Menu Học Tập

Lý thuyết, Bài tập Bài 27: Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

Lớp 10 · Toán Bài 27

Thực Hành Tính Xác Suất Theo Định Nghĩa Cổ Điển

Phương pháp tổ hợp · Sơ đồ hình cây · Xác suất biến cố đối

1
Sử dụng phương pháp tổ hợp
▼

Để tính xác suất theo công thức $P(E) = \dfrac{n(E)}{n(\Omega)}$, ta cần xác định $n(\Omega)$ và $n(E)$. Trong nhiều bài toán, việc liệt kê tất cả các phần tử là không khả thi (số lượng quá lớn). Khi đó ta dùng các quy tắc đếm, công thức tổ hợp để đếm gián tiếp.

💡Đại số tổ hợp được gọi là "sự kiểm đếm không cần phải liệt kê" — dùng các công thức $P_n$, $A_n^k$, $C_n^k$ để đếm nhanh.
Khi nào dùng tổ hợp $C_n^k$?
Khi bài toán yêu cầu chọn $k$ phần tử trong $n$ phần tử mà không phân biệt thứ tự:
• Chọn $k$ học sinh trong lớp.
• Chọn $k$ viên bi trong hộp.
• Chọn $k$ quân bài trong bộ bài.
$C_n^k = \dfrac{n!}{(n-k)! \cdot k!}$
Ví dụ 1 — Tổ hợp cơ bản

Một tổ trong lớp 10A có $10$ học sinh, gồm $6$ học sinh nam và $4$ học sinh nữ. Giáo viên chọn ngẫu nhiên $6$ học sinh trong tổ đó để tham gia đội tình nguyện Mùa hè xanh. Tính xác suất của biến cố $C$: "$6$ học sinh được chọn đều là nam".

①Không gian mẫu $\Omega$: tập tất cả các tập con gồm $6$ học sinh trong $10$ học sinh.
→$n(\Omega) = C_{10}^6 = \dfrac{10!}{6! \cdot 4!} = 210$.
②Biến cố $C$: chỉ có $1$ tập (tập gồm $6$ học sinh nam).
→$n(C) = 1$.
⟹$P(C) = \dfrac{1}{210}$.
2
Tổ hợp kết hợp với quy tắc nhân
▼

Khi biến cố $E$ được hình thành từ nhiều công đoạn nối tiếp (mỗi công đoạn chọn $1$ nhóm), ta áp dụng quy tắc nhân để tính $n(E)$.

1
Chia bài toán thành các công đoạn (chọn nam, chọn nữ, chọn từng màu bi,...).
2
Tính số cách mỗi công đoạn bằng tổ hợp $C_n^k$.
3
Nhân các kết quả để được $n(E)$.
4
Tính $P(E) = \dfrac{n(E)}{n(\Omega)}$.
Ví dụ 2 — Tổ hợp nhiều công đoạn

Tiếp tục Ví dụ 1: Lớp 10A có $6$ nam và $4$ nữ. Chọn $6$ học sinh. Tính xác suất biến cố $D$: "Trong $6$ học sinh được chọn có $4$ nam và $2$ nữ".

①$n(\Omega) = C_{10}^6 = 210$.
②Biến cố $D$ chia làm $2$ công đoạn:
→Công đoạn 1: chọn $4$ nam từ $6$ nam → $C_6^4 = 15$ cách.
→Công đoạn 2: chọn $2$ nữ từ $4$ nữ → $C_4^2 = 6$ cách.
③Áp dụng quy tắc nhân: $n(D) = 15 \cdot 6 = 90$.
⟹$P(D) = \dfrac{90}{210} = \mathbf{\dfrac{3}{7}}$.
Ví dụ 3 — Chia nhóm theo $3$ loại

Một hộp đựng $6$ bi trắng, $4$ bi đỏ và $2$ bi đen. Chọn ngẫu nhiên $3$ viên bi. Tính xác suất chọn được mỗi màu $1$ viên.

①$n(\Omega) = C_{12}^3 = 220$.
②Biến cố $E$ chia làm $3$ công đoạn:
→Chọn $1$ trắng từ $6$: $C_6^1 = 6$.
→Chọn $1$ đỏ từ $4$: $C_4^1 = 4$.
→Chọn $1$ đen từ $2$: $C_2^1 = 2$.
③$n(E) = 6 \cdot 4 \cdot 2 = 48$.
⟹$P(E) = \dfrac{48}{220} = \mathbf{\dfrac{12}{55}}$.
3
Sử dụng sơ đồ hình cây
▼

Khi phép thử $T$ được hình thành từ vài phép thử nhỏ liên tiếp (gieo xúc xắc $n$ lần, lấy bi từ nhiều hộp,...), ta dùng sơ đồ hình cây để mô tả đầy đủ và trực quan không gian mẫu.

💡Khi nào dùng sơ đồ hình cây?
• Phép thử có nhiều giai đoạn (gieo $n$ lần, lấy bi từ $k$ hộp,...).
• Số phần tử của $\Omega$ không quá lớn ($\leq 30$ chẳng hạn).
• Cần liệt kê rõ từng kết quả để xét biến cố.
Ví dụ 4 — Lấy bi từ $3$ hộp

Có $3$ hộp:
• Hộp I: $1$ bi đỏ ($Đ$), $1$ bi xanh ($X$), $1$ bi vàng ($V$).
• Hộp II: $1$ bi xanh ($X$), $1$ bi vàng ($V$).
• Hộp III: $1$ bi đỏ ($Đ$), $1$ bi xanh ($X$).
Từ mỗi hộp lấy ngẫu nhiên $1$ viên bi.

Sơ đồ hình cây (minh hoạ một phần):

Hộp I / | \ Đ X V /| /| /| X V X V X V Hộp II /|/| /|/| /|/| Đ X Đ X Đ X Hộp III

Mỗi nhánh từ trên xuống dưới là một kết quả. Tổng cộng có $3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$ nhánh.

⟹$\Omega = \{ĐXĐ; ĐXX; ĐVĐ; ĐVX; XXĐ; XXX; XVĐ; XVX; VXĐ; VXX; VVĐ; VVX\}$, $n(\Omega) = 12$.

Tính xác suất biến cố $K$: "Trong $3$ viên bi lấy ra có đúng $1$ viên màu xanh".

→Liệt kê các kết quả có đúng $1$ chữ $X$: $ĐXĐ, ĐVX, XVĐ, VXĐ, VVX$.
→$n(K) = 5$.
⟹$P(K) = \dfrac{5}{12}$.
Ví dụ 5 — Tung $3$ đồng xu (đơn giản)

Tung $1$ đồng xu cân đối $3$ lần. Sơ đồ hình cây gồm $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ nhánh:

→$\Omega = \{SSS; SSN; SNS; SNN; NSS; NSN; NNS; NNN\}$, $n(\Omega) = 8$.
→Biến cố "đúng $2$ lần sấp" có $3$ kết quả: $SSN, SNS, NSS$.
⟹$P = \dfrac{3}{8}$.
4
Xác suất của biến cố đối $\overline{E}$
▼

Vì $\overline{E}$ là phần bù của $E$ trong $\Omega$ (tức $E$ và $\overline{E}$ rời nhau, hợp lại bằng $\Omega$), ta có:

→$n(E) + n(\overline{E}) = n(\Omega)$, suy ra $\dfrac{n(E)}{n(\Omega)} + \dfrac{n(\overline{E})}{n(\Omega)} = 1$.
Xác suất biến cố đối
$P(\overline{E}) = 1 - P(E)$
⚠️Khi nào nên dùng biến cố đối?
Khi việc tính $P(E)$ trực tiếp khó hơn $P(\overline{E})$. Đặc biệt khi đề bài có cụm từ "có ít nhất...":
• "Có ít nhất $1$ con trai" → $\overline{E}$: "Tất cả đều là gái".
• "Có ít nhất $1$ mặt $6$" → $\overline{E}$: "Không có mặt $6$ nào".
• "Có ít nhất $1$ chẵn" → $\overline{E}$: "Tất cả đều lẻ".
Ví dụ 6 — Có ít nhất $1$ số chẵn

Chọn ngẫu nhiên $2$ số khác nhau từ tập $\{1; 2; 3; \ldots; 9\}$. Gọi $H$ là biến cố: "Trong $2$ số được chọn có ít nhất $1$ số chẵn". Tính $P(H)$.

①$n(\Omega) = C_9^2 = \dfrac{9 \cdot 8}{2} = 36$.
②Tính trực tiếp $P(H)$ phức tạp (phải xét: $1$ chẵn + $1$ lẻ HOẶC cả $2$ chẵn).
③Cách nhanh hơn — Dùng biến cố đối:
→$\overline{H}$: "Cả $2$ số đều lẻ".
→Số lẻ trong $\{1, \ldots, 9\}$: $\{1; 3; 5; 7; 9\}$ ($5$ số). $n(\overline{H}) = C_5^2 = 10$.
→$P(\overline{H}) = \dfrac{10}{36} = \dfrac{5}{18}$.
⟹$P(H) = 1 - P(\overline{H}) = 1 - \dfrac{5}{18} = \mathbf{\dfrac{13}{18}}$.
Ví dụ 7 — Có ít nhất $1$ mặt $6$

Gieo $2$ con xúc xắc cân đối. Tính xác suất có ít nhất $1$ con xuất hiện mặt $6$ chấm.

①$n(\Omega) = 6 \cdot 6 = 36$.
②$\overline{E}$: "Cả $2$ con đều không có mặt $6$" — mỗi con thuộc $\{1; 2; 3; 4; 5\}$.
→$n(\overline{E}) = 5 \cdot 5 = 25$.
→$P(\overline{E}) = \dfrac{25}{36}$.
⟹$P(E) = 1 - \dfrac{25}{36} = \mathbf{\dfrac{11}{36}}$.
5
Một số dạng bài thường gặp
▼

① Bài toán lập số có chữ số khác nhau: kết hợp chỉnh hợp với tổ hợp.

Ví dụ 8 — Lập số chia hết cho $3$

Gọi $S$ là tập các số tự nhiên có $3$ chữ số đôi một khác nhau lập từ các chữ số $1, 2, 3, 4, 6$. Chọn ngẫu nhiên $1$ số từ $S$. Tính xác suất số được chọn chia hết cho $3$.

①Số phần tử của $S$: lập số $\overline{abc}$ với $a, b, c \in \{1; 2; 3; 4; 6\}$ và đôi một khác nhau (vì $a \neq 0$ tự thoả).
→$|S| = A_5^3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ (chỉnh hợp).
②Số chia hết cho $3$ ⟺ tổng $3$ chữ số chia hết cho $3$.
→Theo modulo $3$: $1 \equiv 1, 2 \equiv 2, 3 \equiv 0, 4 \equiv 1, 6 \equiv 0$.
→Cần chọn $3$ chữ số có tổng $\equiv 0 \pmod{3}$. Tập $\{0, 1, 2\}$ (mỗi loại $1$ chữ số): chọn $1$ từ $\{3; 6\}$, $1$ từ $\{1; 4\}$, $1$ từ $\{2\}$ → $2 \cdot 2 \cdot 1 = 4$ tập $\{a, b, c\}$.
→Mỗi tập có $3! = 6$ hoán vị. $\Rightarrow$ Số kết quả thuận lợi $= 4 \cdot 6 = 24$.
⟹$P = \dfrac{24}{60} = \mathbf{\dfrac{2}{5}}$.

② Bài toán di truyền học (Phép lai $1$ cặp gene):

Phép lai cơ bản
Khi lai $2$ cây bố mẹ có cùng kiểu gene $Aa$ ($A$: trội, $a$: lặn):
• Cây con nhận ngẫu nhiên $1$ gene từ bố ($A$ hoặc $a$) và $1$ gene từ mẹ ($A$ hoặc $a$).
• Không gian mẫu: $\Omega = \{AA; Aa; aA; aa\}$, $n(\Omega) = 4$.
• Cây con biểu hiện kiểu hình trội ⟺ có ít nhất $1$ gene $A$ ⟺ kiểu gene $\in \{AA; Aa; aA\}$.
• Xác suất biểu hiện kiểu hình trội $= \dfrac{3}{4}$.

③ Bài toán bộ bài, đồng xu, viên bi: tổng hợp các kĩ thuật trên.

💡Mẹo: Dù bài toán cụ thể là gì, luôn theo $3$ bước:
① Mô tả $\Omega$ và tính $n(\Omega)$ (dùng tổ hợp/chỉnh hợp/quy tắc đếm/sơ đồ hình cây).
② Mô tả biến cố $E$ và tính $n(E)$.
③ Tính $P(E) = \dfrac{n(E)}{n(\Omega)}$. Nếu khó tính trực tiếp thì dùng $P(E) = 1 - P(\overline{E})$.
6
Sai lầm thường gặp & Tổng kết
▼
STTSai lầmĐính chính
1 Nhầm tổ hợp với chỉnh hợp khi chọn người. "Chọn $k$ người vào nhóm" (vai trò như nhau) ⟶ tổ hợp $C_n^k$. "Chọn $k$ người vào $k$ vị trí khác nhau" ⟶ chỉnh hợp $A_n^k$.
2 Quên áp dụng quy tắc nhân giữa các công đoạn. "Có $4$ nam VÀ $2$ nữ" ⟶ nhân số cách chọn nam với số cách chọn nữ: $C_6^4 \cdot C_4^2$.
3 Nhầm biến cố đối của "có ít nhất $1$". Đối của "có ít nhất $1$ $X$" là "không có $X$ nào", không phải "có đúng $1$ $X$" hay "không có nhiều hơn $1$".
4 Tính $P$ trực tiếp khi rõ ràng nên dùng biến cố đối. Khi gặp "ít nhất $k$" với $k$ nhỏ, hãy thử biến cố đối — thường $P(\overline{E})$ tính dễ hơn rất nhiều.
5 Đếm trùng hoặc sót khi vẽ sơ đồ hình cây. Đếm theo nhánh từ gốc xuống lá. Số phần tử $\Omega$ = tích số nhánh ở mỗi tầng. Kiểm tra lại bằng quy tắc nhân.

Bảng tóm tắt phương pháp:

Dạng bàiPhương pháp
Chọn $k$ phần tử trong $n$ (không thứ tự) $C_n^k$.
Chọn nhóm theo nhiều loại (nam/nữ, màu...) Quy tắc nhân: $C_{n_1}^{k_1} \cdot C_{n_2}^{k_2} \cdots$
Phép thử nhiều giai đoạn (gieo nhiều lần,...) Sơ đồ hình cây hoặc quy tắc nhân; $n(\Omega) = m_1 \cdot m_2 \cdots$
Có ít nhất $1$ ... Biến cố đối: $P(E) = 1 - P(\overline{E})$.
✓Tóm tắt Bài 27:
• Phương pháp tổ hợp: dùng $C_n^k$ để đếm khi chọn $k$ trong $n$ không thứ tự.
• Quy tắc nhân: dùng khi biến cố gồm nhiều công đoạn (chọn nam, chọn nữ,...).
• Sơ đồ hình cây: dùng khi phép thử có nhiều giai đoạn nối tiếp.
• Biến cố đối: $P(E) = 1 - P(\overline{E})$ — đặc biệt hiệu quả với cụm "ít nhất".
• Mọi bài toán xác suất luôn theo $3$ bước: tính $n(\Omega)$ → tính $n(E)$ → áp dụng $P(E) = \dfrac{n(E)}{n(\Omega)}$.
📚 Xem thêm bài viết chi tiết
Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển — bài tập Toán 10 →
1
—
Điểm: 0/25
🎯

Luyện tập Tính Xác Suất!

25 câu · 6 dạng từ dễ đến khó

💡 Gợi ý
ThS. Lê Thị Thuý Nga

ThS. Lê Thị Thuý Nga

(Người kiểm duyệt, ra đề)

Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT

Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1

Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh

Bài tập Toán 10 Bài 26: Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất (25 bài tập) ( 08/05 )

Bài tập Toán 10 Bài 25: Nhị thức Newton (25 bài tập) ( 08/05 )

Bài tập Toán 10 Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp (25 bài tập) ( 08/05 )

Bài tập Toán 10 Bài 23: Quy tắc đếm (25 bài tập) ( 08/05 )

Bài tập Toán 10 Bài 22: Ba đường conic (25 bài tập) ( 08/05 )