Lớp 10 · Toán
Bài 8
Tổng Và Hiệu Của Hai Vectơ
Phép cộng · Phép trừ · Vectơ đối · Quy tắc hình bình hành · Ứng dụng vật lí
1
Tổng của hai vectơ
▼
Định nghĩa
Cho hai vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$. Lấy điểm $A$ tuỳ ý, vẽ $\overrightarrow{AB} = \vec{a}$, $\overrightarrow{BC} = \vec{b}$. Vectơ $\overrightarrow{AC}$ được gọi là tổng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$.
$\vec{a} + \vec{b} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$
Phép lấy tổng hai vectơ gọi là phép cộng vectơ.
Hình 1: Phép cộng vectơ — $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$
Quy tắc ba điểm
Quy tắc ba điểm
Với ba điểm bất kì $A$, $B$, $C$:
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$
💡Cách nhớ: Khi cộng hai vectơ "nối tiếp" nhau (điểm cuối của vectơ trước trùng điểm đầu của vectơ sau), kết quả là vectơ đi từ điểm đầu của vectơ thứ nhất đến điểm cuối của vectơ thứ hai.
Quy tắc hình bình hành
Quy tắc hình bình hành
Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì:
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$
Hình 2: Hình bình hành $ABCD$ — tổng hai vectơ kề bằng vectơ đường chéo
⚠️Phân biệt 2 quy tắc:
• Quy tắc 3 điểm: hai vectơ "nối tiếp" ($\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$) — chung điểm $B$.
• Quy tắc hình bình hành: hai vectơ cùng gốc ($\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$) — chung điểm $A$, cần dựng hình bình hành.
• Quy tắc 3 điểm: hai vectơ "nối tiếp" ($\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$) — chung điểm $B$.
• Quy tắc hình bình hành: hai vectơ cùng gốc ($\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$) — chung điểm $A$, cần dựng hình bình hành.
Tính chất của phép cộng vectơ
| Tính chất | Công thức |
|---|---|
| Giao hoán | $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$ |
| Kết hợp | $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$ |
| Cộng với $\vec{0}$ | $\vec{a} + \vec{0} = \vec{0} + \vec{a} = \vec{a}$ |
💡Hệ quả: Do tính chất kết hợp, ta có thể viết $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ không cần dấu ngoặc — gọi là tổng của 3 vectơ. Tương tự cho tổng nhiều vectơ.
2
Hiệu của hai vectơ — Vectơ đối
▼
Vectơ đối
Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơ $\vec{a}$ được gọi là vectơ đối của $\vec{a}$, kí hiệu $-\vec{a}$.
$\vec{a} + (-\vec{a}) = \vec{0}$
Hình 3: Vectơ $\vec{a}$ và vectơ đối $-\vec{a}$ — cùng độ dài, ngược hướng
Tính chất quan trọng của vectơ đối
①Vectơ $\vec{0}$ được coi là vectơ đối của chính nó.
②Hai vectơ đối nhau $\Leftrightarrow$ tổng của chúng bằng $\vec{0}$.
③Vectơ đối của $\overrightarrow{AB}$ là $\overrightarrow{BA}$:
$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \vec{0}$ hay $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$
Định nghĩa hiệu hai vectơ
Định nghĩa hiệu
Vectơ $\vec{a} + (-\vec{b})$ được gọi là hiệu của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$, kí hiệu $\vec{a} - \vec{b}$.
$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$
Phép lấy hiệu hai vectơ gọi là phép trừ vectơ.
Quy tắc hiệu (Quy tắc 3 điểm cho phép trừ)
Quy tắc hiệu
Với ba điểm $O$, $M$, $N$ tuỳ ý:
$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM}$
$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM}$
Hình 4: Quy tắc hiệu — $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM}$
Cách nhớ quy tắc hiệu
Hiệu hai vectơ có cùng gốc ($\overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM}$) là vectơ đi từ điểm cuối của vectơ trừ ($M$) đến điểm cuối của vectơ bị trừ ($N$): $\overrightarrow{MN}$.
Áp dụng quan trọng (rất hay dùng):
$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$ (đi từ điểm cuối của $\overrightarrow{AC}$ là $C$ đến điểm cuối của $\overrightarrow{AB}$ là $B$).
Áp dụng quan trọng (rất hay dùng):
$\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$ (đi từ điểm cuối của $\overrightarrow{AC}$ là $C$ đến điểm cuối của $\overrightarrow{AB}$ là $B$).
Ví dụ 1 — Hình vuông cạnh 1
Cho hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $1$. Tính độ dài các vectơ $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BD}$.
①Tính $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB}|$:
→Vì $ABCD$ hình vuông nên $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$.
→$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DB}$ (quy tắc 3 điểm)
→$|\overrightarrow{DB}| = DB = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ (đường chéo h.vuông cạnh 1)
②Tính $|\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BD}|$:
→$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BD} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}) + \overrightarrow{DC}$
→$= \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC}$
→$|\overrightarrow{AC}| = AC = \sqrt{2}$ (đường chéo)
3
Đặc trưng vectơ — Trung điểm & Trọng tâm
▼
Đặc trưng trung điểm
$I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ khi và chỉ khi:
$\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$
→Giải thích: Khi $I$ là trung điểm, ta có $IA = IB$ (cùng độ dài) và hai vectơ $\overrightarrow{IA}$, $\overrightarrow{IB}$ ngược hướng.
→$\Rightarrow \overrightarrow{IA}$ và $\overrightarrow{IB}$ là hai vectơ đối nhau $\Rightarrow$ tổng bằng $\vec{0}$.
Đặc trưng trọng tâm
$G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ khi và chỉ khi:
$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$
Hình 5: Trung điểm $I$ của $AB$ và trọng tâm $G$ của $\triangle ABC$
Chứng minh đặc trưng trọng tâm
①Trọng tâm $G$ thuộc trung tuyến $AI$ ($I$ là trung điểm $BC$) và $GA = 2GI$.
②Lấy điểm $D$ đối xứng với $G$ qua $I$ $\Rightarrow$ $I$ là trung điểm cả $GD$ và $BC$.
③$\Rightarrow$ Tứ giác $GBDC$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường $\Rightarrow$ là hình bình hành.
④$GA = 2GI = GD$ và $\overrightarrow{GA}$, $\overrightarrow{GD}$ ngược hướng $\Rightarrow$ là 2 vectơ đối $\Rightarrow$ $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GD} = \vec{0}$.
⑤Trong hbh $GBDC$ (quy tắc hbh): $\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GD}$.
→Vậy $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GD} = \vec{0}$. $\square$
⚠️Hệ quả hay dùng: Từ $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$, ta suy ra:
• $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = -\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{CG}$
• $\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{AG}$
• $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{BG}$
• $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = -\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{CG}$
• $\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{AG}$
• $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GC} = \overrightarrow{BG}$
4
Ứng dụng vật lí — Hợp lực & Tổng hợp vận tốc
▼
Tổng hợp lực
Hai lực $\vec{F_1}$, $\vec{F_2}$ cùng tác động lên một vật. Hợp lực:
$\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$
Tổng hợp vận tốc
Thuyền có vận tốc riêng $\vec{v_r}$, dòng nước có vận tốc $\vec{v_n}$. Vận tốc thực:
$\vec{v} = \vec{v_r} + \vec{v_n}$
Cách tính độ lớn hợp lực
Khi biết độ lớn hai lực $|\vec{F_1}|, |\vec{F_2}|$ và góc giữa hai lực ($\theta$), ta dựng hình bình hành rồi áp dụng định lí côsin trong tam giác để tìm độ dài đường chéo.
Hình 6: Hợp lực $\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$ — đường chéo hình bình hành
Ví dụ 2 — Hợp lực hai lực vuông góc
Cho hai lực $\vec{F_1}, \vec{F_2}$ vuông góc nhau, $|\vec{F_1}| = 6$ N, $|\vec{F_2}| = 8$ N. Tính độ lớn hợp lực.
→Dựng hình bình hành (lúc này là hình chữ nhật vì 2 lực vuông góc).
→Hợp lực = đường chéo, áp dụng Pythagore:
→$|\vec{F}|^2 = |\vec{F_1}|^2 + |\vec{F_2}|^2 = 36 + 64 = 100$
→$|\vec{F}| = 10$ N.
💡Trường hợp đặc biệt — hai lực bằng nhau, góc giữa $= 60°$: hợp lực $= F\sqrt{3}$ (với $F$ là độ lớn mỗi lực). Trường hợp $90°$: hợp lực $= F\sqrt{2}$.
5
Phương pháp giải các dạng toán
▼
Dạng 1 — Chứng minh đẳng thức vectơ
1
Sử dụng quy tắc 3 điểm để "nối chuỗi" vectơ: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$.
2
Sử dụng quy tắc hiệu: $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$ (cùng gốc $A$ → đi từ $C$ đến $B$).
3
Lưu ý: $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$, hay $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} = \vec{0}$.
Ví dụ 3 — Tổng vectơ trong tứ giác
Chứng minh với 4 điểm $A, B, C, D$ bất kì: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \vec{0}$.
→Áp dụng quy tắc 3 điểm liên tiếp:
→$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$
→$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}$
→$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{AA} = \vec{0}$ (vì $\overrightarrow{DA} = -\overrightarrow{AD}$). $\square$
Dạng 2 — Tính độ dài tổng/hiệu vectơ
Đưa về
1 vectơ duy nhất
1 vectơ duy nhất
→
Tính độ dài
vectơ đó
vectơ đó
①Với hiệu $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$: dùng quy tắc hiệu $= \overrightarrow{CB}$, độ dài $= CB$.
②Với tổng $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$ (hai vectơ cùng gốc $A$): dựng hình bình hành $ABDC$, khi đó $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD}$. Độ dài $= AD$ (đường chéo).
③Với chuỗi vectơ nối tiếp: dùng quy tắc 3 điểm liên tiếp để rút gọn về 1 vectơ.
Dạng 3 — Bài toán hợp lực
1
Biểu diễn các lực bằng vectơ, hợp lực = tổng các vectơ lực.
2
Dựng hình bình hành với 2 lực làm 2 cạnh kề $\Rightarrow$ hợp lực = đường chéo.
3
Áp dụng định lí côsin trong tam giác để tính độ lớn hợp lực.
Công thức nhanh tính độ lớn hợp lực
Nếu góc giữa $\vec{F_1}$ và $\vec{F_2}$ là $\theta$:
$|\vec{F_1} + \vec{F_2}|^2 = |\vec{F_1}|^2 + |\vec{F_2}|^2 + 2|\vec{F_1}||\vec{F_2}|\cos\theta$ Lưu ý: Ở đây $\theta$ là góc giữa hai vectơ, không phải góc kề bù trong hình bình hành.
$|\vec{F_1} + \vec{F_2}|^2 = |\vec{F_1}|^2 + |\vec{F_2}|^2 + 2|\vec{F_1}||\vec{F_2}|\cos\theta$ Lưu ý: Ở đây $\theta$ là góc giữa hai vectơ, không phải góc kề bù trong hình bình hành.
⚠️Sai lầm thường gặp: Cộng trực tiếp độ lớn $|\vec{F}| = |\vec{F_1}| + |\vec{F_2}|$ — chỉ đúng khi hai lực cùng hướng. Trường hợp tổng quát: $|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$ (bất đẳng thức tam giác).
6
Tổng kết
▼
✓Tóm tắt Bài 8:
• Quy tắc 3 điểm: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ (hai vectơ nối tiếp).
• Quy tắc hbh: $ABCD$ hbh thì $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$.
• Vectơ đối: $-\vec{a}$ cùng độ dài, ngược hướng với $\vec{a}$. $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$.
• Quy tắc hiệu: $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM}$ (đặc biệt: $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$).
• Trung điểm: $I$ là trung điểm $AB$ $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$.
• Trọng tâm: $G$ là trọng tâm $\triangle ABC$ $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$.
• Hợp lực: $\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$, dùng định lí côsin để tính độ lớn.
📚
Xem thêm: Lý thuyết đầy đủ + Mẹo giải nhanh + Sai lầm thường gặp tại Edus.vn
• Quy tắc 3 điểm: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$ (hai vectơ nối tiếp).
• Quy tắc hbh: $ABCD$ hbh thì $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AC}$.
• Vectơ đối: $-\vec{a}$ cùng độ dài, ngược hướng với $\vec{a}$. $\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}$.
• Quy tắc hiệu: $\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM}$ (đặc biệt: $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$).
• Trung điểm: $I$ là trung điểm $AB$ $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$.
• Trọng tâm: $G$ là trọng tâm $\triangle ABC$ $\Leftrightarrow$ $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$.
• Hợp lực: $\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2}$, dùng định lí côsin để tính độ lớn.
1
—
Điểm: 0/25
➡️
Luyện tập Tổng và hiệu hai vectơ!
25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh