà.
Hình 4: Sơ đồ đo chiều cao toà nhà
①Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên đường thẳng đứng chứa $BC$.
→$\widehat{ABC} = 90° - 50° = 40°$ (do tam giác $ABH$ vuông tại $H$).
→$\widehat{BAC} = 50° - 40° = 10°$.
→$\widehat{ACB} = 180° - 40° - 10° = 130°$.
②Áp dụng định lí sin với $BC = 5$:
→$AC = \dfrac{BC \cdot \sin B}{\sin A} = \dfrac{5 \cdot \sin 40°}{\sin 10°} \approx 18{,}51$ m
③Khoảng cách đứng từ $C$ đến phương ngang qua $A$:
→$CH = AC \cdot \sin 40° \approx 18{,}51 \cdot 0{,}6428 \approx 11{,}90$ m
④Chiều cao toà nhà = $CH + 7 \approx 11{,}9 + 7 = 18{,}9$ m.
6
Tổng kết và Sai lầm thường gặp
▼
Bảng các sai lầm thường gặp
| Sai lầm | Đính chính |
|---|---|
| Viết $a^2 = b^2 + c^2 + 2bc\cos A$ | Đúng: $a^2 = b^2 + c^2 \mathbf{-}\, 2bc\cos A$ (dấu trừ). |
| Cho rằng $\sin(180° - \alpha) = -\sin\alpha$ | Đúng: $\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha$. Ví dụ $\sin 130° = \sin 50°$. |
| Dùng định lí sin khi biết 2 cạnh + góc xen giữa | Trường hợp này phải dùng định lí côsin. |
| Trong $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A$ chọn nhầm góc không xen giữa | $A$ phải là góc xen giữa hai cạnh $b$ và $c$. |
| Dùng Heron với $p = a+b+c$ | $p$ là nửa chu vi: $p = \dfrac{a+b+c}{2}$. |
✓Tóm tắt Bài 6:
• Định lí côsin: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ (dùng khi biết 2 cạnh + góc xen giữa, hoặc 3 cạnh).
• Định lí sin: $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$ (dùng khi biết 1 cạnh + 2 góc, hoặc liên quan $R$).
• Hai góc bù nhau có sin bằng nhau: $\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha$.
• Bốn công thức diện tích: $\dfrac{1}{2}bc\sin A$, $\dfrac{abc}{4R}$, $pr$, Heron.
• Pythagore là trường hợp đặc biệt của định lí côsin khi $A = 90°$.
📚
Xem thêm bài viết chi tiết• Định lí côsin: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ (dùng khi biết 2 cạnh + góc xen giữa, hoặc 3 cạnh).
• Định lí sin: $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$ (dùng khi biết 1 cạnh + 2 góc, hoặc liên quan $R$).
• Hai góc bù nhau có sin bằng nhau: $\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha$.
• Bốn công thức diện tích: $\dfrac{1}{2}bc\sin A$, $\dfrac{abc}{4R}$, $pr$, Heron.
• Pythagore là trường hợp đặc biệt của định lí côsin khi $A = 90°$.
Công thức hệ thức lượng trong tam giác — đầy đủ các dạng và mẹo →
1
—
Điểm: 0/25
📐
Luyện tập Hệ thức lượng trong tam giác!
25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh