Các Số Đặc Trưng Đo Xu Thế Trung Tâm
Số trung bình · Trung vị · Tứ phân vị · Mốt
Trường hợp có bảng tần số
Nếu mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số (giá trị $x_i$ xuất hiện $m_i$ lần):
Thống kê số cuốn sách mỗi bạn trong lớp đã đọc trong năm:
| Số cuốn sách | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
|---|---|---|---|---|---|
| Số bạn (tần số) | $3$ | $5$ | $15$ | $10$ | $7$ |
Hỏi trung bình mỗi bạn đọc bao nhiêu cuốn sách?
Khi mẫu số liệu có giá trị bất thường (rất lớn hoặc rất bé so với đa số), số trung bình có thể không đại diện tốt. Lúc đó, ta dùng trung vị.
Sắp xếp
không giảm
Tìm giá trị
chính giữa
| Số phần tử $n$ | Cách tính trung vị |
|---|---|
| $n$ lẻ | $M_e$ là giá trị chính giữa (vị trí $\dfrac{n+1}{2}$) |
| $n$ chẵn | $M_e = \dfrac{x_{n/2} + x_{n/2 + 1}}{2}$ — trung bình cộng hai giá trị chính giữa |
Một công ty nhỏ gồm $1$ giám đốc và $5$ nhân viên. Lương: giám đốc $20$ triệu/tháng, mỗi nhân viên $4$ triệu/tháng. Tìm trung vị của thu nhập.
Nhận xét quan trọng: Số trung bình ở đây là $\dfrac{4 \cdot 5 + 20}{6} = \dfrac{40}{6} \approx 6{,}67$ triệu — không đại diện tốt vì đa số nhân viên chỉ có lương $4$ triệu. Trung vị $= 4$ triệu phản ánh đúng hơn.
Tứ phân vị chia mẫu số liệu đã sắp xếp thành 4 phần, mỗi phần chứa khoảng $25\%$ số liệu.
Quy trình tìm $Q_1, Q_2, Q_3$ — 4 bước
Sắp xếp
không giảm
$Q_2 = M_e$
$Q_1$: trung vị
nửa trái
$Q_3$: trung vị
nửa phải
• Nếu $n$ chẵn: chia đôi mẫu thành nửa trái và nửa phải (mỗi nửa $\dfrac{n}{2}$ giá trị).
• Nếu $n$ lẻ: KHÔNG bao gồm $Q_2$ (giá trị chính giữa) vào nửa trái và nửa phải.
Hàm lượng Natri (mg) trong $100$ g một số ngũ cốc:
$0;\ 50;\ 70;\ 100;\ 130;\ 140;\ 140;\ 150;\ 160;\ 180;\ 180;\ 180;\ 190;\ 200;\ 200;\ 210;\ 210;\ 220;\ 290;\ 340$ ($n = 20$, đã sắp xếp).
Khoảng cách $Q_1 \to Q_2$ ($45$) lớn hơn $Q_2 \to Q_3$ ($25$) — cho thấy số liệu tập trung dày bên phải $Q_2$.
Thời gian truy cập Internet (giờ) trong một ngày của một số học sinh: $0;\ 0;\ 1;\ 1;\ 1;\ 3;\ 4;\ 4;\ 5;\ 6$.
Các trường hợp đặc biệt
Tuỳ vào đặc điểm của mẫu số liệu, ta chọn số đặc trưng đo xu thế trung tâm phù hợp:
| Số đặc trưng | Khi nào dùng? | Ưu / Nhược |
|---|---|---|
| Số trung bình $\bar{x}$ | Mẫu không có giá trị bất thường | Sử dụng tất cả giá trị nhưng bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường |
| Trung vị $M_e$ | Mẫu có giá trị bất thường | Không bị ảnh hưởng bởi giá trị bất thường |
| Mốt | Mẫu có nhiều giá trị trùng nhau, hoặc dữ liệu định tính | Phản ánh xu hướng phổ biến |
Mẫu A: Số đường chuyền thành công của một cầu thủ: $32;\ 24;\ 20;\ 14;\ 23$.
Mẫu B: Sai số trong một phép đo: $10;\ 15;\ 18;\ 15;\ 14;\ 13;\ 42;\ 15;\ 12;\ 14;\ 42$.
• Số trung bình: $\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$.
• Trung vị $M_e$: sắp xếp không giảm → giá trị chính giữa ($n$ lẻ) hoặc TB hai giá trị chính giữa ($n$ chẵn).
• Tứ phân vị $Q_1, Q_2, Q_3$: chia mẫu thành $4$ phần, mỗi phần $\approx 25\%$.
– $Q_2 = M_e$.
– $Q_1$ = trung vị nửa trái; $Q_3$ = trung vị nửa phải.
– $n$ lẻ: nửa trái/phải KHÔNG bao gồm $Q_2$.
• Mốt: giá trị có tần số lớn nhất. Có thể có nhiều mốt hoặc không có mốt.
• Chọn đặc trưng: không bất thường → trung bình; có bất thường → trung vị; nhiều giá trị trùng → mốt.
Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm — lý thuyết & các dạng bài tập →
Luyện tập Số đặc trưng đo xu thế trung tâm!
25 câu · 6 dạng từ dễ đến khó
Tuyệt vời!
ThS. Lê Thị Thuý Nga
(Người kiểm duyệt, ra đề)
Chức vụ: Trưởng ban biên soạn môn Toán THPT
Trình độ: Thạc sĩ Lý luận dạy học Toán, Chứng chỉ hạng II, Chứng chỉ Tin học, Ngoại ngữ B1
Kinh nghiệm: 11+ năm kinh nghiệm tại Trường THPT Lương Thế Vinh