Lớp 10 · Toán
Bài 9
Tích Của Một Vectơ Với Một Số
Định nghĩa · Tính chất · Trung điểm & Trọng tâm · Phân tích vectơ
1
Định nghĩa tích của vectơ với một số
▼
Cho vectơ $\vec{a} \neq \vec{0}$ và số thực $k$. Tích của $\vec{a}$ với $k$ là một vectơ, kí hiệu $k\vec{a}$, được xác định theo dấu của $k$:
Khi $k > 0$
$k\vec{a}$ cùng hướng với $\vec{a}$
$|k\vec{a}| = k \cdot |\vec{a}|$
Khi $k < 0$
$k\vec{a}$ ngược hướng với $\vec{a}$
$|k\vec{a}| = (-k) \cdot |\vec{a}|$
Quy ước đặc biệt
$k\vec{a} = \vec{0}$ trong các trường hợp:
$k = 0$ hoặc $\vec{a} = \vec{0}$
Phép lấy tích của vectơ với một số gọi là phép nhân vectơ với một số.
Hình 1: Các vectơ $\dfrac{1}{2}\vec{a}$, $\dfrac{3}{2}\vec{a}$ (cùng hướng $\vec{a}$) và $-2\vec{a}$, $-\dfrac{3}{2}\vec{a}$ (ngược hướng $\vec{a}$)
Nhận xét tổng quát
Độ dài và hướng của $k\vec{a}$
$|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$ (luôn dùng giá trị tuyệt đối $|k|$)
• $k > 0$ → cùng hướng $\vec{a}$
• $k < 0$ → ngược hướng $\vec{a}$ (nếu $\vec{a} \neq \vec{0}$)
• $k > 0$ → cùng hướng $\vec{a}$
• $k < 0$ → ngược hướng $\vec{a}$ (nếu $\vec{a} \neq \vec{0}$)
⚠️Sai lầm thường gặp: Tưởng độ dài $k\vec{a}$ có thể âm khi $k < 0$. Thực tế độ dài luôn không âm, nên ta dùng $|k|$ — giá trị tuyệt đối. Ví dụ: $|-3\vec{a}| = 3|\vec{a}|$, không phải $-3|\vec{a}|$.
Trường hợp đặc biệt
→$1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$ (nhân với $1$ giữ nguyên).
→$(-1) \cdot \vec{a} = -\vec{a}$ (nhân với $-1$ cho vectơ đối).
→$0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$ (nhân với $0$ cho vectơ-không).
Ví dụ 1 — Tính độ dài
Cho vectơ $\vec{a}$ có độ dài $|\vec{a}| = 4$. Tính độ dài các vectơ $3\vec{a}$, $-2\vec{a}$, $\dfrac{1}{2}\vec{a}$.
→$|3\vec{a}| = |3| \cdot |\vec{a}| = 3 \cdot 4 = 12$.
→$|-2\vec{a}| = |-2| \cdot |\vec{a}| = 2 \cdot 4 = 8$.
→$\left|\dfrac{1}{2}\vec{a}\right| = \dfrac{1}{2} \cdot 4 = 2$.
2
Tính chất & Điều kiện cùng phương
▼
Các tính chất của phép nhân vectơ với một số
| Tính chất | Công thức |
|---|---|
| Kết hợp | $k(t\vec{a}) = (kt)\vec{a}$ |
| Phân phối với tổng vectơ | $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$ |
| Phân phối với hiệu vectơ | $k(\vec{a} - \vec{b}) = k\vec{a} - k\vec{b}$ |
| Phân phối với tổng số | $(k + t)\vec{a} = k\vec{a} + t\vec{a}$ |
| Nhân với $\pm 1$ | $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$, $\;(-1)\vec{a} = -\vec{a}$ |
💡Cách nhớ: Phép nhân vectơ với số có các tính chất giống hệt phép nhân số thực. Có thể "rút thừa số chung" hoặc "khai triển" tự nhiên.
Ví dụ 2 — Rút gọn biểu thức
Rút gọn $\vec{u} = 3(\vec{a} + 2\vec{b}) - 2(\vec{a} - \vec{b})$.
→Khai triển: $\vec{u} = 3\vec{a} + 6\vec{b} - 2\vec{a} + 2\vec{b}$
→Nhóm theo $\vec{a}$ và $\vec{b}$: $\vec{u} = (3 - 2)\vec{a} + (6 + 2)\vec{b}$
→$\vec{u} = \vec{a} + 8\vec{b}$.
Điều kiện cùng phương — quan trọng
Điều kiện cùng phương
Hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ($\vec{b} \neq \vec{0}$) cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số thực $k$ sao cho:
$\vec{a} = k\vec{b}$
→Cách xác định $k$:
①Nếu $\vec{a}$, $\vec{b}$ cùng hướng: $k = \dfrac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|} > 0$.
②Nếu $\vec{a}$, $\vec{b}$ ngược hướng: $k = -\dfrac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|} < 0$.
⚠️Hệ quả: Ba điểm $A$, $B$, $C$ thẳng hàng khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương, tức tồn tại $k$ sao cho $\overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB}$.
3
Đẳng thức trung điểm & trọng tâm
▼
Đẳng thức trung điểm
$I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ khi và chỉ khi với điểm $O$ tuỳ ý:
$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OI}$
Hình 2: Trung điểm $I$ của $AB$ — $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OI}$
Chứng minh: Vì $I$ là trung điểm $AB$ nên $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$. Khi đó:
→$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = (\overrightarrow{OI} + \overrightarrow{IA}) + (\overrightarrow{OI} + \overrightarrow{IB})$
→$= 2\overrightarrow{OI} + (\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB}) = 2\overrightarrow{OI} + \vec{0} = 2\overrightarrow{OI}$. $\square$
Đẳng thức trọng tâm
$G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ khi và chỉ khi với điểm $O$ tuỳ ý:
$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}$
Hình 3: Trọng tâm $G$ của $\triangle ABC$ — $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}$
Chứng minh: Vì $G$ là trọng tâm nên $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$. Khi đó:
→$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}$
→$= (\overrightarrow{OG} + \overrightarrow{GA}) + (\overrightarrow{OG} + \overrightarrow{GB}) + (\overrightarrow{OG} + \overrightarrow{GC})$
→$= 3\overrightarrow{OG} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC}) = 3\overrightarrow{OG} + \vec{0} = 3\overrightarrow{OG}$. $\square$
Mẹo nhớ — "Tổng = Số đỉnh × OG"
• Trung điểm (2 điểm): $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = \mathbf{2}\overrightarrow{OI}$
• Trọng tâm (3 đỉnh): $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \mathbf{3}\overrightarrow{OG}$
Quy luật: Hệ số bên phải = số vectơ vế trái. Áp dụng được cho mọi điểm $O$, không cần $O$ ở vị trí đặc biệt.
• Trọng tâm (3 đỉnh): $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = \mathbf{3}\overrightarrow{OG}$
Quy luật: Hệ số bên phải = số vectơ vế trái. Áp dụng được cho mọi điểm $O$, không cần $O$ ở vị trí đặc biệt.
4
Phân tích vectơ theo hai vectơ không cùng phương
▼
Định lí phân tích vectơ
Cho hai vectơ không cùng phương $\vec{a}$ và $\vec{b}$. Khi đó mọi vectơ $\vec{u}$ đều biểu thị (phân tích) được một cách DUY NHẤT theo $\vec{a}$, $\vec{b}$:
$\vec{u} = x\vec{a} + y\vec{b}$
tồn tại duy nhất cặp số $(x;\ y)$.
Hình 4: Phân tích $\vec{u} = x\vec{a} + y\vec{b}$ duy nhất theo hai vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$ không cùng phương
💡Ý nghĩa của tính duy nhất: Nếu $x\vec{a} + y\vec{b} = x'\vec{a} + y'\vec{b}$ (với $\vec{a}, \vec{b}$ không cùng phương) thì chắc chắn $x = x'$ và $y = y'$. Đây là cơ sở để đồng nhất hệ số khi giải bài toán.
Phương pháp biểu thị một vectơ qua hai vectơ cho trước
1
Dùng quy tắc 3 điểm để nối vectơ cần tìm qua các điểm trung gian.
2
Thay các vectơ bằng nhau (ví dụ trong hbh: $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$).
3
Dùng tính chất trung điểm: $\overrightarrow{BM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ khi $M$ là trung điểm $BC$.
Ví dụ 3 — Biểu thị $\overrightarrow{AM}$ trong hình bình hành
Cho hình bình hành $ABCD$, $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Biểu thị $\overrightarrow{AM}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$.
①$ABCD$ là hbh nên $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$.
②$M$ là trung điểm $BC$ nên $\overrightarrow{BM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}$.
③Theo quy tắc 3 điểm:
→$\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BM} = \overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}$.
5
Phương pháp giải các dạng toán
▼
Dạng 1 — Biểu thị vectơ theo hai vectơ cho trước
Quy tắc
3 điểm
3 điểm
→
Thay vectơ
bằng nhau
bằng nhau
→
Dùng tỉ lệ
trung điểm
trung điểm
Dạng 2 — Chứng minh đẳng thức vectơ có hệ số
①Dùng tính chất trung điểm: $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = \vec{0}$ (M là trung điểm AB).
②Dùng tính chất trọng tâm: $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$.
③Dùng quy tắc 3 điểm thay vectơ rồi nhóm lại.
④Cộng vế theo vế khi cần.
Dạng 3 — Xác định điểm thoả đẳng thức vectơ có hệ số
1
Biểu thị tất cả vectơ về cùng một gốc (thường là điểm cần tìm hoặc một đỉnh đã biết).
2
Chuyển đẳng thức về dạng $\overrightarrow{KX} = \dfrac{m}{n}\overrightarrow{KY}$ → suy ra vị trí điểm.
3
Khi cần chứng minh đẳng thức với điểm $O$ tuỳ ý: thay $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OK} + \overrightarrow{KA}$,...
Ví dụ 4 — Tìm điểm $K$ và đẳng thức tổng quát
Cho hai điểm $A$, $B$. Tìm điểm $K$ sao cho $\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} = \vec{0}$. Chứng minh với mọi $O$: $\overrightarrow{OK} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{OB}$.
①Tìm $K$: $\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB} = \vec{0} \Rightarrow \overrightarrow{KA} = -2\overrightarrow{KB}$.
→$\overrightarrow{KA}$ và $\overrightarrow{KB}$ ngược hướng, $KA = 2KB$ → $K$ thuộc đoạn $AB$, $KA = 2KB$ (tức $K$ chia $AB$ theo tỉ số $2:1$ kể từ $A$).
②Đẳng thức với $O$ tuỳ ý:
→$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OK} + \overrightarrow{KA}$ và $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OK} + \overrightarrow{KB}$.
→$\overrightarrow{OA} + 2\overrightarrow{OB} = 3\overrightarrow{OK} + (\overrightarrow{KA} + 2\overrightarrow{KB}) = 3\overrightarrow{OK}$.
→$\overrightarrow{OK} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{OA} + \dfrac{2}{3}\overrightarrow{OB}$. $\square$
Dạng 4 — Bài toán cân bằng lực
→Ba lực cân bằng: $\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} = \vec{0}$.
→Suy ra $\vec{F_1} + \vec{F_2} = -\vec{F_3}$ → hợp lực 2 lực bằng vectơ đối của lực còn lại.
→Dựng hình vectơ, xác định góc, dùng hệ thức lượng giác trong tam giác vuông để tính.
6
Tổng kết
▼
✓Tóm tắt Bài 9:
• Định nghĩa $k\vec{a}$: $k > 0$ → cùng hướng; $k < 0$ → ngược hướng. Độ dài $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.
• Trường hợp đặc biệt: $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$, $(-1)\vec{a} = -\vec{a}$, $0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$.
• Tính chất: kết hợp $k(t\vec{a}) = (kt)\vec{a}$; phân phối $k(\vec{a} \pm \vec{b}) = k\vec{a} \pm k\vec{b}$ và $(k + t)\vec{a} = k\vec{a} + t\vec{a}$.
• Cùng phương: $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ($\vec{b} \ne \vec{0}$) cùng phương $\Leftrightarrow$ $\vec{a} = k\vec{b}$.
• Trung điểm: $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OI}$ với mọi $O$.
• Trọng tâm: $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}$ với mọi $O$.
• Phân tích duy nhất: Mọi vectơ $\vec{u}$ phân tích duy nhất $\vec{u} = x\vec{a} + y\vec{b}$ (với $\vec{a}, \vec{b}$ không cùng phương).
📚
Xem thêm: Lý thuyết đầy đủ + Mẹo giải nhanh + Sai lầm thường gặp tại Edus.vn
• Định nghĩa $k\vec{a}$: $k > 0$ → cùng hướng; $k < 0$ → ngược hướng. Độ dài $|k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.
• Trường hợp đặc biệt: $1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$, $(-1)\vec{a} = -\vec{a}$, $0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$.
• Tính chất: kết hợp $k(t\vec{a}) = (kt)\vec{a}$; phân phối $k(\vec{a} \pm \vec{b}) = k\vec{a} \pm k\vec{b}$ và $(k + t)\vec{a} = k\vec{a} + t\vec{a}$.
• Cùng phương: $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ($\vec{b} \ne \vec{0}$) cùng phương $\Leftrightarrow$ $\vec{a} = k\vec{b}$.
• Trung điểm: $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OI}$ với mọi $O$.
• Trọng tâm: $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} = 3\overrightarrow{OG}$ với mọi $O$.
• Phân tích duy nhất: Mọi vectơ $\vec{u}$ phân tích duy nhất $\vec{u} = x\vec{a} + y\vec{b}$ (với $\vec{a}, \vec{b}$ không cùng phương).
1
—
Điểm: 0/25
🔢
Luyện tập Tích vectơ với một số!
25 câu · 5 dạng từ dễ đến khó
🏆
Tuyệt vời!
0/25
💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh