Lớp 10 · Toán
Bài 7
Các Khái Niệm Mở Đầu Về Vectơ
Vectơ · Cùng phương · Cùng hướng · Vectơ bằng nhau · Vectơ-không
1
Khái niệm vectơ và độ dài
▼
Trong cuộc sống, có những đại lượng chỉ có độ lớn như nhiệt độ, khối lượng (dùng một số để biểu diễn). Nhưng cũng có những đại lượng vừa có độ lớn vừa có hướng như lực, vận tốc, gia tốc — để biểu diễn ta cần dùng vectơ.
Định nghĩa
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng, nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng đã chỉ rõ điểm nào là điểm đầu và điểm nào là điểm cuối.
Vectơ $\overrightarrow{AB}$ — điểm đầu $A$, điểm cuối $B$
Kí hiệu vectơ
•Vectơ có điểm đầu $A$, điểm cuối $B$ kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$ (đọc là "vectơ $AB$").
•Vectơ còn được kí hiệu bằng chữ thường: $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{x}$, $\vec{y}$,...
Độ dài của vectơ
Định nghĩa độ dài
Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
$|\overrightarrow{AB}| = AB$ ; độ dài của $\vec{a}$ kí hiệu là $|\vec{a}|$
⚠️Lưu ý: Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BA}$ có cùng độ dài ($AB = BA$) nhưng ngược hướng nhau, nên chúng không bằng nhau.
Ví dụ — Tính độ dài vectơ trong hình vuông
Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $1$. Tính các độ dài $|\overrightarrow{AC}|$, $|\overrightarrow{CA}|$, $|\overrightarrow{BD}|$.
→Đường chéo hình vuông cạnh $1$: $AC = BD = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
→$|\overrightarrow{AC}| = AC = \sqrt{2}$.
→$|\overrightarrow{CA}| = CA = \sqrt{2}$ (cùng đoạn $AC$).
→$|\overrightarrow{BD}| = BD = \sqrt{2}$.
2
Hai vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng
▼
Giá của vectơ
Giá của một vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.
Hai vectơ cùng phương
Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.
Hai vectơ cùng phương, CÙNG hướng
Hai vectơ cùng phương, NGƯỢC hướng
Hai vectơ cùng hướng / ngược hướng
| Quan hệ | Điều kiện |
|---|---|
| Cùng phương | Hai giá song song hoặc trùng nhau. |
| Cùng hướng | Cùng phương VÀ mũi tên cùng chiều. |
| Ngược hướng | Cùng phương VÀ mũi tên ngược chiều. |
⚠️Quan trọng: Chỉ khi hai vectơ cùng phương, ta mới nói đến chúng cùng hướng hay ngược hướng. Nếu hai vectơ không cùng phương, không thể kết luận là ngược hướng — chúng đơn giản là không cùng phương.
💡Tính chất bắc cầu:
• Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng cùng phương với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương.
• Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng cùng hướng với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng.
• Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng cùng phương với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương.
• Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng cùng hướng với $\vec{c}$ thì $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng hướng.
3
Hai vectơ bằng nhau và Vectơ-không
▼
Hai vectơ bằng nhau
Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được gọi là bằng nhau, kí hiệu $\vec{a} = \vec{b}$, nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.
$\vec{a} = \vec{b}$ ⟺ cùng phương + cùng hướng + cùng độ dài
So sánh: bằng nhau và chỉ cùng độ dài
✓ Bằng nhau
Đủ 3 điều kiện: cùng phương + cùng hướng + cùng độ dài.
✗ Chỉ cùng độ dài
Có thể không cùng phương hoặc ngược hướng → KHÔNG bằng nhau.
Vectơ-không $\vec{0}$
Vectơ có điểm đầu trùng điểm cuối (ví dụ $\overrightarrow{AA}$, $\overrightarrow{BB}$, $\overrightarrow{MM}$,...) gọi là vectơ-không.
Quy ước về vectơ-không
•Vectơ-không có độ dài bằng $0$: $|\vec{0}| = 0$.
•Vectơ-không cùng hướng (do đó cùng phương) với mọi vectơ.
•Tất cả các vectơ-không bằng nhau và được kí hiệu chung là $\vec{0}$.
⚠️Phân biệt: Số $0$ và vectơ-không $\vec{0}$ khác nhau về bản chất: $0$ là số, còn $\vec{0}$ là vectơ (có hướng — quy ước cùng hướng với mọi vectơ).
4
Tính chất quan trọng và Ứng dụng
▼
Tính chất duy nhất điểm
Với mỗi điểm $O$ và vectơ $\vec{a}$ cho trước, có duy nhất một điểm $A$ sao cho $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$.
Ứng dụng 1 — Ba điểm thẳng hàng
Điều kiện thẳng hàng
Ba điểm phân biệt $A$, $B$, $C$ thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương.
💡Cách nhớ: Nếu $A$, $B$, $C$ thẳng hàng → $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ có cùng giá (đường thẳng đi qua 3 điểm) → cùng phương. Ngược lại cũng đúng.
Ứng dụng 2 — Hình bình hành
Đặc trưng hình bình hành bằng vectơ
Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi:
$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$
(Tương đương: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.)
Hình 1: Hình bình hành $ABCD$ — $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$
⚠️Sai lầm phổ biến: Trong hình bình hành $ABCD$, viết $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ là SAI! Hai vectơ này ngược hướng. Đúng phải là $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ (chú ý thứ tự đỉnh).
Ví dụ — Vectơ trong hình chữ nhật
Cho hình chữ nhật $ABCD$. Hãy chỉ ra mối quan hệ về độ dài, phương, hướng giữa các cặp vectơ: $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$; $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$; $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$.
①$\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{BC}$: cùng độ dài, cùng hướng → $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$ ✓
②$\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$: cùng độ dài nhưng ngược hướng → KHÔNG bằng nhau ✗
③$\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BD}$ (hai đường chéo): cùng độ dài nhưng không cùng phương (hai đường chéo cắt nhau, không song song) → KHÔNG bằng nhau ✗
⟹Chỉ có cặp $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$.
Ứng dụng 3 — Biểu diễn đại lượng vật lí
Vectơ được dùng để biểu diễn các đại lượng có hướng như: lực, vận tốc, gia tốc.
•Hướng của vectơ chỉ hướng của đại lượng.
•Độ dài của vectơ tỉ lệ với độ lớn của đại lượng.
5
Phương pháp giải các dạng toán
▼
Dạng 1 — Xét tính đúng/sai về vectơ
→Dựa chính xác vào các định nghĩa: cùng phương, cùng hướng, vectơ bằng nhau, vectơ-không.
→Cẩn thận với các tính chất bắc cầu (cùng phương, cùng hướng).
→Lưu ý: $\vec{0}$ cùng hướng với mọi vectơ (theo quy ước).
Dạng 2 — Xác định các vectơ trên hình vẽ
→Vẽ và quan sát kỹ các giá của từng vectơ.
→So sánh: phương (giá) → hướng (mũi tên) → độ dài.
→Bằng nhau ⟺ cùng hướng + cùng độ dài.
Dạng 3 — Chứng minh hình bình hành bằng vectơ
→Sử dụng đặc trưng: $ABCD$ là hình bình hành ⟺ $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$.
→Chứng minh hai chiều (thuận và đảo) khi đề yêu cầu "khi và chỉ khi".
Dạng 4 — Liệt kê và phân nhóm vectơ bằng nhau
→Liệt kê đầy đủ tất cả các vectơ khác $\vec{0}$ tạo từ tập điểm đã cho. Nhớ rằng $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BA}$ là HAI vectơ khác nhau.
→Phân nhóm: trong mỗi nhóm, các vectơ phải cùng hướng + cùng độ dài.
6
Mở rộng — Đường trung bình & quan hệ phương/hướng của vectơ
▼
Khi xét quan hệ cùng phương / cùng hướng / bằng nhau giữa các vectơ tạo bởi những điểm trong một hình, ngoài định nghĩa vectơ ta thường phải dựa vào một tính chất song song quen thuộc. Phổ biến nhất trong tam giác là đường trung bình.
Đường trung bình của tam giác
Trong tam giác $ABC$, nếu $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$ thì đoạn $MN$ là đường trung bình, và:
$MN \parallel BC$ và $MN = \dfrac{1}{2}BC$
Hình: $M$, $N$ là trung điểm $AB$, $AC$ → $MN \parallel BC$, $MN = \tfrac{1}{2}BC$
Suy ra quan hệ giữa các vectơ
→$MN \parallel BC$ → $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng phương.
→$\overrightarrow{MN}$ cùng chiều với $\overrightarrow{BC}$ (cùng đi từ phía $B$ về phía $C$) → cùng hướng.
→Nhưng $|\overrightarrow{MN}| = \dfrac{1}{2}|\overrightarrow{BC}|$ → KHÔNG bằng nhau (khác độ dài).
⚠️Dễ nhầm: Vì $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng, nhiều bạn vội kết luận $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{BC}$. Sai! Bằng nhau cần đủ cùng hướng + cùng độ dài, mà ở đây độ dài chỉ bằng một nửa.
Quy tắc nền: điểm nằm trên một đường thẳng
Các vectơ trên cùng một đường thẳng
Nếu điểm $N$ nằm trên đường thẳng $AC$ (chẳng hạn $N$ là trung điểm $AC$) thì $A$, $N$, $C$ thẳng hàng, nên mọi vectơ nối các điểm này đôi một cùng phương ($\overrightarrow{AN}$, $\overrightarrow{NC}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{CA}$ …) — chỉ còn việc xét chiều.
→$\overrightarrow{AN}$ (chiều $A \to C$) và $\overrightarrow{AC}$ (chiều $A \to C$): cùng hướng.
→$\overrightarrow{AN}$ (chiều $A \to C$) và $\overrightarrow{CA}$ (chiều $C \to A$): ngược hướng.
💡Thứ tự xét luôn là: phương (cùng giá / song song?) → hướng (mũi tên cùng chiều?) → độ dài (để xét bằng nhau). Nhảy thẳng sang "ngược hướng" khi chưa biết cùng phương là sai (xem Card 2).
Ví dụ — Ba đường trung bình của tam giác
Cho tam giác $ABC$ có $M$, $N$, $P$ lần lượt là trung điểm $AB$, $AC$, $BC$. Xét quan hệ giữa mỗi đường trung bình và cạnh tương ứng.
①$MN \parallel BC$ → $\overrightarrow{MN}$ cùng hướng $\overrightarrow{BC}$, $|\overrightarrow{MN}| = \tfrac{1}{2}|\overrightarrow{BC}|$.
②$NP \parallel AB$ → $\overrightarrow{NP}$ cùng hướng $\overrightarrow{AB}$, $|\overrightarrow{NP}| = \tfrac{1}{2}|\overrightarrow{AB}|$.
③$MP \parallel AC$ → $\overrightarrow{MP}$ cùng hướng $\overrightarrow{AC}$, $|\overrightarrow{MP}| = \tfrac{1}{2}|\overrightarrow{AC}|$.
⟹Mỗi đường trung bình cùng hướng với cạnh tương ứng nhưng độ dài bằng nửa → không cặp nào bằng nhau.
✓Ghi nhớ: "Đường trung bình → song song + bằng nửa cạnh đáy." Về vectơ: cùng hướng với cạnh đáy nhưng không bằng nhau (chỉ bằng nửa độ dài).
7
Tổng kết và Sai lầm thường gặp
▼
Bảng tổng hợp các quan hệ giữa hai vectơ
| Khái niệm | Điều kiện |
|---|---|
| Vectơ | Đoạn thẳng có hướng (chỉ rõ điểm đầu, điểm cuối) |
| Độ dài $|\overrightarrow{AB}|$ | Bằng khoảng cách $AB$ giữa hai đầu mút |
| Vectơ-không $\vec{0}$ | Điểm đầu = điểm cuối; $|\vec{0}| = 0$; cùng hướng mọi vectơ |
| Cùng phương | Giá song song hoặc trùng nhau |
| Cùng hướng | Cùng phương + mũi tên cùng chiều |
| Vectơ bằng nhau | Cùng hướng + cùng độ dài |
| $A$, $B$, $C$ thẳng hàng | $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ cùng phương |
| $ABCD$ hình bình hành | $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$ |
Bảng các sai lầm thường gặp
| Sai lầm | Đính chính |
|---|---|
| $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BA}$ | Hai vectơ này ngược hướng, không bằng nhau (trừ khi $A \equiv B$). |
| Cùng độ dài là bằng nhau | Cần đủ 3 điều kiện: cùng phương + cùng hướng + cùng độ dài. |
| Không cùng hướng tức là ngược hướng | Chỉ đúng khi 2 vectơ đã cùng phương. Nếu không cùng phương — không thể nói ngược hướng. |
| Hình bình hành $ABCD$: $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$ | SAI! Đúng là $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$ (chú ý thứ tự đỉnh). |
| $\vec{0}$ không cùng phương với vectơ nào | Theo quy ước, $\vec{0}$ cùng hướng (do đó cùng phương) với mọi vectơ. |
✓Tóm tắt Bài 7:
• Vectơ: đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu $\overrightarrow{AB}$ hoặc $\vec{a}$.
• Cùng phương = giá song song/trùng. Cùng hướng = cùng phương + cùng chiều.
• Bằng nhau = cùng hướng + cùng độ dài.
• $\vec{0}$: độ dài $0$, cùng hướng mọi vectơ.
• $A, B, C$ thẳng hàng ⟺ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ cùng phương.
• $ABCD$ hình bình hành ⟺ $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$.
📚
Xem thêm bài viết chi tiết• Vectơ: đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu $\overrightarrow{AB}$ hoặc $\vec{a}$.
• Cùng phương = giá song song/trùng. Cùng hướng = cùng phương + cùng chiều.
• Bằng nhau = cùng hướng + cùng độ dài.
• $\vec{0}$: độ dài $0$, cùng hướng mọi vectơ.
• $A, B, C$ thẳng hàng ⟺ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ cùng phương.
• $ABCD$ hình bình hành ⟺ $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$.
Các khái niệm mở đầu về vectơ — lý thuyết, ví dụ, mẹo nhớ →
1
—
Điểm: 0/25
➡️
Luyện tập về Vectơ!
25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh